ExercícioVI - Conjunto solução e valor de verdade

Introdução
NOTA: Este material foi preparado utilizando o livro “Lógica Elementar”, de Benson Mates, e o material “Lições de
lógica” da Profa. Anbréa Loparic, além de notas de aula dos seus cursos. Trata-se somente de um material que pode
servir de auxílio para o curso de Lógica 1 e que vem sendo ligeiramente alterado, mas que não foi elaborado com o
rigor e o cuidado de um texto acabado.
Porto Alegre, 20061.
Sílvia Altmann
1. Introdução - Noções Lógicas
Sentença ou proposição: Expressão que pode ser verdadeira ou falsa.
Por exemplo:
Várias bombas explodiram ao mesmo tempo em Madrid em 2004.
Lula é o presidente do Brasil em 2005.
Valor de verdade: Dizer que uma sentença é algo verdadeiro ou falso é dizer que ela tem valor de verdade. Assim, ter valor de
verdade não significa ser verdadeira. Tanto o verdadeiro quanto o falso são valores de verdade possíveis para uma sentença.
Por exemplo,
"O Brasil é uma república" tem o valor de verdade verdadeiro;
"O Brasil é parlamentarista" tem o valor de verdade falso.
Argumento: Conjunto de afirmações onde se pretende oferecer certas proposições ou sentenças como base para a afirmação de
outras.
Exemplos:
1) O ataques em Madrid em 2004 foram obra do ETA, já que os explosivos são do mesmo tipo dos usados pelo ETA.
2) Como o ETA não costuma fazer ataques orquestrados e costuma avisar sobre atentados em locais públicos, dado
que várias bombas explodiram ao mesmo tempo em Madrid em 2004 e não houve aviso prévio ao atentado, ele não foi
responsável pelos ataques de 2004.
Premissas e conclusão: As afirmações que servem de apoio são chamadas de premissas, ao passo que a afirmação que se
pretende seja sustentada pelas premissas é chamada de conclusão.
Podemos rescrever os argumentos explicitando o que é premissa e o que é conclusão. Por exemplo:
Pr. 1: O ETA não costuma fazer ataques orquestrados e costuma avisar sobre atentados em locais públicos.
Pr. 2: Várias bombas explodiram ao mesmo tempo.
Pr. 3: Não houve aviso prévio.
Conclusão: Logo, o ETA não foi o responsável pelos ataques.
Observe que algo pode ser apresentado como conclusão de um argumento mesmo que não se trate de uma conclusão legítima
do argumento, isto é, mesmo que a conclusão não se siga das premissas.
Exercício I – Reconhecimento de argumentos
Validade ou legitimidade de argumentos:
Um argumento é legítimo ou válido se for impossível que suas premissas sejam verdadeiras e sua conclusão, falsa – ou seja, se,
caso as premissas fossem verdadeiras (não importa se o são ou não), então a conclusão não poderia ser falsa.
Relação de conseqüência lógica entre proposições:
Uma proposição p é conseqüência lógica de uma proposição q (ou conjunto de proposições ) se for impossível que essa
proposição p seja falsa caso a proposição q (ou todas as do conjunto ) seja verdadeira.
(Assim, num argumento válido, a conclusão é conseqüência lógica da premissas.)
Contra-exemplo:
Raciocínio da mesma forma de um certo argumento no qual fica evidente que o argumento em questão não é válido.
Lógica I - 2005
1
Introdução
Contradição e proposições contraditórias
Uma proposição é uma contradição (ou uma falsidade lógica) se é impossível que ela seja verdadeira. Por exemplo: "Tenho em
casa um quadrado redondo de decoração".
Duas proposições são contraditórias se uma implica a negação da outra – o que é o mesmo que dizer que duas proposições são
contraditórias se não podem ambas ser verdadeiras ao mesmo tempo.
Conjunto de proposições inconsistente
Um conjunto de proposições é inconsistente se for impossível que todas as proposições sejam verdadeiras.
Conjunto consistente
Um conjunto é consistente se é possível que todas as suas proposições sejam conjuntamente verdadeiras.
Verdade lógica
Uma proposição é uma verdade lógica ou uma verdade analítica ou uma proposição válida se for impossível que ela seja falsa.
Por exemplo: "Chove ou não chove".
Exercício II - Definições
1. Introdução – Lógica formal
Expressões para forma e expressões para conteúdo
Podemos, grosso modo, falar de expressões na linguagem ordinária que servem para marcar um conteúdo (aquilo de
que estamos falando) por contraposição a expressões de outro tipo que podemos chamar, frouxamente, de expressões para a
"forma".
Por exemplo, no seguinte argumento:
Pr. 1: Todos os homens são racionais.
Pr. 2: Alguns seres racionais são mulheres.
Pr. 3: Todas as mulheres loiras são burras.
Concl.: Ou algum ser racional não é loiro ou todos os seres racionais são burros.
Mesmo sem uma definição menos "frouxa", podemos dizer que expressões como "homens", "racionais", "mulheres",
"loiras", "burros" servem para designar um conteúdo, servem para designar do que estamos falando.
Já "todos", "alguns", "não", "ou" não funcionam assim. Digamos, por contraposição às expressões para conteúdo, que
elas servem para marcar uma "forma".
Argumento válido em função da forma
Consideremos agora o seguinte argumento:
Pr. 1: Bebês são ilógicos
Pr. 2: Ninguém que possa lidar com um crocodilo é desprezível.
Pr. 3: Pessoas ilógicas são desprezíveis.
Concl: Bebês não podem lidar com um crocodilo.
Percebemos que esse argumento é válido, isto é, que não é possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão,
falsa, seja lá o que for que as expressões para conteúdo designem.
Tanto é assim, que podemos substituir as expressões para conteúdo pelo que podemos chamar de letras esquemáticas
e representar a forma do argumento:
Pr. 1: Os As são Bs
Pr. 2: Ninguém que (tal e tal coisa) C é D – Nenhum C é D
Pr. 3: Os Bs são Ds.
Concl: Os As não são Cs.
Lógica I - 2005
2
Introdução
Percebemos que o que quer que coloquemos no lugar de A, B, C e D, teremos um argumento válido. Dizemos, então,
que esse é um argumento válido em função da forma.
Contra-exemplo:
Argumento com a mesma estrutura de um outro argumento mas que deixa evidente que é possível premissas verdadeiras e
conclusão falsa.
Por exemplo, consideremos o seguinte argumento:
Pr. 1: A maioria dos livros da biblioteca nunca foi lida.
Pr. 2: A maioria dos livros da biblioteca foi resenhada.
Concl.: A maioria dos livros da biblioteca foram resenhados sem terem sido lidos.
Não sabemos se as sentenças em questão são verdadeiras ou falsas, mas podemos representar a "forma" do argumento através
da seguinte estrutura:
Pr. 1: A maioria de A é B.
Pr. 2: A maioria de A é C.
Concl.: A maioria de A é B-C.
Suponha que tenha o seguinte desenho: um retângulo com 3 quadrados, dois preenchidos e um vazado e 2 círculos vazados:
Se substituímos A por "figuras nesse retângulo", B por "ser quadrado" e C por "ser vazado", percebemos a ilegitimidade do
argumento.
O argumento
Pr. 1: A maioria das figuras neste retângulo são quadrados.
Pr. 2: A maioria das figuras neste retângulo são vazadas.
Concl: A maioria das figuras neste retângulo são quadrados vazados.
é um contra-exemplo para o argumento sobre os livros, já que, por ter premissas verdadeiras e conclusão falsas, evidencia que
a forma do argumento em questão não é válida.
Exercício III – Forma lógica
Lógica I - 2005
3
1. Linguagem L
1. Linguagem L
1.1. Vocabulário de L:
Podemos, agora, começar a introduzir o vocabulário de uma linguagem artificial que funcionará como um instrumento para
estudar propriedade lógico-formais da linguagem.
Variáveis: letras minúsculas de u até z com ou sem um natural positivo como índice inferior. (Assim como as constantes
individuais, são chamadas de símbolos individuais.)
Ex.:
u, x, y, z.
u1, x1, y1, z1
u1, x2, y3, z4
...
Constantes individuais: letras minúsculas de a até t com ou sem um natural positivo como índice inferior. (Assim como as
variáveis, são chamadas de símbolos individuais.)
a, b, c, d,...,t
a1, b1, c1, d1,...,t1
a2, b2, c2, d2,...,t2
a3, b3, c3, d3,...,t3
...
Letras predicativas de grau n: Letras maiúsculas com inteiro positivo como índice superior (que indica o grau ou "aridade" da
letra) com ou sem índice inferior.
P1, Q1, R1,...
P11, Q11, R11,...
P21, Q21, R21,...
...
P2, Q2, R2,...
P12, Q12, R12,...
P22, Q22, R22,...
...
P3, Q3, R3,...
...
Letras sentenciais: Maiúsculas com ou sem índice inferior
P, Q, R, S, ...
P1, Q1, R1, S1, ...
P2, Q2, R2, S2, ...
P3, Q3, R3, S3, ...
...
Constantes lógicas:
conectivos unário e binários: , , , ,  (sinais para negação, conjunção, disjunção, implicação
ou condicional e bi-implicação ou equivalência.
quantificadores:  e  (quantificador universal e quantificador existencial)
símbolos de pontuação: ( )
1.2. Gramática de L:
Definição de Fórmula:
Fórmula atômica: Uma letra predicativa n-ária seguida de n-termos é uma fórmula atômica e uma letra sentencial é uma
fórmula atômica.
Fórmula molecular: Se  e  são fórmulas, , (), (), () e () são fórmulas.
Fórmula geral: Se  é uma fórmula e  é uma variável,  e  são fórmulas.
Nada mais é fórmula.
Exs.: R2ab
Lógica I - 2005
(PyR2ya)
x(F1z(PyR2ya))
4
1. Linguagem L
Árvore de geração de fórmula
Dada a definição de fórmula, temos que qualquer fórmula  é ou atômica (letra sentencial ou letra predicativa seguida
de n-termos) ou é o resultado da aplicação de ,  ou  (onde  é uma variável) a uma fórmula  ( é  ou  ou
) ou é o resultado da aplicação de um dos conectivos binários a duas fórmulas 1 e 2 ( é da forma (12) ou (12)
ou (12) ou (12)).
Podemos, então “desmontar” a fórmula em fórmulas mais simples através de uma árvore de geração de fórmulas:
Ex: ((R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
Para saber qual conectivo corresponde a cada parênteses podemos numerar os parânteses so seguinte modo. Leio a fórmula da
esquerda para a direita prestando atenção nos parênteses e nos conectivos binários. A fórmula começa abrindo um parênteses.
Começo numerando esse um:
((R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
1
Em seguida, outro aberto. Como o último aberto foi o 1, numero o seguinte como 2:
((R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
12
Ao encontrar um conectivo binário, numero-o como o último parênteses aberto:
((R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
12
2
Ao encontrar um parêntese que fecha, numero-o como último parênteses ainda aberto:
((R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
12
2
2
Ao encontrar um novo conectivo binário, numero-o como o último parênteses aberto:
((R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
12
2
2 1
Ao encontrar um novo parênteses que abre, numero-o com um número ainda não usado.
((R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
12
2
213
E assim por diante:
((R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
12
2
213 4
4
43
31
Como sabemos que a fórmula começa com o parênteses 1, sabemos que ela só pode ter, de cada lado desse conectivo, outras
fórmulas. Podemos então “desmanchá-la”:
((R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
12
2
213 4
4
43
31
/
\
(R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
De cada lado, temos novamente conectivos binários. Continuamos:
((R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
12
2
213 4
4
43
31
/
\
(R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
/
\
/
\
R2xy
xF1x x(F2xy  G1x) yR2yx
A primeira é uma fórmula atômica, não pode ter outra fórmula como parte dela.
A segunda é uma existencial. Ao x, deve-se seguir uma fórmula. Analogamente para as demais. Assim, podemos continuar:
((R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
12
2
213 4
4
43
31
/
\
(R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
/
\
/
\
2
1
2
1
2
R xy
xF x x(F xy  G x) yR yx
|
|
|
Lógica I - 2005
5
1. Linguagem L
F1x
(F2xy  G1x)
R2yx
A primeira e a última são atômicas. Com a segunda, podemos obter:
((R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
12
2
213 4
4
43
31
/
\
(R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
/
\
/
\
R2xy
xF1x x(F2xy  G1x) yR2yx
|
|
|
F1x
(F2xy  G1x)
R2yx
/
\
F2xy
G1x
Terminamos cada “galho” com uma fórmula atômica. Sempre que tratarmos de uma fórmula bem formada, poderemos adotar
esse procedimento.
Definição de ocorrência de variável livre e ligada: Dizemos que uma ocorrência de uma variável  numa fórmula  é ligada se
ela se dá numa subfórmula de  (parte de  que também é fórmula ou a própria ) da forma  ou . Se a ocorrência de
 em  não é ligada, ela se diz livre.
Exemplo: (x(F2xy  G1x)  yR2yx)
três primeiras ocorrências de x – ligadas
quarta ocorrência de x – livre
primeira ocorrência de y – livre
segunda e terceira ocorrências de y - ligadas
Podemos observar que uma árvore de geração pode ser útil para ver quais ocorrências são livres. Uma ocorrência de  só é
ligada se seguir-se imediatamente a um quantificador ou se a fórmula atômica da qual ela faz parte está num ramo onde algum
nó inicia como  ou . No exemplo:
((R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
lig
lig
lig
/
\
(R2xy  xF1x) (x(F2xy  G1x)  yR2yx))
/
\
/
\
R2xy
xF1x x(F2xy  G1x) yR2yx
liv liv
|
|
|
F1x (F2xy  G1x)
R2yx
lig
/
\
lig liv
F2xy G1x
lig liv
lig
Definição de fórmula aberta e de fórmula fechada (sentença): Uma fórmula que contém ocorrêncas de variáveis livres é dita
aberta. Se não contém ocorrências de variáveis livres, é uma sentença (fórmula fechada).
Definição de substituição: / é o resultado da substituição de todas as ocorrências livres da variável  pelo símbolo
individual .
Exs.:
F1x x/a é F1a
(x (R2xyQ2xy)S2xa)y/c = (x (R2xcQ2xc)S2xa)
Exercício IV – Reconhecimento de fórmulas
Lógica I - 2005
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2. Interpretação
2. Interpretação
Uma interpretação I consiste num conjunto não vazio de objetos (chamado de universo de I) e numa função para o
conjunto das constantes não-lógicas da linguagem L que associa, a cada constante individual, um objeto do universo, a cada
letra sentencial, V ou F e a cada letra predicativa n-ária uma relação n-ária. Isto é:
UI = conjunto não vazio
I(k) = atribuição de um objeto do universo para cada constante
I() = atribuição de V ou F para cada letra sentencial
I(n) = atribuição de uma relação n-ária para cada letra predicativa de carência n (ou, o que dá no mesmo, um conjunto de nuplas de objetos)
Exemplos:
UI = naturais
I(a) = 0, I(a1) = 1, I(a2) = 2, I(a3) = 3,...
para as demais constantes individuais, I(k) = 0
I(P) = V
I(Q) = F
I(R) = V
para as demais letras sentenciais, I() = V
I(P1) = conjunto dos pares
I(Q1) = conjunto dos primos
I(R1) = {4, 7, 8}
I(R2) = menor que
I(S2) = a metade de
I(T2) = {(24,5), (6,7)}
I(P3) = função soma = {(0,0,0); (0,1,1); (0,2,2),...
(1,0,1); (1,1,2); (1,2,3),...
(2,0,2); (2,1,3); (2,2,4),...
:
}
para as demais letras para predicados, I(n) = projeção do primeiro
UI = conjunto dos seres humanos
I(a) = Maria
I(b) = João
I(c) = Pedro
I(a3) = Clara
para as demais constantes individuais, I(k) = Clara
I(P) = F
I(Q) = V
I(R) = V
I(S) = F
para as demais letras sentenciais, I() = V
I(P1) = conjunto das mulheres
I(Q1) = conjunto dos solteiros
I(R1) = {João, Clara e Maria}
I(R2) = ser filho de
I(S2) = ser casado com
I (P3) = ser filho de ... e ...
para as demais letras para predicados, I(n) = projeção do primeiro
Essa definição de interpretação permitirá, mais adiante, fazer com que as constantes individuas sirvam para identificar objetos
de um universo dos objetos dos quais tratamos e e as letras sentenciais como "substitutos" de sentenças, de algo que é
verdadeiro ou falso. Vejamos o que ocorre com as letras predicativas:
Tomemos, em primeiro lugar, por exemplo, sentenças como "2 é par" e "Pedro é solteiro".
Uma interpretação pode fazer com que uma letra individual sirva para designar um objeto do universo. Nos exemplos acima,
I(a2) = 2 e I(c) = Pedro.
Lógica I - 2005
7
2. Interpretação
O que significa dizer que 2 é par e que Pedro é solteiro
Significa atribuir a propriedade de "ser filósofo" a Sócrates. Mas o que faz uma propriedade Uma propriedade serve para
distinguir indivíduos de outros indivíduos: há coisas que são marrons e coisas que são verdes. Há coisas que são solteiras e
coisas que não são, há números que são pares e números que não são. Quando digo que 2 é par, digo que ele faz parte de um
conjunto, do conjunto dos números pares. Quando digo que Pedro é solteiro, digo que ele faz parte do conjunto das pessoas
solteiras.
Assim, é por isso que interpretamos letras predicativas unárias como conjuntos de objetos.
De modo análogo, consideremos agora as relações. Por exemplo, "1 é menor que 2" e "Maria é casada com João."
1 e estão na relação "menor que"
Maria e Pedro estão na relação "ser casado com".
Percebam que, assim como "ser par" e "ser solteiro" deixam um lugar em aberto, "ser menor que" e "ser casado com" deixa
dois. O que pode entrar ou não nos espaços em branco são, não objetos, mas pares de objetos. São pares de objetos que podem
ou não estar na relação "menor que" e na relação "casado com".
Assim, como 1 é menor que 2, podemos dizer que o par (1,2) pertence ao conjunto dos pares de objetos tais que o primeiro é
menor que o segundo.
Como Maria é casada com João, podemos dizer que o par (Maria, João) está na relação "casada com"
É por isso que interpretamos letras predicativas binárias por conjuntos de pares de objetos.
Ao invés de, para I(R2) =, escrever "relação menor que", poderia escrever o conjunto infinito
{(0,1), (0,2), (0,3),...
(1,2), (1,3), (1,4),...
(2,3), (2, 4),...
:
}
Ao invés de, para I(S2) =, escrever "ser casado com", poderia listar os casais.
O mesmo vale para predicados unários. Poderia, por exemplo, listar os pares ou os solteiros.
Vemos, então, que, com a definição de interpretação, aproximamos as constantes individuais de nomes para objetos e as letras
predicativas de predicados.
Com as definições de interpretação e de sentença, já vistas, mais a definição de verdade que veremos mais adiante, poderemos
fazer com que combinações de constantes e letras predicativas sirvam para expressar, por exemplo, "2 é par". Antes disso,
contudo, vejamos como definição fórmula aberta mais a interpretação de letras predicativas num universo de interpretação
permite expressar predicados mais complexos. Para isso, devemos introduzir uma nova definição.
Definição de I' k-variante de I: Uma I' k-variante de I é uma interpretação que difere de I por, no máximo, o objeto atribuído a
I'(k).
Exercício V - Interpretação
Lógica I - 2005
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3. Definição de verdade e satifação para fórmulas atômicas
3. Definição de verdade e satisfação para fórmulas atômicas
3.1. Definição de verdade para sentenças atômicas
Antes de introduzir a definição de verdade, vejamos intuitivamente onde vamos querer chegar.
P1a:
Tomemos, em primeiro lugar, sentenças atômicas, do tipo "P 1a", por exemplo.
"P1a" servirá para expressar que o indivíduo designado por "a" pertence ao conjunto determinado por "P 1".
Assim, queremos que "P1a" seja verdadeira se o indivíduo designado por "a" pertencer ao conjunto determinado por "P 1".
Ocorre que só uma interpretação associa indivíduos a constantes individuais e a letras predicativas. Logo, o valor de verdade
pode variar conforme a interpretação.
Daí que o que definimos é sempre um vI, um valor de verdade em uma interpretação I.
Voltando a "P1a", queremos, então, que seja verdadeira se o que o indivíduo que a interpretação associa a "a" pertencer ao
conjunto que a interpretação associa a "P 1":
vI(P1a) = V sse I(a)I(P1)
De modo análogo, consideremos agora as relações. Dissemos, ao comentar a atribuição de "conjuntos de pares" a símbolos
binários que, se digo que a está numa relação R2 com b, então posso dizer que o par formado por a e b está no conjunto dos
pares que estão na relação R2.
Por exemplo, num universo formado por países e cidades, posso dizer que Brasília é a capital do Brasil se uma interpretação
atribuir a, por exemplo "a", Brasília, Brasil a, por exemplo "b" e a "R 2" "ser a capital de"
Desse modo, "R2ab" (Brasília é a capital do Brasil) será verdadeira em I se somente se o par "Brasília, Brasil" pertencer ao
conjunto de pares onde o primeiro elemento é capital do segundo, se e somente se o que é designado por "a" (Brasília) e o que
é designado por "b" (Brasil) pertencerem à relação binária associada a "R 2" (ser a capital de):
vI(P2ab) = V sse [I(a),I(b)]I(P2)
De modo geral, poderemos dizer que
(i)
vI(nk1,…,kn) = V sse I(k1),…I(kn)I(n)
P:
O outro tipo de sentença atômica a ser consideradas são as letras sentenciais. Elas são introduzidas para representar algo que é
verdadeiro ou falso. Daí que tudo que a interpretação faça seja indicar um valor de verdade e, naturalmente, a letra será
verdadeira se e somente se a interpretação assim o determinar:
(ii)
vI() = I()
Vemos que a definição de verdade se aplica somente a sentences. Que papel pode ter uma fórmula atômica aberta
3.2. Satisfação e conjunto solução para fórmulas atômicas abertas
Tomemos o seguinte exemplo:
P 1x
Dizemos que essa fórmula é satisfeita numa interpretação I pelos objetos de U I que estão em I(P1).
Observe que essa definição pode ser dada em função da definição de verdade: um objeto de UI satisfaz P1x (pertence ao
conjunto solução em I de P1x) se e somente se vI'(P1a) = V para uma I' a-variante de I onde a nomeia esse objeto.
Nos exemplos de I acima, temos que o conjunto dos objetos que satisfazem P 1x (conjunto solução de P1x) são
CSI [P1x] =
cjto dos partes ou {0, 2, 4, 6, 8, 10,...}
CSI [P1x] = cjto das mulheres
Tomemos agora uma fórmula com com 2 variáveis livres:
R2xy
Lógica I - 2005
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3. Definição de verdade e satifação para fórmulas atômicas
O CS para essa fórmula será não um conjunto de objetos do universo de interpretação, mas um conjunto de pares de objetos.
CSI[R2xy] =
{(0,1), (0,2), (0,3),...
(1,2), (1,3), (1,4),...
(2,3), (2, 4),...
:
} = conjunto dos pares de objetos onde o primeiro é menor que o segundo.
Para três variáveis livres, teríamos como conjunto solução um conjunto de tríades de objetos. De um modo geral, uma fórmula
com n variáveis livres terá como conjunto solução um conjunto de n-uplas.
Até aqui, o conjunto solução era sempre idêntico ao que a interpretação associa à letra predicativa em questão.
Vejamos o que ocorre com o seguinte exemplo:
R2xa3
Diremos que essa fórmula é satisfeita pelos objetos cuja imagem em I(R 2) é o objeto I(a3). Assim,
CSI[R2xa3] = {0, 1, 2}
Em I:
CSI [R2xa3] = conjunto dos filhos de Clara
Vejamos agora a seguinte fórmula:
P3xya3
Dizemos que esta fórmula será satisfeita por aqueles pares de objetos U I que formam o começo de uma tríade em I(P 3) que
termina com I(a3). Isto é,
CSI[P3xya3] = conjunto dos objetos cuja soma é três = {(0,3), (3,0), (1,2), (2,1)}
Em I:
CSI[P3xya3] = conjunto dos pares formados por cada um dos filhos de Clara e seu pai
Podemos dar uma definição de satisfação e de conjunto solução utilizando a definição de verdade (de modo análogo ao que
indicamos acima) ou dar uma definição de satisfação independente da definição de verdade.
Satisfação para fórmulas atômicas:
Seja I uma interpretação
Seja sI uma função que associa um objeto de UI a cada variável – sI()
Para cada constante individual k, seja sI(k) = I(k).
Seja  uma fórmula atômica -  é ou  ou n1,...,n
Se  é , sI satisfaz  sse I() = V.
Se  é n1,...,n, sI satisfaz  se e somente se a n-upla sI(1),...sI(n) pertence a I(n).
Conjunto-solução para fórmulas abertas:
Seja  uma fórmula atômica aberta.
Sejam 1,...,n as variáveis livres de 
O conjunto solução de  CSI() é formado pelas n-uplas sI(1),...,sI(n) onde sI satisfaz .
ExercícioVI - Conjunto solução e valor de verdade (fórmulas atômicas)
Lógica I - 2005
10
4. Definição de verdade para fórmulas complexas
4. Definição de verdade para sentenças complexas:
4.1. Conectivo unário:
(iii) vI[()] = V sse vI[]=F
4.2. Conectivos binarios:
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
vI[()] = V sse vI[]=V e vI[] = V
vI[()] = V sse vI[]=V ou vI[] = V
vI[()] = V sse vI[]=F ou vI[] = V
vI[()] = V sse vI[] = vI[]
Exemplos:
vI[(R2abQ1a)] = V sse vI[R2ab]=V e vI[Q1a] = V.
vI[((PR2aa)M2ba)] = V sse vI[(PR2aa)]=F ou vI[M2ba] = V
4.3. Quantificadores:
Com uma sentença como xP1x, queremos expressar algo como P 1a, mas não somente para o objeto a, mas para qualquer
objeto do universo.
Se tivéssemos, na interpretação, nomes para todos os objetos, poderíamos dizer que xP1x é V sse P1_ é V seja qual for a
constante que coloco no lugar de _
Como podemos ter objetos não nomeados no universo, a solução é tomar P 1a e fazer o significado de a variar por todos os
objetos do universo.
Ou seja, mantenho tudo igual na interpretação, mas vario o significado de a. Isto é, tomo uma I' a-variante.
Nem sempre a constante a serve. Exemplo: xR2xa. Se tomar R2aa, terei condições para xR2xx, não xR2xa. Por isso,
devemos pegar uma constante nova.
Chegamos à definição:
(viii)

vI[] = V sse vI'[k] = V para toda I' k-variante de I onde k é a primeira constante individual que não ocorre em
É fácil ver como isso resolve também o problema para :
(ix)
em 
vI[] = V sse vI'[k] = V para alguma I' k-variante de I onde k é a primeira constante individual que não ocorre
Juntando definições para cada caso, damos um valor de verdade a qualquer sentença, por mais complicada que seja.
Exemplo: x(R2xaQ1xy)
vI[x(R2xaQ1x)] = V sse para toda I' b-variante de I, vI'[(R2baQ1b)] = V
isso ocorre sse para toda I' b-variante de I, vI'[R2ba] = V e vI'[Q1b] = V
isto é, sse para toda I' b-variante de I, vI'[R2ba] = V e vI'[Q1b] = F
Com isso, conseguimos com que os conectivos e quantificadores se comportem de modo análogo (até que ponto a analogia é
fiel não cabe discutir aqui) a certas expressões da linguagem natural: (AB) é verdadeira se e somente se A e B são
verdadeiros. x(F1xG1x) poderá expressar que tudo o que é F é G.
Exercício VII – Valor de verdade de fórmulas não atômincas (parcial)
Lógica I - 2005
11
5. Tradução (1a parte)
5. Tradução (parte 1)
Utilizando as definições de interpretação e verdade, podemos fazer com que as sentenças da linguagem L sirvam para
expressar a afirmação de certas propriedades ou relações entre objetos dos objetos de um universo de interpretação. Podemos,
com base na definição de verdade e, dada uma interpretação particular, "traduzir" sentenças da linguagem ordinárias para a
linguagem formal e vice-versa.
Vejamos alguns exemplos.
Seja I a seguinte interpretação:
UI = {0, 1, 2, ...}
I(F1) = pares
I(G1) = primos
I(R2) = relação menor que
I(M2) = relação divisível por
I(a) = 0
I (b) = 5
I(c ) = 2
I(d) = 1
para qualquer natural n, I(en) = n
Exemplos de sentenças, verdadeiras e falsas, na linguagem natural e traduzidas para linguagem lógica, segundo esta I.
Consideremos a sentença
1) F1c
Segundo a definição de verdade, ela será verdadeira em uma interpretação I se e somente se o objeto que I associa a c
estiver no conjunto que I associa a F1.
Na interpretação do nosso exemplo, o objeto associado a c é 2 e o conjunto associado a F 1 é o conjunto dos pares.
Assim, a sentença F1c será verdadeira se e somente se 2 for par. Ou seja, F 1c serve, nessa interpretação em questão,
para expressar que 2 é par.
2) G1a: exercício
3) R2db: exercício
Já R2db será verdadeira se e somente se a dupla de objetos representados em I por d e b estiver no conjunto de duplas
associado por I a R2.
R2 representa o conjunto de duplas de números onde o primeiro é menor que o segundo. Logo, ela será verdadeira
nessa I em questão se e somente se o objeto representado por d for menor que o representado por d. Como I associa d a 1 e b a
5, a sentença expressa
1 é menor que 5
4) R2bc : : exercício
Se consideramos a definição de verdade para uma sentença que é uma negação, vemos que ela será verdadeira se e
somente se a negada for falsa.
5)  F1c:
Ora, já havíamos visto que F1c expressava, na interpretação em questão, que 2 é par. Logo, F1c expressa que
2 não é par
ou
2 é ímpar
Podemos fazer um racicínio análogo para os demais conectivos:
6) ( F1c  G1c ) : exercício
7) (F1d  R2 cb) : exercício
8) (G1c  R2dc) : exercício
9) (R2cd  R2dc) : exercício
Vejamos, por fim, o que acontece com algumas sentenças gerais simples.
10) x G1x
Lógica I - 2005
12
5. Tradução (1a parte)
Segundo a definição de verdade, essa sentença será verdadeira na interpretação I se e somente se a sentença G 1a for
verdadeira para toda I' a-variante de I, ou seja, se e somente se G1a for verdadeira seja qual for o objeto do universo que a
nomeie.
Assim, ela será verdadeira se e somente se todos os objetos do universo forem G 1.
Na intepretação em questão, isso significa que ela será verdadeira se e somente se tudos os números naturais forem
primos.
Portanto, ela expressa que
Todos os naturais são primos
11) x R1xa: exercício
12) x F1x: exercício
Exemplo 2:
Observe que a "tradução" só pode ser dada com uma dada interpretação. Com uma interpretação diferente, as mesmas
sentenças podem expressar afirmações diferentes.
Seja I a seguinte interpretação:
UI = conjunto dos seres humanos1
I(a) = Ana
I(b) = João
I(c) = André
I(F1) = conjunto dos brasileiros
I(G1) = conjunto das mulheres
I(P2) = relação ser pai de
I(M2) = relação ser mãe de
I(Q1) = conjunto dos pais
I(R2) = relação ser casado com
I(S2) = relação ser mais velho que
I(I2) = relação ser o irmão de
I(A2) = relação ser amigo de
I(d) = Márcia
13) F1c
Segundo a definição de verdade, ela será verdadeira em uma interpretação I se e somente se o objeto que I associa a c
estiver no conjunto que I associa a F1.
Na interpretação desse nosso segundo exemplo, o objeto associado a c é André e o conjunto associado a F 1 é o
conjunto dos brasileiros.
Assim, a sentença F1c será verdadeira se e somente se André for brasileiro. Assim, F 1c serve, nessa segunda
interpretação, para expressar que André é brasileiro.
14) G1a : exercício
15) R2db
Já R2db será verdadeira se e somente se a dupla de objetos representados em I por d e b estiver no conjunto de duplas
associado por I a R2.
R2 representa o conjunto de duplas de pessoas uma casada com a outra. Logo, ela será verdadeira nessa I em questão
se e somente se o objeto representado por d for casado com o representado por d. Como I associa d a Márica e b a João, a
sentença expressa
Márcia é casada com João
16) S2bc : exercício
Se consideramos a definição de verdade para uma sentença que é uma negação, vemos que ela será verdadeira se e
somente se a negada for falsa.
17)  F1c
É importante observar que, rigorosamente falando, não é possível caracterizar o universo desta maneira – este conjunto não é
um conjunto bem determinado - não é claro, por exemplo, se são todos os seres humanos que existem agora e os que já
existiram ou ainda estão por nascer. Também não é claro qual o ancestral mais antigo que deve contar como ser humano.
Como exercício, contudo, e ignorando os casos limites, é possível pensar em traduções neste universo.
1
Lógica I - 2005
13
5. Tradução (1a parte)
que
Ora, já havíamos visto que F1c expressava, na interpretação em questão, que André é brasileiro. Logo, F1c expressa
André não é brasileiro
ou
André é estrangeiro
18) ( F1c  G1c ) : exercício
19) (F1d  R2 cb) : exercício
20) (G1c  R2dc) : exercício
21) (R2cd  R2dc) : exercício
Vejamos, por fim, o que acontece com algumas sentenças gerais simples na nova interpretação.
22) x G1x
Segundo a definição de verdade, essa sentença será verdadeira na interpretação I se e somente se a sentença G 1a for
verdadeira para toda I' a-variante de I, ou seja, se e somente se G1a for verdadeira seja qual for o objeto do universo que a
nomeie.
Assim, ela será verdadeira se e somente se todos os objetos do universo forem G 1.
Na intepretação em questão, isso significa que ela será verdadeira se e somente se tudas as pessoas forem mulheres.
Portanto, ela expressa que
Todos são mulheres
23) x R1xa : exercício
24) x F1x : exercício
Exercício VIII - Tradução (1a parte)
Lógica I - 2005
14
6. Cálculo proposicional
6. Cálculo proposicional
6.1. Introdução
A linguagem L introduzida acima é uma linguagem do chamado Cálculo de Predicados de Primeira Ordem. No
entanto, uma parte das relações lógicas que queremos estudar pode ser tratada com um cálculo mais simples (parte do Cálculo
de Predicados) e que será estudado primeiro: o chamado Cálculo Proposicional ou Cálculo Sentencial. É para esse cálculo que
serão especialmente úteis as letras sentenciais, que até agora não pareceram particularmente expressivas.
No Cálculo Proposicional, trataremos de relações lógicas entre proposições que se devem exclusivamente ao fato de
utilizamos expressões lógicas que combinam proposições entre si, seja qual for a estrutura interna dessas proposições.
Tomemos o seguinte exemplo:
Pr. 1: Ou você come o bolo agora ou você guarda o bolo.
Pr. 2: Se você guardar o bolo, então ficará com fome.
Pr. 3: Se você comer o bolo, então não poderá comer o bolo mais tarde.
Concl: Logo, ou você ficará com fome ou não poderá comer o bolo mais tarde.
Podemos perceber que esse é um argumento válido simplesmente considerando "em bloco" as seguintes proposições:
"Você come o bolo agora"
"Você guarda o bolo"
"Você ficará com fome"
"Você poderá comer o bolo mais tarde"
Em suma, tudo que importa para perceber a validade do argumento é que cada uma das expressões acima é algo que
pode ser verdadeiro ou falso. Daí a utilidade de dispor, na linguagem L, de símbolos que "substituam" "proposições como um
todo". Podemos representar a estrutura do argumento acima do seguinte modo:
Pr. 1: ( P  Q )
Pr. 2: ( P  R )
Pr. 3: ( Q   S )
Concl: ( R   S )
Basta utilizar as cláusulas da definição de verdade relativas aos conectivos para perceber as relações lógicas relevantes aqui.
Ora, essas relações lógicas vigem não só os conectivos ligam letras sentencias, mas quando eles ligam quaisquer
sentenças da linguagem L.
Tomemos as seguintes sentenças:
1: (xR2ax  x(F1xG1x))
2: xR2ax
3: (F1a x(F1xG1x))
4: F1a
5: G1a
Suponha agora que eu quisesse provar que 4 é conseqüência de {1,2,3}, isto é, que 4 não pode falsa quando
1, 2 e 3 forem verdadeiras.
Percebemos que, para mostrar essa impossibilidade, não é importante a estrutura interna de F 1a, de xR2ax e
1
x(F xG1x); não é importante, por exemplo, que F1a sirva para expressar a atribuição de uma propriedade a um objeto.
A única coisa importante foi o modo como sentenças mais simples são combinadas em sentenças mais complexas.
Isso fica visível se substituímos essas sentenças mais simples por letras sentenciais:
1: (A  B)
2: A
3: (C B)
4: C
Quando uma sentença 4 de L é conseqüência {1, 2, 3} de um conjunto e essa conseqüência é tal que depende
só do modo como sentenças (que são V ou F) são combinadas em sentenças mais complexas, dizemos que 4 é conseqüência
veri-funcional (ou funcional-veritativa ou tautológica), pois tudo que levamos em conta é a combinação de sentenças em
sentenças mais complexas que são função de verdade das mais simples.
Uma sentença é função de verdade de outras se seu valor de verdade é exclusivamente determinado pelo valor de
verdade dessas outras e seu modo de combinação. A definição de verdade, ao definir o valor de verdade de sentenças com
conectivos, diz como determinar o valor de verdade de uma sentença molecular em função das mais simples.
Isso pode ser expresso pelas seguintes tabelas:
Lógica I - 2005
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6. Cálculo proposicional

V
V
F
F

V
F
V
F

V
V
F
F
()
V
F
F
F

V
F
V
F
()
V
F
V
V

V
V
F
F

V
F
V
F
()
V
V
V
F
 
V F
F V
Para saber se uma sentença é conseqüência tautológica de um conjunto de sentenças, podemos representar as
sentenças em questão só levando em conta a aplicação do conectivo a senteças mais simples (não a fórmulas)
Para isso, fazemos uma árvore de composição molecular – árvore de geração mas paramos antes de tirar os
quantificadores
1: (xR2ax  x(F1xG1x))
2: xR2ax
3: (F1a x(F1xG1x))
4: F1a
Exemplo de árvore de composição molecular:
(xR2ax  x(F1xG1x))

\
xR2ax
x(F1xG1x)

V
V
F
F
 ()
V
V
F
F
V
F
F
V
Podemos, a seguir, representar cada sentença mais simples por uma letra sentencial e obter uma CS-associada: uma sentença só
com letras sentenciais que representa a estrutura molecular das sentenças acima:
xR2ax: A
x(F1xG1x): B
F1a: C
1': (A  B)
2': A
3': (C B)
4': C
Como tudo que estamos considerando aqui é como o valor de verdade das sentenças mais simples determina o valor de
verdade das mais complexas, podemos testar se é possível ter premissas V e conclusão falsa numa tabela do seguinte tipo:
A
V
V
V
V
F
F
F
F
B
V
V
F
F
V
V
F
F
C
V
F
V
F
V
F
V
F
(AB)
V
V
V
V
V
V
F
F
A
F
F
F
F
V
V
V
V
(CB)
V
F
V
V
V
F
V
V
Vemos que o conjunto de CS-associadas
1': (A  B)
2': A
3': (C B)
somente uma possibilidade combinação de valor de verdade das letras sentenciais que dá V a todas as sentenças do conjunto: a
linha 5, a linha que representa a seguinte atribuição de valores de verdade:
A–F
B–V
C–V
Isso mostra que, só considerando a estrutura molecular do conjunto
1: (xR2ax  x(F1xG1x))
2: xR2ax
3: (F1a x(F1xG1x))
Lógica I - 2005
16
6. Cálculo proposicional
percebemos que, seja qual for a interpretação, ela só poderá verificar todas as sentenças do conjunto se for tal que vI[xR2ax]
=F
vI[x(F1xG1x)] = V
vI[F1a] = V
A tabela testa as possíveis atribuições de verdade às sentenças considerando somente a estrutura molecular das
sentenças. A sentenças gerais e a sentenças atômicas que não são sub-fórmulas de gerais, atribuímos um valor qualquer.
Podemos agora introduzir a seguinte definição:
6.2. Definição de valoração booleana
Uma valoração booleana (vb) é uma atribuição de valores de verdade às senteças de L tal que:
(a) vb[] = V sse vb[] = F
(b) vb[()] = V sse vb() = V e vb() = V
(c) vb[()] = V sse vb() = V ou vb() = V
(d) vb[()] = V sse vb() = F ou vb() = V
(e) vb[()] = V sse vb() = vb()
Como uma tabela de verdade tal como a acima testa todas combinações relevantes que obedecem essas regras, temos
a atribuição de valor de verdade para as sentenças em qualquer valoração booleana.
Quando uma valoração booleana dá V a todas as sentenças de um conjunto, dizemos que ela é um modelo funcionalveritativo do conjunto.
Vejamos o que ocorre com 4 no único modelo funcional-veritativo do conjunto do exemplo. Vemos que ela é
verdadeira. Ou seja, não há valoração booleana que atribua V a todas as sentenças do conjunto e F à 4. Temos, então, que 4
é conseqüência tautológica ou veri-funcional do conjunto.2
6.3. Definições das noções lógicas:
Modelo veri-funcional: Uma valoração booleana vb é modelo veri-funcional de um conjunto de sentenças  se e somente se,
para toda sentença , vb() = V.
Conseqüência tautológica ou veri-funcional: Uma sentença  é conseqüência tautológica de um conjunto de sentenças  ( ╦
) se e somente se, para toda valoração booleana vb que é modelo de veri-funcional de , vb() = V.
Como isso é determinado examinando somente a estrutura molecular, nem precisamos considerar as diferentes
interpretações possíveis que eram modelo o conjunto.
Isso porque, seja lá como elas fossem, teriam de induzir uma valoração booleana. E, pela tabela, sabemos que
qualquer valoração booleana (e, portanto, qualquer valoração induzida por uma interpretação) que verifique o conjunto,
também verifica 4.
Quando temos uma conseqüência lógica desse tipo, dizemos que trata-se de uma conseqüência tautológica ou verifuncional.
Consistência veri-funcional: Um conjunto  de sentenças é veri-funcionalmente consistente se e somente se existe pelo menos
uma valoração booleana vb tal que, para toda sentença , vb() = V.
Tomemos 1 a 5:
1: (xR2ax  x(F1xG1x))
2: xR2ax
3: (F1a x(F1xG1x))
4: F1a
5: G1a
Se queremos ver se esse conjunto é funcional-veritativamente consistente, i.e., se é possível atribuir atribuir V
respeitando somente a estrutura molecular, então basta fazer uma tabela de verdado conjunto:
Obtemos a CS-associada para cada sentença (usando a mesma letra sentencial para o mesmo componente sentencial
básico em diferentes fórmulas)
1': (A  B)
2': A
2
Se lembrarmos que essas condições da valoração booleana são condições satisfeitas por qualquer valoração induzida por uma
interpretação, vemos que será impossível encontrar uma interpretação que atribuia V às sentenças do conjunto e F à 4. Isso
significará, como veremos, que 4 é conseqüência lógica do conjunto também no Cálculo de Predicados.
Lógica I - 2005
17
6. Cálculo proposicional
3': (C B)
4': C
5': D
Fazemos a tabela de verdade:
A
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
B
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
C
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
D
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
(AB)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
A
(CB)
V
V
C
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
D
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Para mostrar que é funcional-veritativamente consistente, precisamos mostrar que é possível encontrar uma valoração
booleana que verifica o conjunto. Como as linhas da tabela representam todas as valorações booleanas relevantes, se encontrar
uma linha que dê V para todas sentenças do conjunto, terei encontrado uma valoração booleana que verifica todas. No caso, a
linha 10 expressa a seguinte valoração booleana que verifica o conjunto:
vb(xR2ax) = F
vb(x(F1xG1x) = V
vb(F1a) = V
vb(G1a) = F
Tautologia
Uma sentença  é uma tautologia (╦) se e somente se não há valoração booleana (atribuição de valor de verdade que respeita
a estrutura molecular da sentença) que dê falso:
Exemplo:
((xF1x(G1aG1a))( xF1x x(G1xR2xb)))
Obtenho a CS-associada:
((A(BB))( A C))
Faço tabela de verdade:
A
V
V
V
V
F
F
F
F
B
V
V
F
F
V
V
F
F
C
V
F
V
F
V
F
V
F
(( A  ( B   B ) )  (  A  C ) )
V
F
V
F
V
V
V
V
As linhas 2 e 4 mostram valorações booleanas que falsificam a sentença. Logo, ela não é uma tautologia.
Compatibilidade e incompatibilidade veri-funcional:
Lógica I - 2005
18
6. Cálculo proposicional
Duas sentenças  e  são compatíveis funcional-veritativamente se e somente se existe pelo menos uma valoração
booleana que é modelo de ambas. Caso contrário são incompatíveis. (Isto é,  e  são compatíveis funcional-veritativamente
se e somente se {, } é consistente.)
Equivalência veri-funcional:
Duas sentenças  e  são funcional-veritativamente equivalente se são verdadeiras nas mesmas valorações
booleanas. (Isto é, se uma é conseqüência tautológica da outra).
6.4. Exemplos de relações tautológicas "úteis": (Exercício: justifique cada uma delas)
Equivalências Tautológicas:
(  )
((* )  ( * ))
((( * ) * )  ( * ( * ))
((  )  ( ))
(( * )  (   ))
(( * )  (  ))
((  ( * ))  ((  ) * (  )))
(( * )  )
(((  )  )  (  (  )))
((  )  (  ))
((  )  (   ))
((  )  (  ))
((  )  (  ))
(( * ( * ))  ( * ))
(( * (  ))  )
((  )  ((  )  (  )))
((  )  (( * )  ( * )))
Dupla negação
Comutação para *  {, , }
Associação para *  {, , }
Contraposição
de Morgan
se * =  então  = 
onde
se * =  então  = 
distributiva onde se * =  então  = 
se * =  então  = 
Contração onde *  {, }
Exportação/Importação
Definição da implicação em L 
Definição da implicação em L 
Definição da conjunção em L 
Definição da disjunção em L 
Absorção para *  {, }
onde se * =  então  = 
se * =  então  = 
onde se * =  então  = 
se * =  então  = 
((  )  (  ))
(( )  (  )
Implicações Tautológicas:
(  (  ))
((  )  )
((  )  )
(  (  ))
(  (  ))
(  (  ))
(  (   ))
((  )  ((  )  ))
((  )  ((  )  ))
(  (  (  )))
((  )  ((  )  ((  )  )))
((  )  )
((  )  )
Prefixação por implicação
Eliminação do segundo conjuntivo
Eliminação do primeiro conjuntivo
Introdução do segundo disjuntivo
Introdução do primeiro disjuntivo
Lei de Duns Scott
Lei de Duns Scott
Lei de Redução ao Absurdo
Lei de Redução ao Absurdo
Introdução da conjunção
Eliminação da disjunção
Redução de casos
Redução de casos
Tautologias:
(  )
(  )
(  )
Lei do Terceiro Excluído
Lei da Não Contradição
Lei da Identidade Proposicional
Ao lado das tautologias, consideremos aquelas fórmulas CS que são falsas em qualquer valoração booleana (como, por
exemplo, as especificações do esquema ‘(  )’). Tais fórmulas são ditas contradições. Se, agora, representarmos por um
Lógica I - 2005
19
6. Cálculo proposicional
esquema tautológico e por
proposicionais:
(  )
((  )  )
((  )  )
um esquema contraditório, teremos, ainda, a possibilidade de formular as seguintes leis
((  )   )
((  )  )
((  )  )
((  )  )
((  )  )
((  )  )
Inferências:
{, (  )} ╦ 
{, (  ) ╦ 
{(  ), (  )} ╦ (  )
{(  ), } ╦ 
{(  ), } ╦ 
{, } ╦ 
(  ), (  ), (  )} ╦ 
Modus Ponens
Modus Tollens
Silogismos Hipotético
Silogismo Disjuntivo
Silogismo Disjuntivo
Duns Scott
Prova por Casos
Exercício IX - Estrutura molecular de sentenças
Lógica I - 2005
20
7. Satisfação e conjunto solução para fórmulas complexas
7. Satisfação e conjunto solução para fórmulas complexas
Voltaremos agora para o cálculo de predicados. Antes de introduzir o modo de tratar as relações lógicas próprias do
cálculo de predicados, devemos nos aprofundar um pouco mais no que podemos expressar se levamos em conta a
quantificação.
Retomemos como exemplo as interpretação da página 5.
Vimos que uma fórmula aberta como P 1x servia, na primeira interpretação, para expressar o conjunto dos pares e, na
segunda, para expressar o conjunto das mulheres.
Tomemos agora uma fórmula complexa:
P1x
Dizemos que essa fórmula será satisfeita em I pelos objetos que não pertencem a I(P1). Assim,
CSI[P1x] = conjunto dos ímpares
e
CSI[P1x] = conjunto os homens
Tomemos agora
(P1xQ1x)
Dizemos que essa fórmula será satisfeita em I pelos objetos de U I que estiverem no CSI(P1x) e no CSI(P1x). Com isso,
a fórmula acima terá como conjunto solução em I os números pares primos – ou seja, somente o número 2. Com isso, a
fórmula (P1xQ1x) expressa, na I acima, o predicado "ser primo par"
CSI[(P1xQ1x)] = conjunto das mulheres solteiras.
Com isso, a fórmula aberta (P1xQ1x) pode, em I, expressar o predicado composto "ser mulher solteira"
Mais uma vez, podemos usar uma definição baseada na definição de verdade ou oferecer uma independente:
Definição de satisfação para fórmulas moleculares:
sI satisfaz  se e somente se não satisfaz 
sI satisfaz () se e somente se satisfaz  e 
sI satisfaz () se e somente se satisfaz  ou 
sI satisfaz () se e somente se não satisfaz  ou satisfaz 
sI satisfaz () se e somente se satisfaz  e  ou não satisfaz nem  nem 
Definição de conjunto-solução: O conjunto solução em uma interpretação I de uma fórmula  com m variáveis livres é
formado pelas m-uplas de UIm que são o segmento inicial de uma seqüência que satisfaz .
Exemplos:
CSI[R2xa] = conjunto dos objetos que não são menores do 0 = U I
CSI[R2xa] = conjunto dos que não são filhos de Maria
CSI[(R2xa3  P1x)] = conjunto dos ímpares menores do que 3
CSI[(R2xa3  P1x)] = conjunto dos filhos-homens de Clara
CSI[(Q1yP1y)] = conjunto dos números que não são nem primos nem ímpares = pares menos o número 2
CSI[(P1xR2ax)] = entram no conjunto pares e números maiores que 0 = UI
CSI[(P1zQ1z)] = ímpares primos e pares não primos
CSI[(P1y  R2yx)] = conjunto dos pares onde o primeiro é ímpar e o segundo é maior que ele
Vejamos brevemente o que ocorre com fórmulas abertas gerais:
CSI[xR2xy] = conjunto dos números maiores que qualquer número = 
CSI[x(P1xR2yx)] = conjunto dos números menores do que qualquer ímpar = {0}
CSI[zT2zx] = conjunto dos números que estão no contradomínio de I(T 2) = {5,7}
CSI[z(P3xyzP1z)] = conjunto dos pares de objetos cuja soma é par
Definição de satisfação para fórmulas gerais:
Lógica I - 2005
21
7. Satisfação e conjunto solução para fórmulas complexas
sI satisfaz  se e somente se toda seqüência s'I que difere no máximo por sI() satisfaz 
sI satisfaz  se e somente se alguma seqüência s'I que difere no máximo por sI() satisfaz 
Definição de verdade alternativa para fórmulas gerais
Observe que uma sentença da forma  é verdadeira se e somente se o conjunto solução de  é igual ao universo. Como
podemos definir satisfação de modo independente da definição de verdade, podemos usar essa definição.
Assim,
vI [x(R2xa3  P1x)] = V sse CSI[(R2xa3  P1x)] = UI, isto é, sse o conjunto dos ímpares menores do que 3 é igual
ao universo
De modo análogo, temos que
vI [x(R2xa3  P1x)] = V sse CSI[(R2xa3  P1x)]  , isto é, sse o conjunto dos ímpares menores do que 3 é
diferente do 
"Regras derivadas" para determinar conjunto solução e valor de verdade de certos tipos de fórmulas complexas:
Sejam  e  duas fórmulas com uma única e mesma variável  com ocorrências livres.
Então,
CSI[] = Cmpl CSI[]
CSI[()] = CSI[]  CSI[] (cjto formado pelos objs que estão nos dois)
CSI[()] = CSI[]  CSI[] (cjto formado pelos objs que estão em pelo menos um)
CSI[()] = Cmpl CSI[]  CSI[]
CSI[()] = (CSI[]  CSI[])  (Cmpl CSI[]  Cmpl CSI[])
vI[] = V sse CSI[] = UI
vI[] = V sse CSI[]  
vI[] = V sse CSI[]  UI
vI[] = V sse CSI[] = 
vI[] = V sse CSI[] = 
vI[] = V sse CSI[]  UI
vI[] = V sse CSI[]  
vI[] = V sse CSI[] = UI
Da combinação das duas regras, temos alguns casos mais interessantes:
vI[()] = V sse CSI[]  CSI[] = UI (sse todos os objetos satisfazem tanto  quanto )
vI[()] = V sse CSI[]  CSI[]   (sse pelo menos um objeto satisfaz tanto  quanto )
vI[()] = V sse CSI[]  CSI[] = UI (sse todo objeto satisfaz pelo menos um de  e )
vI[()] = V sse CSI[]  CSI[]   (sse pelo menos um objeto satisfaz pelo menos um de  e )
vI[()] = V sse CSI[]  CSI[] (sse todo objeto que satisfaz , também satisfaz )
vI[()] = V sse CSI[] = CSI[] (sse todo objeto que satisfaz , também satisfaz  e vice-versa)
Seja 2 uma letra predicadicativa binária, e sejam  e  variáveis.
Então:
CSI[2] = conjunto dos objetos que são imagem de todos os objetos
Por exemplo, num universo UI = {1,2,3}, na relação {(1,1) (1,2), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)}, 2 é foco (Fc).
CSI[2] = conjunto dos objetos que são imagem de pelo menos um objeto
No exemplo acima, tanto 1, 2, quanto 3 pertencem ao contradomínio da relação (Cdom).
CSI[2] = conjunto dos objs que têm todos por imagem
No exemplo acima, 3 é um mirante (Mr).
CSI[2] = conjunto dos objetos que têm pelo menos uma imagem.
No exemplo acima, tanto 1, 2 quanto 3 pertencem ao domínio da relação (Dom).
Lógica I - 2005
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7. Satisfação e conjunto solução para fórmulas complexas
Combinando essas regras com as regras para valor de verdade de sentenças gerais obtemos que:
vI[2] = V sse I(2) = UI (sse todos "vêem" todos)
vI[2] = V sse I(2) = UI (sse todos "vêem" todos)
Por exemplo, a relação {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} no universo
UI = {1,2,3} é universal
vI[2] = V sse Fc I(2)   (sse algum "é visto" por todos)
Por exemplo, no universo acima, a relação {(1,1) (1,2), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)}
vI[2] = V sse Cdom I(2) =UI (sse todos são vistos por pelo menos um)
Por exemplo, no universo acima, a relação {(1,1) (1,2), (2,2), (3,3)}, todos objetos do universo aparecem como
segundo lugar em pelo menos um par.
vI[2] = V sse I(2)   (sse algum "vê" algum)
vI[2] = V sse I(2)   (sse algum "vê" algum)
Basta que algum veja algum, que haja pelo menos um par na relação.
vI[2] = V sse Mr I(2)   (sse algum "vê" todos)
Por exemplo, no universo acima, a relação {(1,1) (1,2), (2,2), (1,3), (3,2), (3,3)}
vI[2] = V sse Dom I(2) = UI (sse todos "vêem" algum)
Por exemplo, a relação {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)} no universo UI = {1,2,3} não é universal, mas seu
domínio é universal, pois todos objetos do universo aparecem como primeiro lugar num par.
Exercício X - Conjunto solução e valor de verdade (fórmulas não-atômicas)
Lógica I - 2005
23
8. Significado formal
8. Significado Formal
Tomemos a seguinte fórmula:
( xF1x  R2ab )
Já vimos que, independentemente de uma interpretação, não podemos dizer o que a sentença significa;
independentemente de interpretação, não sabemos quais são suas condições de verdade.
No entanto, percebemos que a fórmula em questão só poderá ser verdadeira numa interpretação desde que essa
interpretação satisfaça certas condições:
Todo objeto do universo deve pertencer ao que I associa a F1 e os objetos que I associa a a e a b devem se relacionar por I(R 2)
de tal modo que I(b) seja imagem de I(a)
(Obs: Como " relacionar-se" é ambíguo (dizer que os objetos o e o' se relacionam numa determinada relação binária R pode
significar que o par (o,o')R mas também que o par (o',o)R), se (o,o') R, diremos que o vê o' por R e o' é visto por o em R.)
Podemos chamar esse significado de "significado formal", pois ele leva em conta somente a forma da sentença, não o
conteúdo que uma determinada interpretação atribuir às constantes não lógicas.
Dada a definição de verdade, podemos dizer que o significado formal de P1a é que o objeto denotado por a (em seja
qual for a interpretação) pertença ao conjunto que a interpretação associa a P 1.
Assim, SF[P1a] = I(a)I(P1)
(Obs: Ao invés de I(a), I(P1), I(R2) etc. podemos adotar a seguinte convenção: a, P, R etc.)
De modo análogo,
SF[Q2cb]: (I(c), I(b))I(Q2) (para simplificar: (c,b )Q)
Assim, SF[R2ab] = (a,b )R
Quanto às letras sentenciais, é fácil:
SF[P]: I(P) = V
pois P é verdadeira numa interpretação se e somente se essa interpretação atribui o V a P.
Negação de atômicas
SF[P1a]: a P
SF[Q2a,c]: (a ,c ) Q
SF[P]: I(P) = F
Moleculares:
Vejamos um exemplo:
(Q1b  S2ac)
Sabemos, pela definição de verdade, que o valor de verdade desta sentença é igual a V se e somente se cada um dos
"lados" é verdadeiro. Assim,
SF[(Q1b  S2ac)]: Q1b é verdadeiro e S2ac é verdadeiro
ou seja,
SF[(Q1b  S2ac)]: bQ e (a,c )S
Ora, afirmar que Q1b é verdadeira é afirmar Q1b.
Assim,
SF[(Q1b  S2ac)]: SF[Q1b] e SF[S2ac]
Temos, como uma regra geral, que, para sentenças  e , SF[()]: SF [] e SF [].
Note-se que o uso de conectivos pode se sobrepor:
SF[(Q1b  S2ac)]: SF(Q1b) ou SF(S2ac) = bQ ou (a,c )S
Analogamente, para as demais sentenças moleculares.
Negação de moleculares:
Lógica I - 2005
24
8. Significado formal
SF[(Q1b  S2ac)]: não é o caso que bQ e (a,c )S = bQ ou (a,c )S
SF[(Q1b  S2ac)]: nem bQ nem (a,c )S
SF[(Q1b  S2ac)]: b Q e (a,c )S
SF[(Q1b  S2ac)] : b Q se e somente se (a,c )S
SF[(Q1b  S2ac)] : b Q ou (a,c )S
SF[(Q1b  S2ac)] : b Q e (a,c )S
Equivalências entre sentenças moleculares:
Obtermos, assim, uma série de regras gerais que permitem chegar a certas equivalências.
Comparemos, por exemplo, sentenças da seguintes formas:
() e ()
Ora, SF [() ]: não é o caso que tanto  quanto  sejam verdadeiras. Mas isso é equivalente a dizer que ou  é falsa ou
 é falsa, isto é, SF[().
Com o mesmo tipo de raciocício, recorrendo às condições que qualquer interpretação deve satisfazer para verificar uma
sentença, podemos perceber as seguintes equivalências lógicas:
SF[()] = SF [()]
SF[()] = SF [()]
SF[()] = SF [()]
SF[()] = SF [()]
SF[()] = SF [ () ]
SF[()] = SF [() ]= SF [(]
SF[()] = SF [ (()()) ] = SF[ (()  ())]
Exercício: mostrar essas equivalências, mostrando que é impossível construir uma interpretação que verique uma e falsifique
outra.
"Equivalências" entre fórmulas abertas
Podemos dizer que duas fórmulas abertas são equivalente se e somente se, em qualquer interpretação, elas são satisfeitas pelos
mesmos objetos.
Tomemos o seguinte exemplo:
CS[(F1xG1x)] = Cmpl (CmplF G) = F  CmplG = CS [(F1xG1x)]
Com isso, temos a seguinte equivalência:
SF[x(F1xG1x)] = SF [x(F1xG1x)]
Algumas regras úteis:
Se  e  são fórmulas abertas cuja única variável livre é , então, para qualquer interpretação:
CS[] = CS[]
CS[()] = CS [()]
CS[()] = CS [()]
CS[()] = CS [()]
CS[()] = CS [()]
CS[()] = CS [ () ]
CS[()] = CS [() ]= CS [(]
CS[()] = CS [ (()()) ] = CS[ (()  ())]
Exercício: Para cada igualdade acima, mostrar que é impossível construir uma interpretação na qual uma fórmula tenha um
conjunto solução diferente da outra.
Significado formal de sentenças gerais:
Lógica I - 2005
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8. Significado formal
O que é necessário para que
xP1x
seja verdadeira?
Que todo objeto do universo seja P, que tudo seja P, que todo objeto do universo pertença àquilo que a interpretação associa a
P. Ou seja, que I(P1) seja igual ao universo da interpretação. Logo,
SF[xP1x]: I[P1] = UI
Vimos que, de um modo geral, uma sentença da forma  é verdadeira sse CSI[] = UI.
Assim, podemos dizer que
SF[xP1x]: P = UI
Analogamente,
SF[xP1x]: P1x  
Tomemos agora as fórmulas abertas moleculares fechadas por um quantificador:
SF[x F1x]: O que está fora de F deve ser o UI = Cmpl F = UI
SF[x (F1x  G1x)]: F G = UI
SF[x (F1x  G1x)]:F G = UI
SF[x (F1x  G1x)]: F G
SF[x (F1x  G1x)]: F =G
SF[x F1x]: Cmpl F  
SF[x (F1x  G1x)]: F G 
SF[x (F1x  G1x)]: F G 
SF[x (F1x  G1x)]: CmplF G 
SF[x (F1x  G1x)]:F G   ouF G  UI
Interdefinição de quantificadores
Considere a seguinte sentença:
xP1x
Para qualquer interpretação, ela é verdadeira se e somente se nem todo objeto do universo está em I(P 1). Ou seja, ela é
verdadeira se e somente se existe um objeto do universo que não está em I(P1). Daí que:
SF[xP1x] = SF [ xP1x]
De um modo geral, temos que, para qualquer variável  e para qualquer fórmula :
SF[  ] = SF [  ]
SF[  ] = SF [  ]
SF[  ] = SF [  ]
CS para predicados binários
Por enquanto, o conjunto solução de cada fórmula atômica é sempre dado imediatamente pela interpretação. Mas retomemos
agora exemplos do seguinte tipo:
R2ax
Quais objetos satisfazem essa fórmula? Aqueles que são vistos pora (são a imagem dea) emR. Logo,
CSI[R2ax]: objetos vistos por I(a) em I(R2) (objetos que são imagem de a em R)
Ou seja, em I(R2), devo ter um par (a,...)
Analogamente,
CSI[R2xc]: objetos que vêem I(c) por I(R (têm c por imagem em R)
2
Em I(R ), devo ter um par (...,c)
Com isso, fica fácil determinar:
CS[R2ax]: objetos que não são vistos por a em R
CS[R2xc]:objetos que não vêem c em R.
SF para sentenças com predicados binários
Lógica I - 2005
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8. Significado formal
O que ocorre agora se quantificamos sobre uma fórmula como essas últimas que vimos Por exemplo:
xR2ax
Ela diz que o CS de R2ax é o universo de I:
SF[xR2ax]: todos os objetos do universo são vistos por a em R (podemos dizer quea é um "mirante" emR)
Ou seja, deveremos ter, para cada objeto do universo, um par (a, ...)
Analogamente,
SF[xR2xc]: todos os objetos do universo vêem c (podemos dizer quec é um "foco" emR)
Tomemos agora
xR2ax
Ela diz o CS de R2ax deve ser diferente do vazio, isto é, que deve haver pelo menos um objeto que é visto por a em R:
SF[xR2ax]: algum objeto é visto por a em R
Devo ter um par da forma (a,...)
Dizemos que os objetos que vêem algum objeto por R estão no domínio de R.
Logo, podemos dizer que
SF[xR2ax]: a  Dom(R) (a pertence ao domínio de R, vê algum objeto por R)
Analogamente,
SF[xR2xc]: algum objeto c em R
Equivalentemente:
SF[xR2xc]: cCdom(R) (c pertence ao contradomínio de R, é visto por algum objeto em R)
Ainda:
SF[xR2xc]: cCdom(R) (nenhum objeto vê c por R)
SF[xR2xc]: nem todo objeto vê c por R
SF[xR2xc]: nem todo objeto vê c por R
SF[xR2xc]: cCdom(R)
Gerais com predicados unários e binários
SF[x (F1xR2ax)]: F  {imagens de a em R}
SF[x (R2xc  G1x)]: {objetos que têm c por imagem em R}  G  
SF[x(R2axQ2xc)]:{imagens de a em R}  Cmpl {objetos que têm c por imagem em Q}
Moleculares com gerais como elementos:
SF[(xF1xQ1b)]: ou F ou bQ
SF[(xF1xxR2ax)]: ou F = UI ou {imagens de a em R}=
Dois quantificadores:
SF[xyR2xy]: R  
SF[x(F1xyR2xy)]: F  Dom (R)
SF[x(G1xyR2yx)]: G  {objetos vistos por todos em R}  
Exercício XI - Significado formal e equivalência de sentenças
Lógica I - 2005
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9. Validade, Consistência e Conseqüência no Cálculo de Predicados
9. Validade, Consistência e Conseqüência
Modelo: Uma interpretação é modelo de um conjunto se e somente se verifica todas as sentenças do conjunto. (I é modelo de 
se e somente se para toda sentença   , vI() = V.)
Validade: Uma sentença é válida se e somente se é verdadeira para toda e qualquer interpretação. Dizemos também que essas
sentenças são logicamente válidas. (Uma sentença  é válida (╞ ) se e somente se, para toda interpretação I, vI() = V.)
Para mostrar que uma sentença não é válida: exibir uma interpretação que a falsifique.
Ex.: (x(R2xaG1x)xG1x)
Tentamos falsificar a sentença. Para isso, temos que encontrar uma I tal que
vI[x(R2xaG1x)] = V e vI[xG1x] = F
Para isso, tenho que conseguir uma I tal que
{objetos que vêema porR}  G
e
G=
Por exemplo:
UI = {0,1,2}
I(a) = 0
I(G1) = 
I(R2) = {(0,2), (1,2)}
Para mostrar que é válida: mostrar, por um argumento, que é impossível construir uma interpretação que falsifique a sentença.
Ex.: (xR2xa xR2xx)
Para falsificar a sentença, teria de encontrar uma I tal que
vI[xR2xa] = V
e
vI[xR2xx] = F
Para isso, todos objetos deveriam ter a por imagem e nenhum objeto poderia ter a si mesmo por imagem em R. Mas, para
que todos objetos tenham a por imagem, o objetoa deve ser imagem de todos; portanto, também dele mesmo. Assim, pelo
menos um objeto vê a si mesmo por R. Logo, é impossível encontrar uma interpretação que falsifica a sentença acima.
Consistência: Um conjunto de sentenças é consistente se e somente existe uma interpretação que é modelo das sentenças desse
conjunto. (Um conjunto de sentenças  é consistente se e somente se existe uma interpretação I tal que, para toda sentença
, vI () = V.
Para mostrar que um conjunto é consistente: exibir um modelo do conjunto
Ex.: {F1a, x(G1xF1x), x(G1xR2xa)}
Tenho que encontrar uma I ondea F, G F e algumG vêa porR.
Por exemplo:
UI = {0,1}
I(a) = 0
I(F1) = {1}
I(G1) = {1}
I(R2) = {(1,0)}
Inconsistência: Um conjunto de sentenças é inconsistente se e somente se não existe nenhuma interpretação que é modelo de
suas sentenças. (Um conjunto  é inconsistente se e somente se, para toda interpretação I, existe pelo menos uma sentença
 tal que vI() = F.)
Para mostrar que um conjunto não é consistente: dar um argumento mostrando que é impossível construir um modelo para o
conjunto.
Ex.: {R2ab, x(R2axF1x), xF1x}
Para verificar todas as sentenças do conjunto, teria de construir uma I tal que
a "vê"b porR ((a,b ) R);
todo objeto visto pora emR éF ({imagens dea emR}F e
nada éF (F = )
Mas, se (a,b ) pertencer aR,b é imagem dea emR e, pela segunda sentença, deve serF. Logo, será impossível verificar a
terceira sentença.
Conseqüência: Uma sentença é conseqüência de um conjunto de sentenças se e somente todos os modelos do conjunto
verificarem a sentença. ( é conseqüência de  (╞ ) se e somente para todo modelo I de , vI() = V.) ( não é
conseqüência de  ( | ) se e somente se existe pelo menos um modelo I de  tal que vI() = F.)
Para mostrar que  não é conseqüência de : exibir um modelo de  que falsifica 
Ex.:
 = {x(G1xF1x), x(F1xR2xa)}
 = F1b
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9. Validade, Consistência e Conseqüência no Cálculo de Predicados
Para mostrar que  não é conseqüência de , precisamos encontrar uma I tal que
algo está emG eF
tudo está ou fora deF ou vêa porR; isto é, todoF deve tera por imagem emR
b F
Por exemplo:
UI = {0}
ou
UI = {, , }
I(a) = 0
I(a) = 
I(b) = 0
I(b) = 
I(F1) = {0}
I(F1) = {, }
1
I(G ) = {0}
I(G1) = {}
2
I(R ) = {(0,0)}
I(R2) = {(,) ,(, )}
Para mostrar que é conseqüência: dar um argumento mostrando que não é possível construir um modelo de  que falsifique .
Ex.:
 = { x ( F1x  G1x ) , ( G1a  F1b ) }
 = x G1x
Para verificar  e falsificar , seria necessário uma I tal que
F G
a G oub F
G  
Sea estiver emG,G não poderá ser vazio, o que verificaria . Resta, para verificar a segunda sentença, queb esteja emF.
Mas seb está emF, pela primeira sentença, teria de estarG eG não seria vazio. Logo, é impossível ter uma I que verifica 
e falsifica . Logo,  é conseqüência lógica de .
Compatibilidade: Uma sentença  é compatível com um conjunto de sentenças  se e somente se existe um modelo para
{}. Caso contrário, é incompatível.
Para mostrar que  é compatível com  basta mostrar que {} é consistente.
Para mostrar que incompatível, basta dar um argumento para mostrar que {} é inconsistente.
Contraditoriedade: Uma sentença é contraditória se não há interpretação que verifique a sentença.
Para mostrar que uma sentença não é contraditória, basta exibir uma interpretação que a verifique.
Para mostrar que é contraditória, é necessário dar um argumento mostrando que não é possível haver uma interpretação que a
verifique.
Equivalência: Duas sentenças são equivalentes se e somente se são verdadeiras nas mesmas interpretações.
Para mostrar que duas sentenças  e  são equivalente, basta mostrar que mostrar que uma é conseqüência a outra.
Exercício XII – Validade, Consistência e Conseqüência
Lógica I - 2005
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10. Tradução (final)
10. Tradução (final)
Consideremos agora sentenças mais complexas que as examinadas na primeira parte sobre tradução (seção 5).
Retomemos a interpretação I utilizada:
UI = {0, 1, 2, ...}
I(F1) = pares
I(G1) = primos
I(R2) = relação menor que
I(M2) = relação divisível por
I(a) = 0
I (b) = 5
I(c ) = 2
I(d) = 1
para qualquer natural n, I(en) = n
1) xR2dx : Todo natural é maior que 1
Ao invés de afirmar que todos naturais são maiores que 1, podemos afirmar, por exemplo, que os primos são maiores
que 1.
Para isso, usamos
2) x(G1xR2dx)
Em outras palavras, diz-se aqui que é condição suficiente para ser maior que 1, ser primo. Ou seja, para qualquer
natural, se ele é primo, então é maior que 1.
Este tipo de sentença é chamado de uma universal restrita. Ela tem a seguinte forma:
x ( _____  _____ )
Na primeira posição (‘___’) está a restrição e, na segunda, a propriedade que se atribui.
Já uma sentença como x (G1x F1x) não tem restrição: ela diz que para qualquer objeto do U I , ele é primo e ele é
ímpar.
Para traduzir da linguagem natural uma sentença como
3) “Todos primos maiores que dois são ímpares”
é preciso notar em primeiro lugar que essa é uma sentença que tem uma dupla restrição. A forma geral dela é a de uma
universal restrita, i.e. ‘x ( ___  ___ )’. A restrição é: ser um primo maior do que dois. Como é que podemos dizer que
4) “Cinco é um primo maior que 2”?
(G1b  R2cb)
Portanto, a restrição, pode ser
(G1x  R2cx)
pois o conjunto solução desta fórmula, segundo essa interpretação I, é o conjunto dos números que são primos e que são
maiores que dois. Já sabemos que o conjunto solução da fórmula
F1x
é o conjunto dos ímpares. Assim, a fórmula que diz que todos primos maiores que dois são ímpares pode ser traduzida para
linguagem lógica como
5) x ((G1x  R2cx)  F1x)
Agora, se tomarmos uma sentença em linguagem lógica também devemos ser capazes de traduzi-la, segundo a
interpretação dada, para linguagem natural. Tomemos
6) x ((G1x  R2cx)  F1x)
Essa sentença, na interpretação acima, diz que
Todos objetos do UI são primos, maiores que dois e são ímpares.
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10. Tradução (final)
Uma sentença como esta, ao contrário da anterior, implica a afirmação da existência dos objetos a que ela se refere quer dizer, esta sentença afirma que os objetos são de tal e tal modo, enquanto que a sentença anterior diz que se algum objeto
tiver tais e tais características, então este objeto é de tal e tal maneira.
Vejamos agora as traduções usando o quantificador existencial (‘‘):
7) Algum natural é primo : xG1x
8) Alguns naturais são ímpares : xF1x
9) Alguns ímpares são primos : x(F1xG1x)
10) Alguns primos são ímpares : x(G1xF1x)
: x(F1xG1x)
É importante observar que as duas últimas sentenças dos exemplos acima não são condicionais. Nas sentenças com o
quantificador universal, o tipo de quantificação é radicalmente diferente - impomos condições gerais para falar de conjuntos
menores. O quantificador existencial, diferentemente, “capta cada objeto”; daí que as composições em um e em outro
quantificador são bem distintas. Observe que uma sentença existencial com implicação não traduz sentenças do tipo “algum G
é F”.
Vejamos uma existencial com implicação:
11) x (G1x  F1x)
equivale a
x (G1x  F1x) e a
(xG1xxF1x)
1
1
SF (x (G x  F x)
: há um objeto que ou não é primo ou não é ímpar
12) Nenhum par maior que 2 é primo :
Queremos dizer que não existe um natural que é par, maior que 2 e primo:
x((F1xR2cx)G1x)
Ou então que para todo número, se ele é par e maior que 2, então não é primo:
x((F1xR2cx)G1x)
Exemplo 2:
Seja I a seguinte interpretação:
UI = conjunto dos seres humanos3
I(a) = Ana
I(b) = João
I(F1) = conjunto dos brasileiros
I(G1) = conjunto das mulheres
I(P2) = relação ser pai de
I(M2) = relação ser mãe de
I(A2) = relação ser amigo de
I(Q1) = conjunto dos pais
I(R2) = relação ser casado com
I(S2) = relação ser mais velho que
I(I2) = relação ser o irmão de
13) Nem todas as mães são casadas
Temos como expressar que a é mãe de b. Como expressar a é mãe (seja lá de quem for)?
yM2ay
Logo, para expressar o conjunto das mães:
yM2xy
Para expressar “ser casado”:
yR2xy
Para “Nem todas as mães são casadas”
x(yM2xyyR2xy)
14) Nem todas avós paternas brasileiras são casadas:
Vejamos primeiro como expressar “ser avó paterna”. Isto é, ser mãe do pai de alguém”:
y(M2xyzP2yz)
Para a sentença toda:
x(y(M2xyzP2yz)yR2xy)
3
Cf. nota 1.
Lógica I - 2005
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10. Tradução (final)
15) João é solteiro, assim como todos seus irmãos:
(xR2bxx(I2bxyR2xy))
16) xy((I2xbI2ya)R2xy):
Nenhum irmão/irmã de João é casado com nenhuma irmã/irmão de Ana.
17) xy((R2xy(F1xF1y))z(A2xyA2yz)):
Nem todos casais de brasileiros têm os mesmo amigos.
18) xy((I2xy(G1xG1y))zw(((G1zG1w)I2zw)(R2xzR2yw))):
Existem dois irmãos casados com duas irmãs.
19) xy(((R2xyG1y)(F1xF1y))S2xy)):
Nem todos brasileiros casados com brasileiras são mais velhos que a mulher.
Exercício XIII – Tradução (2a parte)
Lógica I - 2005
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