Exercícios - Grupos.com.br

FUNÇÕES VETORIAIS
Definição
Chama-se de função vetorial de uma variável real t, definida em um intervalo I,

 
a função em que cada t  I associa um vetor f do espaço. Denotamos f  f t  .

O vetor f t  pode ser escrito como




f t   f1 t i  f 2 t  j  f 3 t k
Exemplos
a)
Podemos expressar o movimento de uma partícula P, sobre uma
circunferência de raio 1, pela função vetorial



f t   cos t i  sen t j . Nesse caso, a variável t representa o tempo

b)

e P f1 t , f 2 t  nos dá a posição da partícula em movimento.
Em economia podemos estabelecer uma função vetorial preço.
Consideremos três mercadorias tais que a primeira tem preço t 2 , a
segunda tem preço t  2 e a terceira tem preço dado pela soma das



duas primeiras. A função vetorial preço é P  t 2 , t  2 , t 2  t  2 .
Exercícios:





 
  
1) Sejam f (t )  at  b t 2 e g (t )  ti  sen tj  cos tk , com a  i  j e

 
b  2i  j ; 0  t  2 .
Calcular:


a) f (t )  g (t )


b) f (t )  g (t )


c) f (t )  g (t )
 
 
d) a  f (t )  b  g (t )


e) f (t  1)  g (t  1)
2) Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t o seu vetor posição é


1  
j k.
dado por r (t )  ti 
t2
a) Determinar a posição da partícula no instante t  0 e t  1 .
b) Quando t se aproxima de 2, o que ocorre com a posição da partícula?
3) Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:




a) f (t )  cos 3 ti  tg tj  sen 2 tk


 1
b) h (t )  2  t i  t 3 j  k
t


 
t
2 t
c) f (t )  e i  e j  k
  

d) g (t )  ln ti  tj  tk
Interpretação Física da Derivada
Consideremos uma partícula em movimento no espaço. Suponhamos que no

tempo t, r t  é o vetor posição da partícula com relação a um sistema de

coordenadas cartesianas. Ao variar t, a extremidade livre do vetor r t  descreve a
trajetória C da partícula.
Suponhamos que a partícula esteja em P no tempo t e em Q no tempo t  t .
 

Então r  r t  t   r t  representa o deslocamento da partícula de P para Q,
ocorrido no intervalo de tempo t .

A taxa média de variação de r t  no intervalo t é dada por:


r t  t   r t 
t
e é chamada velocidade média da partícula no intervalo de tempo t . A velocidade

instantânea da partícula no tempo t, que denotamos v t  , é definida pelo limite


r t  t   r t 

lim
v t  
quando esse limite existe.
t
t  0

Portanto, quando r t  é derivável, a velocidade instantânea da partícula é dada


por v t   r t .

Analogamente, se v t  é derivável, a aceleração da partícula é dada por


a t   v t  .
Exemplo1: O vetor posição de uma partícula em movimento no plano é

1 

r t   ti 
j, t  0 .
t 1
a) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração em um instante qualquer
t.
b) Esboçar a trajetória da partícula, desenhando os vetores velocidade no tempo
t  o e t  1.
a  Em um instante qualquer t, o vetor velocidade á dado por:
b


v t   r t  
Exemplo2: Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração de um a partícula que se




move segundo a lei r t   cos 2t i  sen 2t j  k . Mostrar que o vetor velocidade
é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor
velocidade.
OBS: Dois vetores são perpendiculares se o seu produto escalar é nulo. Ou




seja r t   v t   0 e v t   a t   0 .
Exercícios:
1) Determinar os vetores velocidades e aceleração para qualquer instante t.




a) r t   2 cos t i  5sen t j  3k


b) r t   e i  e
t
2 t



j , calcule v ln 2 e a ln 2

2) Uma partícula se move no espaço com vetor posição r t  . Determinar a
velocidade e a aceleração da partícula em um instante t qualquer. E os
vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de t:




a ) r t   ti  4 j  4  t 2 k ; t  0; 2.
1  

b ) r t  
i  tj ; t  1; 2.
1

t



c ) r t   t 2 i  t 6 k ; t  0; 1.



d ) r t   1  t i  1  t  j ; t  1; 2.






3) Sejam a e b dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da
partícula cujo movimento é descrito por:

a) r1  a  tb

b) r2  at  b t
2