E.F. 2 semestre 2014 - Instituto de Matemática

Universidade Federal do Rio de Janeiro
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Instituto de Matemática
Departamento de Matemática
Disciplina: Matemática II
Prova Final Unificada
Unidades: Instituto de Economia
Código:
Turmas: Economia
MAC 121
2o Sem/2014
Data: 24/11/2014
Em todas as questões justifique cada etapa de suas soluções. RESOLVA AS QUEStÕES
NA ORDEM CRESCENTE.
1a Questão (2,0 p)
a) Calcule :
1
Z
x2
0
x−1
dx
+ 3x + 2
SOLUÇÃO:
x−1
A
=
+
x2 + 3x + 2
x+1
Z 1
Z 1
−2
3
dx
dx
0 x+1
0 x+2
B
x+2
=⇒
A= −2
−2 ln 2 + 3ln3 − 3ln2
=
B=3
=
ln(27/32)
b) Seja a região R limitada pelo gráfico da função f : [1, e] → R , f (x) =
x (lnx)2 , pelo eixo x e pelas retas
x=1
e
x = e.
i) Esboce a região R.
ii) Determine a área da região R.
SOLUÇÃO:
I)f 0 (x) = (ln x)2 + 2 ln x
f ”(x) = 2
ln x + 1
x
f (x) =⇒
II)
Re
Re
x(ln x)2 dx = e2 /2 −
1
1
=⇒
x(ln x)2 dx = (x ln x)2 /2 |e1
f (x)
crescente
f (x) côncava para baixo
−
Re
1
x ln xdx
(x2 ln x)/2 |e1 −
Re
1
x/2 dx
=
(e2 − 1)/4.
2a Questão (2,0 p) Seja W o sólido limitado pelo parabolóide z = x2 + 3y 2 e pelos
planos y = x x = 0, y = 1, z = 0.
a) Desenhe W .
b) Determine o volume de W .
Solução;
b)
a)
R x=1 R y=1
x=0
R x=1
x=0
y=x
x2 y
+
x2 + 3y 2 dydx
1
y3
y=x
dx =
R x=1
x=0
ou
R 1=1 R x=y
y=0
x=0
x2 + 3y 2 dxdyx
(x2 + 1) − 2x3 dx = 5/6.
2
3a
Questão (2,0 p) Seja a série de potências
∞
X
(−1)n
n=1
(x − 6)n
√
(4n ) n2 + 2
a) Determine o raio de convergência da série.
b) Determine o intevalo de convergência da série.
Solução.
an+1 =
a)
an p
(x − 6) 1 + 2/n2
limn→∞ L < 1
=L
p
4 (1 + (1/n2 )) + 2/n x − 6)
=⇒ bigg| < 1 =⇒
4
1
2 < x < 10
Raio de convergência igual a 4.
b) Intervalo de convergência.
Para x=2
=⇒
X
(−1)n
X (−1)2n
(−4)n
√
√
=
(4n ) n2 + 2 n=1 n2 + 2
P
(−1)2n
1
√
= n=1 √
=⇒
n=1
n2 + 2
n2 + 2
P
P
1
1
=⇒
divergente.
= n=1 √
>
n=1 √ 2
2
n +2
n + n2
X
X (−1)n
4)n
√
√
Para x=10
=⇒
(−1)n
=
(4n ) n2 + 2 n=1 n2 + 2
P
Série alternada convergente.
Intervalo de convergência
(2, 10]
4a Questão (2,0 p) Seja a equação diferencial
y0 =
2x + sec2 (x)
.
2y
a) Encontre a solução geral da equação .
b) Encontre a solução da equação que satisfaz à condição inicial y(0) = −5.
Solução:
2yy 0 = 2x+(sec(x))2 =⇒
y 2 = x2 + tan x + c
Como y(0)=-5
2ydy = (2x+sec2 (x))dx
=⇒
R
R
2ydy = (2x+sec2 (x))dx.
√
y(x) = ± x2 + tan x + c
=⇒ c = 25
=⇒ y(x) = −
√
x2 + tanx + 25
y 00 + y 0 − 6y = −36xe−x
5a Questão (2,0 p) Seja a equação diferencial
3
a) Encontre a solução geral da equação homogênea correspondente.
b) Encontre uma solução particular da equação dada.
c) Determine a solução geral da equação dada.
d) Encontre a solução da equação dada que satisfaz às condições iniciais y(0) =
1 e y 0 (0) = 11.
solução:
a)y”(x) + y 0 (x) − 6y(x) = 0
r2 + r − 6 =
=⇒
Solução da equação homogênea associada :
r=2 ou r=-3.
yh (x) = C1 e2x + C2 e−3x
Solução particular :
yp = (ax + b)e−x
=⇒ . Substituindo na equação diferencial dada encontramos os
valores de a = 6 e b = −1
Portanto a solução geral será : yh + yp = (6x − 1)e−x + C1 e2x + C2 e−3x
Cálculo das constantes
y(0) = 1
y 0 (0) = 11
=⇒
=⇒
C1
e
C2 .
C1 + C2 = 2
2c1 − 3c2 = 4
Resolvendo este sistema temos : C1 = 2
e
C2 = 0
Assim, a solução deste problema de valor inicial é
Boa sorte!
Professores: Eduardo, Jaques.
4
y(x) = (6x − 1)e−x + 2e−x .//