Desenho Geométrico

Desenho Geométrico - 9ano
Alunos dos 9º anos espero que todos estejam bem e com muita disposição para volta às aulas.
Abaixo estão as instruções para que vocês possam retornar às aulas mais interados com a
matéria de DG.
1ª) As fichas 28 e 29, devem ser feitas para o 1º dia de aula.
2ª) Para resolverem as fichas, observem o seguinte:
- Leia com muita atenção o texto explicativo;
- Se tiver alguma dúvida, faça uma lista de dúvidas para ao retornar às aulas, podermos discutir sobre
elas.
Bons estudos !!
Profa. Dalva Conde
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CENTRO EDUCACIONAL PIONEIRO
Data:____ /____ / 2009
Nome do(a) aluno(a) ________________________________________ 9o ______ no ____
Profa Dalva Conde
Desenho Geométrico: Ficha nº 28
Demonstrações:
Diagonais do Trapézio Isósceles, Bases Médias do Triângulo e Trapézio
1. Propriedades do trapézio isósceles
“Num trapézio isósceles as diagonais são congruentes”.
A
D
B
A
C
B
A
D
B
C
Hipótese: _____________________________
Tese: _____________
Demonstração: Vamos provar que Δ ABD e Δ ABC são congruentes.
Afirmações :
Justificativas:
1) AD ≅ BC
__________________________________
2) DAˆ B ≅ ABˆ C
__________________________________
3) ____________
lado comum
Pelo caso _____________, podemos afirmar que Δ ABD ≅ Δ ABC
Logo, os lados _______
≅ _______ ,pois são lados ___________________ em triângulos congruentes.(cqd)
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2. Base Média do Triângulo
Teorema:
“O segmento formado pelos pontos médios de dois lados de um triângulo e paralelo ao terceiro lado
mede a metade dele (terceiro lado)”
A
A
A
N
M
B
N
M
B
C
C
Hipóteses:
Tese:
Demonstração:
1) AB = ____·AM ( M é ponto médio )
M̂ ≅ _____ (ângulos ________________)
2) Como
Logo ΔAMN~ΔABC, pelo caso: ________
N̂ ≅ _____ (ângulos ________________)
Logo:
MN
=
AM
AB
Por ( 1 ) AB = 2·AM e por ( 2 )
MN
=
BC
AM
MN
AM
=
,
BC
AB
Então: MN =
temos:
(c.q.d.)
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3. Base Média do Trapézio
Teorema:
“O segmento formado pelos pontos médios dos lados oblíquos de um trapézio e paralelo às bases
é igual a metade da soma das bases”
___________________________________
A
B
Hipóteses:
___________________________________
___________________________________
N
M
C
D
Tese:
Demonstração: Seja P o ponto de intersecção das retas AN e DC . Vamos provar que ΔABN ≅ ΔPCN
A
B
1
M
N
2
D
P
C
BN ≅ NC (_________________________)
1) Sabemos que
N̂ 1 ≅ ________ (_________)
Logo: ΔABN ≅ ΔPCN, pelo caso:______
_______ ≅ P̂ (______________)
2) Como ΔABN ≅ Δ PCN, temos que:
AB ≅ ________ (Lados __________________ )
AN ≅ ________ (Lados __________________ )
3) Como AM ≅ MD ,
AN ≅ NP e MN // DC , podemos afirmar que MN é_____________do ΔADP
Logo: MN =
Como DP = CP + CD podemos escrever: MN =
Então: MN =
+
+
. Mas CP ≅ AB .
(c.q.d.)
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CENTRO EDUCACIONAL PIONEIRO
Data:____ /____ / 2009
Nome do(a) aluno(a) ________________________________________ 9o ______ no ____
Profa Dalva Conde
Desenho Geométrico: Ficha nº 29
Quadriláteros – Classificações e Propriedades
Quadrilátero é um polígono de quatro lados. No quadrilátero ABCD da figura, podemos destacar:
- os vértices A, B, C e D, onde os pares A e C ou B e D são vértices opostos.
- os segmentos AB , BC , CD e DA , são os lados, sendo os pares AB e CD ou DA e BC lados opostos.
- os segmentos AC e BD são as diagonais.
- os ângulos DÂB , AB̂C , BĈD e CD̂A são os ângulos internos, sendo os pares DAˆ B e BCˆ D ou
ABˆ C e CDˆ A ângulos opostos.
- a soma dos ângulos internos de um quadrilátero mede 360º.
A
D
B
C
Classificação dos Quadriláteros
Os quadriláteros podem ser convexos ou não convexos.
- Convexos : todos os ângulos internos são maiores que 0º e menores que 180º
- Não convexos : um ângulo interno é maior que 180º e menor que 360º.
- Dentre os quadriláteros convexos temos: trapézio, paralelogramo, retângulo, losango e quadrado.
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1. Trapézio
É um quadrilátero que possui um par de lados opostos paralelos.
O quadrilátero ABCD é um trapézio onde, AB // CD .
Chamamos os lados paralelos de bases do trapézio.
A distância entre as bases denomina-se altura do trapézio.
A
B
AB é base menor
altura
D
CD é base maior
C
Os trapézios podem ser classificados como: trapézio escaleno, trapézio isósceles e trapézio retângulo.
- Trapézio escaleno: possuem quatro lados não congruentes.
- Trapézio isósceles: possuem lados não-paralelos congruentes.
- Trapézio retângulo: um dos lados não paralelos é perpendicular às bases.
Propriedades do trapézio isósceles
1ª propriedade: “Num trapézio isósceles,
os ângulos da base maior são congruentes
e os ângulos da base menor também são
congruentes”.
A
2ª propriedade: “Num trapézio isósceles as diagonais
são congruentes”.
B
A
B
D
D
C
AC ≅ BD
C
Aˆ ≅ Bˆ e Cˆ ≅ Dˆ
Atenção! Nos trapézios: retângulo e escaleno as
diagonais não são congruentes.
Base média de um trapézio: é o segmento cujas extremidades são os pontos médios dos lados
não-paralelos.
Propriedade: “A base média de um trapézio é a média aritmética das medidas das bases”.
A
M
D
B
AB + CD
= MN
2
N
C
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2. Paralelogramo
É um quadrilátero que possui 2 pares de lados (opostos) paralelos.
A
B
AB // CD e
AD // BC
C
D
Propriedades do paralelogramo
1ª propriedade: “Num paralelogramo os lados opostos e os ângulos opostos são congruentes.”
A
B
D
1) AB ≅ DC e AD ≅ BC
2) Aˆ ≅ Cˆ e Bˆ ≅ Dˆ
C
2ª propriedade: Num paralelogramo, as diagonais se cruzam no ponto médio.
A
B
1) M é ponto médio
M
D
2) AM ≅ CM
C
e BM ≅ DM
3. Retângulo
É um quadrilátero que possui dois pares de lados (opostos) paralelos e todos os ângulos retos.
A
.
. B
.
.
C
D
Propriedades do retângulo
“As diagonais de um retângulo são congruentes”.
A
.
.
B
1) AC ≅ DB
M
2) M é ponto médio
.
D
.
C
3) AM ≅ MC ≅ DM ≅ MB
Obs.: O retângulo é um paralelogramo, portanto todas as propriedades do paralelogramo valem para o
retângulo.
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4. Losango
É um quadrilátero que possui dois pares de lados (opostos) paralelos e quatro lados congruentes.
A
B
D
C
Propriedades do losango
“As diagonais do losango são perpendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos internos do losango”.
1) AC ⊥ BD
2) Aˆ1 ≅ Aˆ 2 ; Bˆ1 ≅ Bˆ 2 ; Cˆ 1 ≅ Cˆ 2 ; Dˆ 1 ≅ Dˆ 2
A
2
1
M
1
D
2
.. ..
2
1
C
1
2
3) AC é diagonal menor
B
4) BD é diagonal maior
5) M é ponto médio
6) AM ≅ MC e DM ≅ MB
Obs.: O losango é um paralelogramo, portanto todas as propriedades do paralelogramo valem para o
losango.
5. Quadrado
É um quadrilátero que possui os quatro lados congruentes e quatro ângulos retos.
Propriedades do quadrado
A
.
.
D
Todas as propriedades do retângulo e do losango valem para o quadrado.
1) As diagonais são congruentes: AC ≅ BD .
M
.
B
2) As diagonais se interceptam no ponto médio. Logo:
.
C
AM ≅ MC ≅ BM ≅ MD
3) As diagonais são perpendiculares: AC ⊥ BD
4) As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.
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6. “Pipa” ou “Papagaio”
Além dos quadriláteros já conhecidos temos ainda:
Pipa ou Papagaio: é um quadrilátero que possui dois pares de lados consecutivos congruentes e um
par de ângulos opostos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.
A
B
D
C
Propriedade da Pipa
“As diagonais são perpendiculares.”
..
. .
Exercícios
1) No quadrilátero, temos x – y = 80º. Nessas condições, determine as medidas x e y.
x
118º
82º
y
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2) Na figura, mostre que x + y = a + b
y
a
b
x
3) ABCD é um trapézio isósceles. Determine as medidas dos ângulos internos desse trapézio. Justifique.
A
a)
A
B
B
b)
x+ 80º
3x
27º
.
D
D
C
C
4) Na figura, M e N são pontos médios dos lados AB e CD respectivamente. Determine as medidas das
bases do trapézio.
A
M
3x
B
37,5 cm
D
N
C
4x+5
5) No paralelogramo abaixo determine a medida dos ângulos internos.
A
B
2x –50º
x + 55º
D
C
6) Num retângulo , uma diagonal forma um ângulo de 35º com um lado. Determine as medidas dos quatro
ângulos formados pelas diagonais.
7) ABCD é losango, determine x , y .
A
A
a)
b)
2x
D
3x – 2y
11
B
D
x + 37º
y
B
x
5y
C
C
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