Aula 2 - Etapa

Introdução à linguagem
matemática
Aula 2
Sentenças moleculares
Condicional ou implicação : p
Podemos ler de várias maneiras:
• p implica q
• Se p então q
• q se p
• p é condição suficiente para q
• q é condição necessária para p
• p somente se q
q
Sentenças moleculares
Condicional ou implicação : p
Exemplo:
x
x
2
4
0
Condição
suficiente
x
2
Condição
necessária
q
Direta, recíproca, contrária,
contrapositiva
•
•
•
•
Direta: p
q
Recíproca: q
p
Contrária: ~p
~q
Contrapositiva: ~q
~p
Exemplo
• Considere a sentença
– Se dois números são iguais, então os seus
quadrados são iguais.
• A direta (p
q ) é a mesma sentença.
• A recíproca (q
p) é
– Se os quadrados de dois números são iguais
então os números são iguais.
Exemplo
• A contrária (~p
~q) é
– Se dois números são diferentes, então os
seus quadrados são diferentes.
• A contrapositiva (~q
~p ) é
– Se os quadrados de dois números são
diferentes, então os números são diferentes.
Exemplo
• Note que os significados da direta,
contrária, recíproca e contrapositiva não
são necessariamente iguais!
X
Y
Uso dos parênteses
• A negação nega o que estiver
imediatamente à direita. Para negar
expressões maiores, usar parênteses
• Por exemplo, ~p q é uma conjunção, ou
seja, estamos dizendo “(não p) e q”
• A negação de p q escreve-se ~(p q)
Uso dos parêntesis
• Os conectivos , ,
e
• Exemplo: p q
r
(r s)
têm prioridade sobre
s quer dizer (p
q)
Como usar os conectivos
matemáticos
• Embora haja semelhanças, especialmente
na nomenclatura, entre os conectivos
matemáticos e a linguagem do dia-a-dia
(“e”, “ou”, “se... então...”, etc), em
Matemática há regras bem definidas para
o uso desses conectivos, que são bem
diferentes da linguagem usual.
• São como se fossem as regras de
ortografia de Português.
Negação
• A negação de uma verdade é falsa e a
negação de algo falso é verdadeiro.
p ~p
V F
F V
Por exemplo, a negação
de 2 + 2 = 4 (que é V) é 2
+ 2 ≠ 4 (que é F)
Conjunção
• p q é verdadeiro somente quando p e q
são ambos verdadeiros. Nos demais
casos, p q é falso.
Por exemplo, a sentença
p q p q “vou descansar e tomar
sorvete”
é
verdadeira
V V V
quando “vou descansar” é
F V F
verdadeira e “vou tomar
sorvete” também é.
V F
F
F F
F
Sentenças equivalentes
• Duas sentenças são equivalentes quando
têm o mesmo conjunto verdade.
• Por exemplo, ~(~p) é equivalente a p:
p ~p ~(~p)
V F V
F V F
Significado
• Duas sentenças equivalentes querem
dizer “a mesma coisa”.
• Podemos, então, simplificar sentenças!
• Outra aplicação são as demonstrações
em Matemática: podemos apurar a
veracidade de uma sentença usando uma
sentença equivalente que seja mais fácil
de verificar.
Isso quer dizer que...
• Podemos fazer conta com sentenças!
• Existe uma parte da Matemática que se
dedica a isso.
• Isso serve para modelar circuitos digitais!
Tarefa!
• Exercícios 3 a 16 - Teoria