ASSÍNTOTAS Assíntota Vertical Existem algumas funções racionais cujos gráficos se aproximam bastante de uma reta vertical, que é denominada assíntota vertical. x3 cujo gráfico está descrito na figura abaixo. Por exemplo, considere a função racional f x x2 Observe que existe uma “reta vertical imaginária” (definida por x = 2) tal que, quando a função se aproxima dessa reta, ela assume valores muito grandes positivos ou negativos. Indicamos tal fato escrevendo, f x quando x 2 e f x quando x 2 Assim, quando uma função racional y f x g x h x apresenta esse tipo de comportamento, dizemos que a função tem uma assíntota vertical em x = 2. Importante observar que x = 2 é uma raiz da função que está no denominador, ou seja, x = 2 é uma raiz de h x x 2 (a função não está definida para esse valor de x) Considere agora, a função racional f x x2 4 cujo gráfico está descrito na figura abaixo. x2 Observar que, apesar de x = 2 ser uma raiz da função que está no denominador, ou seja, de h x x 2 , não existe uma assíntota vertical nesse caso. Isso porque pudemos simplificar o fator comum x–2 presente no numerador e no denominador da função f (x). Assim, para que uma função racional y f x g x tenha h x uma assíntota vertical em x = a, não basta que x = a seja uma raiz da função h x . É preciso também que a função apresente x3 , ou x2 ou quando x a comportamento semelhante ao da função f x seja, f x quando x a RESUMINDO: Normalmente, para determinar assíntotas verticais para uma função y f x g x h x , encontre os valores x = a nos quais h x 0 e analise o comportamento de f quando x se aproxima de a. Assim, uma assíntota vertical mostra o comportamento de uma função y f x nas vizinhanças de um ponto x = a. Profa. Lena Bizelli 1. Assíntotas verticais podem também aparecer pelo comportamento unilateral. 2. O gráfico de uma função NUNCA cruza uma assíntota vertical. Por quê? Assíntota Horizontal A existência de assíntotas horizontais depende do comportamento de uma função y f x para valores positivos grandes de x e valores negativos grandes de x (ou seja, x ). Por exemplo, considere a função racional f x x3 cujo gráfico está descrito na figura abaixo. x2 Observe que existe uma “reta horizontal” (definida por y = 1) para a qual a função se aproxima, quando x assume valores muito grandes positivos ou muito grandes negativos. Indicamos tal fato escrevendo, lim f x 1 x Assim, quando uma função racional y f x g x h x apresenta esse tipo de comportamento, dizemos que a função tem uma assíntota horizontal y = 1. Isso quer dizer que: quando o limite no infinito de uma função y f x for igual a um número real L, então a reta horizontal y = L é denominada de assíntota horizontal. Portanto, uma assíntota horizontal mostra o comportamento de uma função y f x para valores muito grandes de x positivos ou valores muito grandes de x negativos. RESUMINDO: Para determinar assíntotas horizontais para uma função y f x , basta calcular o limite lim f x ou o limite lim f x e verificar se o resultado é um número real L. Se for, a reta y = L será x x chamada de assíntota horizontal. Profa. Lena Bizelli Diferente de uma assíntota vertical, o gráfico de uma função y f x pode cruzar uma assíntota horizontal várias vezes. Por quê? cos x (descrita na figura abaixo) possui uma assíntota horizontal x y 0 e o gráfico de f cruza essa assíntota uma infinidade de vezes. Por exemplo, a função y Agora tente resolver os exercícios dados a seguir, para verificar se você compreendeu as idéias apresentadas até aqui. Exercícios 1) Considere o gráfico de uma função f dado na figura abaixo, e calcule o que se pede. (a) lim f x (b) lim f x (d) lim f x (e) lim f x x1 x x1 (c) lim f x x1 x (f) Dê as equações das assíntotas verticais, se existirem. (g) Dê as equações das assíntotas horizontais, se existirem. Profa. Lena Bizelli 2) Encontre as assíntotas verticais e horizontais, se existirem. (a) f x x 3x 1 (e) f x 3x (b) f x x2 x2 (c) f x 2x x 9 2 2x 1 (d) f x 4 3x 2 2 x 5 2 Respostas 1) (a) +∞ (b) -∞ (c) +∞ (d) 1 (e) 0 2) (a) vertical: x 1 1 ; horizontal: y 3 3 (b) vertical: x 2 ; horizontal: nenhuma (c) vertical: x 3 ; horizontal: y 0 (d) vertical: x 4 4 ; horizontal: y 3 9 (e) vertical: x 5 ; horizontal: y 0 2 Profa. Lena Bizelli