eletricidade e magnetismo - SOL
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros ELETRICIDADE E MAGNETISMO NOTA DE AULA I Goiânia 2013 1 REVISÃO DE PRODUTO ESCALAR Antes de iniciarmos o estudo do nosso próximo assunto (lei de Gauss), consideramos importante uma revisão sobre o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar entre dois vetores a e b , escrito como a . b , é definido como a b ab cos Onde a e b são respectivamente os módulos dos vetores a e b , sendo o ângulo entre as direções de a e b , como está representado na figura abaixo. a b Partindo desta definição, é claro que se os dois vetores forem perpendiculares ( 90o ), teremos a b 0 , se = 0o a b ab e se = 180o a b ab LEI DE GAUSS A lei de Coulomb é uma lei básica da eletrostática, mas em algumas situações envolvendo simetria podemos usar uma lei equivalente que pode simplificar o trabalho no estudo do campo elétrico. Para tirar proveito nestas situações de simetria, vamos introduzir a lei de Gauss, deduzida pelo matemático e físico alemão Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície fechada com a carga total envolvido por esta superfície. Antes de enunciar a lei de Gauss vamos introduzir um conceito auxiliar, o fluxo do campo elétrico. Trata-se de um conceito relacionado ao número de linhas de campo elétrico que atravessam determinada superfície. Suponha que uma superfície plana, de área A, seja colocado em uma região onde existe um campo elétrico uniforme E , como está representado na figura abaixo. A E 2 Sendo o vetor área A um vetor cujo módulo é igual a uma área A (neste caso a área da superfície) e cuja direção é normal (perpendicular) ao plano da área, podemos definir o fluxo do campo elétrico pela seguinte expressão: E E A EA cos Observe que para 0o o valor do fluxo é máximo e para 90o o fluxo é nulo. Para entender melhor o conceito de fluxo, pode-se supor uma espira quadrada de arame com área interna A, colocado em uma correnteza uniforme de um rio cuja velocidade da água é v , ou numa região onde exista um vento com velocidade uniforme v . O fluxo do vetor velocidade v A representa a vazão volumétrica de água ou ar nesta espira. Observe que a unidade deste fluxo no SI. é m3 / s. Observação: Devemos observar que o exemplo acima, no qual temos água ou ar escoando por uma espira, não tem relação com o fluxo do campo elétrico. O campo elétrico não é uma grandeza que pode escoar através de uma superfície. O ponto central da lei de Gauss é uma superfície fechada hipotética chamada de superfície gaussiana. A superfície gaussiana pode ser de qualquer forma que se queira, mas a superfície mais útil é uma que reproduza a simetria do problema em questão. Assim, a superfície gaussiana será frequentemente uma esfera, um cilindro ou outra forma simétrica. Ela deve ser sempre uma superfície fechada, de modo que possa ser feita uma distinção clara entre pontos que estão no interior da superfície, sobre a superfície e fora da superfície. A superfície gaussiana (superfície fechada) não necessita ser uma superfície física real, como a de um corpo sólido. Na verdade, na maioria das aplicações da lei de Gauss, considerase uma superfície imaginária, que pode estar no espaço vazio, imersa em um corpo sólido, ou parte no espaço vazio e parte no corpo. 3 Como a lei de Gauss se aplica a uma superfície fechada devemos definir o fluxo de campo elétrico para estas superfícies gaussianas, este fluxo pode ser calculado imaginando-se a área da superfície fechada subdividida em quantidades infinitesimais d A e somando um número infinito de contribuições infinitesimais do fluxo de campo de cada elemento de área. Esta soma é feita por meio de uma integral. Na figura abaixo temos a representação de uma superfície fechada arbitrária imersa em um campo elétrico não-uniforme. Temos em destaque três quadrados que fazem parte desta superfície. Podemos observar que no quadrado 1 temos cos 0 ( o campo elétrico aponta para dentro da superfície), portanto a contribuição deste quadrado para o fluxo total na superfície é negativo. No quadrado 3 temos cos 0 (o campo elétrico aponta para fora da superfície), portanto a contribuição deste quadrado para o fluxo total na superfície é positivo, e no quadrado 2 temos cos 0 (o campo elétrico tangencia a superfície), sendo que este quadrado não contribui para o fluxo total. 1 2 3 N i i 1 E. A E.dA 4 O círculo no símbolo de integral indica que a integração deve ser feita sobre toda a superfície (fechada). O fluxo do campo elétrico é uma grandeza escalar. Sua unidade no SI é: N . m2 /C. Uma superfície possui dois lados, portanto, em cada ponto, existem dois sentidos possíveis para o vetor que representa a área desta superfície. Quando a superfície for fechada (gaussiana) sempre adotaremos o sentido deste vetor para fora da superfície. Devemos observar que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície gaussiana é proporcional ao número total de linhas de campo que atravessam essa superfície. EXERCÍCIO 1. Uma superfície fechada, na forma de um cilindro reto, encontra-se imerso em um campo elétrico uniforme. O eixo do cilindro é paralelo ao campo elétrico. Usando a forma integral para o fluxo do campo elétrico, mostre que o fluxo do campo elétrico através desta superfície é nulo. (sugestão: a área total da superfície cilíndrica pode ser dividida em três partes, as duas tampas e a área lateral do cilindro). No exercício acima se o eixo do cilindro não fosse paralelo ao campo elétrico poderíamos ter dificuldade em calcular o fluxo do campo elétrico através da superfície. No entanto, neste caso poderíamos determinar o valor do fluxo de uma maneira bem simples usando a lei de Gauss. Esta lei afirma que se a carga total envolvida por uma superfície fechada for nula, o fluxo do campo elétrico através desta superfície também será nulo. Portanto, como a carga envolvida pela superfície do exercício anterior é nula, o fluxo do campo elétrico será nulo, independente da forma que esta superfície se encontra em relação ao campo. Este exemplo nos mostra que dependendo da situação a lei de Gauss pode simplificar bastante os cálculos. O que pode ser uma boa razão para o estudo da lei de Gauss. A lei de Gauss relaciona o fluxo total de um campo elétrico através de uma superfície fechada (gaussiana) e as cargas no interior desta superfície. Ela pode ser enunciada da seguinte maneira: O fluxo do campo elétrico através de qualquer superfície fechada (superfície gaussiana) é proporcional à carga elétrica total (líquida) existente no interior desta superfície. Ou seja, para uma superfície gaussiana temos que: o q ou o E.dA q onde: 5 é o fluxo do campo elétrico sobre a superfície gaussiana q é a carga elétrica líquida envolvida pela superfície gaussiana. Devemos observar que as cargas externas a uma superfície gaussiana contribuem para o campo elétrico, mas não contribuem para o fluxo do campo elétrico nesta superfície gaussiana. Em vários casos especiais, podemos dispensar o uso das técnicas do Cálculo integral para calcularmos o fluxo do campo elétrico. Se o campo elétrico E for perpendicular à superfície de área A em todos os pontos e tiver o mesmo valor em todos os pontos da superfície, o fluxo do campo elétrico sobre esta superfície pode ser calculado por EA e a lei de Gauss, para este caso, pode ser escrita da seguinte forma: o EA q Observando a lei de Gauss, percebemos que se a carga líquida envolvida pela superfície gaussiana for negativa o fluxo do campo elétrico será negativo (as linhas de campo apontam para dentro da superfície), se esta carga líquida for positiva o fluxo será positivo (as linhas de campo apontam para fora da superfície). Quando a carga líquida envolvida pela superfície gaussiana for nula o fluxo do campo elétrico através desta superfície também será nulo. A discussão acima, relacionando fluxo do campo elétrico com a carga envolvida pela superfície gaussiana, pode ser ilustrada com um exemplo, no qual temos a representação de duas cargas puntiformes de mesmo módulo e sinais opostos e das linhas de campo desta configuração de cargas. Na figura temos também a representação de quatro superfícies gaussianas vista de perfil. A superfície S1 envolve somente a carga positiva, S2 envolve somente a carga negativa, S3 não envolve nenhuma carga e S4 envolve as duas cargas, portanto, a carga total envolvida por ela é nula. oE qenv o E.dA qenv Lei _ Gauss 0 S1 1 q1 0 3 0 S3 q3 0 0 S2 2 q2 0 4 0 S4 q4 0 6 EXERCÍCIO 2. A localização da carga, no interior de uma superfície gaussiana, influencia no valor do fluxo do campo elétrico através dessa superfície? 3. Uma carga puntiforme é colocada no centro de uma superfície gaussiana esférica. Responda se o fluxo do campo elétrico através da superfície mudará nos seguintes casos: (a) se mudarmos a forma da superfície gaussiana (para um cubo, por exemplo) sem alterar a carga no interior da superfície; (b) se a carga for afastada do centro da superfície gaussiana, permanecendo, entretanto, em seu interior; (c) a carga for deslocada para imediatamente fora da superfície gaussiana; (d) uma segunda carga for colocada próximo, e fora da superfície gaussiana; (e) uma segunda carga for colocada dentro da superfície gaussiana. 4. Uma superfície gaussiana envolve somente um dipolo elétrico. O que se pode concluir sobre o valor do fluxo elétrico total através desta superfície? 5. Responda os itens abaixo justificando suas respostas. a ) Suponha que a carga líquida contida no interior de uma superfície gaussiana seja nula . Podemos concluir da lei de Gauss que o campo elétrico é igual a zero em todos os pontos sobre esta superfície gaussiana? b ) Se o campo elétrico for nulo em todos as pontos sobre uma superfície gaussiana , a lei de Gauss exige que a carga líquida dentro desta superfície gaussiana seja nula? 6. Uma carga puntiforme de 1,8 μC está no centro de uma superfície gaussiana cúbica com 55 cm de aresta. Determine o fluxo do campo elétrico através desta superfície. R: 2,03x105 Nm2/C 7. Uma esfera condutora uniformemente carregada, de 1,2 m de diâmetro, possui uma densidade superficial de carga de 8,1 μC /m2. (a) Determine o valor da carga sobre a esfera. (b) qual é o fluxo elétrico total que está sendo gerado pela esfera? R: (a) 3,66x10-5C (b) 4,14x106 Nm2/C 8. Na figura abaixo uma carga puntiforme positiva q está a uma distância d/2 diretamente acima do centro de um quadrado de lado d. Aplicando a lei de Gauss determine o fluxo elétrico através do quadrado. (Sugestão: Pense no quadrado como uma das faces de um cubo de aresta d) R: q/(6єo) q d/2 d d 7 9. A lei de Gauss e a de Coulomb podem ser equivalentes no cálculo do campo elétrico. Podemos confirmar esta equivalência deduzindo a lei de Coulomb, para calcular o campo elétrico de uma carga pontual, a partir da lei de Gauss. Ou seja, aplicando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme a uma distância r, é dado por E = Q / (4o r2 ) (lei de Coulomb). 10. A lei de Gauss nos permite demonstrar, com certa facilidade, uma importante propriedade em relação à distribuição de cargas em um condutor isolada. Mostre que, se um condutor eletrizado estiver isolado, as cargas elétricas em excesso estarão distribuídas em sua superfície externa. 11. Num condutor esférico isolado, as cargas em excesso se distribuem uniformemente em sua superfície externa. Se o condutor não for esférico esta distribuição não é uniforme, o que gera dificuldades no cálculo do campo elétrico criado por estes condutores. No entanto, o campo elétrico imediatamente fora da superfície de um condutor isolado pode ser determinado, com certa facilidade, usando-se a lei de Gauss. Mostre que o módulo do campo elétrico num local imediatamente fora de um condutor isolado (ponto muito próximo da superfície) é proporcional à densidade superficial de carga σ, ou seja, que o valor deste campo é dado por: E = σ /ε0. 12. Um condutor isolado de forma arbitrária tem uma carga líquida nula. Dentro do condutor existe uma cavidade, no interior da qual está uma carga puntiforme q = + 3 . 10 – 6 C. Determine a carga: R: qi q 3,0 106 C ; b) qe qi 3,0 106 C a) Sobre a parede da cavidade. b) Sobre a superfície externa do condutor. 13. Aplicando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico no ponto P, a uma distância r de uma barra fina de plástico, infinitamente longa e carregada uniformemente com uma densidade linear de carga , é dado por: E = /(2 o r). P r barra 14. O campo elétrico de uma barra fina e infinita é equivalente ao campo de uma linha infinita de carga. Uma linha infinita de carga produz um campo de 4,5 × 10 4 N/C a uma distância de 2 m da linha. Determine o valor da densidade linear de carga, considerada constante. 15. Duas cascas cilíndricas concêntricas e longas possuem raios a e b com a < b. Os cilindros possuem densidades lineares de carga de valores iguais e sinais opostos, sendo λa = - λ e λb = + λ. Usando a lei de Gauss, prove que (a) E = 0 para r < a (pontos no interior da casca interna) e (b) entre as cascas cilíndricas, isto é, para a < r < b, o módulo do campo elétrico é dado por E = /(2 o r). r é a distância radial ao eixo central dos cilindros. 8 16. Duas cascas cilíndricas de paredes finas, carregadas, longas e concêntricas, têm raios de 3 cm e 6 cm. A carga por unidade de comprimento sobre o cilindro interno é 5 × 10 – 6 C/m, e sobre o cilindro externo é de - 7 × 10 – 6 C/m. Determine o valor do campo elétrico e indique o sentido (para dentro ou para fora) em (a) r = 4 cm e (b) r = 8cm, onde r é a distância radial ao eixo central dos cilindros. R: (a) 2,3 × 10 6 N/C, para fora; (b) 4,5 × 10 5 N/C, para dentro 17. Uma carga está uniformemente distribuída através do volume de um cilindro infinitamente longo de raio R. (a) Mostre que o campo elétrico a uma distância r do eixo do cilindro (r < R) é dado por E = ρ r/(2 εo), onde ρ é a densidade volumétrica de carga. (b) Escreva uma expressão para E a uma distância r > R e esboce qualitativamente o gráfico E × r. Observe que o cilindro não é condutor. 18. (lei de Gauss: simetria plana) Aplicando a lei de Gauss, mostre que o módulo do campo elétrico gerado por uma chapa fina, isolante e infinita, carregada uniformemente com uma densidade superficial de carga σ é dado por: E = σ /(2ε0). 19. Na figura abaixo duas placas finas, de grande extensão, são mantidas paralelas a uma pequena distancia uma da outra. Nas faces internas as placas possuem densidades superficiais de cargas de sinais opostos e valores absolutos iguais σ = 7,00 1023 C / m2 . Em termos dos vetores unitários, determine o campo elétrico (a) à esquerda das placas; (b) à direita das placas; (c) entre as placas. R: a) 0; b) 0; c)-7,91x10-11N/C î 20. Na figura abaixo uma pequena esfera não condutora de massa m = 10 g e carga q =2x10-8C (distribuída uniformemente em todo o volume) está pendurada em um fio não condutor que faz um ângulo de 30o com uma placa vertical, não condutora, uniformemente carregada (vista de perfil). Considerando a força gravitacional que a esfera está submetida e supondo que a placa possui uma grande extensão, calcule a densidade superficial de cargas σ da placa. 5 105 C / m2 9 21. (lei de Gauss: simetria esférica) Considere uma casca esférica fina de raio R e uniformemente carregada com uma carga total Q. Sendo r a distância do centro da esfera até certo ponto, aplicando a lei de Gauss, mostre que: a) Para r > R (pontos externos a casca esférica) o campo elétrico gerado pela casca esférica é equivalente ao de uma carga pontual situada no centro da casca esférica. Ou seja, o valor do campo é dado por E = Q / (4o r2). b) Para r < R (pontos no interior da casca esférica) o campo elétrico gerado pela casca esférica é nulo. Portanto, a casca esférica não exerce força eletrostática sobre uma partícula carregada que se localize no seu interior. 22. Uma carga pontual produz um fluxo elétrico de – 750 N.m2/C através de uma superfície gaussiana esférica de 10 cm de raio com centro na carga. (a) Se o raio da superfície gaussiana é multiplicado por dois, qual é o novo valor do fluxo? (b) Qual é o valor da carga pontual? R: a) – 750 N.m2/C; b) – 6,64 nC 23. Uma esfera condutora com 10 cm de raio possui uma carga desconhecida. Se o campo elétrico a 15 cm do centro da esfera tem um módulo de 3 × 10 3 N/C e aponta para o centro da esfera, qual é a carga desta esfera? R: - 7,5 nC 24. Uma esfera metálica de parede fina tem um raio de 25 cm e uma carga de 2×10 -7 C. Determine o valor do campo elétrico E para um ponto (a) dentro da esfera, (b) imediatamente fora da esfera e (c) a 3 m do centro da esfera. R: (a) 0; (b) 2,88x104 N/C; (c) 2x102 N/C 25. Uma casca esférica condutora de raio a e espessura insignificante possui uma carga qa. Uma segunda casca, concêntrica com a primeira, possui um raio b > a e uma carga qb. Mostre, utilizando a lei de Gauss, que o campo elétrico em pontos situados a uma distância r do centro das cascas para: (a) r < a é igual zero; (b) a < r < b é qa / (4o r2 ); e (c) r > b é igual a (qa + qb) / (4o r2 ) 26. Duas cascas esféricas concêntricas carregadas têm raios de 10 cm e 15 cm. A carga da casca menor é 4 × 10 – 8 C, e da casca maior é 2 × 10 – 8 C. Determine o módulo do campo elétrico em (a) r = 12 cm e (b) r = 20 cm. R: a) 2,5 × 10 4 N/C; b) 1,35 × 10 4 N/C 10 ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA E POTENCIAL ELÉTRICO Quando um corpo de massa m é colocado a uma altura h, próximo da superfície da Terra, podemos atribuir a este corpo uma energia potencial gravitacional dada por mgh. Assim como a força gravitacional, a força elétrica também é uma força conservativa, portanto, quando uma partícula carregada se move num campo elétrico, o campo realiza trabalho sobre ela. Este trabalho não depende da trajetória e pode ser expresso em termos de uma energia potencial. Se a função energia potencial de um corpo tiver o valor UA, quando o corpo estiver num ponto A, e o valor UB, quando ele está num ponto B, então, o trabalho WAB , realizado sobre o corpo durante o deslocamento de A para B, é dado por WAB U A U B U B U A A energia potencial de uma partícula carregada, colocada em um campo elétrico, depende da intensidade de carga da partícula. Entretanto, a energia potencial por unidade de carga possui um valor único em qualquer ponto deste campo. Portanto, em lugar de utilizar diretamente a energia potencial U de uma partícula carregada, é conveniente introduzir o conceito de potencial elétrico, definido em um ponto qualquer de um campo eletrostático como a energia potencial por unidade de carga neste ponto. O potencial elétrico é uma grandeza escalar representado pela letra V: V U U qV q Quando um campo elétrico realiza um trabalho WAB sobre uma carga de prova q, que se desloca de um ponto A para um ponto B, a diferença de potencial (ou voltagem) VBA é dada por: 11 VBA U B U A V q B VA WAB WAB q VA VB q Onde: VA é o potencial elétrico no ponto A. VB é o potencial elétrico no ponto B. Devemos observar que o potencial elétrico V e a energia potencial elétrica U são grandezas completamente diferentes e não devem ser confundidas. O potencial elétrico é uma propriedade de um campo elétrico, que independe da presença de um corpo carregado nesse campo e a energia potencial elétrica é uma energia de um corpo carregado, na presença de um campo elétrico. Também, podemos observar que as unidades destas duas grandezas são diferentes. Unidade de potencial elétrico no SI: 1 joule / coulomb = 1 volt = 1 V O potencial elétrico pode nos parecer uma grandeza abstrata, porém quando pensamos na sua unidade (volt) percebemos que esta grandeza está constantemente relacionada ao nosso cotidiano. É comum citarmos que os aparelhos de nossa residência estão ligados a uma diferença de potencial (voltagem) de 220 V. Comparando as unidades temos que 1,5 V = 1,5 J/C, portanto dizer que entre os polos de uma pilha de lanterna existe uma voltagem de 1,5 V é equivalente a dizer que cada coulomb de carga possui uma energia de 1,5 J. DESTACANDO ALGUMAS PROPRIEDADES: A força elétrica é uma força conservativa. O trabalho da força elétrica não depende da trajetória, depende, somente, das posições final e inicial da carga. Uma carga positiva abandonada em um campo elétrico tende a se deslocar de pontos onde o potencial é maior para pontos onde ele é menor. Uma carga negativa tenderá a se mover em sentido contrário, isto é, de pontos onde o potencial é menor para pontos onde ele é maior. 12 Percorrendo-se uma linha de força no seu sentido, o potencial elétrico, ao longo de seus pontos, diminui. Potencial elétrico em um ponto não tem um valor único. Este valor depende do nível escolhido para referência. A ddp entre dois pontos não depende do nível de referência. No nível de referência, geralmente o potencial é considerado nulo. VOLTAGEM EM UM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME E A d B Considere uma carga de prova positiva q sendo deslocada de um ponto A até um ponto B, numa região onde existe um campo elétrico uniforme E . A diferença de potencial entre os pontos A e B é dada por VA VB WAB , mas, WAB Fd , onde , F qE q VA VB qEd VA VB Ed q Onde: VAB é a ddp entre os pontos A e B. E é o campo elétrico uniforme. Deve-se observar, entretanto, que a distância d entre os dois pontos deve ser tomada na direção paralela ao vetor E . OUTRA UNIDADE DE CAMPO ELÉTRICO: volt /metro ( V / m ) temos que : 1 V /m = 1 N / C 13 CÁLCULO DO POTENCIAL A APARTIR DO CAMPO ELÉTRICO Se o vetor campo elétrico for conhecido em todos os pontos de uma trajetória que liga dois pontos, é possível usar o campo elétrico para calcular a diferença de potencial entre estes dois pontos. Devemos realizar trabalho para a carga ir de i até f. Com isso temos: dW F .ds qo E.ds dW q E.ds W q E.ds o o W V f Vi E.ds qo POTENCIAL ELÉTRICO NO CAMPO DE UMA CARGA PONTUAL Usando uma integral de linha, podemos mostrar que o potencial elétrico V no espaço ao redor de uma partícula carregada com uma carga Q, em relação ao potencial nulo no infinito, é dado por VA Onde: 1 Q 4 0 d VA K 0 Q d A Q d VA é o potencial elétrico no ponto A. d é a distância da carga Q até o ponto A. Observações: Ao usarmos a expressão acima para calcular o potencial, o sinal da carga Q deve ser levado em consideração. Assim, uma partícula carregada positivamente produz um potencial elétrico positivo, e uma partícula carregada negativamente produz um potencial elétrico negativo. 14 Esta expressão para o valor do potencial foi obtida considerando-se como referência um ponto muito afastado da carga Q ou, como costumamos dizer, esta expressão fornece o valor do potencial em relação a um nível no infinito. Demonstração da expressão usada para calcular o potencial elétrico criado por uma carga pontual. E.ds E cos ds V f Vi E.ds E cos ds 1 V VR E cos ds 0 V R fazendo : ds dr q dr 4 o r 2 R V Edr R 1 1 q r 21 V dr 4 o R r 2 4 o 2 1 R q V q 1 4 o R trocando : R r V 1 q 4 o r Lembrando que uma partícula de carga positiva produz um potencial elétrico positivo, já uma partícula de carga negativa, produz um potencial elétrico negativo. POTENCIAL DEVIDO A UM GRUPO DE CARGAS PONTUAIS Para calcularmos o potencial elétrico estabelecido por várias cargas pontuais em um dado ponto, devemos calcular o potencial estabelecido por cada carga neste ponto e em seguida devemos somar algebricamente estes potenciais. Sendo ri a distância da carga qi até o ponto considerado temos que: n 1 i 1 4 o V Vi n qi i 1 i r 15 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS Pontos adjacentes que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície equipotencial, que tanto pode ser uma superfície imaginária quanto uma superfície física real. Como todos os pontos de uma superfície equipotencial tem o mesmo valor para o potencial, nenhum trabalho resultante W é realizado por um campo elétrico sobre uma partícula carregada quando a partícula se move entre dois pontos de uma mesma superfície equipotencial. Por simetria, as superfícies equipotenciais produzidas por uma carga pontual ou por uma distribuição de carga com uma simetria esférica são uma família de esferas concêntricas e para um campo elétrico uniforme, as superfícies equipotenciais são uma família de planos paralelos e perpendiculares às linhas de campo. Na verdade, as superfícies equipotenciais são sempre perpendiculares às linhas de campo elétrico. Se o campo elétrico não fosse perpendicular a uma superfície equipotencial, ele teria uma componente ao longo dessa superfície. Esta componente então realizaria trabalho sobre uma partícula carregada quando ela se movesse ao longo da superfície, como este trabalho deve ser nulo, o campo elétrico realmente deve ser perpendicular à superfície em todos os pontos da superfície equipotencial. Esta propriedade é útil para desenhar as linhas de campo quando temos as superfícies equipotenciais ou para desenhar as equipotenciais quando temos as linhas de campo elétrico. Nas figuras estão representadas as linhas de campo e as equipotenciais para dois casos, campo uniforme e carga pontual. 16 EXERCÍCIO 27. Podem duas superfícies equipotenciais diferentes interceptar-se? 28. Um eletricista foi eletrocutado por acidente e numa reportagem jornalística afirmou-se que: “Ele tocou acidentalmente um cabo de alta tensão e 20000 V de eletricidade atravessaram seu corpo”. É adequado citar que 20000 V de eletricidade atravessaram o corpo do eletricista? 29. Considere uma pessoa em pé sobre uma plataforma isolada. Se o potencial da pessoa for aumentado de 10 kV ela será eletrocutada? 30. Os elétrons tendem a se deslocar espontaneamente para regiões de maior ou menor potencial elétrico? 31. Os conselhos dados a alpinistas apanhados em tempestades acompanhadas de trovões e raios são: a) abandonar rapidamente os picos e b) juntar os pés e agachar-se num descampado, somente os pés tocando o solo. Em que se baseia tal orientação? 32. Na figura abaixo, quando um elétron se desloca de A até B ao longo de uma linha de campo elétrico, esse campo realiza um trabalho de 3,94x10-19 J. Quais são as diferenças de potencial elétrico (a) VA – VB ; (b) VC – VA ; (c) VC – VB. 33. Duas grandes placas condutoras, paralelas entre si e afastadas por uma distância de 12 cm, têm cargas de mesmo valor absoluto e de sinais opostos nas faces que se defrontam. Um elétron colocado em um ponto entre as duas placas sofre uma força eletrostática de 3,9 × 10 – 15 N. Desprezando o efeito de borda, ou seja, considerando o campo uniforme em todos os pontos entre as placas, determine (a) o valor do campo elétrico no ponto onde se encontra o elétron, e (b) o valor da diferença de potencial entre as placas. R: a) 2,44x104N/C; b) 2,93x103V 34. Seja V o potencial elétrico, gerado por uma carga pontual, Q, e, r, a distância da carga até um ponto. Represente qualitativamente o gráfico V x r para os seguintes casos: a) Q > 0; b) Q< 0 35. Considere uma carga puntiforme q = + 1,0C e dois pontos B e A que distam, respectivamente, 1,0 m e 2,0 m da carga. (a) Tomando tais pontos diametralmente opostos, como mostra a Fig. a abaixo. Qual é a diferença de potencial Va – Vb? (b) Repita o item (a) considerando os pontos A e B localizados como mostra a Fig. b. R: a) VAB = - 4,5 . 10 3 V b)V’AB = - 4,5 . 10 3 V 17 36. Na figura abaixo, qual o potencial resultante no ponto P devido às quatro cargas pontuais, se V = 0 no infinito? R: 2,5q / 4 0 d 37. A figura a seguir mostra um arranjo retangular de partículas carregadas mantidas fixas no lugar, com a = 39,0 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 = 3,40 pC e q2 = 6,00 pC. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no centro do retângulo? (sugestão: Examinando o problema com atenção é possível reduzir consideravelmente os cálculos). 38. No retângulo da figura abaixo, os lados possuem comprimentos de 5,0 cm e 15 cm, q1 = -5,0μC e q2 = +2,0μC. Com V = 0 no infinito, quais os potenciais elétricos (a) no vértice A e (b) no vértice B? (c) Qual o trabalho realizado pela força elétrica para mover uma terceira carga q3 = +3,0μC de B para A ao longo de uma diagonal do retângulo? Este trabalho é maior, menor ou o mesmo exigido se q3 for movida ao longo de trajetórias que estejam (d) dentro do retângulo, mas não sobre uma diagonal, e (e) fora do retângulo? R: a) +6,0 x 104 V; b) – 7,8 x 105 V; c) 2,5 J; d) o mesmo; e) o mesmo. q1 B A q2 18 POTENCIAL DE UM CONDUTOR ISOLADO Uma carga em excesso colocada sobre um condutor isolado se distribuirá sobre a superfície desse condutor de modo que todos os pontos do condutor – estejam eles na superfície ou no seu interior – atinjam o mesmo potencial. Isto é verdade mesmo que o condutor possua uma cavidade interna e mesmo que esta cavidade contenha uma carga resultante. Assim, podemos afirmar que todos os pontos de um condutor em equilíbrio eletrostático têm o mesmo potencial elétrico. No caso específico de um condutor esférico de raio R e carregado com uma carga Q, o potencial elétrico em pontos no interior do condutor ou em sua superfície tem o mesmo valor k0Q/R. Externamente ao condutor, o potencial é idêntico ao de uma carga puntiforme posicionada no centro do condutor. Ou seja, o potencial elétrico a uma distância r do centro de um condutor esférico de raio R é dado por: (o potencial foi considerado nulo no infinito) V K oQ , para r ≤ R R V K oQ , para r > R r EXERCÍCIO 39. Seja V o potencial elétrico e E o módulo do campo elétrico, estabelecido por uma esfera condutora isolada, num ponto a uma distância d do centro da esfera. Represente qualitativamente o gráfico (para pontos no interior e fora da esfera): (a) V d, supondo que a carga da esfera é positiva. (b) E d 40. Quais são (a) a carga e (b) a densidade de carga sobre a superfície de uma esfera condutora de raio 0,15 m, cujo potencial é de 200 V (com V = 0 no infinito)? R: a) 3,33 . 10 –9 C; b) 1,18 . 10 –8 C/m2 41. Dois condutores esféricos, A e B, de raios R A = R e RB = 2R estão isolados e distantes um do outro. As cargas das duas esferas são de mesmo sinal e a densidade superficial de carga de A é duas vezes maior do que a de B. Ligando-se as duas esferas por meio de um fio condutor, verifique se haverá passagem de carga de uma para outra. Explique. R: VA = VB, não haverá passagem de carga de um para o outro. 42. Considere duas esferas condutoras, 1 e 2 separadas por uma grande distância, a segunda tendo o dobro do diâmetro da primeira. A esfera menor possui inicialmente uma carga positiva q e a maior está inicialmente descarregada. Agora você liga as esferas com um fio fino e longo. (a) Como estão relacionados os potenciais finais V1 e V2 das esferas? (b) Quais as cargas finais q1 e 19 q2 sobre as esferas, em termos de q? (c) Qual a relação entre a densidade superficial de carga final da esfera 1 e 2? R: a) V1 = V2; b) q1 = q 3 ; q2 = 2q 3 c) 1 = 2 2 43. Uma gota esférica de água transportando uma carga de 30 pC tem um potencial de 500 V em sua superfície (com V = 0 no infinito). (a) Qual é o raio da gota? (b) se duas gotas iguais a esta, com a mesma carga e o mesmo raio, juntarem para constituir uma única gota esférica, qual será o potencial na superfície da nova gota? R: a) 5,4 . 10 –4 m; b) 793, 7 V. 44. Considere duas esferas condutoras de raios R1 = 14 cm e R2 = 16 cm, separadas por uma distância muito grande. Inicialmente a esfera menor tem uma carga q 1 = 7 μC e a esfera maior uma carga q2 = 2 μC. As esferas são ligadas por um fio longo e fino. Determine o valor da carga final de cada uma das esferas após ser atingido o equilíbrio eletrostático. R: q’1 = 4,2 μC e q’2 = 4,8 μC. ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE UM SISTEMA DE CARGAS PONTUAIS A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é igual ao trabalho que deve ser executado por um agente externo para reunir o sistema, trazendo cada uma das cargas de uma distância infinita. Para o caso de duas cargas pontuais temos que: Para trazer a carga 1 do infinito até a sua posição não precisamos realizar trabalho, pois a distancia entre as cargas é infinita. No entanto para trazer a carga 2 do infinito até a sua posição, um trabalho deve ser realizado, devido a força de repulsão da carga 1. Portanto: W q2V q2 W U qq 1 q1 2 1 4 o r 4 o r q2 q1 4 o r quando os sinais das cargas q1 e q2 forem iguais W 0 quando os sinais das cargas q1 e q2 forem contrários W 0 EXERCÍCIO 45. (a) Qual a energia potencial elétrica de um sistema formado por dois elétrons separados por uma distância de 2 nm? (b) Se a distância entre os elétrons diminuir, a energia potencial elétrica do sistema aumente ou diminui? 20 46. Duas cargas q = +2,0μC são mantidas fixas a uma distância d = 2,0 cm uma da outra conforme figura abaixo. (a) Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto C? (b) Qual é o trabalho (realizado por um agente externo) necessário para deslocar uma terceira carga q = +2,0μC do infinito até o ponto C? (c) Qual é a energia potencial U da nova configuração? POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGAS Quando uma distribuição de cargas é contínua, em vez de usarmos o somatório indicado no cálculo do potencial de várias cargas pontuais, passamos a usar o cálculo integral. Nestes casos devemos escolher um elemento de carga dq, calcular o potencial dV produzido por dq no ponto considerado e integrar para toda a distribuição de cargas. dV Então: V dV 1 4 o 1 dq (dq 0 ou dq 0) 4 o r dq r Como exemplo com distribuição contínua de carga, vamos determinar o potencial elétrico a uma distância z sobre o eixo central de um disco de plástico de raio R, fino e uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga σ. Disco carregado. 21 dq 2 R ' dR ' ' ' 1 dq 1 2 R dR dV 4 o r 4 o z 2 R '2 V 2 o z 2 R '2 z Cálculo do campo elétrico a partir do potencial Vimos que é possível determinar o potencial elétrico em um ponto a partir do campo elétrico. Podemos fazer o procedimento inverso, ou seja, determinar o campo elétrico a partir do potencial. Em determinados casos este método de calcular o campo elétrico se torna mais fácil, pois, o potencial elétrico é calculado por uma função escalar e o campo elétrico por uma função vetorial. Para determinarmos o campo elétrico a partir do potencial usamos o fato de que: A componente do vetor campo elétrico em qualquer direção do espaço é o negativo da taxa de variação do potencial elétrico com a distância nessa direção. Em uma notação mais rigorosa usaríamos um operador denominado de gradiente, não sendo este o objetivo, vamos apenas indicar a relação das componentes do campo elétrico nos eixos x, y e z com as derivadas parciais do potencial elétrico para os eixos considerados. V x V V Ey E y s V Ez z Ex Observação: Em nosso curso tratamos apenas superficialmente o potencial de distribuição contínua de carga e cálculo do campo elétrico a partir do potencial. Caso o aluno tenha interesse em aprofundar nestes assuntos, deve consultar o livro texto. 22 EXERCÍCIO 47. Na figura abaixo, uma barra de plástico com um carga uniformemente distribuída Q = -25,6 pC tem a forma de um arco de circunferência de raio R = 3,71 cm e ângulo central Φ = 120o . Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto P, o centro de curvatura da barra? 48. Um disco de plástico de raio R = 64,0 cm é carregado na face superior com uma densidade superficial de cargas uniforme σ = 7,73 fC/m2 e, em seguida, três quadrantes do disco são removidos. A figura abaixo mostra o quadrante remanescente. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial produzido pelo quadrante remanescente no ponto P, que está sobre o eixo central do disco original a uma distância D = 25,9 cm do centro do disco original? CAPACITORES Um capacitor (ou condensador) é constituído por dois condutores separados por um isolante, onde os condutores são chamados de armaduras (ou placas do capacitor) e o isolante é o dielétrico do capacitor. Quando um capacitor está carregado, cada uma das duas placas contêm cargas de mesmo módulo e sinais oposto (+q e –q). Entretanto, quando nos referimos à carga q de um capacitor, estamos falando do módulo da carga de uma das placas e não da carga total do capacitor (a carga total em um capacitor é sempre zero). Energia pode ser armazenada como energia potencial em um campo elétrico, e um capacitor é um dispositivo que pode ser usado para isso. Na operação do flasch de uma câmara fotográfica, por exemplo, o capacitor acumula carga de modo relativamente lento, acumulando um campo elétrico. Ele mantém este campo e a energia associada até que a energia seja rapidamente liberada no flasch. 23 Os capacitores têm muitas aplicações na eletrônica, além de servirem como armazenadores de energia potencial eles constituem elementos vitais nos circuitos com os quais sintonizamos os transmissores e receptores de rádio e televisão. Costuma-se dar nome aos capacitores de acordo com a forma de suas placas, como exemplo, temos o capacitor plano, o capacitor cilíndrico, o capacitor esférico. Símbolo do capacitor Capacitância de capacitor A capacitância, C, de um capacitor pode ser definida como a razão entre a carga Q de qualquer dos condutores e o módulo da diferença de potencial, V, entre os condutores. Para um determinado capacitor esta razão permanece constante. C Q Q VC V onde : C = é a capacitância do capacitor Q = é a carga de uma das armaduras do capacitor V = é a diferença de potencial entre as placas do capacitor A capacitância de um capacitor pode ser interpretada como a medida da capacidade de armazenar carga neste capacitor. A capacitância um capacitor depende somente das características deste capacitor, ou seja, ela depende da forma e do tamanho das placas do capacitor, da distância entre as placas e do dielétrico, caso exista, entre suas placas. Devemos observar que a capacitância não depende da carga ou da diferença de potencial no capacitor. Lembrando que, quando se fala de um capacitor com carga Q o que se quer dizer é que o condutor de potencial maior tem carga + Q, e o de menor potencial tem carga - Q. Um método comum de carregar um capacitor consiste em conectar os terminais do capacitor aos polos de uma bateria. A carga no capacitor aumenta até que a diferença de potencial nos terminais do capacitor atinja um valor igual à voltagem da bateria. 24 Unidade de capacitância no S.I. A unidade de capacitância (S.I) é o Coulomb por Volt. Esta unidade é chamada de farad (F), em homenagem ao Físico britânico Michael Faraday coulomb / volt = farad ( F ) Observação: O farad é uma unidade muito grande, por isso usamos constantemente seus submúltiplos: F microfarad 106 F nF nanofarad 109 F pF picofarad 1012 F Carregando ou descarregando um capacitor: O capacitor não carrega linearmente e nem descarrega linearmente. 25 Capacitor de Placas Paralelas O tipo mais comum de capacitor consiste em duas placas condutoras e paralelas, separadas por uma distância pequena em relação às dimensões da placa. Se as placas estiverem suficientemente próximas podemos desprezar a deformação do campo elétrico próximo às bordas das placas, e o campo elétrico entre as placas pode ser considerado uniforme. A capacitância de um capacitor de placas paralelas depende diretamente da área das placas e inversamente da distância de separação entre elas, sendo dada por: C A d d onde : A = é a área da superfície das placas d = é a distância entre as placas No vácuo, temos que: o 8,85 1012 C2 / Nm2 Vamos demonstrar a expressão da capacitância de um capacitor de placas paralelas. 26 Pela Lei de Gauss, temos o campo elétrico entre as placas como: o E.dA q o EA q E q A o f A diferença de potencial entre as placas é dada por: V f Vi E.ds i Vamos tomar o caminho da placa negativa para a placa positiva e adotar o Vi = 0, então: V f Eds Como V Ed e E q , temos: A o C q q q q V Ed d A o A o C d Capacitor cilíndrico Cálculo da capacitância de um capacitor cilíndrico. Onde L é o comprimento do capacitor, a é o raio menor (interno) e b o raio maior (externo). Temos: b Vb Va E.ds a b b a a V Eds V Edr Como q o EA , onde A é a área da superfície lateral do capacitor e vale A 2 rL . Então: q o E 2 rL E b q q , com isso o potencial entre as placas, fica: V dr 2 rL o 2 rL a o Integrando, temos: q 1 q b V dr ln o 2 L a r o 2 L a b como : C q V C q q b ln o 2 L a o 2 L b ln a Capacitor esférico Um tipo de capacitor que é bastante estudado é o capacitor esférico, muito usado em laboratórios que trabalham com diferença de potencial muito alta, que chegam a centenas de milhares de volts. Os laboratórios que trabalham com esse tipo de equipamento, ou seja, utilizam máquinas eletrostáticas (como por exemplo, o gerador de Van de Graaf), empregam esse tipo de capacitor com a intenção de obter tensões altíssimas. Sua capacitância é: C 4 o ab , onde a e b são os raios internos e externos do capacitor esférico. ba Capacitância de um condutor esférico isolado de raio R. b 4 o 1 C 4 o 4 o a ba 1 1 ab a b 0 a raio esfera ( R ), temos : C 4 o R como : 4 o 1 k 1 R esfera isolada C Ko EXERCÍCIO 49. Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio 8,2 cm e separação 1,3 mm. (a) Calcule sua capacitância. (b) Que carga aparecerá sobre as placas se a diferença de potencial aplicada for de 120 V? R: a) 1,44x10-10 F ; b) 1,72 x 10-8 C 50. Sejam duas placas metálicas planas, cada uma de área 1,00 m2, com as quais desejamos construir um capacitor de placas paralelas. Para obtermos uma capacitância de 1,00 F, qual deverá ser a separação entre as placas? Será possível construirmos tal capacitor? R: 8,85x10-12 m 51. Duas placas paralelas de folha de alumínio têm uma separação de 1,0 mm, uma capacitância de 10 pF e estão carregadas a 12 V. (a) Calcule a área da placa. Mantendo-se a carga constante, diminuímos a separação entre as placas de 0,10 mm. (b) Qual é a nova capacitância? (c) De quanto varia a diferença de potencial? R: a) 1,13x10-3 m2 ; b) 1,11x10-11 F ; c) 1,19 V 52. As placas de um capacitor esférico têm raios de 30 nm e 40 nm. (a) Calcular a capacitância deste capacitor. (b) Qual deve ser a área de um capacitor de placas paralelas que tem a mesma separação entre as placas e mesma capacitância do capacitor do item (a). 53. Uma gota esférica de mercúrio de raio R tem uma capacitância dada por C. Se duas destas gotas se combinarem para formar uma única gota maior, qual será a sua capacitância? R: 3 2 C Associação de capacitores em série Numa associação de capacitores em série, a placa negativa de um capacitor está ligada à placa positiva do seguinte. Sendo que, se uma diferença de potencial V for aplicada em uma associação de capacitores em série, a carga q armazenada é a mesma em cada capacitor da associação e a soma das diferenças de potencial aplicada a cada capacitor é igual à diferença de potencial V aplicada na associação. Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga q e a mesma diferença de potencial V aplicada à associação. Para três capacitores em série temos que: VT V1 V2 V3 qT q1 q2 q3 CT C1 C2 C3 série : q1 q2 q3 qT 1 1 1 1 CT C1 C2 C3 Temos que: Todos os capacitores estão carregados com a mesma carga. A diferença de potencial V AB é igual à soma das voltagens de cada capacitor. Este resultado pode ser generalizado para n capacitores N 1 1 CT i 1 Ci Associação de capacitores em paralelo Numa associação de capacitores em paralelo, todas as armaduras positivas estão ligadas a um mesmo ponto, assim como todas as negativas estão ligadas a outro ponto comum. Quando uma diferença de potencial V é aplicada em uma associação de capacitores em paralelo, a diferença de potencial V é a mesma entre as placas de cada capacitor, e a carga total q armazenada na associação é a soma das cargas armazenadas em cada capacitor. Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga total q e a mesma diferença de potencial V aplicada à associação. Para três capacitores em paralelo temos que: qT q1 q2 q3 CTVT C1V1 C2V2 C3V3 paralelo : V1 V2 V3 VT CT C1 C2 C3 Temos que: A voltagem é a mesma em todos os capacitores. A carga armazenada no capacitor equivalente é igual à soma das cargas de cada capacitor. Este resultado pode ser generalizado para n capacitores N C T Ci i 1 Energia potencial elétrica armazenada por um capacitor Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor. O trabalho necessário para carregar o capacitor é armazenado na forma de energia potencial, U, no capacitor, sendo que, esta energia pode ser recuperada, descarregando-se o capacitor em um circuito. A energia potencial de um capacitor carregado pode ser considerada armazenada no campo elétrico entre suas placas. Vamos determinar a expressão para calcular esta energia Tomemos um capacitor com uma carga inicial q ' V ' q' C E queremos colocar mais carga nesse capacitor. Para isso precisamos realizar trabalho, ou seja, ligar uma bateria, por exemplo, para fazer isso. Então: 1 U CV 2 2 Cálculo da densidade de energia, energia potencial por unidade de volume no espaço entre as placas, para um capacitor de placas paralelas: 1 u oE2 2 Onde: u é a densidade volumétrica de energia. Embora esta relação tenha sido deduzida para o caso particular de um capacitor de placas paralelas, ela se aplica a qualquer campo elétrico. EXERCÍCIO 54. Quantos capacitores de 1 μF devem ser ligados em paralelo para acumularem uma carga de 1 C na associação? Considere que a ddp aplicada à associação seja de 110 V. R: 9090 55. Para a associação representada na figura abaixo, considerando C1 = 10,0 F, C2 = 5,00 F, C3 = 4,00 F e V = 100 V determine (a) a capacitância equivalente. (b) a carga, (c) a diferença de potencial e (d) a energia armazenada para cada capacitor. R: (a) 7,33 F; (b) q1 = q2 = 3,33x10-4C, q3 = 4x10-4C; (c) V1 = 33,3V, V2=66,7V, V3=100V; (d) U1 = 5,54x10-3 J, U2 = 1,11x10-2 J, U3 = 2x10-2 J. 56. Para a associação representada na figura abaixo, considerando C 1 = 10,0 F, C2 = 5,00 F, C3 = 4,00 F e V = 100 V determine (a) a capacitância equivalente, (b) a carga, (c) a diferença de potencial e (d) a energia armazenada para cada capacitor. R: (a) 3,16 μF; (b) q1 = 2,11x10-4 C, q2 = 1,05x10-4 C, q3 = 3,16x10-4 C; (c) V1 = V2 = 21V, V3 = 79V; (d) U1 = 2,2x10-3 J, U2 = 1,1x10-3 J, U3 = 1,25x10-2 J. 57. Um capacitor de capacitância C1 = 6,00 F é ligado em série com outro de capacitância C2 = 4,00 F e uma diferença de potencial de 200 V é aplicada através do par. (a) Calcule a capacitância equivalente da associação. (b) Qual é a carga sobre cada capacitor? (c) Qual é a diferença de potencial através de cada capacitor? R: a) 2,4F ; b) Q1 = Q2 = 4,8x10-4C ; c) V1 = 80V e V2 = 120V 58. Um capacitor de capacitância C1 = 6,00 F é ligado em paralelo com outro de capacitância C 2 = 4,00 F e uma diferença de potencial de 200 V é aplicada através do par. (a) Calcule a capacitância equivalente da associação. (b) Qual é a carga sobre cada capacitor? (c) Qual é a diferença de potencial através de cada capacitor? R: a) 10F ; b) Q1 = 1,2x10-3C e Q2 = 8x10-4 C ; c) V1 = V2 = 200V 59. Um capacitor de 100 pF é carregado sob uma diferença de potencial de 50 V e a bateria que o carrega é retirada. O capacitor é, então, ligado em paralelo com um segundo capacitor, inicialmente descarregado. Sabendo-se que a diferença de potencial da associação passa a ser de 35 V, determine a capacitância deste segundo capacitor. R: a) 43 pF 60. A figura abaixo mostra dois capacitores em série, cuja seção central, de comprimento b, pode ser deslocada verticalmente. Mostre que a capacitância equivalente dessa combinação em série é independente da posição da seção central e é dada por C 0 A ab 61. Dois capacitores, de capacitâncias C1 = 2 μF e C2 = 4 μF, são ligados em paralelo através de uma diferença de potencial de 300 V. Calcular a energia total armazenada nos capacitores. R: a) 0,27 J Capacitores com um Dielétrico Se o espaço entre as placas de um capacitor for completamente preenchido com um material dielétrico, a capacitância do capacitor aumenta de um fator k, chamado de constante dielétrica, que é característica do material. Em uma região que está completamente preenchido por um dielétrico, todas as equações eletrostáticas que contém 0 (constante de permissividade no vácuo) devem ser modificadas, substituindo-se 0 por k 0 . Para o vácuo a constante dielétrica assume o valor 1, enquanto que para o ar ela é apenas ligeiramente maior, 1,0006 sob condições padrões. O aumento da capacitância com a introdução de um dielétrico entre as placas do capacitor foi descoberto por Michey Faraday em 1837. O uso de um dielétrico em um capacitor apresenta uma série de vantagens. A mais simples destas é que as placas condutoras podem ser colocadas muito próximas sem o risco de elas entrarem em contato. Além disto, qualquer substância submetida a um campo elétrico muito alto pode se ionizar e se tornar um condutor. Os dielétricos são mais resistentes à ionização que o ar, deste modo um capacitor contendo um dielétrico pode ser submetido a uma tensão mais elevada. Qual a nova capacitância ( C’ ) devido ao uso do dielétrico entre as placas? O dielétrico enfraquece o campo (devido ao campo induzido no dielétrico) e com isso a capacitância aumenta. A nova capacitância será: C ' KCar Onde: K é a constante dielétrica do meio e Car a capacitância com o ar ou vácuo. EXERCÍCIO 62. Um capacitor de placas paralelas com ar entre as placas, possui uma capacitância de 1,3 pF. A separação entre as placas é duplicada e introduz-se cera entre elas. A nova capacitância é igual a 2,6 pF. Determine a constante dielétrica da cera. R: 4 63. Um capacitor de placas paralelas, preenchido com ar entre elas, possui capacitância de 50 pF. (a) Se cada uma de suas placas possuir uma área de 0,35 m2, qual a separação entre as placas? (b) Se a região entre as placas for agora preenchida com um material tendo k = 5,6, qual a nova capacitância? R: a) 6,2 cm ; b) 280 pF 64. Uma certa substância tem uma constante dielétrica de 2,8 e uma rigidez dielétrica de 18 MV/m. Se esta substância for usada como dielétrico de um capacitor da placas paralelas, qual deverá ser, no mínimo, a área das placas do capacitor para que a capacitância seja 0, 07 μF e o capacitor suporte uma diferença de potencial de 4 kV? R: 0,63 m2
