O Espaço: contínuo ou discreto?

O Espaço: contínuo ou discreto?
João Penedones
CERN Master Class
Universidade do Porto, 15 de Março de 2014
O Espaço: plasticina ou Legos?
Espaço discreto
Espaço contínuo
Matéria contínua
Matéria discreta
MATEMÁTICA
Aquiles e a Tartaruga
[Paradoxo de Zenão - 450BC]
Numa corrida entre Aquiles e a tartaruga, esta começa com
100metros de avanço porque corre mais devagar. Aquiles tenta
alcançá-la mas, quando chega à posição inicial da tartaruga, esta já
avançou para outra posição. Quando Aquiles chega a esta posição,
a tartaruga já avançou para outra posição e assim sucessivamente.
Logo, Aquiles nunca consegue ultrapassar a tartaruga.
Aquiles e a Tartaruga
vT = 5 m/s
vA = 10 m/s
Tempo = 10 s + 5 s + 2.5 s + . . .
�
�
1 1
= 1 + + + . . . 10 s
2 4
= 20 s
Progressão geométrica
1
,
1 + r + r + r + ··· =
1−r
2
3
se |r| < 1
A soma de um número infinito de termos pode dar
um resultado finito.
[Arquimedes - 300BC]
1
1
1
1
+
+
+ ··· =
4 16 64
3
Quadratura da parábola
L
Area
[Arquimedes - 300BC]
L
�
�
4
= Area
3
�
�
Cálculo Integral e Diferencial
[Newton, Leibniz - 1700]
=
lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
f (x) = lim
∆x→0
∆x
�
O espaço contínuo pode ser descrito como o limite de
um espaço discreto em que o tamanho dos “átomos”
tende para zero.
FÍSICA CLÁSSICA
Física Clássica
Na física clássica tudo é contínuo:
• Espaço e tempo
• Matéria
✦ Sólidos - elasticidade
✦ Fluídos - dinâmica de fluídos
• Potencial gravítico
• Campo electromagnético
exemplo: densidade
ρ(t, x) ∈ R
Baseado no estudo de reações químicas, em 1803 Dalton propõe
que a matéria é constituída por átomos.
Em 1738, Bernoulli apresenta a sua teoria cinética dos gases, cuja
ideia base é que um gás é um grande número de moléculas com
movimentos aleatórios.
Lei dos gases perfeitos
pV = nRT
pV = N kB T
A velocidade média das moléculas cresce com a temperatura
m�vx2 � = m�vy2 � = m�vz2 � = kB T
As moléculas colidem elasticamente com as paredes do recipiente
2L
∆t =
∆P = 2m|vx |
|vx |
�v
vy
Cada molécula gera uma pressão
F1
1 ∆P
mvx2
p1 =
=
=
A
A ∆t
V
A pressão total é
�
N
N
2
p=
pi = m�vx � = kB T
V
V
i
m
L
vx
A
Movimento Browniano
[Brown - 1827]
[Einstein - 1905]
[Perrin - 1908]
Grãos de pólen em água observados ao microscópio.
FÍSICA QUÂNTICA
Efeito foto-eléctrico
[Hertz - 1887]
[Einstein - 1905]
Energia cinética dos
electrões ejectados
Ecin = hν − Φ
frequência
da luz (cor)
energia de
ligação de
cada metal
Campo electromagnético também é constituido por
átomos de luz - fotões.
Mecânica Quântica
Probabilidade de transição de um
estado inicial para um estado final:
P (I → F ) = |A(I → F )|2
A(I → F ) =
�
e
i
h S[caminho]
caminhos
I→F
[Feynman - 1948]
A soma sobre todos os caminhos
precisa de ser regularizada para dar
um resultado finito.
Renormalização
[Wilson - 1974]
Regularização de cromodinâmica quântica numa rede cúbica
time
massa do protão
h
1
Mp ∼
exp 2
ca
g
(quarks sem massa)
u
u
d
a
g é a “probabilidade” de emitir um gluão
O limite contínuo obtém-se para
“tamanho”
do protão
h
a � λp =
Mp c
2
(g → 0)
Neste limite, as grandezas físicas são quase insensíveis aos detalhes
microscópicos da regularização (universalidade).
Violação de invariância de Lorentz
A existência de uma distância mínima implica pequenas
correcções à dinâmica prevista pelo limite contínuo.
Por exemplo, a velocidade dos fotões deveria depender
do comprimento de onda.
Fotões de supernovas distantes (GRB)
5
4
4
10
Energy (MeV)
Energy (MeV)
3
10
4
10
10
5
10
4
10
Energy (MeV)
5
10
3
10
10
Energy (MeV)
5
10
3
10
3
10
> 10 anos-luz
9
2
2
10
5
10
16
5
[Vasileiou et al. - 2013]
2
10
10
24
5
10
22
10
2
10
5
GRB080916C
5
1025
14
GRB090510
GRB090902B
GRB090926A
20
14
12
10
83
10
14
12
3
8
10
2
3
15
3
10
6
10
4
5
42
10
2
4
10
8
10
6
4
4
10
10
10
10
6
0
4
10
16
20
Energy (MeV)
Events per 0.30 sec
10
12
Energy (MeV)
Events per 0.30 sec
4
Energy
(MeV)
Events
per 0.05
sec
Energy
(MeV)
Events
per 0.30
sec
18
2
2
10 2
10
2
-5
16
0
5
10
15
20
25
Time after trigger (sec)
GRB080916C
30
0
24
22
-2
0
2
4
6
8
10 12 14
Time after trigger (sec)
GRB090510
0
14
0
20
40
60
80
Time after trigger (sec)
GRB090902B
0
25
0
5
10
15
20
Time after trigger (sec)
GRB090926A
Violação de invariância de Lorentz
A existência de uma distância mínima implica pequenas
correcções à dinâmica prevista pelo limite contínuo.
Por exemplo, a velocidade dos fotões deveria depender
do comprimento de onda.
Isto ainda não foi observado e os limites experimentais
apontam para um comprimento mínimo menor que o
comprimento de Planck.
�P =
�
�G
−35
≈ 1.6 × 10 m
3
c
Isto sugere que a teoria fundamental existe no contínuo.
Gravidade
Em relatividade geral, o espaço-tempo é dinâmico e curvase na presença de matéria.
Numa teoria quântica da gravidade, a soma sobre
caminhos deve incluir todas as geometrias possíveis entre
o estado inicial e final. Não sabemos como regularizar
esta soma.
A força gravítica é mediada por uma partícula sem massa
e com spin 2 (gravitão).
Teorias de campo com simetria de Lorentz não podem
conter partículas sem massa e com spin maior que 1.
[Weinberg, Witten - 1980]
Princípio holográfico
[‘t Hooft - 1993]
[Susskind - 1994]
Em gravidade quântica, o número de graus de liberdade
numa região do espaço é proporcional à área da superfície
que envolve essa região.
SBH
A
= 2
4�P
Isto sugere que a teoria fundamental “vive” na fronteira
do espaço-tempo.
Princípio holográfico
Esta ideia funciona bem num universo diferente do
nosso. Neste caso a teoria fundamental é uma teoria de
campo que vive no contínuo e é invariante segundo
transformações de escala.
[Maldacena - 1997]
Conclusão
O espaço talvez seja contínuo mas ainda temos muito
para descobrir antes de saber a resposta final...
Obrigado!