Cálculo D Lista 6 - MTM

Cálculo D
MTM 5164
2016.2
Lista 6
1. Resolva os problemas de valor de contorno abaixo, ou mostre que não existe solução.
a) y 00 + y = 0, y(0) = 0, y 0 (π) = 1
b) y 00 + y = x, y(0) = 0, y(π) = 0
c) x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 0, y(1) = −1,
y(2) = 1
2. Encontre os autovalores e autofunções dos problemas de valor de contorno a seguir. Em
outras palavras, para quais valores de λ os problemas tem soluções não triviais, e quais
são tais soluções?
a) y 00 + λy = 0,
y 0 (0) = 0, y(π) = 0
b) y 00 − λy = 0,
y(0) = 0, y 0 (L) = 0
3. Resolva as seguintes equações diferenciais parciais por separação de variáveis:
a)
∂u
∂u
−x
=0
∂x
∂y
b)
∂u
∂u
− 2y
=0
∂x
∂y
4. Uma barra condutora de calor, de comprimento L, está termicamente isolada ao longo
de sua superfı́cie lateral e suas extremidades são mantidas na temperatura zero. Se a
temperatura inicial da barra é u0 (constante), escreva a EDP e as condições de contorno
(e/ou iniciais) que devem ser satisfeitas pela temperatura u(x, t).
Resolva tal problema através de separação de variáveis.
Analise o comportamento da solução em função do tempo.
5. Encontre a solução do problema de condução de calor:
uxx = 4ut ,
0 < x < 2,
t > 0,
u(0, t) = 0,
u(2, t) = 0,
t > 0,
u(x, 0) = 2 sin(πx/2) − sin πx + 4 sin 2πx,
0 ≤ x ≤ 2.
6. Uma barra de comprimento L encontra-se inicialmente a uma temperatura de 0o C. Um
extremo da barra (x = 0) é mantido a 0o C e o outro é aquecido a uma taxa constante
H por unidade de comprimento. Encontre a distribuição de temperatura na barra após
um tempo t.
7. Considere uma barra uniforme de comprimento L com distribuição inicial de temperatura dada por f (x), 0 ≤ x ≤ L. Suponha que a temperatura no extremo x = 0 é
mantida a 0o C, enquanto a extremidade x = L está isolada, de modo que não há fluxo
de calor através dela. Mostre que as soluções fundamentais da EDP que cumprem as
condições de contorno são:
2 π 2 κ2 t/4L2
un (x, t) = e−(2n−1)
sin[(2n − 1)πx/2L],
para n = 1, 2, 3, . . .
8. A equação do calor em duas dimensões é
κ2 (uxx + uyy ) = ut .
Supondo que u(x, y, t) = X(x)Y (y)T (t), encontre as equações diferenciais ordinárias
que devem ser satisfeitas por X(x), Y (y) e T (t).
9. Considere uma corda de comprimento 1 cujas extremidades estão presas. Descreva
o modelo para pequenos deslocamentos verticais, dado que ut (x, 0) = 0 e u(x, 0) =
sin(4πx) + 3 sin(7πx). E se u(x, 0) = 0 e ut (x, 0) = x(1 − x)?
10. Se uma corda elástica tiver uma extremidade solta, a condição de contorno a ser satisfeita é ux = 0. Encontre o deslocamento u(x, t) de uma corda elástica de comprimento
L, fixa em x = 0 e solta em x = L, colocada em movimento sem velocidade inicial a partir da posição inicial u(x, 0) = f (x), onde f é uma função dada. Dica: as
soluções fundamentais que satisfazem a todas as condições, exceto a condição inicial
não-homogênea, são:
un (x, t) = sin λn x cos λn ct.
onde λn = (2n − 1)π/2L para n = 1, 2, 3, . . . .
11. Considere uma membrana elástica esticada, presa a uma moldura retangular de lados
a e b. Encontre um modelo para as vibrações na superfı́cie da membrana.
12. O movimento de uma membrana circular elástica, como a membrana de um tambor, é
determinado pela equação da onda bidimensional em coordenadas polares:
∂ 2 u 1 ∂u
1 ∂2u
1 ∂2u
+
+
=
.
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
c2 ∂t2
Supondo que u(r, θ, t) = R(r)Θ(θ)T (t), encontre as equações diferenciais ordinárias a
serem satisfeitas por R(r), Θ(θ) e T (t).
13. Encontre a solução geral da equação de Laplace
∇2 u = 0,
em 3 dimensões.
14. Verifique que R(r) = c1 rµ + c2 r−µ é solução da equação de Euler-Cauchy:
r2 R00 + rR0 − µ2 R = 0.
15. Se a equação de Laplace em coordenadas polares é dada por
urr + (1/r)ur + (1/r2 )uθθ = 0,
encontre a solução para o problema de Dirichlet em uma região circular de raio a.
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