quadriláteros
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QUADRILÁTEROS Quadrilátero é o polígono de gênero quatro. Losango É o paralelogramo que possui os quatro lados iguais (equilátero).  Ĉ e B̂ D̂ Observação. As diagonais são bissetrizes dos ângulos de seus vértices e cortam-se perpendicularmente. Elementos Principais A, B, C e D vértices , , e ângulos internos x, y, z e w ângulos externos AC e BD diagonais Quadrado é o paralelogramo que possui os quatro ângulos congruentes (equiângulo) e os quatro lados iguais (equilátero). Soma dos ângulos internos + + + = 360º Soma dos ângulos externos x + y + z + w = 360º Classificação: Os quadriláteros podem ser classificados como: - Paralelogramo Trapézio Quadrilátero qualquer Paralelogramo  Ĉ B̂ D̂ = 90º Observação. 1) As diagonais são congruentes 2) As diagonais são bissetrizes dos ângulos de seus vértices e cortam-se perpendicularmente É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Trapézio: É o quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos AD / / BC são os lados paralelos (bases) AB // CD e BC // AD AB = CD e BC = AD  B̂ B̂ Ĉ Ĉ D̂ D̂ A 180º  B̂ Ĉ D̂ = 180º 1) 2) As diagonais cortam-se ao meio 3)  Ĉ e B̂ D̂ Paralelogramos Notáveis Retângulo é o paralelogramo que possui os quatro ângulos congruentes (equiângulo). Trapézios Notáveis Escaleno – Possui o par de lados opostos não paralelos distintos. AB CD Observação. As diagonais são congruentes Isósceles – Possui o par de lados opostos não-paralelos congruentes.  D̂ e B̂ Ĉ 2) Observe a ilustração e calcule o valor de x nos paralelogramos: Retângulo – Possui um dos lados opostos não-paralelos perpendicular às bases.  B̂ 90º b) Base Média de um Trapézio M e N pontos médios dos lados AB e CD MN base média MN = 3) Determine a medida x indicada no paralelogramo abaixo: AD BC 2 Mediana de Euler M e N pontos médios das diagonais MN mediana de Euler AD BC MN = 2 4) Na figura ABCD é um quadrado é CDEF é um losango. Se ECF mede 15º, a média do ângulo AÊF é: a) b) c) d) e) 15º 30º 45º 60º 75º EXERCÍCIOS 1) Quais as medidas dos ângulos internos desse quadrilátero? 5) Num trapézio retângulo, a medida do maior ângulo interno é o quádruplo da medida do menor. A medida do menor dos ângulos desse trapézio é: a) 30º b) 36º c) 45º d) 72º e) 90º 6) (UNIFICADO) Origami é a arte japonesa das dobraduras no papel. Observe as figuras abaixo, onde estão descritos os passos iniciais para se fazer um passarinho: comece marcando uma das diagonais de uma folha de papel quadrada. Em seguida, faça coincidir os lados AD e CD sobre a diagonal marcada de modo que os vértices A e C se encontrem. Considerando-se o quadrilátero BEDF da fig.3, pode-se concluir que o ângulo BED mede: A B A B E 9) (UFRJ) Na figura a seguir, A não pertence ao plano determinado pelos pontos B, C e D. Os pontos E, F, G e H são os pontos médios dos segmentos AB, BC, CD e DA, respectivamente. B A C F D C D C b) 112º30’ e) 135º a) 100º d) 125º30’ Prove que EFGH é um paralelogramo. D c) 115º 10) Determine a medida do ângulo interno ângulos externos e . 7) (UERJ) Na análise dos problemas relativos aos trapézios, aprende-se que é muito útil traçar, por um dos vértices da base menor, um segmento paralelo a um dos lados do trapézio. Dessa forma, os trapézios podem ser estruturados como sendo a união de paralelogramos e triângulos, conforme a ilustração a seguir. Assim a análise de um trapézio RSTU passa, basicamente para o triângulo de lados a, c e b. A altura, a existência e os ângulos do trapézio RSTU podem ser calculados a partir dos correspondentes, no triângulo RSP. Considere, então um trapézio onde as bases medem 10 cm e 5 cm e os outros dois lados, 5 cm cada um.Logo, o número inteiro de centímetros que mais se aproxima da medida da altura do trapézio é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 8) (UFF) A figura abaixo representa o quadrado MNPQ de lado 1 = 4 cm. Sabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são congruentes, o valor da medida do segmento YK é: N X P a) 3 cm 2 b) 2 3 cm c) 2 cm 2 d) 2 cm e) 2 2 cm Y Z 1 cm 2 cm K M J L l= 4 cm Q e ainda dos
