Gabarito P2 - Instituto de Matemática

Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Departamento de Métodos Matemáticos
Gabarito da 2a Prova de Geometria I - Matemática - Monica
03/06/2013
1a Questão: (1,5 ponto) (solução na folha 1) Na figura, se os ângulos externos AĈE e AB̂D
satisfazem a desigualdade: AĈE < AB̂D, mostre que AB̂D > AB̂C.
Solução
Por hipótese,
AB̂D > AĈE.
Pelo Teorema do ângulo externo,
AĈE > AB̂C.
Logo AB̂D > AB̂C.
2a Questão: (3 pontos) (solução na folha 1) Prove que a mediatriz r de um segmento AB (isto
é, a reta r perpendicular a AB passando pelo ponto médio de AB), é o lugar geométrico
dos pontos do plano equidistantes das extremidades do segmento AB.
Dica: Prove que:
1. Se P ∈ r então P A = P B.
Solução
Seja Q o ponto de interseção de r com o segmento AB.
Se P = Q então P A = P B, pois o ponto P = Q é o ponto médio de AB.
Se P =
6 Q, temos:
• AQ = BQ, pois Q é ponto médio de AB.
• AQ̂P = 90◦ = B Q̂P , pois r é a mediatriz de AB.
• QP = QP , pois é lado comum aos dois triângulos.
Logo, por LAL, AQP = BQP . Em particular, P A = P B.
2. Se P A = P B então P ∈ r.
Solução
Se P ∈ AB, como P A = P B, P é ponto médio de AB e portanto, P ∈ r.
Seja Q o ponto de interseção de r com o segmento AB.
Se P ∈
/ AB, temos:
• AQ = BQ, pois Q é ponto médio de AB.
• QP = QP , pois é lado comum aos dois triângulos.
• P A = P B, por hipótese.
Logo, por LLL, AQP = BQP . Em particular, AQ̂P = B Q̂P = 90◦ , o que mostra
que P pertence à mediatriz.
3a Questão: (2 pontos) (solução na folha 2) O triângulo ABC é retângulo em A e o ponto
P ∈ BC é o pé da bissetriz interna do ângulo B ÂC. Calcule a distância de P ao lado AC
em função de AB = c e AC = b.
Dica: Se Q ∈ AC é tal que P Q⊥AC comece provando que AQ = P Q e que P QC ∼ BAC.
Solução
Seja Q o pé da perpendicular baixada de P ao segmento AC.
Como as duas retas que contém os segmentos AB e P Q são perpendiculares à reta que
contém o segmento AC, as duas retas são paralelas entre si. Logo,
B ÂP = AP̂ Q,
pois são ângulos correspondentes. Mas, como AP é bissetriz do ângulo B ÂC,
B ÂP = P ÂQ.
Portanto,
AP̂ Q = P ÂQ,
o que prova que o triângulo AP Q é isósceles e
AQ = P Q.
2
Seja
AQ = P Q = x,
o valor que queremos calcular.
Temos
P Q̂C = 90◦ = B ÂC
e
QĈP = AĈB,
portanto, por semelhança ALA, P QC ∼ BAC.
Em particular
PQ
QC
=
,
BA
AC
isto é,
b−x
x
=
,
c
b
bc
x=
.
b+c
4a Questão: (3,5 pontos) (solução na folha 3) Complete a demonstração do teorema, justificando os passos dos itens a) ao f) da prova a seguir:
Teorema da boca aberta: ”Dados dois triângulos ABC e DEF com AB = DE,
b>E
b então AC > DF .”
BC = EF , se B
prova. Seja H um ponto tal que a semi-reta SBH divide o ângulo B̂ com H B̂C = DÊF
e BH = ED. Seja K o ponto que a semi-reta SBH intersecta o lado AC. Seja SBL a
bissetriz de AB̂H = AB̂K. Seja M o ponto que a semi-reta SBL intersecta o lado AC.
a) Os triângulos DEF e HBC são congruentes.
Solução
Temos:
• DE = HB, por construção.
• DÊF = H B̂C, por construção.
• EF = BC, por hipótese.
Logo, por congruência LAL, DEF = HBC. Em particular, DF = HC.
b) Os triângulos ABM e HBM são congruentes.
Solução
Temos:
3
• AB = HB, pois AB = DE por hipótese e DE = HB, por construção.
• AB̂M = H B̂M , pois BM é bissetriz de AB̂H.
• BM = BM , lado comum.
Logo, por congruência LAL, ABM = HBM . Em particular, AM = HM .
c) Se K = H, AC > DF .
Solução
Pois A, H e C são colinares e como, pelo item a), DF = HC,
AC = AH + HC = AH + DF > DF .
d) Se K 6= H, HC < HM + M C.
Solução
Pois A, H e C não são colinares e, pela desigualdade triangular,
HC < HM + M C.
e) Logo HC < AC.
Solução
Pelo item b), AM = HM e
HC < HM + M C = AM + M C = AC.
f ) Logo DF < AC.
Solução
Pois pelo item a), HC = DF , logo pelo item e),
HC = DF < AC.
b > E”?
b
E, será que vale a recı́proca? ”Se AC > DF então B
Prove ou dê um contraexemplo.
Solução
b≤E
b ou AC = DF , no caso da igualdade, ou, usando o teorema da boca aberta,
Se B
AC < DF , no caso da desigualdade, . Logo, vale a recı́proca.
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