Conterdo - Milton Procópio de Borba

Conteúdo
1 INTEGRAl DEFINIDA
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
7
8
O Cálculo de Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
1.3
1.4
Integral Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integral Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
13
17
1.5
O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.5.1
1.5.2
21
21
1.6
1.7
1.8
1.9
Fórmulas Clássicas de resolver integral (Revisão) . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.4 Teorema do valor médio para integrais . . . . . . . 23
Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Integral de uma Função Descontínua num ponto c 2 [a; b] 25
1.7.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Aplicações da Integral De…nida . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8.1 Cálculo da área em coordenadas retangulares . . . 27
1.8.2 Área delimitada por curvas escritas em equações paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8.3 Área de um setor cuvilíneo em coordenadas polares 33
1.8.4 Comprimento de um arco . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8.5 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8.6 Comprimento de arco em coordenadas polares . . 41
1.8.7 Volume de um sólido de revolução . . . . . . . . . . 42
1.8.8 Área de um sólido de revolução . . . . . . . . . . . . 47
1.8.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
53
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2
2.3
2.4
2.5
Grá…co de uma Função de Várias Variáveis
Representação Grá…ca de uma Superfície . . . . .
2.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distâncias e Bolas no Espaço . . . . . . . . .
Limite de uma Função de duas Variáveis .
2.5.1 Propriedades dos Limites . . . . . . . . .
1
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55
56
60
60
61
65
2.5.2
2.5.3
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Interpretação Geométrica das derivadas
Derivada de uma Função Composta . . . . . . .
2.7.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Derivadas de Funções Implícitas . . . . . . . . .
Derivada parcial como taxa de variação . . . .
Diferencias Parciais e Totais . . . . . . . . . . .
Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . .
2.11.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extremos de uma Função de duas Variáveis .
2.12.1 Ponto Crítico . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.2 Ponto de Máximo e de Mínimo . . . . .
Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 INTEGRAIS MÚLTIPLAS
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla
3.3 Cálculo da Integral Dupla . . . . . . . . . . . .
3.4 Integrais Duplas em Coordenada Polares . .
3.5 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . .
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67
67
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parciais
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95
. 95
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. 98
. 101
. 105
. 110
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74
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92
4 INTEGRAIS TRIPLAS
111
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Interpretação geométrica da integral tripla . . . . . . . .
Cálculo da integral tripla em coordenadas retangulares
Integrais triplas em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . .
Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas . . . . . . . .
Área de uma Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercícios Referente ao Trabalho . . . . . . . . . . . . . .
Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 SEQÜÊNCIAS e SÉRIES
5.1 Sequências . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Introdução . . . . . . . . .
5.1.2 Limite de uma Sequência . .
5.1.3 Sequências Convergentes
5.1.4 Subsequência . . . . . . . .
5.1.5 Sequência Limitada . . . .
5.1.6 Sequências Numéricas . .
2
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134
134
134
136
137
138
138
139
5.2
5.3
SÉRIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1
Limite de uma Série . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Séries Convergentes . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Condição necessária para convergência.
SÉRIES ESPECIAIS . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1
5.3.2
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
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146
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150
Série harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Série geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Critérios para veri…car a convergência de uma série . . .
5.4.1 Critério da comparação. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Critério de D ’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Critério de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Critério da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séries de Termos Positivos e Negativos . . . . . . . . . . .
5.6.1 Convergência de uma série alternada . . . . . . . . .
Série de termos de sinais quaisquer . . . . . . . . . . . . . .
Séries absolutamente convergente e condicionalmente convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SÉRIES DE FUNÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.1 Convergência de séries de funções . . . . . . . . . . .
5.10.2 Séries de funções majoráveis num intervalo . . . . .
5.10.3 Continuidade da soma de uma série de funções. . . . . . .
5.10.4 Integração de uma série de funções contínuas . . . . . . .
5.10.5 Derivadas de uma série de funções contínuas . . . . . . .
SÉRIE DE POTÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11.1 Processo para determinar o intervalo e o raio de convergência de uma série de potências . . . . . . . . . . . .
5.11.2 Série de potências em termos de (x a) . . . . . . . . . .
Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Série de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fórmula geral do binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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166
166
168
168
170
171
173
175
179
PLANO DE ENSINO
1. EMENTA
Integrais de…nidas. Estudo das funções de várias variáveis. Estudo das
integrais múltiplas. Estudo das séries numéricas e das séries de funções.
3
2. PROGRAMA DA DISCIPLINA
1. Integral De…nida. (14h/a) [ 01/03 à 22/03]
1.1. Integral de…nida. (2 h/h)
1.2. Propriedades fundamentais. ( 1h/a)
1.3. Substituição de variáveis. ( 1h/a)
1.4. Integrais impróprias. (1h/a)
1.5. Integração por partes. (1h/a)
1.6. Aplicações.
a) Cálculo de área em coordenadas retangulares. (1h/a)
b) Cálculo de área em coordenadas polares. (1h/a)
c) Comprimento de um arco. (2h/a).
d) Volume de sólidos e revolução. (2h/a)
e) Superfície de um sólido de revolução e outras aplicações. (2h/a)
2. Funções de Várias Variáveis. (14h/a) [24/03-19/04]
2.1. Introdução.
2.2. De…nição.
2.3. Representação grá…ca.
2.4. Operações com funções. (1h/a)
2.5. Limites (2h/a)
2.6 Continuidade de uma função. (1h/a)
2.6. Derivadas parciais. (1h/a)
2.8. Interpretação geométrica das derivadas parciais.(1h/a)
2.9. Incremento total e diferencial total. (1ha)
2.10. Aplicações da diferencial total. (1h/a)
2.11. Derivada de uma função composta. (1h/a)
2.12. Derivada de uma função implícita. (1h/a)
2.13. Derivadas parciais de diversas ordens. (1h/a)
2.14. Máximos e mínimos. (1h/a)
2.15. Aplicações das derivadas parciais. (2h/a)
3. Integrais Duplas. (6h/a) [26/04-03/05]
3.1. De…nição. (1h/a)
3.2. Propriedades. (1h/a)
3.3. Interpretação geométrica. (1h/a)
3.4. Cálculo da integral dupla. ( 1h/a)
3.5. Cálculo da integral dupla em coordenadas polares.(2h/a)
4. Integrais Triplas. (10h/a)[05/05-19/05]
4.1. De…nição
4.2. Propriedades. (1h/a)
4.3. Interpretação geométrica. (1h/a)
4.4. Cálculo das integrais triplas em coordenadas retangulares. (2h/a)
4.5. . Cálculo das integrais triplas em coordenadas cilíndricas. (2h/a)
4.6. Cálculo das integrais triplas em coordenadas esféricas). (2h/a)
4
4.7. Apresentação de trabalhos 2(h/a).
5. Séries Numéricas e Séries de Funções. (16 h/a)[24/05-23/05]
5.1. Seqüências. (2h/a)
5.2. Séries. (1h/a)
5.3. Comparação das séries de termos positivos. (1h/a)
5.4. Critério de D‘Alembert.
5.5. Critério de Cauchy.
5.6. Critério da integral. (2h/a)
5.7. Séries alternadas - Teorema de Leibniz. (1h/a)
5.8. Séries com termos positivos e negativos.Convergência absoluta e condicional. (1h/a)
5.9. Séries de funções. (1h/a)
5.10. Séries majoráveis. (1h/a)
5.11. Continuidade da soma de uma série. (1h/a)
5.12. Derivação e integração das séries. (1h/a)
5.13. Séries de potência. Intervalo de convergência.(1h/a)
5.14. Séries de potência de (x-a). (2h/a)
5.15. Séries de Taylor e de MacLaurin. (2h/a).
AVALIAÇÃO
Provas, trabalho
1a Prova referente
2a Prova referente
3a Prova referente
4a Prova referente
o
o
o
o
capítulo
capítulo
capítulo
capítulo
I –09/04/2005 = nota x
II –07/05/2005 = nota y
III e IV –04/06/2005= nota z
V - 25/06/2005 = nota w.
01 trabalho referente ao capítulo III e IV valendo até 2 pontos na III prova
para quem não tirar 10 na prova.
A média do semestre é dada pela fórmula
m=
2x + 2y + 3z + 3w
10
Exame : 08/07/ 2005
Referências
[1] PISKOUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. Lopes e Silva. Porto.
[2] LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. Harbra. SP.
[3] SWOKOWSKI. E. William. Makron Books. SP
[4] AYRES. Frank Jr.. Cálculo, Coleção Scháum. McGraw-Hill do Brasil. SP.
5
[5] GONÇALVES, Mirian Buss & FLEMMING, Diva Marília. Cálculo B:
Funções de Várias Variáveis Integrais Duplas e Integrais Triplas. São Paulo,
Makron Books, 1999.
[6] THOMAS, G. Cálculo. Addison Wesley, São Paulo, vol. 1 e 2, 2002.
[7] ANTON, H. Cálculo um novo Horizonte. Bookman, Porto Alegre,vol 1 e 2,
1999.
[8] Apostila Texto de Cálculo II
6
1
INTEGRAl DEFINIDA
Integrais de…nidas: Objetivos:
Ao …nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de:
1.
De…nir integral inferior e integral superior;
2.
Calcular o valor da integral de…nida por de…nição;
3.
Aplicar o teorema fundamental do cálculo e suas propriedades;
4.
Calcular integral de…nida por substituição de variáveis;
5.
Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias;
6.
Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias de funções descontinuas;
7.
Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas retangulares;
8.
Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas polares;
9.
Calcular volume de um sólido de revolução;
10.
Calcular o comprimento de um arco em coordenadas retangulares,
paramétricas e polares;
11.
Calcular a superfície de um sólido de revolução.
12.
Resolver problemas através da integral nas áreas de física, produção,
economia entre outras aplicações.
12.
Resolver exercícios usando o Maple.
A prova será composta por questões que possibilitam veri…car se os objetivos
foram atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos.
O modelo de formulação das questões é o modelo adotado na formulação dos
exercícios e desenvolvimento teórico desse capítulo, nessa apostila.
7
1.1
Introdução
Neste capítulo estudaremos a integral de…nida. Uma das principais aplicações
da integral de…nida encontra-se em problemas que envolvem cálculo de área e
volumes. Por exemplo, seja f : [a; b] :! R uma função tal que f (x) 0 para
todo x 2 [a; b]. Nosso propósito é determinar a área delimitada pela curva
y = f (x) e pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, conforme …gura 1
Figura 1: área da região R
Como você acha que poderíamos calcular a área da região?
Estimando o valor da área R: Sabemos como calcular a área de um
retângulo (base x altura). Vamos considerar neste caso, a = 2 e b = 6 e
dividir o intervalo [2; 6], por exemplo, em 2 subintervalos de comprimento
x = 2. Denotamos os extremos destes subintervalos por xi , onde 0 i 2.
Veja que, neste caso, x0 = 2, x1 = 4 e x2 = 6. Na …gura 2, considere os
retângulos de largura x e altura Mi = M axff (xi 1 ); f (xi)g:
A área é dada pela soma dos dois retângulos. Como a base é a mesma
i=2
X
podemos dizer que a área é dada pelo
Mi x , onde Mi = M axff (xi 1 ); f (xi)g
i=0
e x = xi xi 1 . Você acha que podemos comparar a área da região R representada pela …gura 1 e a região formada pelos retângulos da …gura 2. ? A
diferença é muito grande? O que aconteceria com esta diferença se dividissemos
este intervalo em n = 3; 4; 5; 6::::?
A de…nição formal de integral envolve a soma de muitos termos pequenos
(diferenciais), com a …nalidade de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim há uma conexão entre o cálculo integral e diferencial, onde o
8
Figura 2: Estimativa da área por retângulo
Teorema Fundamental do Cálculo (que veremos ainda neste cápitulo) relaciona
a integral com a derivada. As integrais estão envolvidas em inúmeras situações:
usando a taxa (derivada) podemos obter a quantidade (integral) de óleo que
vaza de um tanque durante um certo tempo; utilizando a leitura do velocímetro
de um ônibus espacial é possível calcular a altura atingida por ele em um dado
intervalo de tempo. Assim, pode usar-se a integral para resolver problemas concernentes a volumes, comprimentos de curvas, predições populacionais, saída de
sangue do coração, força sobre uma represa, excedente de consumo e futebol,
potência consumida e a energia usada em um intervalo de tempo na cidade de
Joinville, etc.
1.1.1
O Cálculo de Área
Ao tentar encontrar a área de uma região que está sob uma curva s = f (t) de
a até b, onde a curva s representa a derivada da distância percorrida, isto é,
a velocidade de um automóvel ao percorrer uma certa distância durante um
certo intervalo de tempo, e a área representará a distância total percorrida pelo
automóvel durante este intervalo de tempo. Assim, isso signi…ca uma região D,
limitada por uma função f (t) (onde f (t) > 0), retas verticais ao eixo t dos
tempos, isto é, t = ti = a e t = tf = b, onde ti = a e tf = b representam o
tempo inicial e …nal respectivamente, e o eixo t
9
s
s = f (t )
D
t = a
t
t =b
D = {(t , s )∈ ℜ / a ≤ t ≤ b, 0 ≤ s ≤ f (t )}
Calcular área de uma região retangular é tarefa simples. Para um retângulo a
área é de…nida como o produto base pela altura. A área de um triângulo é a
metade da base vezes a altura. A área de um polígono é encontrada dividindo-o.
No entanto não é tão fácil encontrar a área de uma região com lados curvos.
Assim, parte do problema da área é utilizar uma idéia intuitiva do que é a área de
uma região. Recordando-se que ao de…nir uma tangente primeiro aproximando
a inclinação da reta tangente por inclinações de retas secantes e então tomando o
limite dessas aproximações, utiliza-se de uma idéia semelhante para obter áreas.
Em primeiro lugar aproxima-se a região por retângulos e então toma-se o limite
das áreas desses retângulos à medida que se aumenta o número destes.
E desta forma a área total será dada pela soma das área retangulares onde
as bases ! 0 ) t ! 0 quando o número de retângulo ! 1 ) n ! 1 . Você
consegue formalizar, matematicamente, este resultado?
Para dar início ao processo veremos algumas de…nições que auxiliam na
compreensão.
Partição
10
De…nição 1 : Seja [a; b] um intervalo. Denominamos partição de [a; b] ao
conjunto ordenado de pontos
P = [x0 ; x1 ; x2 ; ::::; xi ::::; xn ]
tais que
a = x0 < x1 < x2 < :::::::: < xn = b
que dividem [a; b] em
n-subintervalos
[x0 ; x1 ] ; [x1 ; x2 ] ; [x2 ; x3 ] ; :::::; [xi
1 ; xi ] ::::::::::: [xn 1 ; xn ]
denominados intervalos da partição.
Além disso, podemos escrever
j[x0 ; x1 ]j
j[x1 ; x2 ]j
j[x2 ; x3 ]j
:
j[xi 1 ; xi ]j
:
j[xn 1 ; xn ]j
= x1
= x2
= x3
:
= xi
:
= xn
x0
x1
x2
xi
xn
1
1
=
=
=
:
=
:
=
x1
x2
x3
xi
xn
Consideremos o intervalo [1; 15]. O conjunto de pontos
P = [1; 2; 4; 8; 12; 15] é uma partição do [1; 15]:
Os intervalos dessa partição são:
[1; 2]; [2; 4]; [4; 8]; [8; 12]e[12; 15]:
Naturalmente, temos:
1 = x0 < 2 = x1 < 4 = x2 < 8 = x3 < 12 = x4 < 15 = x5 :
Sejam [a; b] um intervalo,
P = fx0 ; x1 ; x2 ; ::::; xi ::::; xn g
e
Q = [x0 ; x1 ; x2 ; :::y0:: :; xi ::::; xn ]
duas partições de [a; b]. Dizemos que a partição Q é um re…namento da partição
P se P Q.
Exemplo 2 Consideremos o intervalo [1; 15]. Os conjuntos de pontos
P = [1; 2; 4; 8; 12; 15] e Q = [1; 2; 3; 4; 5; 8; 10; 12; 14; 15] são duas partições de
[1; 15] tais que P Q. Então Q é um re…namento de P .
11
1.2
Integral Superior
Iniciaremos nosso estudo pela integral superior. Consideraremos uma função
f : [a; b] :! R de…nida num intervalo fechado [a; b] e limitada nesse intervalo.
Isto é, existem m; M tais que m f (x) M para todo x 2 [a; b].
De…nição 3 Soma Superior : Seja f : [a; b] :! R uma função limitada e
seja
P = [x0 ; x1 ; x2 ; ::::; xi ::::; xn ] tais que a = x0 < x1 < x2 < :::::::: < xn = b
uma partição de [a; b]. Seja Mi o valor supremo de f no intervalo [xi 1 ; xi ]
para i = 1; 2; 3; :::::n. Denominamos soma superior em relação à partição P da
função f e denotaremos por S(f; P ) à expressão:
S(f; P ) = M1 (x1
x0 ) + M2 (x2
S(f; P ) =
n
X
x1 ) + :: + Mn (xn
Mi (xi
xi
xn
1)
1)
i=1
Exemplo 4 Considere a função f : [0; 2] :! R de…nida por f (x) = xsenx.
Na …gura abaixo podemos ver o grá…co de uma soma superior referente a uma
partição composta por um número reduzido de pontos (15 pontos) e de uma soma
superior referente a uma partição com maior número de pontos (80 pontos).
y
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
0
0.5
1
1.5
2
x
Soma superior, S(f; P ), P com 15 pontos. A = 1; 863ua
12
y
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
0
0.5
1
1.5
2
x
Soma superior, S(f; P ), P com 80 pontos. A = 1; 746ua
Note que aumentando o número de pontos da partição, uniformemente distribuidos, a soma superior S(f; P ) se aproxima da área sob o grá…co de f (x) =
xsenx no intervalo [0; 2].
1.3
Integral Inferior
De…nição 5 Soma Inferior: Seja f : [a; b] :! R uma função limitada e seja
P = fx0 ; x1 ; x2 ; ::::; xi ::::; xn g
tal que
a = x0 < x1 < x2 < :::::::: < xn = b
uma partição de [a; b]. Seja mi o valor ín…mo de f no intervalo [xi 1 ; xi ] para
i = 1; 2; 3; :::::n. Denominamos soma inferior em relação à partição P da função
f e denotaremos por S(f; P ) à expressão:
S(f; P ) = m1 (x1
x0 ) + m2 (x2
S(f; P ) =
n
X
x1 ) + :: + mn (xn
mi (xi
xi
xn
1)
1)
i=1
Exemplo 6 Considere a função f : [0; 2] :! R de…nida por f (x) = xsenx.
Na …gura abaixo podemos ver o grá…co de uma soma inferior referente a uma
partição composta por um número reduzido de pontos (15 pontos) e de uma soma
inferior referente a uma partição com maior número de pontos (84 pontos).
13
y
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
0
0.5
1
1.5
2
x
Grá…co de S (f; P ), P com 15 pontos. A = 1; 642
y
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
0
0.5
1
1.5
2
x
Grá…co de S (f; P ), P com 84 pontos. A = 1; 718
Note que aumentando o número de pontos de [a; b] a soma inferior S (f; P )
se aproxima da área sob o grá…co de f (x) = xsenx no intervalo [0; 2].
De…nição 7 Função Integrável: Seja f : [a; b] ! R uma função. Dizemos
que f é integrável quando
lim S(f; P ) = lim S(f; P )
n!1
n!1
14
ou seja
lim
n!1
n
X
mi (xi
xi
1)
= lim
n!1
i=1
nesse caso, denotamos por
Z
b
f (x) dx = lim
n!1
a
.
n
X
f ( ) (xi
xi
n
X
Mi (xi
xi
1)
i=1
1)
onde
i=1
2 [xi
xi
1]
Obs 8 Para calcular integrais de…nidas por de…nição serão usadas as seguintes
somas
1 + 1 + 1 + :::::::1 = n
|
{z
}
n vezes
1 + 2 + 3 + :::::: + n =
(1 + n)n
2
12 + 22 + 32 + ::: + n2 =
n (n + 1) (2n + 1)
6
13 + 23 + 33 + ::: + n3 =
n2 (n + 1)
4
14 + 24 + 34 + ::: + n4 =
n (n + 1) 6n3 + 9n2 + n
30
2
1
Exemplo 9 Encontrar a área sob o grá…co de f : [1; 5] ! R de…nida por f (x) =
x2
y
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
x
15
.Solução: Seja P = fx0 ; x1 ; :::::::; xn g uma partição do intervalo [1; 5]. Como
os subintervalos da partição podem ser quaisquer, podemos admitir que todos
possuem o mesmo diâmetro. Isto é,
x=
x1 =
x2 = ::::::: =
xn
e, nesse caso, teremos o valor do diâmetro de cada intervalo dado por:
x=
5
1
=
n
4
n
de modo que podemos atribuir valores para cada xi 2 P como segue:
x0 = 1; x1 = 1+ x; x2 = 1+2 x; x3 = 1+3 x; ::::::::; xi = 1+i x; ::::::; xn = 1+n x:
Seja Mi = f (xi ) supremo de f no intervalo [xi
S (f; P ) é dada por:
1 ; xi ].
Então a soma superior
S (f; P )
= M1 x + M2 x + :::::: + M i x + :::: + Mn x
S (f; P )
= f (x1 ) x + f (x2 ) x + :::: + f (xn ) x
= f (1 +
2
= (1 +
2
6
=6
4
x) x + :::: + f (1 + n x) x
x)
2
x + (1 + 2 x)
x2 ) + (1 + 4 x + 22 x2 ) + :::+
(1 + 2 x +
+(1 + 2n x + n2 x2 )
= n + 2 x(1 + 2 + :: + n) +
h
= n + 2 x (1+n)n
+
2
h
= n+
h
= n+
h
= 4+
= 4+
Agora
2
x + :::: + (1 + n x)
x (1 + n) n +
x2 (n(n+1)(2n+1))
6
i
x2 (n(n+1)(2n+1))
6
(1 + n) n + ( n4 )2 (n(n+1)(2n+1))
6
16
n
(1 + n) +
16
n
+ 16 +
32 (n+1)(2n+1)
3
n2
i
+ n1 )(2 + n1 )] .
16
3
7
7 x
5
x2 (12 + 22 + :: + i2 + :: + n2 )
4
n
32
3 [(1
x
i
x
i
4
n
x
x
R5
1
x2 dx
32
16
n + 16 + 3 [(1
124
+ 64
3 = 3
lim 4 +
n!1
= 4 + 16
=
+ n1 )(2 + n1 )] .
124
3
Logo, a área sob o grá…co no intervalo [1; 5] de f (x) = x2 é igual a
Z 5
124
x2 dx =
:
3
1
1.4
Propriedades
Sejam f; g : [a; b] ! R funções integráveis, então são válidas as seguintes propriedades:
I - Seja c uma constante então
Z b
Z
cf (x) dx = c
a
II -
Z
b
[f (x) + g (x)]dx =
Z
b
f (x) dx +
a
Z
b
g (x) dx:
a
g (x) para todo x 2 [a; b] vale a desigualdade
Z
b
f (x) dx
a
IV Se m
f (x) dx:
a
a
III Se f (x)
b
f (x)
Z
b
g (x) dx:
a
M para todo x 2 [a; b], então
m (b
a)
Z
b
f (x) dx
M (b
a)
a
M
M
m
M
m
a
b
a
b
Propriedade IV
17
a
b
Rb
V Se f for contínua existe c 2 [a; b] tal que a f (x) dx = f (c) (b
VI Seja c 2 [a; b] então
Z
b
f (x) dx =
a
VII
Z
c
f (x) dx +
a
Z
Z
a)
b
f (x) dx:
c
b
f (x) dx =
a
Z
a
f (x) dx:
b
Obs 10 Até o momento não exigimos que a função seja contínua. Isso porque a
condição de continuidade não é necessária para que uma função seja integrável.
Daqui para frente só trabalharemos com funções contínuas. A integrabilidade de
funções não contínuas não será objeto de nosso estudo.
1.5
O Teorema Fundamental do Cálculo
Seja f : [a; b] ! R uma função contínua integrável. Vamos …xar o limite inferior
a e variar o limite superior. De…niremos a função
Z x
F (x) =
f (t) dt
a
Caso f (t) seja positiva F (x) é numéricamente igual a área do trapezóide
curvilíneo.
Teorema 11 SejaR f : [a; b] ! R uma função contínua no intervalo [a; b], então
x
a função F (x) = a f (t) dt é primitiva da função f . Isto é
F 0 (x) = f (x). . Veja na …gura 1.5.
f (x)
F(x +∆ x )
F(x)
a
x
x +∆ x
18
: Usaremos a de…nição de derivada para demonstrar o teo-
Demonstração
rema.
F 0 (x) = lim
x!0
F (x+ x) F (x)
x
= lim
x!0
x!0
F 0 (x) = lim
x!0
(x +
x)
F (x)]
R x+ x
Rx
1
[ a
f (t) dt
x
a
x!0
Rx
R x+ x
1
lim x [ a f (t) dt + x
x!0
R x+ x
lim 1x x
f (t) dt
x!0
= lim
f (t) dt]
=
f (t) dt
=
F 0 (x) = lim
1
x [F
Rx
a
f (t) dt]
F (x+ x) F (x)
x
pela propriedade V
R x+ x
tem-se x
f (t) dt = f (c) x, portanto,
= lim 1x f (c) x = lim f (c)
F (x+ x) F (x)
x
como c 2 [x; x + x]
se x ! 0 então c ! x. Logo,
= f (x) ou seja
x!0
x!0
F 0 (x) = f (x)
Uma consequência desse teorema é o corolário que segue:
Corolário 12 Seja f : [a; b] ! R f for contínua no intervalo [a; b], então
F : [a; b] ! R derivável em (a; b) e
F 0 (x) = f (x)
A função F : [a; b] ! R é denominada primitiva de f : [a; b] ! R. Pelo
teorema 11 toda função contínua num intervalo [a; b] possui primitiva em [a; b].
Teorema 13 Teorema fundamental do cálculo Seja f : [a; b] ! R uma
contínua em [a; b], tal que para todo x 2 [a; b] existe F : [a; b] ! R derivável em
(a; b) com F 0 (x) = f (x) então
Z
b
f (x) dx = F (b)
F (a)
a
Demonstração: Como f é contínua em [a; b], existe F : [a; b] ! R, tal que
Z x
F (x) =
f (t) dt
a
Como
F (a) =
Z
a
f (t) dt = 0
a
segue que
F (x) = F (x)
0 ou F (x) = F (x)
19
F (a)
de modo que
Z
x
f (t) dt = F (x)
F (a)
a
para todo x 2 [a; b]. Tomando x = b tem-se :
Z
b
f (t) dt = F (b)
F (a) :
f (x) dx = F (x)
F (a)
a
Trocando t por x vem:
Z
b
a
A notação usual é
Z
a
b
f (x) dx = F (x) jba :
O teorema fundamental do cálculo permite que sejam determinadas as integrais de…nidas das funções contínuas em intervalos fechados sem usar o método
visto para encontrar somas superiores e inferiores.
Exemplo 14 Utilizando o teorema fundamental do cálculo, encontrar a área
sob o grá…co de f : [1; 5] ! R de…nida por f (x) = x2
y
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
x
Solução:
Rb
Pelo teorema a f (x) dx = F (x)
Z5
x2 dx =
F (a) ; temos:
x3 5 124
j =
3 1
3
1
:
Exemplo 15 Calcule a área compreendida entre o eixo do x e a curva f (x) =
1
2
2x + 8) no intervalo de [ 2; 4]:
8 (x
20
Solução: Pelo teorema fundamental do cálculo
Z
b
f (x) dx = F (b)
F (a)
a
tem-se
1
=
8
=
=
1 43
[
8 3
Z
((x2
2x + 8)dx
2
1 x3
[
8 3
2
x2
+ 8x]
2
4
2
42
( 2)3
( 2)2
+ 8(4) (
2
+ 8( 2))]
2
3
2
8
1 64
16 + 32 + + 4 + 16]
= [
8 3
3
2
=
1.5.1
4
1
15
(60) =
ua
8
2
Fórmulas Clássicas de resolver integral (Revisão)
Obs 16 Vamos relembrar do cálculo I, algumas fórmulas clássicas do cálculo
integral que permitem resolver uma série de problemas que envolvem o cálculo
da integral.
1.5.2
Mudança de variável
21
Teorema 17 Sejam f : [a; b] ! R uma função contínua e g : [ ; ] ! R uma
função derivável tal que g 0 é integrável e g ([ ; ]) [a; b] e, além disso g ( ) = a
e g ( ) = b. Então
Z b
Z
f (x) dx =
f (g (t)) g 0 (t) dt
a
Demonstração: Sejam f : [a; b] ! R uma função contínua e g : [ ; ] !
R uma função derivável com g 0 integrável e g ([ ; ])
[a; b] com g ( ) = a
e g ( ) = b. Então f possui uma primitiva F : [a; b] ! R e, pelo teorema
fundamental do cálculo, temos
Z b
f (x) dx = F (g ( )) F (g ( ))
a
Por outro lado, pela regra da cadeia temos
(F
0
g) (t) = F 0 (g (t)) g 0 (t) = f (g (t)) g 0 (t)
para todo t 2 [ ; ], consequentemente,
(F
g) (t) : [ ; ] ! R
é uma primitiva da função integrável f (g (t)) g 0 (t). Portanto,obtém-se:
Z
f (g (t)) g 0 (t) dt = F (g ( ))
Exemplo 18 Calcular a integral de…nida
R5
p
1
F (g ( )) :
x 1
x dx
usando o teorema 17
Solução: Primeiro vamos encontrar a função g (t).
Seja t2 = x 1, então podemos escrever x = t2 + 1 e assim obtemos g (t) =
t2 + 1. A derivada de g é g 0 (t) = 2t.
Vamos determinar os valores de e . Sendo g ( ) = a e g ( ) = b vem
g( ) = a
e
2
+1=1
2
=0
donde vem = 0 e
g( ) = b
2
+1=5
2
=4
=2
Na sequência determinaremos f (g (t)). Como f (x) =
f (x) =
f (g (t)) =
p
x 1
px
t2 +1 1
t2 +1
ou
ou seja
f (g (t)) =
p
f (g (t)) =
g(t) 1
g(t)
t
t2 +1
Finalmente, podemos determinar o valor da integral.
22
p
x 1
x
vem
donde vem
como
R5
1
p
Rb
a
f (x) dx =
x 1
x dx
=
R
f (g (t)) g 0 (t) dt
R2
t
t2 +1
0
=2
R2
= 2[tj20
1.5.3
2tdt
t2
dt
0 t2 +1
R2
= 2[ 0 dt
R2
dt
]
0 t2 +1
arctgtj20 ]
= 2[2
(arctg2
= 2[2
arctg2
=4
vem
arctg0)]
0]
2arctg2
Integração por partes
Teorema 19 Sejam f; g : [a; b] ! R funções que possuem derivadas integráveis
então
Z
a
b
f (x)g 0 (x)dx = f g jba
Z
b
f 0 (x)g(x)dx
a
Demonstração: Basta mostrar que f g é primitiva de f g 0 + f 0 g. Faça como
exercício.
1.5.4
Teorema do valor médio para integrais
O teorema do valor médio para integrais equivale à propriedade V para integrais,
isto é:
Rb
Se f for contínua existe c 2 [a; b] tal que a f (x) dx = f (c) [b a]
1.6
Integrais Impróprias
De…nição 20 Seja f : [a; 1) ! R uma função contínua para todo x 2 [a; 1),
então vale a igualdade
Z +1
Z b
f (x) dx = lim
f (x) dx
a
Rb
b!1 a
se o limite lim
b!1
f (x) dx existir.
23
a
Exemplo 21 Encontrar o valor numérico da integral
…co de f a seguir
y
R +1
0
1
1+x2 dx.
Veja o grá-
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-5
-2.5
0
2.5
5
x
Solução: Pela de…nição 20 temos
R +1
0
Rb
1
2 dx
b!1 0 1+x
1
1+x2 dx
= lim
= lim [arctgb
= lim arctgxjb0
b!1
arctg0]
b!1
= lim arctgb
b!1
=
2
De…nição 22 Seja f : ( 1; b] ! R uma função contínua para todo
x 2 ( 1; b], então vale a igualdade
Z b
Z b
f (x) dx = lim
f (x) dx
se o limite lim
Rb
a! 1 a
a! 1
1
a
f (x) dx existir.
Exemplo 23 Encontrar o valor numérico da integral
Solução: Pela de…nição 22 temos
R0
1
dx
1 1+x2
R0 1
2 dx
a! 1 a 1+x
= lim
= lim [arctg0
a! 1
=
=
lim arctga
a! 1
(
2)
=
24
2
R0
1
dx.
1 1+x2
= lim arctgxj0a
a! 1
arctga]
De…nição 24 Seja f : ( 1; 1) ! R uma função contínua para todo
x 2 ( 1; 1), então vale a igualdade
Z
1
Z
f (x) dx = lim
a! 1
1
Rc
a! 1 a
se os limites lim
c
f (x) dx + lim
b!1
a
f (x) dx e lim
Rb
b!1 c
Solução: Pela de…nição 24 obtemos
1
dx
1 1+x2
R0
1
2 dx
a! 1 a 1+x
= lim
f (x) dx
c
R1
1
dx.
1 1+x2
Rb
1
2 dx
b!1 0 1+x
+ lim
= lim arctgxjb0
b!1
= lim arctgxj0a + lim arctgxjb0
a! 1
b!1
= lim [arctg0
a! 1
=
=
1.7
b
f (x) dx existirem.
Exemplo 25 Encontrar o valor numérico da integral
R +1
Z
arctga] + lim [arctgb
b!1
arctg0]
lim arctga + lim arctgb
a! 1
(
2)
+
b!1
=
2
Integral de uma Função Descontínua num ponto c 2
[a; b]
De…nição 26 Seja f : [a; b] ! R uma função contínua no intervalo [a; b],
exceto no ponto c 2 [a; b], então
Z
b
f (x) dx = lim
!c
a
se os limites lim
!c
R
a
Z
a
f (x) dx e lim+
!c
f (x) dx + lim+
!c
Rb
Z
b
f (x) dx
f (x) dx existirem.
Exemplo 27 Encontrar o valor numérico da integral
25
R1
dx
.
1 x2
y
5
3. 75
2. 5
1. 25
0
-2. 5
-1. 25
0
1. 25
2. 5
x
Solução:
A função f (x) = x12 é contínua em todo ponto pertencente ao
intervalo [ 1; 1] ; exceto em x = 0. Logo, pela de…nição 26 temos
R1
dx
1 x2
= lim
!0
R
= lim
!0
dx
1 x2
+ lim+
!0
1
xj 1
+ lim+
!0
1 1
xj
h
= [1
1] + [ 1 + 1] = 1
1
i
dx
x2
= lim
!0
1
1
Consequentemente, a função f (x) =
1.7.1
R1
1
x2
+ lim+
!0
h
1
1
1
i
não é integrável no intervalo [ 1; 1].
Exercícios
1. Encontre, se existir, o valor de cada uma das integrais abaixo
a)
R1
R4
p
1
dx
e) 33
x+ x p
3 x
R44
p
p
1
4
x+ p
x dx f ) 1
3 x +
0
R2
b) 1
c)
d)
R
3
0
R
p
tgxdx
2
2
0
p dx
1 x2
g)
h)
R2
1
pdx
x 1+x2
pxdx
2+4x
i)
pdx
5 x
ex dx
1
R1
j) 0 xe x dx
R 4 xdx
m) 0 p16
x2
R 1 dx
n) 1 x4
k)
o)
R1
0
e
26
x
dx
l)
R1
R1
1
R1
0
pdx
x x2 1
pdx
1 x
p)
R1
dx
0 x3
R2
dx
0 x 1
2. Dadas as funções f; g : [1; 3] ! R de…nidas por f (x) = x+2 e g (x) = x2 +x
encontre S (f; P ) e S (g; P ).
3. Dada a função f : [a; b] ! R de…nidas por f (x) = x2 +2 encontre S (f; P ).
R1
4. Seja f : [0; 1) ! R de…nida por f (x) = p11 x2 . Veri…que se 0 f (x) dx
existe.
R +1
1
5. Seja f : ( 1; +1) ! R de…nida por f (x) = 1+x
f (x) dx
2 . Veri…que se
1
existe.
1.8
1.8.1
Aplicações da Integral De…nida
Cálculo da área em coordenadas retangulares
Se a função f (x) for não negativa, isto é, f (x) 0 no intervalo [a; b], então a
área da …gura limitada pelas curvas x = a, x = b, y = 0 e y = f (x) é dada por
A=
Z
b
f (x) dx
a
Por outro lado, se a função f (x) for negativa, isto é, f (x) < 0 no intervalo
[a; b], então a área da …gura limitada pelas curvas x = a, x = b, y = 0 e y = f (x)
é dada por
Z b
Z a
A=
f (x) dx ou A =
f (x) dx
a
b
Exemplo 28 Encontrar a área sob o grá…co da função f (x) = 2x no intervalo
[ 2; 2].
y
4
2
0
-2
-1
0
1
2
x
-2
-4
27
Solução: Essa função tem imagem negativa no intervalo [ 2; 0] e não negativa no intevalo [0; 2]. Desse modo, devemos proceder como segue:
A =
=
=
=
R2
2
2xdx
R0
2
2xdx +
R2
0
2xdx
x2 j0 2 + x2 j20
(0)2
( 2)2 + 22
02
[ 4] + 4 = 8ua
Logo, a área sob o grá…co da função f (x) = 2x no intervalo [ 2; 2] é 8
unidades de área.
Exemplo 29 Achar a área da região delimitada pelos grá…cos de y + x2 = 6 e
y + 2x = 3
Solução: Encontrando a interseção do sistema
y=6
y=3
x2
2x
temos: 6
x1 = 3
e portanto os pontos de interseção
x2 = 1
são P1 = ( 1; 5) e P2 = (3; 3): Portanto a área é igual a área da parábola
menos a área da reta no intervalo de [-1,3].
x2 = 3 2x ) x2 2x 3 = 0 )
28
A=
Z
3
(3
2x)]dx
1
=
Z
3
x2 + 2x)dx
(3
1
= 3x
= 3:3
x2 )
[(6
27
+9
3
x3
+ x2 j3 1
3
1
32
( 3 + + 1) =
u.a
3
3
Exemplo
30 Calcular a área da região delimitada pelas curvas y = x2 e y =
p
x.
Solução: Nesse exemplo não foi especi…cado o intervalo em que está situada
a região delimitada pelas curvas. Portanto, devemos determiná-lo. O intervalo
…ca determinado se conhecermos os pontos de interseção das curvas. Encony =p
x2
tramos tais pontos resolvendo o sistema de equações
. É fácil ver
y= x
p
que a solução vem da igualdade x2 = x e os valores de x que tornam a sentença verdadeira
p são x = 0 e x = 1, desse modo a região delimitada pelas curvas
y = x2 e y = x …ca determinada se x 2 [0; 1]. Gra…camente, podem ser obser2
vado na seqüência de …guras,
p a área sob o grá…co de y = x no intervalo [0; 1],
a área sob o grá…co
de y = x [0; 1], e a área da região delimitada pelas curvas
p
y = x2 e y = x no intervalo [0; 1]. Como podemos observar a área procurada
é igual a diferença entre as áreas um e dois. Assim, temos
y
y
1
1
0 .9
0.9
0 .8
0.8
0 .7
0.7
0 .6
0.6
0 .5
0.5
0.4
0 .4
0.3
0 .3
0.2
0 .2
0.1
0 .1
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0
1
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
0 .8
0 .9
1
x
x
rea um
rea dois
29
y
1
0 .7 5
0 .5
0 .2 5
0
0
0 .2 5
0 .5
0 .7 5
1
x
rea procurada
Área procurada = (área dois)
R1p
R1 2
A = 0 xdx
x dx
0
R1 p
2
A= 0
x x dx
A = 13
(área um)
Logo, a área procurada é A = 13 .
Exemplo 31 Calcule a área da região hachurada.
1. Solução:
Primeiro vamos identi…car a lei que de…ne as funções lineares presente no
grá…co:
30
Uma reta passa pelos pontos (0,0) e (1,1) e a outra passa pelos pontos (0,0)
e (2, 12 ); portanto as equações das retas são, respectivamente:
1. a) y = x
b) y = 14 x
1. Existem várias maneiras de calcular esta área, uma delas está apresentanda
na sequência:
Z 2
Z 1
1 1
1
A =
(x
x)dx +
(
x)dx
4
x
4
0
1
Z
Z 2
Z
3 1
1
1 2
xdx
A =
(x)dx +
( )dx
4 0
4 1
1 x
1 2 2
3 2 1
x j0 +(ln jxj
x ) j1
A =
8
8
1
1
3
A =
+ (ln(2)
[ln(1)
])
8
2
8
4 1
A =
+ ln(2) = ln(2)
8 2
Portanto, a área é igual a A = ln(2) u.a
1.8.2
Área delimitada por curvas escritas em equações paramétricas
Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo [a; b] que delimita uma região
R. Se f for escrita em equações paramétricas dadas por exemplo, por x =
r cos t e y = rsent, t 2 [ ; ] e podemos escrever x = (t) e y = (t), e,
consequentemente, a = ( ) e b = ( ). Desse modo, obtemos dx = 0 (t)dt e
sendo y = f (x); temos f (x) = (t): Assim, pelo teorema 17 vem:
Conforme vimos, a área de uma região retangular é dada por :
A=
Z
b
f (x) dx =
a
Z
b
ydx
a
Fazendo a substituição x = (t) temos dx = 0 (t)dt obtendo em coordenadas paramétricas a fórmula para o cálculo de área como:
A=
Z
b
f (x) dx =
a
(t) = a cos t e
(t) 0 (t)dt
x2
y2
+
= 1, de…nida pelas equações
a2
b2
(t) = bsent.
Exemplo 32 Encontrar a área da elipse
paramétricas
Z
31
Solução: As equações paramétricas da elipse são
(t) = a cos t e
(t) = bsent
.Desse modo, temos
0
(t) =
Vamos determinar os valores de
asentdt
e . Sendo
( )=0
a cos
e
=0
cos
cos
=
2
e
( ) = a vem
( )=a
a cos
=0
donde vem
( )=0e
=a
=1
=0
Portanto, desse modo, obteremos a quarta parte da área da elipse. A área
total será essa parcial multiplicada por quatro.
Rb
R
vem
como a f (x) dx =
(t) 0 (t)dt
Rb
R0
f (x) dx
=4
bsent( asent)dt
a
2
R0
= 4ab
sen2 tdt
2
R
= 42 ab 02 (1 cos 2t) dt
= 2ab t 12 sen2t j02
1
0
= 2ab 2
2 sen2 2
= ab
Logo, a área da elipse é A = ab
Exemplo 33 Calcular a área interior a elipse E1 =
elipse E2 =
x = 2 cos t
e exterior a
y = 4 sin t
x = 2 cos t
y = sin t
A=4
Z
0
[4 sin t( 2 sin t)
2
=4
Z
sin t( 2 sin t)]dt
0
( 8 sin2 t + 2 sin2 t)dt
2
=
4
Z
2
6 sin2 tdt =
0
= 24
Z
0
2
1
(1
2
32
cos 2t)dt
1
sin 2t) j02
2
= 12(t
= 12
1.8.3
= 6 u:a
2
Área de um setor cuvilíneo em coordenadas polares
Seja = f ( ) uma função contínua que descreve uma curva em coordenadas
polares no intervalo [ ; ]. Como nosso interesse é determinar a área da região
delimitada por = f ( ) vamos tomar uma partição do intervalo [ ; ].
Seja
X = f 0;
1 ; 2 ; 3 ; ::::::::::::::: n g
uma partição de [ ; ] em que
=
0
<
1
<
2
<
3
< :::::::: <
Sejam,
1;
2;
33
3; ::::
n
=
os subarcos da partição. Seja i o comprimento do raio correspondente a um
ângulo i 2
, isto é i 1
i.
i
A área do setor circular de raio i e arco
i é dada por
Ai =
1
2
( )
2 i
i
e a área aproximada área da região delimitada por
An =
n
X
1
i=1
= f ( ) é dada por
2
( i)
2
i
Seja j j o subintervalo da partição X, de maior diâmetro. Então se n tende a
in…nito segue que j j tende a zero. Desse modo podemos escrever
A = lim An = lim
n!1
j
j!0
ou
A=
n
X
1
i=1
1
2
2
Z
2
( i)
2
i
1
=
2
Z
2
d
d
(1)
Exemplo 34 Ache a área exterior à cardióide
=1
= 1 cos e interior ao círculo
Z
1
:02 [(1)2 (1 cos )2 ]d
2
Z
= :02 (2 cos
cos2 )d
Z
1
= :02 [2 cos
(1 + cos 2 )]d
2
A=2
1
2
Portanto, a área é igual A = 2
= 2 sin
1
sin 2
2
4 u.a
34
2
0
=2
4
Exemplo 35 Escreva, em coordenadas polares, a integral que calcula a área
exterior ao círculo = 1 e interior a rosácea = 2 cos(2 )
Solução: Inicialmente, vamos determinar os pontos de interseção das duas
= 2 cos(2 )
curvas:
; temos:
=1
8
2 cos(2 ) = 1
<
cos 2 = 12
:
= 6 (no I quad)
Vamos calcular a área no intervalo de [0; 6 ] e multiplicar por 8, já que as
demais são equivalentes. Utilizando a fórmula 1
e vere…cando que a área total é igual a área da rosácea menos a área do
círculo obtemos:
Z
1 6
A = 8:
[(2 cos(2 ))2 (1)2 ]d
2 0
1.8.4
Comprimento de um arco
Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo [a; b] cujo grá…co descreve o
d
arco AB
35
f(xι )
Mι
M1
M0
Mι−1
f(xι−1 )
∆s
∆y
∆x
∆
x
a
xι
x ι−1
b
d em subarcos por meio da partição
Vamos dividir o arco AB
X = fM0 ; M1 ; M2 ; :::::; Mn g
em que
A = M0 < M1 < M2 < ::::: < Mn = B
e abscissas são
x0 ; x1 ; x2 ; :::::; xn :
Tracemos as cordas
M0 M1 ; M1 M2 ; ::::; Mi
1 Mi ; :::::; Mn 1 Mn
e designemos os seus comprimentos por
S1 ; S2 ; :::::::; Si ; :::; Sn :
Obtem-se então a linha poligonal
AM0 M1 ; :::::; Mn
1B
d cujo comprimento aproximado é:
ao longo do arco AB
ln =
S1 +
S2 + :::::: +
Si + ::: +
Sn
ou
ln =
n
X
Si :(I)
i=1
Mas Si é a hipotenusa do triângulo de lados
podemos escrever
36
xi e
yi . de modo que
2
2
2
( Si ) = ( xi ) + ( yi )
dividindo tudo por xi vem
2
Si
xi
ou
Si
xi
r
=
2
xi
xi
=
ou seja r
Si =
2
yi
xi
1+
yi
xi
1+
2
yi
xi
+
2
xi ( II )
Como
xi = xi
xi
e
1
yi = f (xi )
f (xi
1)
segue que
f (xi )
yi
=
xi
xi
e pelo teorema de Lagrange, existe
f (xi )
xi
Portanto, obtemos
i
f (xi
xi 1
2 [xi
f (xi
xi 1
1)
1)
1 ; xi ]
tal que
= f 0 ( i)
yi
= f 0 ( i ) ( III ). Agora substuindo ( II ) em ( I ) resulta
xi
ln =
n
P
r
yi
xi
1+
i=1
2
xi ( IV )
substuindo ( III ) em ( IV )resulta
ln =
n
P
i=1
q
2
1 + (f 0 ( i )) xi
d Então, se
Seja j xj o intervalo de maior diâmetro de cada partição de AB.
n ! 1 segue que j xj ! 0 e ( i ) ! x. Assim:
l = lim ln = lim
n!1
n
P
j xj!0 i=1
q
2
1 + (f 0 ( i ))
xi =
Rbq
2
1 + (f 0 (x)) dx
a
d no intervalo [a; b] é dado por
Portanto, o comprimento do arco AB
l=
Z
a
b
q
2
1 + (f 0 (x)) dx
37
(2)
Exemplo 36 Determinar o comprimento do arco na função y =
valo [0; 4].
y
p
x no inter-
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
x
Solução: Sendo y = f (x) =
fórmula 2 vem
Rbq
2
l = a 1 + (f 0 0 (x)) dx
l=
l=
l=
l=
1.8.5
R4
0
r
1
p
1+
R4q
1+
0
2 x
4x
1
2
R4
0
p
x temos f 0 (x) =
1
p
.
2 x
Assim, aplicando a
tendo t2 = x temos dx = 2tdt, t 2 [0; 2] .
2
l=
dx
1
2
R2
p
0
2
4t
p +1 2tdt
t2
a primitiva de
1
4x dx
R 4 q 4x+1
0
p
p
l=
4x+1
p
dx
x
p
17 +
1
4
ln
R2p
0
4t2 + 1dt
4t2 + 1é tabelada, logo
p
l = 12 t 4t2 + 1 +
Cujo resultado é
dx
=
p
1
4
ln 2t +
p
4t2 + 1 j20
17 + 4
Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas
Sejam x = (t) e y = (t) para t 2 [ ; ] as equações paramétricas de y = f (x).
dy
Então, como dx = 0 (t) dt, dy = 0 (t) dt e f 0 (x) = dx
podemos escrever:
f 0 (x) =
f 0 (x) =
0
0
dy
dx
(t) dt
=
(t) dt
38
0
0
(t)
(t)
Substituindo na fórmula 2 vem
l=
l=
Rbq
2
1 + (f 0 (x)) dx
a
R
s
(t)
0
(t)
v
u
R u
t1 +
l=
l=
l=
l=
R
R
s
0
q
0
R q
0
0
(t)
(t)
(t)
2
(t)
2
0
(t)
2
0
(t) dt
2
0
2
(t) dt
2
0
(t)
0
(t)
0
(t) dt
+
0
0
2
0
1+
0
2
(t)
+
2
x0 (t) dt
(t)
+
(t) dt
2
Portanto, o comprimento de arco em coordenadas paramétricas é dado por
l=
Z
q
0
(t)
2
+
0
2
(t) dt
(3)
Exemplo 37 Calcular o comprimento de arco da astróide dada por:
(t) = 3 cos3 t
e
(t) = 3sen3 t:
Solução: Podemos encontrar o comprimento do subarco no primeiro quadrante e multiplicar o resultado por quatro. Como 0 (t) = 9 cos2 sent, 0 (t) =
9sen2 t cos t e t 2 0; 2 substituindo na fórmula 3 vem
39
l=
R q
l=4
R
l = 36
l = 36
q
0
R
R
(t)
2
0
+
2
(t) dt
2
2
( 9 cos2 tsent) + (9sen2 t cos t) dt
2
l=4 9
0
R
2
0
p
cos4 tsen2 t + sen4 t cos2 tdt
p
cos2 tsen2 t [cos2 t + sen2 ]dt
2
0
cos tsentdt
2
0
2
l = 36 sen2 t j02
l = 18uc
Portanto, o comprimento é l = 18 u.c
Exemplo 38 As equações paramétricas do movimento de uma partícula no
plano é dada por :
x = 3t
3
y = 2t 2
1. Qual a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = 1?
Solução:
Aplicando a fórmula 3
0
(t) = 3
temos:
logo, teremos:
1
0
(t) = (3t 2 )
1.
l
=
Z
1
l
=
1
32 + (3t 2 )2 dt
0
Z
q
1
p
9 + 9tdt
0
l
=
3
Z
1
p
1 + tdt
0
l
l
3
2
= 3 (1 + t) 2 j10
3
p
3
3
= 2(2) 2 2(1) 2 = 4 2
2 uc
Portanto,pa distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e
t = 1 é l = 4 2 2 uc
40
1.8.6
Comprimento de arco em coordenadas polares
Sejam (t) = cos e (t) = sen as coordenadas polares da curva = f ( ),
2 [ ; ]. Então, substituindo por f ( ) nas equações paramétricas vem
( ) = f ( ) cos e
donde vem
0
( ) = f 0 ( ) cos
0
( ) = f ( ) sen
f ( ) sen ou
0
( ) = f 0 ( ) sen + f ( ) cos ou
Agora
0
(t)
2
+
0
(t)
2
0
( )=
0
( )=
cos
0
sen
sen + cos
2
= ( 0 cos
2
sen ) + ( 0 sen + cos )
Resolvendo os produtos notáveis e simpli…cando obtemos
2
2
2
0
(t) + 0 (t) = ( 0 ) + 2
Substituindo na equação 3 obtemos a fórmula para o cálculo do comprimento
de arco em coordenadas polares dada por
l=
Z
q
2
( 0) +
2d
Exemplo 39 Encontrar o comprimento de arco do cardióide
(4)
= a (1 + cos ).
Solução: Podemos determinar o comprimento do arco no primeiro e segundo
quadrante e multipicar por dois. Como = a (1 + cos ) tem-se 0 = asen .
Substituindo na fórmula 4 vem
l=
R q
2
( 0) +
l=2
2d
R q
2
2
( asen ) + (a (1 + cos )) d
0
l = 2a
l = 2a
R p
0
R p
0
l = 2a 2
R
0
sen2 + 1 + 2 cos + cos2 d
2 + 2 cos d
cos 2 d
l = 4a 2 sin 12 j0
l = 8a uc
Logo, o comprimento de arco do cardióide
41
= a (1 + cos ) é l = 8a uc.
Exemplo 40 Mostre, usando coordenadas paramétricas, que o comprimento de
uma circunferência de raio r é 2 r:
Solução
1. Em paramétrica, a circunferência é representada por:
x(t) = r cos t
y(t) = r sin t
O comprimento de arco em paramétrica é l =
1. Usando a simetria temos:
l
= 4
Z
2
0
l
= 4
Z
2
0
l
= 4
Z
2
R t2 p
t1
(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt
p
( r sin t)2 + (r cos t)2 dt
q
r2 (sin2 t + cos2 t)dt
rdt
0
l
=
4rt j02 = 2 r
Logo o comprimento da circunferência é 2 r
1.8.7
Volume de um sólido de revolução
Considere o sólido T gerado pela rotação da curva y = f (x) em torno do eixo
x no intervalo [a; b]. (ver …gura 1.8.7)
Demonstração: Seja
P = fx0 ; x1 ; :::::::; xn g
42
uma partição do intervalo [a; b] e sejam
x1 ; x2 ; :::::::; xn
os subintervalos da partição. Seja i 2
f ( i ) comprimento xi é dado por
Vi =
xi , então o volume do cilindro de raio
2
[f ( i )]
xi
e o volume aproximado do sólido será dado pela soma dos volumes dos n
cilindros, isto é,
n
X
2
Vn =
[f ( i )] xi
i=1
Seja j j o subintervalo de maior diâmetro, então se n ! 1 segue que j
i ! x e o volume V do sólido T será dado por
V = lim Vn = lim
n!1
j
j!0
n
X
2
[f ( i )]
xi =
Z
b
j ! 0,
2
[f (x)] dx
a
i=1
Portanto, o volume de um sólido de revolução no intervalo [a; b] é dado pela
fórmula:
Z b
2
V =
[f (x)] dx
(5)
a
Exemplo 41 calcule o volume do sólido gerado pela rotação da curva f (x) =
x3 , no intervalo [1,2].
43
Figura 3: Ref: PILCHOWSKI (2004)
Resolução : Observe a …gura 3
V =
Z
b
2
[f (x)] dx
a
Z
V =
2
x3
2
dx
1
Z
=
2
x6 dx
1
=
= [
Portanto, o volume é V =
27
7
127
7
x7 2
p
7 1
1
127
]=
u:v
7
7
u:v
Exemplo 42 Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela região
delimitada pelas curvas y = x2 e y = x + 2 em torno do eixo x.
ver …gura 4
Solução: Nesse exemplo não foi especi…cado o intervalo em que está situada a região delimitada pelas curvas. Portanto, devemos determiná-lo. O intervalo …ca determinado se conhecermos os pontos de interseção das curvas.
y = x2
Encontramos tais pontos resolvendo o sistema de equações
. É fáy =x+2
cil ver que a solução vem da igualdade x2 = x + 2 e os valores de x que tornam
a sentença verdadeira são x = 1 e x = 2.
44
Figura 4: Ref: PILCHOWSKI (2004)
Aplicado a fórmula 5 vem:
V =
V =
V =
V =
V =
R2
2
1
R2
R2
[x + 2] dx
1
x2 + 4x + 6
x2 + 4x + 6
1
1 3
3x
72
5
R2
+ 2x2 + 6x
1
x2
x4
2
dx
dx
x4 dx
1 5
5x
j2 1
uv
Logo, o volume do sólido de revolução gerado pela região delimitada pelas
curvas y = x2 e y = x + 2 em torno do eixo x é
V =
72
uv:
5
Exemplo 43 Encontre o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da
curva (x 2)2 + y 2 = 1 em torno do eixo y.
Solução:
Isolando a variável x em (x
2)2 + y 2 = 1 , vem:
45
2)2 = 1 y 2
p
x=
1 y2 + 2
1. (x
Observem
p que o volume do sólido de revolução é formado pela rotação da
curva x = 1 p
y 2 +2 em torno do eixo y menos o volume formado pela rotação
da curva x =
1 y 2 + 2: Portanto, o volume é igual a V = V1 V2
1.
V
Z
=
b
[f (y)]2 dy
a
V
onde V1
portanto temos V
V
Fazendo y
V
= V1 V2
Z 1 p
=
( 1
=
=
y 2 + 2)2 dy e V2 =
1
Z
1
1
1
Z
p
[( 1
1
y 2 + 2)2
p
8 1
(
y 2 dy
= sen ! dy = cos do
Z 2 p
=
8 1 sen2 cos d
=
8
Z
2
2
cos2 d
2
= 4(1 + cos 2 )d
sin 2
= 4( +
) j2
2
2
=
4(
2
(
2
46
)) = 4
p
1
Z
1
(
1
p
1
y 2 + 2)2 ]dy
y 2 + 2)2 dy
Portanto, o volume é dado por V = 4 u.v
1.8.8
Área de um sólido de revolução
Considere o sólido T gerado pela rotação da curva y = f (x) em torno do eixo
x no intervalo [a; b]. Seja a partição
X = fM0 ; M1 ; M2 ; :::::; Mn g
d em que
do arco AB
A = M0 < M1 < M2 < ::::: < Mn = B
e abscissas são x0 ; x1 ; x2 ; :::::; xn . designemos por Si o comprimento das cordas
Mi 1 Mi . Cada Si , rotacionando em torno do eixo x gera um tronco de cone
cujo raio da base menor é f (xi 1 ) da base maior é f (xi ). A área em torno do
cone é dada aproximadamente pelo produto do comprimento da secção mediana
do tronco pela geratriz
f(x)
f(x i-1)
a
xi-1
x
Na …gura 1.7 podemos observar a área lateral do tronco de cone aberta sobre
uma região plana.
2 *p i*f(x)
2 *p i*f(xi-1 )
Note que podemos formar um retângulo de comprimento r e altura
área desse retângulo é Ai = r Si .
47
Si . A
Porém,
r=
2 f (xi ) + 2 f (xi
2
1)
=
[f (xi ) + f (xi
1 )] :
Portanto, segue que
Ai =
[f (xi ) + f (xi
1 )]
Si
Vimos anteriormente que
Si =
s
2
yi
xi
1+
xi :
Assim, teremos
Ai =
[f (xi ) + f (xi
1 )]
s
1+
2
yi
xi
xi :
Como há n-subdivisões, há n-tronco de cones inscritos no sólido T , de modo
que a área total aproximada é dada por
An =
n
X
[f (xi ) + f (xi
1 )]
i=1
s
1+
yi
xi
2
xi :
Embora esta soma não seja uma integral porque não está em função de um
único ponto i é possível mostrar que:
A=2
Z
a
b
q
2
f (x) 1 + (f 0 (x)) dx
(6)
Exemplo 44 Determinar a área lateral da …gura de revolução gerada pela função
f (x) = 2x no intervalo [0; 4].
Solução:
Aplicando a fórmula 6 vem
48
A=2
A=2
A=2
A=2
A = 32
Rb
a
R4
0
f (x)
q
2
1 + (f 0 (x)) dx
p
2x 1 + 22 dx
p R4
5 0 2xdx
p
5x2 j40
p
5ua
Portanto, a área lateral dap…gura de revolução gerada pela função f (x) = 2x
no intervalo [0; 4] é A = 32 5ua.
Exemplo 45 O disco x2 + (y 1)2
1 rotaciona em torno do eixo x dando
origem a um sólido. Calcule a área deste sólido.
Solução
Podemos visualizar a superfície como a resultante da rotação de dois arcos
descritos a seguir
49
A = A1 + A2
A=2 [
Z1
1
(1 +
p
A=2 [
x2 ) p
1
Z1
(p
1
=2
Z1
1
1
1
x2
1
(p
1
(1 +
2
x2
1
fazendo x = cos ! dx =
temos então:
x2
dx +
Z1
p
1
(1
1
p
1
p
1
x2 + 1
)dx = 4
Z1
(p
1
1
1
x2
x2 ) p
1
1
x2
dx]
x2 )dx
)dx
sen d
A=4
Z
=4
0
Z
p
1
sin
d
cos2
d =4
2
0
Portanto, a área é de 4
2
u:a
1.8.9
1.9
Exercícios Gerais
1. Usando Ra de…nição de integral de…nida encontre o valor numérico ex4
pressão 0 [16 x2 ]dx. R : 128
3
R0
2. Encontre o valor 1 xex dx se for possível.
50
3. RUsando o teorema para mudança de varáveis encontre o valor da integral
3
p x dx.
0
x+1
resp= 83
4. Interpretar gra…camente (desenhar e sombrear) a área que a integral
abaixo calcula:
A=
Z
p
( 4
2
[(y + 6)
0
y 2 )]dy
5. Encontre a área da região
limitada pelas curvas y = sin x, y = cos x ,
p
x=0ex= 2 R=2 2 2
x3 = 0
6. Determinar a área da …gura delimitada pelas curvas y
e 2y + x = 0: Resp=22u:a
x = 6; y
7. Encontre a área da …gura delimitada pelas funções y =
Resp= 125
6 u:a
x2 +9 e y = 3 x.
2
2
2
8. Determinar a área da …gura delimitada pela curva x 3 + y 3 = a 3 . R
9. Encontre a área delimitada pelas curvas
= 2 (1 + sin t) e
3 a2
8
= 2 (1 + cos t).
10. Calcular a área comum aos seguintes pares de curvas:
(a)
= 3 cos e
(b)
= 1 + cos e
(c)
(d)
= sen e
2
= cos 2 e
= 1 + cos ;
= 2;
=1
2
cos ;
= sen2 ;
11. Encontrar a área interior ao círculo
= 6 cos e exterior a
12. Determinar o comprimento das curvas
= 2(1+cos ).
= a cos
13. Encontre o comprimentopdas curvas que limitam a região formada pela
interseção das curva = 3sent e = 3 cos t no primeiro quadrante.
14. Mostre, em coordenadas paramétricas, que o comprimento de uma circunferência de raio r é 2 r:
15. Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da curva
x2
y2
+
= 1 em torno do eixo x.
a2
b2
16. Determinar o volume do toro gerado pela rotação do círculo de equação
2
x2 + (y b) = a2 em torno do eixo x.
17. Encontre o volume delimitado pela rotação das funções y =
y = 3 x em torno do eixo x
51
x2 + 9 e
18. Determinar a área da superfície do toro gerado pela rotação do círculo de
2
equação x2 + (y b) = a2 em torno do eixo x.
19. Mostre que o volume de um cone de raio r e altura h é V =
r2 h
3
20. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de raio igual a 4m
e altura 8m. Supondo que esteja cheio de água (o peso da água por m3
é 9807N ) achar o trabalho efetuado, para esvaziar o tanque pela parte
superior, considerando que água seja deslocada por meio de um êmbolo,
partindo da base do tanque. R=5021184 J
52
2
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Funções de várias variáveis: Objetivos:
Ao …nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de:
1.
De…nir funções de várias variáveis e dar exemplos práticos;
2.
Encontrar o domínio e fazer o grá…co (esferas, cones, cilindros, parabolóides,
planos e interseções entre essas superfícies) com funções de várias variáveis com
duas variáveis independentes;
3.
Usando a de…nição mostrar que o limite de uma função de duas variáveis existe;
4.
Veri…car se uma função de duas variáveis é contínua num ponto;
5.
Encontrar derivadas parciais e interpretá-las geometricamente quando
a função for de duas variáveis independentes;
6.
Encontrar derivadas parciais de funções compostas;
7.
Encontrar as derivadas parciais de funções implícitas;
8.
Resolver problemas que envolvam derivadas parciais como taxa de
variação;
9.
Representar geometricamente as diferenciais parciais e totais;
10.
Resolver problemas que envolvam diferenciais parciais e totais;
11.
Encontrar derivadas parciais de ordem superior;
12.
Encontrar os extremos de uma função de duas variáveis quando existem;
13.
Resolver problemas que envolvam extremos de funções de duas variáveis.
14.
Resolver exercícios usando o Maple.
A prova será composta por questões que possibilitam veri…car se os objetivos
foram atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos.
O modelo de formulação das questões é o modelo adotado na formulação dos
exercícios e desenvolvimento teórico desse capítulo, nessa apostila.
2.1
Introdução
Um fabricante pode constatar que o custo da produção C de um determinado artigo depende da qualidade do material usado, do salário - hora dos
operários, do tipo de maquinaria necessário, das despesas de manutenção e da
supervisão. Dizemos então que C é função de cinco variáveis, porque depende
de cinco quantidades diferentes. Neste Capítulo estudaremos as funções de
várias variáveis, começando com o caso de funções de duas variáveis e então a
um número arbitrário de variáveis. Como exemplo de função de duas variáveis
podemos utilizar a área de um retângulo, função esta muito conhecida de vocês.
Consideremos o retângulo de base a e altura b. A área desse retângulo é
A = ab
53
Por outro lado, se a for uma variável x podemos escrever a área desse retângulo em função de x, isto é,
A (x) = xb
Desse modo, temos a área como função de uma variável.
Podemos também, fazer variar a base e a altura simultaneamente. Nesse
caso, tomando b = y teremos a área dada por
A (x; y) = xy
ou seja, a área expressa como função de duas variáveis.
A função A (x; y) é de…nida para todo par de pontos pertencentes ao plano
R2 e a imagem é um número real. O convencional é escrever A : R2 ! R.
Um raciocínio análogo pode ser feito para o volume de um paralelepípedo.
Sejam a, b e c as dimensões de um paralelepípedo. O volume será dado por
V = abc
Por outro lado, se a for uma variável x podoemos escrever o volume desse
paralelepípedo expresso como função de uma variável x, isto é,
V (x) = xbc
Podemos também, fazer variar as dimensões a e b simultaneamente, isto é
tomando b = y teremos o volume do paralelepípedo expresso como uma função
de duas variáveis x e y, ou seja,
V (x; y) = xyc
Também, é possível variar as três dimensões simultaneamente e, nesse caso
tomando z = c o volume do paralelepípedo será expresso como uma função de
três variáveis x, y e z, isto é,
V (x; y; z) = xyz
A função V (x; y; z) é de…nida para toda tripla de pontos pertencentes ao
espaço R3 e a imagem é um número real. O convencional é escrever V : R3 ! R.
Vejamos um exemplo que envolve mais do que três variáveis.
Exemplo 46 Suponhamos que uma pessoa vá a um supermercado e a nota de
compras seja descrita conforme o modelo abaixo.
Produtos
Leite
pão
Laranja
Maçã
Açúcar
Nota da compras
unidades preço por unidade
2 pacotes
1,00
10
0,10
2kg
0,50
2kg
2,50
5kg
0,60
Total a pagar
54
total
2,00
1,00
1,00
5,00
3,00
12,00
Suponhamos que as variáveis x, y, z, w e t representem, respectivamente,
leite, pão, laranja, maçã e açúcar, então podemos escrever a função " total a
pagar ” por
T (x; y; z; w; t) = x + 0; 1y + 0; 5z + 2; 5w + 0; 6t
A função T é uma função de cinco variáveis. Para encontrar o total a pagar
referente a tabela anterior fazemos
T (2; 10; 2; 2; 5)
= 2 + 0; 1 (10) + 0; 5 (2) + 2; 5 (2) + 0; 6 (5)
=2+1+1+5+3
= 12
A função T (x; y; z; w; t) é de…nida para todo ponto (x; y; z; w; t) 2 R5 . O
convencional é escrever T : R5 ! R.
Note que, em todos os exemplos examinados, a imagem da função é um
número real. Com base nesses exemplos vamos de…nir funções de várias variáveis.
De…nição 47 Seja D Rn um subconjunto e seja (x1 ; x2 ; x3 ; :::; xn ) 2 D. Se
a cada n upla ordenada pertencente a D corresponder um único número real
f (x1 ; x2 ; x3 ; :::; xn ) dizemos que f é uma função de n variáveis, de…nida em
D com imagem em R. Convencionalmente escreve-se f : D ! R.
Exemplo 48 Vejamos alguns exemplos de funções de várias variáveis.
Para D
temos
Para D
temos
Para D
temos
Para D
temos
R2
R3
R4
R5
f :D!R
f :D!R
f :D!R
f :D!R
de…nida por
f (x; y) = 2x + 3y + 1
de…nida por
f (x; y; z) = x2 + y + z + 6
de…nida por
f (x; y; z; w) = x2 + y 2 + z + w + 6
de…nida por
f (x; y; z; w; t) = x2 + y 2 + z + w + t2 + 6
Nosso estudo vai …car restrito às funções de duas e três variáveis.
2.2
Grá…co de uma Função de Várias Variáveis
Apenas podemos representar gra…camente funções de uma e duas variáveis independentes.
Por exemplo, o grá…co de f (x; y) = 9 x2 y 2 é um parabolóide conforme
mostra a …gura abaixo.
55
A equação de uma superfície pode ser escrita na forma implícita ou explícita,
em função de duas variáveis, isto é, F (x; y; z) = 0 ou z = f (x; y)
Exemplo 49 A equação da esfera centrada na origem pode ser escrita como
segue:
Implicitamente x2 + y 2 + z 2
R2 = 0
Explicitamente em função de (x; y) com z =
2.3
p
R2
x2
y2 .
Representação Grá…ca de uma Superfície
Para representar gra…camente uma superfície procede-se como segue:
1. ESCOLHE-SE UM PLANO COORDENADO.
2. Determina-se as interseções com os eixos cartesianos determinando os pontos
(x; 0; 0); (0; y; 0) e (0; 0; z).
3. Determina-se os traços das superfícies sobre os planos;
a) xy fazendo z = 0 na equação;
b) xz fazendo y = 0 na equação;
c) yz fazendo x = 0 na equação.
4. Determina-se as simetrias:
a) em relação aos planos coordenados.
Uma superfície é simétrica em relação ao plano xy se para qualquer
ponto P (x; y; z) existe um ponto P 0 (x; y; z).
Uma superfície é simétrica em relação ao plano xz se para qualquer
ponto P (x; y; z) existe um ponto P 0 (x; y; z).
56
Uma superfície é simétrica em relação ao plano yz se para qualquer
ponto P (x; y; z) existe um ponto P 0 ( x; y; z).
b) em relação aos eixos coordenados
Uma superfície é simétrica em relação ao eixo x se para quaquer
ponto P (x; y; z) existe um ponto P 0 (x; y; z).
Uma superfície é simétrica em relação ao eixo y se para quaquer ponto
P (x; y; z) existe um ponto P 0 ( x; y; z).
Uma superfície é simétrica em relação ao eixo z se para quaquer ponto
P (x; y; z) existe um ponto P 0 ( x; y; z).
c) em relação à origem:
Uma superfície é simétrica em relação à origem se para quaquer ponto
P (x; y; z) existe um ponto P 0 ( x; y; z).
5. Secções e Extensão: Quando os traços principais não forem su…cientes
para caracterização da superfície, recorre-se a determinação de secções
com planos paralelos aos planos coordenados. Para isso fazemos:
z = k sendo k uma constante na equação F (x; y; z) = 0, isto é,
teremos a equação F (x; y; k) = 0 sobre o plano coordenado xy.
y = k sendo k uma constante na equação F (x; y; z) = 0, isto é,
teremos a equação F (x; k; z) = 0 sobre o plano coordenado xz.
x = k sendo k uma constante na equação F (x; y; z) = 0, isto é,
teremos a equação F (k; y; z) = 0 sobre o plano coordenado zy.
6. Traça-se o esboço do grá…co da superfície.
Exemplo 50 Traçar o esboço do grá…co da superfície de equação
x2
52
+
y2
42
z2
32
= 1.
Solução:
1. Vamos tomar como plano coordenado o plano xz.
2. Interseções com os eixos coordenados : Os pontos (x; 0; 0) e (0; 0; z) não
são reais e o ponto (0; y; 0) é duplo ou seja temos os pontos P (0; 4; 0) e
P 0 (0; 4; 0).
3. Traços:
Sobre o plano xy: Fazendo z = 0 tem-se a hipérbole
x2
52
+
y2
42
Sobre o plano xz: Fazendo y = 0 tem-se a elipse imaginária
z2
32 = 1.
57
= 1.
x2
52
z
y
x
Figura 5: Traços sobre xy
Figura 6: Traços sobre yz
Com o plano zy: Fazendo x = 0 tem-se a hipérbole
4. Simetrias: Explicitamente a equação
como segue:
q
2
2
ou
y = 4 1 + x52 + z32
x2
52
+
y2
42
z2
32
y2
42
z2
32
= 1.
= 1 pode ser escrita
y=
q
4 1+
x2
52
+
z2
32
Logo, é simétrica em relação aos planos coordenados, aos eixos coordenados e à origem:
5. Secções e extensões: fazendo z = k; k 2 R; obtemos uma família de
hipérboles sobre os planos z = k. Por outro, lado fazendo y = k; k 2 R;
obtemos uma família de elipses sobre os planos z = k. (fazendo x = k as
curvas são imaginárias).
Por exemplo,fazendo z = k = 3 temos as equações
q
2
2
ou
y=
y = 4 1 + x52 + 332
q
4 1+
donde vem a equação da hipérbole sobre o plano z = 3 dada por
q
q
2
2
ou
y=
2 + x52
y = 2 + x52
Por exemplo, fazendo y = k =
8 temos a equação elíptica
58
x2
52
+
32
32
Figura 7: Traços sobre o plano z=3
x2
52
2
2
z
+ ( 48)
2
32 = 1 =)
sobre os planos y = 8 e y =
x2
52
+4
8.
z2
32
= 1 =) 3 =
x2
52
+
z2
32
Figura 8: Traços sobre o plano y=8
1. Construção da superfície.
Os elementos fornecidos pela discussão acima permitem construir a superfície
hipebólica de duas folhas conforme a …gura 2.3.
59
2.3.1
Exercícios
Discutir e representar gra…camente as superfícies
1. x2 + y 2 + z 2 = 25
2. x2 + y 2
z 2 = 25
3. 9x + 4y + 12z = 36
4. z 2 x2 y 2 = 0
8
< z + x2 = 16
z+y =7
5.
:
y=0ey=4
6.
2.4
z = 18 x2 y 2
z = x2 + 5y 2
Distâncias e Bolas no Espaço
Sejam P (x1 ; x2 ; :::; xn ) e A (y1 ; y2 ; :::; yn ) dois pontos de Rn , a distância de P
até A, denotada por jjP Ajj, é dada por
q
2
2
2
jjP Ajj = (x1 y1 ) + (x2 y2 ) + :: + (xn yn )
De…nição 51 Sejam A (y1 ; y2 ; :::; yn ) um ponto de Rn e r > 0 um número real.
Denominamos bola aberta de centro A e raio " ao conjunto de todos os pontos
P 2 Rn tais que jjP Ajj < r. Isto é, o conjunto
B (A; ") = f(x; y) 2 Rn tais que jjP
Ajj < rg
Sejam A (1; 2) e r = 1 então a bola aberta
B ((1; 2) ; 1) = P 2 R2 tais que jj(x; y)
é gra…camente representada por
y
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
60
(1; 2)jj < 1
Exemplo 52 Sejam A (1; 1; 2) e r = 1 então a bola aberta
B (1; 2; 1) = P 2 R3 tais que jj(x; y; z)
(1; 1; 2)jj < 1
é gra…camente representada pela …gura 2.4
2.5
Limite de uma Função de duas Variáveis
Vamos estudar a existência do limite de uma função de duas variáveis. O
raciocínio análogo é feito para funções de n variáveis.
De…nição 53 Seja f uma função de duas variáveis de…nida numa bola aberta
centrada em A (x0 ; y0 ), B (A (x0 ; y0 ) ; r), exceto possivelmente em A (x0 ; y0 ).
Dizemos que o número L é o limite de f (x; y) quando (x; y) tende para (x0 ; y0 )
se dado " > 0 podemos encontrar um > 0 tal que jf (x; y) Lj < " sempre
que 0 < jj(x; y) (x0 ; y0 )jj < . Nesse caso, escrevemos
lim
(x;y)!(x0 ;y0 )
Exemplo 54 Mostrar que
lim
(x;y)!(1;3)
f (x; y) = L
2x + 3y = 11
Demonstração:
jf (x; y)
Devemos mostrar que dado " > 0 existe
11j < " sempre que 0 < jj(x; y) (1; 3)jj < . Assim,
> 0 tal que
= j2x + 3y 11j
= j(2x 2) + (3y 9)j
= j2 (x 1) + 3 (y 3)j
j2 (x 1)j + j3 (y 3)j = 2 j(x 1)j + 3 j(y 3)j < "
jf (x; y) 11j
donde obtemos 2 j(x 1)j + 3 j(y 3)j < " ( I )
Por outro lado,
q
2
2
de 0 < jj(x; y) (x0 ; y0 )jj < obtemos 0 < (x 1) + (y 3) < :
jf (x; y)
11j
Como podemos observar na …gura
q acima, jx 1j e jy 3j são os lados do
2
2
triângulo e jj(x; y) (x0 ; y0 )jj = (x 1) + (y 3) é a hipotenusa, é claro
que
q
2
2
jx 1j
(x 1) + (y 3) <
61
e
jy
3j
q
1) + (y
jx
1j <
e jy
de modo que teremos
2
(x
2
3) <
3j <
Observe a …gura
)-(
x,y
||(
y
|y-3|
y
)||
3)
1,
|x-1|
3
x
δ
1
x
Substituindo estes resultados no termo à esquerda do sinal em ( I ) vem:
2 j(x
1)j + 3 j(y
3)j < 2 + 3
< 5 ( II )
Portanto, de ( I ) e ( II ) podemos formar o sistema de inequações
2 j(x 1)j + 3 j(y 3)j < "
2 j(x 1)j + 3 j(y 3)j < 5
Assim, podemos admitir 5 = " donde vem
Logo,
jf (x; y)
lim
(x;y)!(1;3)
=
"
.
5
2x + 3y = 11, pois dado " > 0 existe
11j < " sempre que 0 < jj(x; y)
=
"
tal que
5
(1; 3)jj < .
De…nição 55 Seja A (x0 ; y0 ) um ponto e D um subconjunto de R2 . Dizemos
que A (x0 ; y0 ) é ponto de acumulação de D se toda bola aberta centrada em
A (x0 ; y0 ) e raio r tem uma in…nidade de pontos de D.
Exemplo 56 Seja D o conjunto de todos os pontos (x; y) tais que x2 + y 2 1.
p
Então os pontos A (x0 ; y0 ) = (0; 0) em B (x1 ; y1 ) = 12 ; 23 são pontos de
acumulação de D. Porém o ponto (1; 1) não é.
De…nição 57 Seja f uma função de duas variáveis de…nida num conjunto
aberto D R2 . Seja B (x0 ; y0 ) um ponto de acumulação de D. Então o limite
de f (x; y) quando (x; y) tende para (x0 ; y0 ) é L se dado " > 0 podemos encontrar
> 0 tal que
jf (x; y) Lj < "
62
sempre que
0 < jj(x; y)
(x0 ; y0 )jj <
Nesse caso, escrevemos
lim
f (x; y) = L
(x; y) ! (x0 ; y0 )
D
Teorema 58 Seja f uma função de duas variáveis de…nida numa bola aberta
centrada em A (x0 ; y0 ), B (A (x0 ; y0 ) ; r), exceto possivelmente em A (x0 ; y0 ). Se
f (x; y) tem limites diferentes quando (x; y) tende para (x0 ; y0 ) por caminho
diferentes então
lim
f (x; y) não existe
(x; y) ! (x0 ; y0 )
D
Exemplo 59 Vamos mostrar que
lim
(x;y)!(0;0) x2
xy
não existe.
+ y2
:
Solução Seja S1 = f(x; y) 2 D tal que x = 0g. Note que S1 é exatamente o
eixo y e é um caminho que passa pelo ponto (0; 0). Assim,
lim
f (x; y) =
lim
f (0; y)
(x; y) ! (0; 0)
(0; y) ! (0; 0)
S1
S1
0 y
=
lim
2 + y2
0
(0; y) ! (0; 0)
S1
=0
Seja S2 = f(x; y) 2 D tal que y = kxg. Note que S2 é o conjunto de retas
que passam pelo ponto (0; 0). Assim,
lim
f (x; y)
(x; y) ! (0; 0)
S2
=
lim
f (x; kx)
(x; kx) ! (0; 0)
S2
xkx
=
lim
2
2
(x; kx) ! (0; 0) x + (kx)
S2
x2 k
=
lim
2
2
(x; y) ! (0; 0) x (1 + k )
S2
k
=
1 + k2
63
Como
segue que
lim
f (x; y) 6=
lim
f (x; y)
(x; y) ! (0; 0)
(x; y) ! (0; 0)
S1
S2
lim
(x;y)!(0;0) x2
xy
não existe.
+ y2
Exemplo 60 Vamos mostrar que
lim
3x2 y
existe.
+ y2
(x;y)!(0;0) x2
Solução:
Primeiro vamos veri…car se por caminhos diferentes o limite
tem o mesmo valor numérico.
Seja S1 = f(x; y) 2 D tal que y = kxg. Note que S1 é o conjunto de retas
que passam pelo ponto (0; 0). Assim,
lim
f (x; y)
(x; y) ! (0; 0)
S1
=
lim
f (x; kx)
(x; kx) ! (0; 0)
S1
3x2 kx
=
lim
2
(x; kx) ! (0; 0) x2 + (kx)
S2
x3 k
=
lim
2
2
(x; kx) ! (0; 0) x (1 + k )
S2
=
xk
lim
=0
1
+
k2
(x; kx) ! (0; 0)
S2
Seja S2 = (x; y) 2 D tal que y = kx2 . Note que S2 é um conjunto de
parábolas que passam pelo ponto (0; 0). Assim,
lim
f (x; y) =
(x; y) ! (0; 0)
S1
=
=
f x; kx2
lim
x; kx ! (0; 0)
S1
3x2 kx2
lim
2
x; kx2 ! (0; 0) x2 + (kx2 )
S2
3x4 k
lim
2
2 2
x; kx2 ! (0; 0) x (1 + k x )
2
S2
=
3x2 k
lim
=0
2 2
x; kx2 ! (0; 0) 1 + k x
S2
64
Como
lim
f (x; y) =
lim
f (x; y) segue que há prob(x; y) ! (0; 0)
(x; y) ! (0; 0)
S1
S2
3xy
abilidades de que L = 0 seja o limite de f (x; y) = 2
.
x + y2
Para con…rmar, devemos veri…car se a de…nição 53 está satisfeita. Devemos
mostrar que dado " > 0 existe > 0 tal que jf (x; y) 0j < " sempre que
0 < jj(x; y) (0; 0)jj < . Assim,
jf (x; y)
0j =
3x2 y
3 x2 jyj
3x2 y
=
=
<" (I)
x2 + y 2
jx2 + y 2 j
x2 + y 2
De 0p< jj(x; y) (0; 0)jj < obtemos 0 <
e jyj
x2 + y 2 podemos escrever
p
x2 + y 2 < . Sendo x2
p
3 x2 + y 2 jyj
= 3 jyj < 3 x2 + y 2 < 3
2
2
x +y
3 x2 jyj
x2 + y 2
( II )
Comparando ( I ) com ( II ) podemos admitir 3 = " donde vem
Portanto,
2.5.1
3x2 y
existe e
(x;y)!(0;0) x2 + y 2
lim
x2 + y 2
=
3x2 y
= 0.
(x;y)!(0;0) x2 + y 2
"
.
3
lim
Propriedades dos Limites
i) Sejam f : R2 ! R de…nida por f (x; y) = ax + b, com a; b 2 R: Então
lim
f (x; y) = axo + b
(x;y)!(xo ;yo )
ii) Se
a)
b)
c)
d)
e)
f)
lim
(x;y)!(xo ;yo )
f (x; y) e
lim
(x;y)!(xo ;yo )
lim
[f (x; y)
lim
cf (x; y) = c
lim
[f (x; y) :g(x; y)] =
lim
(x;y)
[ fg(x;y)
]=
(x;y)!(xo ;yo )
(x;y)!(xo ;yo )
(x;y)!(xo ;yo )
(x;y)!(xo ;yo )
lim
(x;y)!(xo ;yo )
lim
(x;y)!(xo ;yo )
g(x; y)] =
lim
(x;y)!(xo ;yo )
lim
(x;y)!(xo ;yo )
lim
(x;y)!(xo ;yo )
lim
f (x;y)
lim
g(x;y)
[lim
(x;y)!(xo ;yo )
lim
lim
f (x; y)
lim
(x;y)!(xo ;yo )
g (x; y)
lim
(x;y)!(xo ;yo )
lim
(x;y)!(xo ;yo )
g (x; y)
g (x; y) 6= 0
f (x; y)]n para todo n 2 Z+
(x;y)!(xo ;yo )
(x;y)!(xo ;yo )
f (x; y) :
desde que
(x;y)!(xo ;yo )
r
p
n
f (x; y) = n
f (x; y)
f (x; y)
(x;y)!(xo ;yo )
[f (x; y)]n =
e n 2 Z ou
g (x; y) existem e, c 2 R; então:
f (x; y) para
0 e n 2 N impar.
65
lim
(x;y)!(xo ;yo )
f (x; y)
0
Proposição 61 Se f é uma função de uma variável, contínua num ponto a, e
g(x,y) uma função tal que
lim
g (x; y) = a; então
lim
f g (x; y) =
(x;y)!(xo ;yo )
(x;y)!(xo ;yo )
f (a) ou
lim
(x;y)!(xo ;yo )
Exemplo 62 Calcular
f (g (x; y)) = f (
lim
(x;y)!(xo ;yo )
lim
(x;y)!(1;2)
ln(x2 + xy
g (x; y))
1)
Consideramos as funções:
g(x; y) = x2 + xy 1)
f (u) = ln u
temos que
lim g(x; y) = 2 e f (u) = ln(u) é contínua em 2:
(x;y)!(1;2)
Aplicando a proposição acima vem:
lim
(x;y)!(1;2)
(f
g)(x; y)
=
lim
(x;y)!(1;2)
= ln[
lim
ln(x2 + xy
(x;y)!(1;2)
(x2 + xy
1)
1)]
= ln 2
Proposição 63 Se
lim
(x;y)!(xo ;yo )
f (x; y) = 0 e g(x; y) é uma função limitada
numa bola aberta de centro (xo ; yo ) então
lim
(x;y)!(xo ;yo )
Exemplo 64 Mostrar que
f (x; y):g(x; y) = 0
x2 y
2 +y 2
x
(x;y)!(0;0)
lim
=0
Resolução:
Consideremos que f (x; y) = x e g(x; y) = x2xy
+y 2
Sabemos que
lim x = 0; basta mostrar que g(x; y) é limitada.
(x;y)!(0;0)
Escrevendo g(x; y) = x2xy
+y 2 em coordenadas polares temos que (x = r cos
e y = r sin )
xy
r 2 cos sin
= cos sin
x2 +y 2 =
r2
Evidentemente, jcos sin j 1 e portanto, g(x; y) é limitada.
x2 y
Logo
lim
x2 +y 2 = 0
(x;y)!(0;0)
66
2.5.2
Exercícios
Em cada exercício abaixo veri…que se
lim
(x;y)!(0;1)
lim
(x;y)!(0;0)
f (x; y) , e
f (x; y) existem.
a) f (x; y) =
x2
x2 + y 2
b)f (x; y) =
x2 y 2
x2 + y 2
c)f (x; y) =
x3 + y 3
x2 + y 2
d)f (x; y) =
x2 + y
x2 + y 2
e)f (x; y) =
x2 + y 3
x2 + y 2
f )f (x; y) =
x+y
x2 + y 2
2.5.3
Continuidade
De…nição 65 Seja f uma função de duas variáveis e (x0 ; y0 ) um ponto de R2 .
Dizemos que f é contínua em (x0 ; y0 ) se, e somente se, satisfaz as condições:
i)f (x0 ; y0 ) existe;
ii)
lim
(x;y)!(x0 ;y0 )
iii)
lim
(x;y)!(x0 ;y0 )
f (x; y) existe;
f (x; y) = f (x0 ; y0 )
.
Exemplo 66 Vamos veri…car se f (x; y) =
xy
x2 +y 2
se (x; y) 6= (0; 0)
0 se (x; y) = (0; 0)
é con-
tínua em (0; 0).
Solução:
Devemos veri…car se f satisfaz as condições da de…nição 65.
Condição i) Como f (x; y) = 0 se (x; y) = (0; 0) a primeira condição está
satisfeita.
Condição ii) Vimos no exemplo 59 que
xy
lim
2
2
(x;y)!(0;0) x +y
não existe. Portanto,
a condição ii) da de…nição 65 não é satisfeita.
xy
x2 +y 2 se (x; y) 6= (0; 0) não é contínua em (0; 0).
Logo, f (x; y) =
0 se (x; y) = (0; 0)
(
3x2 y
x2 +y 2 se (x; y) 6= (0; 0) é conExemplo 67 Vamos veri…car se f (x; y) =
0 se (x; y) = (0; 0)
tínua em (0; 0).
Solução: Devemos veri…car se f satisfaz as condições da de…nição 65.
Condição i) Como f (x; y) = 0 se (x; y) = (0; 0), a primeira condição está
satisfeita.
67
Condição ii) Vimos no exemplo 60 que
isto é,
3x2 y
lim
2
2
(x;y)!(0;0) x +y
3x y
lim
2
2
(x;y)!(0;0) x +y
existe,
= 0.
Condição iii) Sendo f (x; y) = 0 e
2
3x2 y
lim
2
2
(x;y)!(0;0) x +y
3x2 y
lim
2
2
(x;y)!(0;0) x +y
= 0 segue que
= f (0; 0). Assim, a terceira concição da de…nição 65 está
satisfeita.
Portanto, as três(condições da de…nição 65 estão satisfeitas.
3x2 y
x2 +y 2 se (x; y) 6= (0; 0) é contínua em (0; 0).
Logo, f (x; y) =
0 se (x; y) = (0; 0)
2.5.4
Exercícios
Em cada exercício(veri…que se as funções abaixo são contínuas em (0; 0) :
x2 y 2
x4 +y 2 se (x; y) 6= (0; 0)
a) f (x; y) =
0 se (x; y) = (0; 0)
( 3 3
x +y
x2 +y 2 se (x; y) 6= (0; 0)
b)f (x; y) =
0 se (x; y) = (0; 0)
( 2 2
x y
x2 +y 2 se (x; y) 6= (0; 0)
c)f (x; y) =
0 se (x; y) = (0; 0)
( 2
x +y
x2 +y 2 se (x; y) 6= (0; 0)
d)f (x; y) =
0 se (x; y) = (0; 0)
2.6
Derivadas Parciais
As técnicas, regras e fórmulas desenvolvidas para derivação de funções de uma
variável são generalizadas para funções de duas ou mais variáveis.
De…nição 68 Seja f uma função de duas variáveis e (x; y) um ponto no domínio
(x;y)
(x;y)
de f então as derivadas parciais @f@x
e @f @y
de f em (x; y) são dadas por
@f (x; y)
f (x +
= lim
x!0
@x
e
@f (x; y)
f (x; y +
= lim
y!0
@y
x; y)
x
f (x; y)
y)
y
f (x; y)
Exemplo 69 Seja f (x; y) = x2 y + xy 2 encontre
68
@f (x;y)
@x
e
@f (x;y)
@y .
Solução: Aplicando a de…nição 69 vem
@f (x;y)
@x
= lim
x!0
f (x+ x;y) f (x;y)
x
(x+ x)2 y+(x+ x)y 2 (x2 y+xy 2 )
x
x!0
x2 y+2xy x+y( x)2 +xy 2 +y 2 x x2 y xy 2
lim
x
x!0
2
2
lim 2xy x+y( xx) +y x
x!0
= lim
=
=
= lim
(2xy+y
x!0
x+y 2 ) x
x
2
= lim 2xy + y x + y = 2xy + y 2
x!0
(x;y)
= 2xy + y 2 .
Portanto, @f@x
(x;y)
= lim
Analogamente, encontra-se @f @y
y!0
f (x;y+ y)+f (x;y)
y
= x2 + 2xy.
(x;y)
Note que para encontrar @f@x
basta considerar y como uma constante na
função f (x; y) e aplicar as regras de derivação estudadas na derivação de funções
(x;y)
deriva-se em relação a y mantendo x
de uma variável. Para encontrar @f @y
constante.
Exemplo 70 Seja f (x; y) = 3x2 y + 2senxy, encontrar
Solução:
@f (x;y)
@x
e
@f (x;y)
@y .
Tomando y constante no primeiro caso e x no segundo temos
@f (x;y)
@x
@f (x;y)
@y
= 6xy + 2y cos xy
e
= 3x2 + 2x cos xy
Obs 71 No caso de f ter mais de duas variáveis são consideradas constantes
todas a s variáveis em relação a qual f não está sendo derivada.
Exemplo 72 Seja f (x; y; z; t) = 3x2 yz 3 t2 + 2senx2 yz 3 t2 , encontrar
@f (x;y;z;t) @f (x;y;z;t) @f (x;y;z;t)
,
,
@x
@y
@z
e
@f (x;y;z;t)
.
@t
Solução: Tomando constante todas as variáveis em relação a qual f não
está sendo derivada temos
69
2.6.1
@f (x;y;z;t)
@x
= 6xyz 3 t2 + 4xyz 3 t2 cos x2 yz 3 t2
@f (x;y;z;t)
@y
= 3x2 z 3 t2 + 2x2 z 3 t2 cos x2 yz 3 t2
@f (x;y;z;t)
@z
= 9x2 yz 2 t2 + 6x2 yz 2 t2 cos x2 yz 3 t2
@f (x;y;z;t)
@t
= 6x2 yz 3 t + 4x2 yz 3 t cos x2 yz 3 t
Interpretação Geométrica das derivadas parciais
Podemos interpretar geometricamente a derivada parcial como uma inclinação.
Consideramos a secção da superfície z = f (x; y) pelo plano vertical y = yo .
Neste plano a curva z = f (x; yo ) tem uma tangente com inclinação em fx (xo ; yo )
em xo :
Seja f (x; y) uma função de duas variáveis. Seja y = yo . Então, f (x; yo )
descreve uma curva sobre a superfície S. Marcamos um ponto P (x; yo ) sobre
a curva f (x; yo )e tracemos uma reta tangente à curva no ponto P (x; yo ) com
(x;y)
(x;y)
coe…ciente angular m = tg . Então, @f@x
= tg , ou seja @f@x
é o coe…ciente angular da reta tangente à curva f (x; yo ) no ponto P (x; yo ). Observe
(x;y)
é o coe…ciente angular da reta tangente à
a …gura 2.9. Analogamente, @f @y
curva f (xo ; y) no ponto P (xo ; y). Ambos os casos estão representados geometricamente nas …guras 2.6.1 e 2.6.1.
70
2.7
Derivada de uma Função Composta
Antes de discutir a derivada de uma função composta vamos falar sobre função
composta de duas variáveis.
Consideremos as funções (x; y) = x2 y + y e (x; y) = x + y 2 . Podemos
de…nir uma função F ( ; ) por F ( ; ) = 2 2 + 3 . Escrevendo F em função
de x e y temos:
F( ; )
F ( (x; y);
=2 2+3
2
(x; y)) = 2 [ (x; y)] + 3 [ (x; y)]
2
2
= 2 x y + y + 3 x + y2
4 2
= 2 x y + 2x2 y 2 + y 2 + 3x + 3y 2
= 2x4 y 2 + 4x2 y 2 + 2y 2 + 3x + 3y 2
= 2x4 y 2 + 4x2 y 2 + 5y 2 + 3x
Por exemplo,
F ( (1; 2);
4
2
2
2
2
(1; 2)) = 2 (1) (2) + 4 (1) (2) + 5 (2) + 3 (1) = 47:
71
Como
(x; y) = x2 y + y e
segue que
(x; y) = x + y 2
2
(1; 2) = (1) 2 + 2 = 4
e
(1; 2) = 1 + 22 = 5:
Logo,
2
F ( (1; 2);
(1; 2)) = F (4; 5) = 2 (4) + 3 (5) = 47:
Nosso interesse é encontrar
F ( (x; y);
@F (x;y)
@x
e
@F (x;y)
.
@y
A função
(x; y)) = 2x4 y 2 + 4x2 y 2 + 5y 2 + 3x
pode ser escrita como uma função (x; y). Isto é,
F (x; y) = 2x4 y 2 + 4x2 y 2 + 5y 2 + 3x
e, nesse caso, temos
@F (x; y)
= 8x3 y 2 + 8xy 2 + 3
@x
e
@F (x; y)
= 4x4 y + 8x2 y + 10y
@y
Como podemos observar, obter as derivadas parciais através desse processo
não é muito animador. Isso é motivação su…ciente para estudar a regra da
0
cadeia. Se tivermos uma função composta f (g (x)) sabemos que [f (g (x))] =
0
0
f (g (x)) g (x). A mesma teoria é aplicada para encontrar a derivada parcial de
uma função composta de várias variáveis.
Seja z (x; y) = F ( (x; y);
(x; y)) então
@z (x; y)
@F ( ; ) @
@F ( ; ) @
=
+
@x
@
@x
@
@x
e
@z (x; y)
@F ( ; ) @
@F ( ; ) @
=
+
@y
@
@y
@
@y
72
Exemplo 73 Consideremos as funções
(x; y) = x2 y + y
e
(x; y) = x + y 2
Podemos de…nir uma função F ( ; ) por
z (x; y) = F ( ; ) = 2
e depois encontrar
@z(x;y)
@x
e
@z(x;y)
@y
2
+3
:
Solução: Inicialmente, determinamos as derivadas parciais das funções
(x; y), (x; y) e F ( ; ) Temos, então:
@F ( ; )
@
@F ( ; )
@
=4 ;
@
@x
= 3;
@
@y
= 2xy
e
= x2 + 1
@
@x
@
@y
=1
= 2y
Substituindo em
@z (x; y)
@F ( ; ) @
@F ( ; ) @
=
+
@x
@
@x
@
@x
e
@z (x; y)
@F ( ; ) @
@F ( ; ) @
=
+
@y
@
@y
@
@y
vem
@z (x; y)
@x
e
@z (x; y)
@y
@
@
+3
@x
@x
= 4 x2 y + y (2xy) + 3 (1)
= 8x3 y 2 + 8xy 2 + 3
=4
@
@
+3
@y
@y
= 4 x2 y + y x2 + 1 + 3 (2y)
= 4x4 y + 8x2 y + 10y
=4
Exemplo 74 Determine
@F
@x
e
@F
@y
da função F (x; y) = ln
73
p
5
(x4 + 2xy + y 3 ) + (2xy + 3x2 )
1
F (f; g) = ln(f + g) 5
onde
f (x; y) = x4 + 2xy + y 3
e
g(x; y) = 2xy + 3x2
1. usando a regra da cadeia, temos:
F = ln
p
5
(x4 + 2xy + y 3 ) + (2xy + 3x2 )
@F
6x + 4y + 4x3
=
@x
20xy + 15x2 + 5x4 + 5y 3
@F
@x
=
=
=
=
2.7.1
1 @F @f
@F @g
[
+
]
5 @f @x
@g @x
1 @g
1 1 @f
[
+
]
5 f + g @x f + g @x
1 1(4x3 + 2y) + (2y + 6x)
[
]
5 x4 + y 3 + 4xy + 3x2
6x + 4y + 4x3
20xy + 15x2 + 5x4 + 5y 3
Exercícios
Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas
parciais em relação a x e y.
p
a) z = ln x2 e2y + x2 e
2y
b) z = ln
c) z = r2 cos2 t + 2r2 sent cos t + r2 sen2 t
2.8
d) z =
ex+y
2
2
+ x2 + y
q
x + y 2 + (x2 e
2y )3
Derivadas de Funções Implícitas
Seja y uma função de x de…nida pela equação F (x; y) = 0. Por exemplo,
x2 + y 2 9 = 0 ou x2 y 3 + x3 y 2 + xy + x + y 9 = 0. A equação x2 + y 2 9 = 0
pode ser expressa explicitamente em função de x ou de y. Porém, não podemos
fazer o mesmo com a equação x2 y 3 + x3 y 2 + xy + x + y 9 = 0. Também,
dy dx
fazendo F (x; y) = x2 + y 2 9 facilmente encontramos
e
, o mesmo não
dx dy
74
ocorre se …zermos F (x; y) = x2 y 3 + x3 y 2 + xy + x + y
9. Nosso interesse está
dy dx
em encontrar uma forma de determinar com rapidez as derivadas
e
.
dx dy
Inicialmente, vamos resover o problema usando o conhecimento adquirido
em Cálculo I. Vamos derivar y implicitamente em relação a x na equação
x2 y 3 + x3 y 2 + xy + x + y
9 = 0:
Temos
2xy 3 + 3x2 y 2 y 0 + 3x2 y 2 + 2x3 yy 0 + (y + xy 0 ) + 1 + y 0 = 0
ou
3x2 y 2 y 0 + 2x3 yy 0 + xy 0 + y 0 + 2xy 3 + 3x2 y 2 + y + 1 = 0
3x2 y 2 y + 2x3 y + x + 1 y 0 =
y0 =
ou
dy
=
dx
2xy 3 + 3x2 y 2 + y + 1
2xy 3 + 3x2 y 2 + y + 1
3x2 y 2 y + 2x3 y + x + 1
2xy 3 + 3x2 y 2 + y + 1
(I)
3x2 y 2 y + 2x3 y + x + 1
Sendo F (x; y) = x2 y 3 + x3 y 2 + xy + x + y
de F dadas por
9 obtemos as derivadas parciais
@F (x; y)
= 2xy 3 + 3x2 y 2 + y + 1
@x
e
@F (x; y)
= 3x2 y 2 + 2x3 y + x + 1:
@y
Observando estes resultados e comparando com ( I ), podemos podemos
escrever a fórmula
@F (x; y)
dy
@x
=
@F (x; y)
dx
@y
sempre que F (x; y),
@F (x; y)
@F (x; y)
e
forem contínuas em (x; y) 2 D e
@x
@y
@F (x; y)
6= 0.
@y
Se F for uma função com mais de duas variáveis, usando o mesmo procedimento determina-se as derivadas parciais.
75
Exemplo 75 Dada a função implícita x2 + y 2 + z 2
@x
e
.
@z
9 = 0, encontrar
Solução: Escrevemos F (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2
9, então teremos
@z @y
,
@x @x
@F (x; y; z)
= 2x
@x
@F (x; y; z)
= 2y
@y
e
@F (x; y; z)
= 2z
@y
Agora, substituindo convenientemente na fórmula acima vem:
@z
=
@x
@y
=
@x
@x
=
@z
2.9
@F (x; y; z)
@x
=
@F (x; y; z)
@z
@F (x; y; z)
@x
=
@F (x; y; z)
@y
@F (x; y; z)
@z
=
@F (x; y; z)
@x
2x
=
2z
x
=
z
2x
=
2y
x
=
y
2z
=
2x
z
=
x
x
p
9
(x2 + y 2 )
x
p
9
(x2 + z 2 )
z
p
9
(y 2 + z 2 )
,
,
.
Derivada parcial como taxa de variação
Suponhamos que f é uma função de duas variáveis. Então, a derivada parcial
@f
(x0 ; y0 ) dá a razão instantânea de variação de f no ponto P (x0 ; y0 ) por
@x
unidade de variação de x. Isto é a taxa de variação de f por unidade de x no
ponto P (x0 ; y0 ).
@f
Analogamente,
(x0 ; y0 ) dá a taxa de variação de f por unidade de y.
@y
Exemplo 76 Suponhamos que um volume de gás em certo recepiente seja
V = 100cm3 , a temperatura seja T = 90o C e a constante de proporcionalidade
k = 8.
a) encontrar a taxa de variação instantânea da pressão P por unidade de T ;
b) encontrar a taxa de variação instantânea de V por unidade de P .
76
Solução: De acordo com a lei do gás ideal para um gás comprimido vale
a relação P V = kT .
Na questão a) do exercício estamos interessados na taxa de variação instantânea da pressão P por unidade de T , de modo que devemos escrever P em
função de T e V . Isto é,
kT
P (T; V ) =
V
A taxa de variação instantânea da pressão P por unidade de T é dada pela
derivada parcial
k
@P (T; V )
=
no ponto P (90o ; 100)
@T
V
Asssim,
8
@P (90o ; 100)
=
= 0; 0 8:
@T
100
Na questão b) do exercício estamos interessados na taxa de variação instantânea de V por unidade de P , de modo que devemos escrever V em função de
T e P . Isto é,
kT
V (T; P ) =
P
A taxa de variação instantânea da pressão P por unidade de T é dada pela
derivada parcial
@V (T; P )
=
@P
kT
no ponto P (90o ; P )
P2
Para determinar P usamos a relação
P V = kT
e obtemos
P =
90 (8)
= 7; 2
100
Portanto,
@V (90; 7:2)
=
@P
8 (90)
2
(7:2)
=
13: 889:
Exemplo 77 A altura de um cone circular é de 100cm e decresce a razão de
10cm/s. O raio da base é de 50cm e cresce a razão de 5cm/s. Destermine a
velocidade da variação do volume.
Solução:
Primeiro vamos escrever o volume do cone em função do tempo:
V (t) =
r2 (t)h(t)
3
77
dV
@V dr @V dh
=
+
dt
@r dt
@h dt
dV
2 rh dr
r2 dh
=
( )+
dt
3
dt
3 dt
2 50:100
(50)2
dV
=
(5) +
( 10)
dt
3
3
50000
dV
=
dt
3
2.10
25000
3
=
25000
3
Diferencias Parciais e Totais
Para entender o signi…cado das diferenciais parciais e total vamos examinar os
exemplos.
Exemplo 78 Consideremos um retângulo de lados x e y. Então a área desse
retângulo é A (x; y) = xy.
Considere a …gura
y+dy
y
x+dx
x
Se ao lado x for dado um acréscimo in…nitesimal dx a área do novo retângulo
será
A0 (x + dx; y) = (x + dx) y
A0 (x + dx; y) = xy + ydx
A0 (x + dx; y) = A (x; y) + ydx
A0 (x + dx; y)
A (x; y) = ydx
A variação in…nitesimal parcial
da área será
78
dAx = ydx. Veja na …gura 2.10.
@A (x; y)
@A (x; y)
Sendo
= y podemos escrever dAx =
dx.
@x
@x
@A (x; y)
dy.
@y
Se aos lados x e y forem dados acréscimos in…nitesimais dx e dy a área do
Analogamente, a diferencial parcial em relação a y é dada por dAy =
novo retângulo será
A0 (x + dx; y + dy) = (x + dx) (y + dy)
A0 (x + dx; y + dy) = xy + ydx + xdy + dxdy
A0 (x + dx; y + dy) = A (x; y) + ydx + xdy + dxdy
A0 (x + dx; y)
A (x; y) = ydx + xdy + dxdy
A estimativa da variação total dA, da área será
dA = ydx + xdy + dxdy. Veja na …gura 2.10
@A (x; y)
@A (x; y)
= y,
= x e o produto dos
@x
@y
in…nitesimais dx e dy é desprezível, isto é dxdy 0
Sendo
podemos escrever dA =
@A (x; y)
@A (x; y)
dx +
dy.
@x
@y
Exemplo 79 Consideremos um paralelepípedo de lados x, y e z. Então o volume deste paralelepípedo sera dado por V (x; y; z) = xyz.
Desenvolvendo um raciocínio análogo ao do exemplo anterior obtemos
V (x + dx; y; z) = (x + dx) yz
V 0 (x + dx; y; z) = xyz + yzdx
V 0 (x + dx; y; z)
V (x; y; z) = yzdx
ou dVx = yzdx donde vem
dVx =
@V (x; y; z)
dx
@x
Analogamente, obtemos dVx =
dVz =
@V (x; y; z)
@V (x; y; z)
dx, dVy =
dy e
@x
@y
@V (x; y; z)
dz.
@z
79
Se aos lados x e y forem dados acréscimos in…nitesimais dx e dy o volume
do novo paralelepipedo será
V 0 (x + dx; y + dy; z) = (x + dx) (y + dy) z
V 0 (x + dx; y + dy; z) = xyz + yzdx + xzdy + zdxdy
V 0 (x + dx; y + dy; z) = V (x; y; z) + yzdx + xzdy + zdxdy
dVxy = yzdx + xzdy + zdxdy
O produto zdxdy tende a zero. Logo, é desprezível e, portanto, a estimativa
da variação in…nitesimal parcial do volume do paralelepípedo após dado um
acréscimo aos lados x e y será dada por
dVxy =
@V (x; y; z)
@V (x; y; z)
dx +
dy
@x
@y
Finalmente, se aos lados x, y e z forem dados acréscimos in…nitesimais dx,
dy e dz o volume do novo paralelepipedo será
V 0 (x + dx; y + dy; z + dz) = (x + dx) (y + dy) (z + dz)
V 0 (x + dx; y + dy; z) = (xy + ydx + xdy + dxdy) (z + dz)
V 0 (x + dx; y + dy; z) = xyz+yzdx+xzdy+zdxdy+xydz+ydxdz+xdydz+dxdydz
V 0 (x + dx; y + dy; z) V (x; y; z) = yzdx+xzdy+zdxdy+xydz+ydxdz+xdydz+dxdydz
80
dV = yzdx + xzdy + zdxdy + xydz + ydxdz + xdydz + dxdydz
Nas …guras, a seguir, podemos ver, primeiro o parelelepípedo resultante dos
acréscimos atribuídos a cada uma das variáveis e na sequências cada um dos
volumes resultantes que compõe o DV .
dz
z
y
dy
x
dx
Volumes resultantes em virtude dos acréscimos são vistos na …gura abaixo
81
dz
dy
dx
dz
dz
y
y
x
dx
z
z
z
y
dx
x
dy
dy
dx
dz
x
dy
Os produtos zdxdy, ydxdz, xdydz e dxdydz tendem a zero. Logo, a soma
zdxdy + ydxdz + xdydz + dxdydz é desprezível e, portanto, a estimativa da
variação in…nitesimal total do volume do paralelepípedo após dado um acréscimo
aos lados x, y e z será dada por
dV = yzdx + xzdy + xydz
dV =
@V (x; y; z)
@V (x; y; z)
@V (x; y; z)
dx +
dy +
dz
@x
@y
@z
82
Geralmente, escreve-se
dV =
@V
@V
@V
dx +
dy +
dz
@x
@y
@z
Seja f (x; y; z) uma função então a diferencial total de f é dada por
df =
@f
@f
@f
dx +
dy +
dz
@x
@y
@z
A diferencial total de uma função dá uma estimativa da variação da função
quando dados acréscimos às variáveis independentes.
Exemplo 80 Uma lata de metal fechada, na forma de um cilindro circular reto
que possui altura interna igual a 6cm, raio interno 2cm e espessura 0,1cm. Usando diferencial total faça uma estimativa da quantidade de material necessário
para fabricação dessa lata em cm3 .
Solução: O volume exato de metal para fabricação da lata é a diferença
entre o volume interno e o volume total da lata. Sejam h a altura interna,
H a altura total r o raio interno e R o raio total. Então, teremos h = 6cm,
H = 6 + 2 (0; 1) = 6; 2cm, r = 2cm e R = 2 + 0; 1 = 2; 1cm. Seja v o volume
interno e V o volume total. Temos, então
Volume Interno
v = r2 h
2
v = (2) 6
v = 24 cm3
Volume total
V = R2 H
2
V = (2; 1) 6; 2
V = 27; 342 cm3
Portanto
V =V v
V = 3; 342 cm3
Porém, a estimativa do volume de material necessário para fabricar a lata,
obtida através da diferencial total é:
dV =
@v
@v
dr +
dh
@r
@h
dV = 2 rhdr + r2 dh
2
dV = 2 (2) (6) (0:1) + (2) (0:2) = 3: 2 cm3 .
Note que a estimativa é dV menor do que
V , pois
V = (r + dr)2 (h + dh)
83
r2 h
2
2
V = r2 dh + 2 rdrh + 2 rdrdh + (dr) h + (dr) dh
@v
@v
2
2
dh +
dr + 2 rdrdh + (dr) h + (dr) dh
@h
@r
Em função de ter sido desprezada a combinação
V =
2
2
2 rdrdh + (dr) h + (dr) dh tem-se dV <
V:
Exemplo 81 Vamos considerar uma caixa com tampa, de forma cilindrica,
com dimensões: r = 2cm e h = 5 cm. O custo do material usado em sua
confecção é de R$ 0; 81 por cm2 :Se as dimensões sofrerem um acréscimo de
10% no raio e 2% na altura, pergunta-se:
a. Qual o valor aproximado do acréscimo no custo da caixa?
b. Qual o valor exato do acréscimo no custo da caixa?
Solução
Podemos escrever a função custo como C(r; h) = 0:81(2 rh + 2 r2 )
onde 2 rh representa a área lateral da caixa e r2 , a área da base ou tampa.
Quando o raio de base sofre um acréscimo de 10%, passa de 2 para 2; 2 cm,
portanto r = 0; 2
Quando a altura sofre um acréscimo de 2%; passa de 5cm para 5; 1cm,
portanto, h = 0; 1
Vamos usar a diferencial para encontrar o valor aproximado do acréscimo do
custo. Portanto, temos:
dC =
@C
@C
dr +
dh
@r
@h
dC = 0; 81(2 h + 4 r)dr + 0; 81:2 rdh
dC = 0; 81(2 5 + 4 2)0:2 + 0; 81:2 2:0; 1 u 10; 17
Portanto, o valor aproximado do acréscimo no custo da caixa quando as
dimensões são modi…cadas é de R$10; 17, ou um acréscimo de 14; 28%.
Para saber o valor exato do acréscimo no custo da caixa, temos que calcular:
C
C
= C(2; 2; 5; 1) C(2; 5)
= 0:81(2 2; 2:5; 1 + 2 (2; 2)2 )
0:81(2 2:5 + 2 22 ) u 10; 47
Assim, o valor exato é de R$10; 47, ou um acréscimo de 14; 7%. Observamos,
assim, que o erro do cálculo aproximado foi de 0; 42%:
84
Exemplo 82 Uma caixa em forma de paralelepípedo tem dimensões internas
iguais a 6cm, 8cm e 12cm. Sendo a espessura das paredes 0,2cm, do fundo 0,3cm
e da tampa 0,1cm, fazer uma estimativa aproximada em cm3 da quantidade de
material necessário a ser usado na confecção da caixa.
Solução: Vamos usar a diferencial total para fazer a estimativa solicitada.
Sejam x = 6, y = 8 e z = 12. Como a espessura das paredes é 0,2cm tem-se
dx = dy = 2 (0; 2) = 0; 4 e sendo a espessura do fundo 0,3 e da tampa 0,1 tem-se
dz = 0; 3 + 0; 1 = 0; 4. Como V = xyz segue que
dV
=
@V
@V
@V
dx +
dy +
dz
@x
@y
@z
= yzdx + xzdy + xydz
= 8 (12) 0; 4 + 6 (12) 0; 4 + 6 (8) 0; 4
= 86; 4cm3
Portanto, uma estimativa da quantidade de material necessário a ser usado
na confecção da caixa é dV = 86; 4cm3 .
2.11
Derivadas Parciais de Ordem Superior
@f
@f
e
, também deriváveis.
@x
@y
Cada uma dessas derivadas parciais pode ser novamente derivadas em relação a
x e a y.
Notações
Seja z = f (x; y) que possui derivadas parciais
@2f
é a segunda derivada parcial de f em relação a x;
@x2
@
@x
@f
@x
=
@
@x
@
@x
@f
@x
@f
@x
=
=
@3f
é a terceira derivada parcial de f em relação
@x3
a x;
@
@y
@2f
é a segunda derivada parcial de f primeiro em em
@y@x
relação a x e depois em relação a y;
@
@x
@f
@y
=
@2f
é a segunda derivada parcial de f primeiro
@x@y
em relação a y e depois em relação a x;
@
@y
@
@y
@f
@y
=
@3f
é a terceira derivada parcial de f em relação a y;
@y 3
85
No caso da função f ter mais de duas variáveis a notação segue a mesma
lógica. Por exemplo, se temos f (x; y; z; t) tem-se
@
@t
@
@z
@
@y
@f
@x
=
@4f
representa a quarta derivada de f ,
@t@z@y@x
primeiro em relação a x depois em relação a y e assim sucessivamente.
Exemplo 83 Seja f (x; y; z; t) = x3 y 4 z 5 t2 encontrar
Solução: Encontramos
@4f
.
@x@y@z@t
@f @ 2 f
@3f
@4f
,
,
e
, nessa ordem:
@x @x@y @x@y@z @x@y@z@t
@f
(x; y; z; t) = 3x2 y 4 z 5 t2
@x
@2f
(x; y; z; t) = 12x2 y 3 z 5 t2
@x@y
@3f
(x; y; z; t) = 60x2 y 3 z 4 t2
@x@y@z
@4f
(x; y; z; t) = 120x2 y 3 z 4 t.
@x@y@z@t
2
2
Exemplo 84 A equação @@xu2 + @@yu2 = 0 é conhecida como a equação de Laplace
em R2 :Mostre que a função
u(x; y) = ex seny + ey cos x
satisfaz a equação.
solução:
1. Seja u = ex sin y + ey cos x temos as seguintes derivadas parciais:
@u
@y
@2u
@y 2
= (cos x) ey + (cos y) ex
= (cos x) ey
(sin y) ex
@u
@x
@2u
@x2
@u
@y
@2u
@y 2
= (sin y) ex
(sin x) ey
= (sin y) ex
(cos x) ey
= (cos x) ey + (cos y) ex
= (cos x) ey
Vamos veri…car se satisfaz a equação
2
@ u
@x2
+
2
@ u
@y 2
= (sin y) ex
@2u
@x2
(sin y) ex
+
@2u
@y 2
(cos x) ey + (cos x) ey
86
=0
(sin y) ex = 0 (cqd)
2.11.1
Exercícios
1. Seja f (x; y; z) = x3 y 4 z 5 + xsenyz encontre todas as derivadas parciais de
f até a terceira ordem.
2. Seja f (x; y) = ex ln y encontre todas as derivadas parciais de f até a
segunda ordem.
3. Use a lei do gás comprimido P V = kT com k = 10 para encontrar a taxa
de variação instantânea da temperatura no instante em que o volume do
gás é 120cm3 e está sob uma pressão de 8din=cm2 , a taxa de crescimento
é 2cm3 =s, a pressão decresce a taxa de 0,1din/cm2 . Sugestão: escreva P ,
V e T em função do tempo t.
2.12
Extremos de uma Função de duas Variáveis
Seja f uma função de duas variáveis. Dizemos que f tem um máximo relativo
no ponto (a; b) se existir um bola aberta de centro (a; b) e raio r > 0 tal que
para todo (x; y) pertencente à bola tem-se f (x; y) f (a; b). Por outro lado se
f (x; y)
f (a; b) tal que para todo (x; y) pertencente dizemos que f tem um
ponto de mínimo relativo no ponto (a; b).
De…nição 85 Os valores máximos e mínimos de f são denominados pontos
extremos de f .
Teorema 86 A condição necessária para que um ponto (a; b) seja um ponto
@f (a; b) @f (a; b)
.e
sejam nulas, ou não existam ou (a; b)
extremo de f é que
@x
@y
pertença a fronteira do domínio de f .
2.12.1
Ponto Crítico
De…nição 87 Seja (a; b) um ponto pertencente ao domínio de f . Se
@f (a; b)
.e
@x
@f (a; b)
são nulas ou não existirem então (a; b) é denominado ponto crítico de
@y
f.
2.12.2
Ponto de Máximo e de Mínimo
Teorema 88 Seja (a; b) um ponto pertencente ao domínio de f . Suponhamos
@f @f @ 2 f @ 2 f @ 2 f
@2f
que
,
,
,
,
e
existem e são contínuas na bola aberta
@x @y @x2 @y 2 @x@y @y@x
de centro (a; b). Suponhamos que (a; b) seja um ponto crítico e sejam ainda:
=
@2f
(a; b)
@x2
2
@ f
(a; b)
@x@y
87
@2f
(a; b)
@y@x
2
@ f
(a; b)
@y 2
e
=
@2f
(a; b)
@x2
então se:
i)
ii)
iii)
iv)
> 0 e < 0 a função f tem um máximo relativo em (a; b);
> 0 e > 0 a função f tem um mínimo relativo relativo em (a; b);
= 0 nada podemos a…rmar;
< 0 a função f tem um ponto de sela em (a; b).
Exemplo 89 Encontre os pontos críticos da função f (x; y) = x2 + y 2
4y + 2 e veri…que se são pontos de máximo ou de mínimo.
2x +
Solução: Inicialmente, pelo teorema 86 devemos resolver o sistema de
equações
8
@f
>
<
(x; y) = 0
@x
para determinar os pontos críticos.
@f
>
:
(x; y) = 0
@y
Temos então,
8
@f
>
<
(x; y) = 2x 2
2x 2 = 0
@x
donde
implica em x = 1 e y =
@f
2y + 4 = 0
>
:
(x; y) = 2y + 4
@y
Portanto, o ponto crítico de f é (a; b) = (1; 2).
Na sequência, determinaremos os valores de
=
@2f
(a; b)
@x2
2
@ f
(a; b)
@x@y
e
=
@2f
(a; b)
@y@x
2
@ f
(a; b)
@y 2
@2f
(a; b) :
@x2
Temos,
88
2.
@2f
(x; y) = 2
@x2
donde vem
@2f
(1; 2) = 2
@x2
@2f
(x; y) = 0
@x@y
donde vem
@2f
(1; 2) = 0
@x@y
@2f
(x; y) = 0
@y@x
donde vem
@2f
(1; 2) = 0
@y@x
@2f
(x; y) = 2
@y 2
donde vem
@2f
(1; 2) = 2
@y 2
Portanto,
=
2
0
0
2
=4 e
= 2.
Como = 4 > 0 e = 2 > 0, pelo teorema 88, item ii) f tem um mínimo
relativo no ponto (1; 2).
Exemplo 90 Determine as dimensões de uma caixa retangular sem tampa destinada ao acondicionamento de 108cm3 de volume se queremos usar a mínima
quantidade em material para sua confecção.
Solução:
Sejam x o comprimento da base, y a largura da base, z a
altura, S a superfície e V o volume da caixa. Então podemos escrever o sistema
8
< S(x; y; z) = xy + 2xz + 2yz
V
: V (x; y; z) = xyz donde z =
xy
A função S(x; y; z) pode ser escrita como uma função de duas variáveis, se
V
z for substituido por
. Desse modo temos
xy
S(x; y) = xy +
2V
2V
+
y
x
Aplicando o teorema 86, vamos determinar os pontos críticos.
Inicialmente,
pelo teorema 86 devemos resolver o sistema de equações
8
@f
>
<
(x; y) = 0
@x
para determinar os pontos críticos.
@f
>
:
(x; y) = 0
@y
Temos então,
89
8
@f
>
<
(x; y) = y
@x
@f
>
:
(x; y) = x
@y
donde
8
>
< y
2V
=0
x2
2V
=0
y2
>
: x
implica em
2V
x2
2V
y2
yx2
xy 2
2V = 0
2V = 0
donde vem yx2 = xy 2 , ou seja x = y. Portanto, 2V = x3 .
p
Sendo V = 108, segue que x = 3 2 (108) = 6, y = 6. Logo, o ponto
2V
(a; b) = (6; 6) é ponto crítico da função S(x; y) = xy + 2V
y + x .
Na sequência determinaremos os valores de
@2f
@2f
(a; b)
(a; b)
2
@2f
@x
@y@x
=
e
=
(a; b).
@2f
@2f
@x2
(a; b)
(a;
b)
@x@y
@y 2
Temos,
4V
@2f
(x; y) = 3
@x2
x
donde vem
@2f
4 (108)
(6; 6) =
=2
@x2
63
@2f
(x; y) = 1
@x@y
donde vem
@2f
(6; 6) = 1
@x@y
@2f
(x; y) = 1
@y@x
donde vem
@2f
(6; 6) = 1
@y@x
@2f
4V
(x; y) = 3
@y 2
y
donde vem
@2f
4 (108)
(6; 6) =
=2
@y 2
63
Portanto,
=
2
1
1
2
=3 e
= 2:
Como = 3 > 0 e = 2 > 0, pelo teorema 88, item ii) f tem um mínimo
relativo no ponto (6; 6). Logo, as dimensões da base da caixa são x = 6cm e
V
108
y = 6cm. Sendo que z =
segue que z =
= 3.
xy
6 (6)
Portanto, as dimensões da caixa, para que o custo de fabricação seja mínimo,
são x = 6cm e y = 6cm e z = 3cm
90
Exemplo 91 Um fabricante faz 2 modelos de um item, padrão e de luxo. Custa
R$ 40; 00 para fabricar um modelo padrão e R$ 60; 00 o de luxo. Uma …rma
de pesquisa de mercado estima que se o modelo padrão for vendido por x reais
e o de luxo por y reais, então o fabricante venderá 500(y x) do item padrão
e 45000 + 500(x 2y) do de luxo a cada ano. Com que preços os itens devem
ser vendidos para maximizar o lucro?
Solução:
A Função lucro é dado por :
L(x; y) = 500(y
x)(x
40) + (45000 + 500(x
2y))(y
60)
Para encontrar os pontos críticos devemos fazer
@L(x; y)
@L(x; y)
=0e
=0
@x
@y
e portanto temos:
@L(x; y)
= 1000y
@x
1000x
@L(x; y)
= 1000x
@y
2000y + 85 000 = 0
1. Resolvendo este sistema temos:
1000y 1000x 10 000 = 0
!
1000x 2000y + 85000 = 0
10 000 = 0
1000x + 1000y = 10000
:
1000x 2000y = 85000
Ponto Crítico (65; 75)
Vamos analisar se este ponto crítico é um ponto de máximo
@ 2 L(x; y)
=
@x2
1000
@ 2 L(x; y)
=
@y 2
2000
@ 2 L(x; y)
= 1000
@x@y
@ 2 L(x; y)
= 1000
@y@x
4=
1000
1000
91
1000
2000
= 106 > 0
x = 65
y = 75
e
@ 2 L(x; y)
=
@x2
1000 < 0
Portanto o ponto P (65; 75) é um ponto de máximo.
Logo o item padrão será vendido por R$ 65; 00 e o de luxo por R$75; 00:
2.13
Exercícios Gerais
1. Usando a de…nição mostre que:
lim
(3x + 2y) = 8 b)
(x;y)!(2;1)
2. veri…que se o
lim
(x;y)!(1;3)
x2 y 2
lim
2
2
(x;y)!(0;0) x +y
x+y
x2 +y 2
0
4y) =
10
existe.
3. Em cada função
veri…que se f é contínua
(
p 2xy
, se (x; y) 6= (0; 0)
x2 +y 2
f (x; y) =
0; se (x; y) = (0; 0)
f (x; y) =
(2x
se (x; y) 6= (0; 0)
se (x; y) = (0; 0)
b) (x; y) =
d)f (x; y) =
x y
x+y
0
se (x; y) 6= (0; 0)
se (x; y) = (0; 0)
3xy
x2 +y 2
0
se (x; y) 6= (0; 0)
se (x; y) = (0; 0)
@z
@z
4. Mostre que z = sen xy +ln( xy ) é solução da equação diferencial y @y
+x @x
=
0
5. Usando a regra da cadeia (funções compostas) encontre
x+y
a) f (x; y) = x2 +y
b) f (x; y) =
2 +1
p
3
2
2
2
2
c)f (x; y) = ln (x + y ) + (2x + y x )
@z
@z
@x e @y
x+y
x2 +y 2 +1
@z @x
@z
6. Usando derivação implícita encontrar, nas funções abaixo, @x
, @y e @y
z 2 = 0 b) sen (x + y) + cos (x y) + x2 y 2 z 2 = 0
a) xy 2 z 3x2 yz + 2xz
y
7. Se u = p
8. se z =
1
x2 +y 2 +z 2
mostre que
@2u @2u @2u
+ 2 + 2 = 0.
@x2
@y
@z
x2 y 2
x@ 2 z
y@ 2 z
mostre que
+
2
x+y
@x
@x@y
9. Se z = ln x2 + y 2 mostre que
2@z
= 0.
@x
@2z
@2z
+ 2 = 0.
2
@x
@y
10. Um pintor cobra R$12; 00 por m2 para pintar as 4 paredes e o teto de
uma sala. Se as medidas do teto são 12m e 15m e altura 30m, com um
erro de até 0; 05m em todas as dimensões. Aproxime o erro, usando a
diferencial, na estimativa do custo do trabalho, a partir dessas medidas.
92
2
11. A energia consumida num resistor elétrico é dada por P = VR watts. Se
V = 120 volts e R = 12 ohms, calcular através da diferencial um valor
aproximado para a variação de energia quando V decresce de 0; 001V e R
aumenta de 0; 02ohms.
12. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha
cônica, Num dado instante, o raio da base é de 12 cm e a altura é 8 cm .
Obter uma aproximação da variação do volume, se o raio varia para 12; 5
cm e a altura para 7; 8 cm. Comparar o resultado com a variação obtido
com a variação exata do volume.
13. A areia é derramada num monte cônico na velocidade de 4m3 por minuto.
Num dado instante, o monte tem 6m de diâmetro e 5 m de altura. Qual
a taxa de aumento da altura nesse instante, se o diâmetro aumenta na
velocidade de 2cm por minuto?R ' 0; 39
14. A capidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser
exalado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do sexo masculino
com x anos de idade e y cm de altura, V pode ser aproximada pela fórmula
@V
V = 27; 63y 0:112xy:Calcule e interprete (a) @V
@x (b) @y
15. A resistência R, em ohms, de um circuíto é dada por R = EI , onde I é a
corrente em amperes e E é a força eletromoriz em volts. Num instante,
quando E = 120V e I = 15A, E aumenta numa de velocidade 0; 1V =s e I
diminui à velocidade de 0; 05A=s. Encontre a taxa de variação instantânea
1
de R. Re s = 30
16. Uma lata cilíndrica sem tampa tem raio interno 6cm altura interna 30cm.
Sendo 0,2cm a espessura lateral da lata e 0,3cm a espessura do fundo,
usando diferencial total, faça:
(a) uma estimativa do volume de material usado na fabricação dessa lata;
(b) uma estimativa do custo do material de fabricação se um cm2 de
material da parede lateral custa R$0,20 e do fundo custa R$0,30.
17. Uma caixa em forma de paralelepípedo tem dimensões internas iguais a
7cm, 8cm e 13cm. Sendo a espessura das paredes 0,2cm, do fundo 0,3cm e
da tampa 0,1cm, fazer uma estimativa aproximada em cm3 da quantidade
de material necessário a ser usado na confecção da caixa.
18. Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para
estocar 270m3 de combustível, gastando a menor quantidade de material
em sua construção. Supondo que todas as paredes serão feitas com o
mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do
tanque.
19. Uma caixa retangular tem volume 20cm3 . O material usado nas laterais
custa R$ 1,00 por metro quadrado, o material usado o fundo custa R$ 2,00
93
por metro quadrado e o material usado na tampa custa R$ 3,00 por metro
quadrado. Quais as dimensões da caixa para que o custo de confeção seja
mínimo?R = (2; 2; 5)
20. Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular sem tampa
destinada ao acondicionamento de o máximo possível de volume.
21. Uma …rma de embalagem necessita fabricar caixas retangulares de 128cm3
de volume. Se o material da parte lateral custa a metade do material a
ser usado para a tampa e para o fundo da caixa, determinar as dimensões
da caixa que minimizam o custo.
22. Determinada empresa produz 2 produtos cujas quantidades são indicadas
por x e y. Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços
unitários p1 e p2 , respectivamente, que dependem de x e y , conforme
equações p1 = 120 2x e p2 = 200 y O custo total da empresa para
produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por C = x2 +
2y 2 + 2xy:Admitindo que toda a produção seja absorvida pelo mercado,
determine a produção que maximiza o lucro.R = (10; 30)
23. Uma loja vende dois tipos de casacos A e B. O casaco A custa $ 40,00
e O casaco B custa $ 50,00. Seja sendo x o preço de venda do casaco
A e y o preço de venda do casaco B. O total de vendas feito pela loja
foi (3200 50x + 25y) para o casaco A e (25x 25y) para o casaco B.
Encontre os valores de x e y para que o lucro seja máximo.R = (84; 89)
24. Uma loja vende dois tipos de produtos A e B. O produto tipo A custa
$ 50,00 e o produto tipo B custa $ 60,00. Seja sendo x o preço de venda
do produto tipo A e y o preço de venda do produto tipo B. O total
de vendas feito pela loja foi ( 250x + 250y) para o produto tipo A e
32000 + 250 (x 2y) para o produto B . Encontre os valores de x e y para
que o lucro seja máximo.R = (89; 94)
25. Alguns correios exigem que o perímetro da face superior de um pacote mais
o comprimento da altura não exceda 84 cm, para que possa ser enviado.
Determinar as dimensões do pacote retangular de maior volume que pode
ser enviado. R = (14; 14; 28)
94
3
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Integrais duplas: Objetivos:
Ao …nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de:
1.
Encontrar o valor de uma integral dupla;
2.
Interpretar geometricamente uma integral dupla;
3.
Dada uma região delimitada por funções, encontrar os limitantes que
permitem calcular o valor da integral dupla;
4.
Calcular integrais duplas em coordenadas polares;
5.
Resolver exercícios usando o Maple
Integrais triplas: Objetivos:
Ao …nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de:
1.
Encontrar o valor de uma integral tripla;
2.
Interpretar geométrica e …sicamente uma integral tripla;
3.
Calcular integrais triplas em coordenadas retangulares;
4.
Calcular integrais triplas em coordenadas cilíndricas;
5.
Calcular integrais triplas em coordenadas esféricas;
6.
Mudar os limitantes de uma integral em coordenadas retangulares
para cilindricas e de cilindricas para retangulares;
7.
Mudar os limitantes de uma integral em coordenadas retangulares
para esféricas e de esféricas para retangulares;
8.
Calcular a área de uma superfície;
9.
Fazer a maquete de uma …gura delimitada por superfícies e encontrar
seu volume.
10.
Resolver exercícios usando o Maple.
A prova será composta por questões que possibilitam veri…car se os objetivos
foram atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos.
O modelo de formulação das questões é o modelo adotado na formulação dos
exercícios e desenvolvimento teórico desse capítulo, nessa apostila.
3.1
Introdução
No estudo das funções de várias variáveis, ao calcularmos derivadas parciais
escolhiamos uma das variáves independentes para derivar f em relação a ela
e admitiamos que as demais eram constantes. O mesmo procedimento será
adotado para integração múltipla. Antes de estudarmos a integração múltipla
propriamente dita vamos ver alguns exemplos.
Exemplo 92 Encontrar a primitiva da função f (x; y) = 12x2 y 3 em relação à
x.
Solução: Como foi dito, vamos admitir y como constante e integrar em
relação a x. Portanto,
95
Z
12x2 y 3 dx = 4x3 y 3 + C
Porém, nesse caso, a constante C é uma função de y. Pode ser por exemplo,
C (y) = ay 3 + by 2 + cy + 3 e uma das primitivas de f (x; y) = 12x2 y 3 será
F (x; y) = 4x3 y 3 + ay 3 + by 2 + cy + 3
Note que
@F (x; y)
= 12x2 y 3 :
@x
Exemplo 93 Encontrar a primitiva da função f (x; y) = 12x2 y 3 em relação à
y.
Solução: Agora vamos admitir x como constante e integrar em relação a
y. Portanto,
Z
12x2 y 3 dy = 3x2 y 4 + K
Nesse caso, a constante K é uma função de x. Pode ser por exemplo,
K (x) = ax3 + bx2 + cx + 3 e uma outra primitiva de f (x; y) = 12x2 y 3 será
F (x; y) = 3x2 y 4 + ax3 + bx2 + cx + 3. Note que
@F (x; y)
= 12x2 y 3 :
@y
R x+1
Exemplo 94 Encontrar o valor da expressão x 24xydy.
Solução:
Aplicando o teorema fundamental do cálculo vem:
R x+1
x
24xydy
= 12xy 2 jx+1
x
2
2
= 12x (x + 1)
12x (x)
3
2
= 12x + 24x + 12x 12x3
= 24x2 + 12x
R x+1
Como podemos observar x 24xydy é uma função de x.
R x+1
Isto é, F (x) = x 24xydy donde F (x) = 24x2 + 12x.
96
Exemplo 95 Encontrar o valor numérico de
R x+1
F (x) = x 24xydy.
Solução:
R2
1
F (x) dx sendo
No exemplo anterior vimos que
F (x) =
Z
x+1
24xydy = 24x2 + 12x
x
Portanto, aplicando do teorema fundamental do cálculo vem
R2
1
R x=2
F (x) dx = x=1 24x2 + 12x dx
= 8x3 + 6x2 j21
2
= 8(2)3 + 6 (2)
= 74
3
8 (1) + 6 (1)
2
Os exemplo 94 e 95 podem ser escritos como segue:
Z
2
F (x) dx =
1
ou
Z
Z
2
1
Z
2
F (x) dx =
1
x+1
24xydy dx
x
Z
2
1
Z
x+1
24xydydx
x
Dessa forma, obtemos um exemplo de integral dupla. Note que a variável
dependente é a primeira a ser integrada e a variável independente a última. O
processo de solução é dado abaixo:
R 2 R x+1
1
x
24xydydx
=
R 2 R y=x+1
24xydy dx
R12 y=x2 y=x+1
= 1 12xy jy=x
dx
R2
2
= 1 24x + 12x dx
= 8x3 + 6x2 j21
= 74
Vejamos outro exemplo.
Exemplo 96 Encontrar o valor da integral
R 4 R 3x p
3 16
0 x
x2 dydx.
Solução: Aplicando o teorema fundamental do cálculo primeiro integrando em relação a y e depois em relação a x.
97
Z
4
0
=
Z
3x
x
Z
p
3 16
4
0
=
Z
p
3 16
4
0
=
Z
4
0
=
=
q
2 (16
p
3 16
Exercícios
x2 y j3x
x dx
x2 (3x
p
6x 16
q
2 (16
x) dx
x2 dx
3
x2 ) j40
q
2 (16
3
42 )
Portanto, o valor da integral
3.1.1
x2 dydx
3
02 )
R 4 R 3x p
3 16
0 x
= 128
x2 dydx = 128
Nos problemas
R 1 R 3x+1abaixo calcule aR 1integral
R 3y+1 dupla
a) 0 x
xydydx
b) 0 y
xy 2 dxdy
R 4 R 1 xy
R 2 R y2 xy
c) 0 0 xe dydx
d) 0 ln y ye dxdy
R ln 2 R y 5 x2 y2
R R y2
x
xy e
dxdy
e) 0 0 sen y dxdy f ) 0
0
3.2
Interpretação Geométrica da Integral Dupla
A de…nição de integral dupla comporta uma interpretação geométrica análoga
à de…nição de integral de…nida simples, associando-a ao problema de cálculo de
volume (ou cubatura) da mesma forma que a integral de…nida é associada ao
cálculo de área. Assim, de…nição formal da integral dupla envolve a soma de
muitas áreas elementares, isto é, diferenciais de área , ou seja, , com a …nalidade
de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim, pode usar-se a
integral para resolver problemas concernentes a volumes e a áreas.
98
Ao tentar resolver-se “o problema do volume”, sabe-se que se trata área da
base vezes a altura é tal que para cada área elementar o valor de …ca univocamente de…nido.
Consideremos uma função z = f (x; y) 0, de…nida numa região R do plano
xy. Nossa intensão é estimar o volume aproximado do sólido delimitado por
z = f (x; y) acima do plano z = 0 e pelo cilindro de…nido pela curva fechada
que delimita a região R. Para tanto, subdividimos R em n subregiões traçando
linhas paralelas aos planos coordenados, conforme na …gura 3.2 e 3.2.Assim,
a integral será o volume obtido pela soma de uma in…nidade de volumes das
colunas in…nitesimais inscritas em forma de paralelepípedos, como mostra a
Figura 3.2.
99
Então fR1 ; R2 ; ::Ri :::Rn gé uma partição de R. Seja jP j o comprimento da
maior de todas as diagonais dos Rn subretângulos.
Seja Ai a área da subregião Ri Para cada i escolhenos um ponto (xi ; yi ) 2 Ri .
O produto
Vi = f (xi ; yi ) Ai
é o volume do i ésimo paralelepípedo de área Ai e altura f (xi ; yi ). Como
há n subdivisões, há
100
n paralelepípedos. Assim, o volume aproximado do sólido delimitado superiormente por f (x; y) e inferiormente pela região R é dado por
Vn =
n
X
f (xi ; yi ) Ai
i=1
A integral dupla de uma função f de…nida numa região R é dada por
ZZ
f (x; y) dxdy = lim Vn = lim
jP j!0
R
Obs 97 Se f (x; y) = 1 então
RR
jP j!0
f (x; y) dxdy =
R
área da região R.
3.3
n
X
f (xi ; yi ) Ai
i=1
RR
dxdy é, geometricamente, a
R
Cálculo da Integral Dupla
Saber reconhecer o domínio de integração ou região de integração é fundamental
para o cálculo das integrais duplas. Outro ponto importante é o reconhecimento
das curvas que delimitam a região de integração. Muitas vezes é conveniente ter
essas curvas escritas em função de x, isto é, y = f (x) e outras vezes é conveniente
ter x como função de y, isto é x = f (y). Essa conveniência é devido ao maior
ou menor trabalho exigido no processo do cálculo do valor numérico. Vejamos
alguns exemplos.
RR
Exemplo 98 Calcular o valor da integral 24xydxdy sendo R a região delimR
p
itada pelas curvas y = x2 e y = x.
Solução:
Primeiro vamos fazer o grá…co da região e a tabela de limites
dessa região.
y
4
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
x
101
Curvas
curva à esquerda
curva à direita
curva inferior
curva superior
funções
x=0
x=1
y = x2
p
y= x
Agora podemos efetuar os cáculos. A curvas à esquerda e à direita são os
limites que integram o primeiro símbolo de integração e as curvas inferior e
superior o segundo. Assim,
RR
R
24xydxdy
=
R x=1 R y=px
Rx=0
x=1
y=x2
24xydydx
p
y= x
12xy 2 jy=x2 dx
hp
i
Rx=0
2
x=1
2
= x=0 12x ( x)
x2
dx
R x=1
= x=0 12x2 12x5 dx
= 4x3 2x6 jx=1
x=0
=2
=
O cálculo da integral no exemplo 98 foi feito tomando x como variável independente.
Vamos calcular a mesma integral tomando y como variável independente.
RR
Exemplo 99 Calcular o valor da integral 24xydxdy sendo R a região delimR
p
itada pelas curvas x = y 2 e x = y.
Solução:
Primeiro vamos fazer o grá…co da região e a tabela de limites
dessa região.
1
0 .7 5
0 .5
0 .2 5
Curvas
funções
curva à esquerda y = 0
curva à direita
y=1
curva inferior
x = y2
p
curva superior
x= y
Agora podemos efetuar os cáculos. A curvas à esquerda e à direita são os
limites do primeiro símbolo de integração e as curvas inferior e superior do
segundo. Assim,
0
0
0 .2 5
0 .5
0 .7 5
1
ZZ
1 .2 5
24xydxdy =
R
Z
0
102
1
Z
p
y2
y
24xydxdy
=
Z
1
0
=
Z
1
0
=
p
hp
2
12y ( y)
Z
y
12yx2 jy2 dy
y2
1
12y 2
2
i
dy
12y 5 dy
0
= 4y 3
2y 6 jy=1
y=0 = 2
Como podemos observar, o valor numérico é o mesmo nos dois casos.
Muitas vezes a região de integração não é delimitada apenas por quatro
curvas. Nesse caso, a escolha da variável independente adequada pode diminuir
o trabalho duante o processo de integração. Vejamos um exemplo.
ZZ
Exemplo 100 Encontrar o valor da integral
dxdy sendo R a região deR
limitada pelas curvas y = x2 , y = 6
x e y = 1.
a) Tomando x como variável independente.
b) Tomando y como variável independente.
Solução:
Primeiro vamos fazer o grá…co da região e a tabela de limites
dessa região.
y
15
12.5
10
7.5
5
2.5
0
-3.75
-2.5
-1.25
0
1.25
2.5
x
Os pontos de interseção das curvas são: ( 3; 9) e (2; 4) para as curvas y = x2 ,
y = 6 x e ( 1; 1) e (1; 1) para as curvas y = x2 e y = 1.
a) Tomamdo x como variável independente. Vemos que a região de integração deve ser subdividida em três sub-regiões para que o cálculo possa ser
efetivado. Portanto, a tabela de limites é dada por
Tabela de limites referente à região R
103
Limites
curva à esquerda
curva à direita
curva inferior
curva superior
R1
x= 3
x= 1
y = x2
y=6 x
R2
x= 1
x=1
y=1
y=6 x
R3
x=1
x=2
y = x2
y=6 x
RR
Assim, a integral dupla
dxdy será dada por :
R
Z Z
Z Z
Z Z
Z Z
xdxdy =
dxdy +
dxdy +
R
=
Z
R1
1
3
=
=
Z
Z
6 x
dydx +
x2
Z
x
Z
1
3
yj6x2 x dx +
1
6
R2
x2 dx +
3
=
Z
1
1
Z
Z
6 x
dydx +
1
Z
yj61
x
dx +
1
Z
1
x
1) dx +
1
Z
6 x
dydx
x2
2
1
(6
2
1
1
dxdy
R3
yj6x2 x dx
Z
2
6
x
x2 dx
1
22
13
39
+ 10 +
=
3
6
2
b) Tomamdo y como variável independente, os pontos de interseção das curp
vas são: (9; 3) e (4; 2) para as curvas x =
y, x = 6 y e (1; 1) e (1; 1)
p
para as curvas x =
y e y = 1. A representação grá…cada região R é dada
abaixo.
Vemos que a região de integração deve ser subdividida em duas sub-regiões
para que o cálculo possa ser efetivado. Portanto, a tabela de limites é dada por
104
Tabela de limites referente à região R
Limites
R1
R2
curva à esquerda y = 1
y=4
curva à direita
y=4
y=9
p
p
curva inferior
x=
y x=
y
p
curva superior
x= y
x=6 y
Assim, a integral dupla
Z Z
RR
R
dxdy será dada por
dxdy =
R
=
Z
4
=
Z
Z
4
p
( y
(
4
p
dxdy +
y
p
y
xj p
p
1
Z
9
4
y dy +
y)) dy +
Z Z
dxdy
R2
p
x= y
x=
1
Z
dxdy +
R1
1
=
Z Z
Z
4
Z
9
Z
6 y
p
dxdy
y
xj6 pyy dy
9
(6
y
(
p
y)) dy
4
=
61 28
39
+
=
6
3
2
Obs 101 Note que a mudança da variável independente diminuiu o trabalho
dispensado ao cálculo da integral.
Exemplo 102 Escreva a integral que representa a área hachurada, abaixo
1. Existe várias maneiras de descrever esta integral. Uma destas está apresentada a seguir:
R 1 R x2 +2
R 1 R px
I = 1 1 dydx 2 0 0 dydx
3.4
Integrais Duplas em Coordenada Polares
Frequentemente, a região R sobre a qual está sendo calculada a integral dupla
é mais facilmente descrita por coordenadas polares do que por coordenadas
retangulares. Vamos descrever o processo para o cáculo de integrais duplas em
coordenadas polares. Veja a …gura abaixo.
105
106
Seja X = f = 0 ; +
; + 2 ; + 3 ; :::; n = g uma partição do
arco c . Consideremos as curvas de raio i 1 e i e a sub-região Ri de R delimitada pelas curvas de raio i 1 , i , i 1 e i . A forma de Ri é aproximadamente
um retângulo de lados
i e li = i
i . Podemos admitir
i , li 1 = i 1
que uma aproximação da área de Ri é dada por Ai =
i . Tomando um
i i
ponto ki ; ki no interior de Ri podemos formar um sólido cuja área da base
é Ai e altura f ki ; ki , de modo que o volume desse sólido será dada por
Vi = f
ki ; ki
i i
i
Assim, o volume sob a superfície f ( ; ) será aproximada pela soma
Vn =
n
X
f
ki ; ki
i i
i
i=1
Seja jP j a diagonal da maior região Ri da partição de R. Então, se jP j ! 0
segue que
e i ! . Portanto, podemos
i ! 0, ki ! , ki !
i ! 0,
escrever
V = lim Vn = lim
jP j!0
n
P
jP j!0 i=1
V =
Z
Z
f
ki ; k i
i i
i
ou
2
f( ; ) d d
1
Obs 103 Vimos anteriormente que a partição de uma região R por retas paralelas aos eixos x e y geram sub-regiões retangulares cujos lados são xi e yi
e área Ai = xi yi . Pergunta-se: as áreas Ai = xi yi e Ai =
i
i i
107
lim
xi yi
x y!0
são iguais? É claro que não. Porém,
= 1 e isso implica em
lim
i i
!0
i
dxdy = d d . Assim, a equivalência entre a integral dupla em coordenadas
retangulares e a integral dupla em coordenadas polares é dada por
Z
x2
x1
Z
y2
f (x; y) dxdy =
y1
Z
Z
2
f( ; ) d d
1
Exemplo 104 Escreva a integral, em coordenadas polares, que calcula a área
sombreada abaixo
1. círculo 1: x2 + y 2 = 4 (em cartesianas)
círculo2: (x
2
= 2 (em polar)
2
2) + y = 4 (em cartesianas)
a intersecção dos dois: cos =
A área é
A=
1
2
Z
6
0
em coordenadas polares
!
=
Z
= 4 cos
3
4 cos
d d
2
Exemplo 105 Encontre a área delimitada pelas curvas
exterior à curva = 2.
Solução:
O grá…co dessas curvas é dada por
108
(em polar)
= 2 e
= 4sen
4
3
2
1
-2
0
-1
1
2
-1
-2
Agora, o primeiro passo é encontrar os pontos de interseção das curvas.
Portanto, igualando as equações temos
4sen = 2
sen = 12
assim obtemos
= 6 ou = 56
A tabela de limites é dada por
Limites
R1
arco inferior
= 6
arco superior
= 56
raio menor
=2
raio maior
= 4sen
A área da região é dada por
A
=
=
=
=
=
=
R
5
6
R 656
R 656
R 656
R 656
R 656
6
R 4sen
2
2
4sen
2 j2
(4sen )2
2
2
8sen
d d
d
22
2 d
2 d
8(1 cos 2 )
2
(4
4 cos 2
2 d
2) d
5
6
= 2
2 sen2 j
6
5
= 2 6 p 2sen2 56
= 43 + 2 3
109
2
6
2sen2 6
3.5
Exercícios Gerais
1. Nos items a e b, faça o grá…co, a tabela de limites e escrva a integral
que permite calcular a área da região R delimitada pelas curvas primeiro
tomando x como variavel independente e após tomando y como variável
independente.
(a) Sendo R a região delimitada pelas curvas y = x2
9x
y = 4x
3 + 12 e y = 12
2 .
(b) Sendo R a região delimitada pelas curvas y =
4x
y = x2 2 e y = 16
3
3 .
4x
3
1, y = 1
+ 83 , y =
2
x,
x,
2. Nos problemas a seguir faça o grá…co e use coordenadas polares para
carcular as integrais
R Rp
(a)
14 x2 y 2 dxdy sendo R a região dada por 4 x2 + y 2 9.
R
(b)
R Rp
14
x2
y 2 dxdy sendo R a região dada por x2 + y 2
4, x
0
R
(c)
(d)
(e)
e y 0.
R 3 R p9
2
2
2
p x e x y dydx
9 x2
R 2 R y= p4 x2
dydx
p
0 y=0
4+ x2 +y 2
3
RR
R
(f)
RR
1
dxdy
(x2 +y 2 )3
sendo R dada por 4
x2 + y 2
9.
(x + y) dxdy e R delimitada pelas retas x = 0, x = 2, y = 0 e
R
y = x + 1.
110
4
4.1
INTEGRAIS TRIPLAS
Introdução
As integrais triplas, aplicadas sobre sólidos no espaço xyz, são de…nidas segundo
uma analogia com a de…nição das integrais duplas aplicadas sobre uma região
do plano xy. Não é nosso objetivo discutir os pormenores da de…nição pois
estes fazem parte do conteúdo de um texto de cálculo avançado. Vamos esboçar
apenas as idéias principais.
De…nição 106 Seja um sólido S no espaço tridimensional, por exemplo, um
paralelepípedo, um elipsóide, uma esfera etc, e f : S ! R uma função de três
variáveis de…nida sobre cada ponto de (x; y; z) 2 S de…nimos integral tripla (se
existir) como sendo
ZZZ
f (x; y; z) dxdydz
S
4.2
Interpretação geométrica da integral tripla
Para …xar as idéias vamos supor que o sólido S é um paralelepípedo. Uma
partição desse paralelepípedo é obtida seccionando-o com n planos paralelos
aos eixos coordenados.
O fracionamento de S obtido pela partição é um conjunto de sub-parelelepípedos
chamados células da partição. Suponhamos que uma i célula tenha dimensões
xi ; yi e zi , Então, o volume dessa i célula é Vi = xi yi xi . Seja
(xi ; yi ; zi ) um ponto qualquer da i célula e seja f : S ! R a função densidade em cada ponto de S, então uma estimativa da massa da i célula é
mi = f (xi ; yi ; zi ) xi yi xi e, desse modo uma estimativa da massa do sólido
S será
mn =
n
P
i=1
f (xi ; yi ; zi ) xi yi xi
111
Seja jN j a célula de maior diâmetro da partição de S então a massa m do
sólido S será dada por
m = lim mn = lim
jN j!0
jN j!0
ou
m=
ZZZ
n
X
f (xi ; yi ; zi ) xi yi xi
i=1
f (x; y; z) dxdydz
S
Obs 107 Se f (x; y; z) = 1 então a massa m e o volume V do sólido tem o
mesmo valor numérico. Portanto, o volume do sólido em termos de integrais
triplas é dado por
ZZZ
V =
dxdydz
S
4.3
Cálculo da integral tripla em coordenadas retangulares
Seja S um sólido no espaço delimitado pelas curvas x = a, x = b, y = y1 (x) e
y = y2 (x) e pelas superfícies z = f (x; y) e z = g(x; y) em que f (x; y) g(x; y)
para todo par (x; y)conforme tabela de limites abaixo sobre a qual desejamos
encontrar a integral tripla com respeito a função f (x; y; z) de…nida em todos os
pontos de S. Então podemos enunciar as seguintes tabelas de limites
Tabela de limites
Curvas
equações
Curva à esquerda
x=a
Curva à direita
x=b
Curva inferior
y = y1 (x)
Curva superior
y = y2 (x)
Superfície inferior z = f (x; y)
Superfície superior z = g(x; y)
Assim, a integral tripa tem forma
ZZZ
S
f (x; y; z) dxdydz =
Z
a
b
Z
y2 (x)
y1 (x)
Z
g(x;y)
f (x; y; z) dzdydx
f (x;y)
Exemplo 108 Encontrar o volume do sólido delimitado pelas superfícies z =
9 x2 , z = 5 y, y = 0 e y = 5.
112
Solução: O primeiro passo é determinar as curvas que limitam a região
de integração sobre o plano xy. Para isso resolvemos o sistema de equações
z = 9 x2
. Igualando as duas equações obtemos a parábola y = x2 4.
z=5 y
Desse modo, no plano xy, a região de integração é delimitada pelas curvas
y = x2 4, y = 0 e y = 5. Para diminuir o trabalho no processo de integração
é conveniente tomar y como variável independente. Desse modo a tabela de
limites é dada por ( Veja o grá…co 4.3)
Tabela de limites
Curvas
Curva à esquerda
Curva à direita
Curva inferior
Curva superior
Superfície inferior
Superfície superior
equações
y=0
y=5
p
x=
y+4
p
x= y+4
z=5 y
z = 9 x2
z
y
x
O volume é dado por:
113
V
=
=
=
R 5 R py+4 R 9
R05
R05
R05
0
x2
p
dzdxdy
y+4 5 y
p
R y+4 9 x2
p
zj
dxdy
y+4 5 y
R py+4
p
9 x2 (5 y)
y+4
R py+4
p
4 x2 + y dxdy
y+4
dxdy
=
Como a superfície
é simétrica em relação ao eixo y podemos escrever
R 5 R py+4
=2 0 0
4 x2 +py dxdy
R5
3
= 2 0 4x x3 + yx j0 y+4 dy
p
3
R5 p
p
( y+4)
+ y y + 4 dy
=2 0 4 y+4
3
p
R5 p
= 2 0 83 (y + 4) + 23 y (y + 4) dy
3
p
5
3
4 p
16 p
(y + 4) + 15
y+4
y + 4 ]j50
= 2[ 16
9
9
5
p
4
= 2 15
(y + 4)
j50
5
p
(5 + 4)
h
p
p 3
4
8
9
9 + 15
=2
9
4
(243)
= 2 89 (27) + 15
= 1688
15 = 112: 53uv
=2
4
15
4
15
5
p
4
5
p
3
4
+ 15
8
4
9 (8) + 15 (32)
8
9
4
p
4
5
i
Exemplo 109 Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies z = 36
x2 y 2 e z = 3x2 + 8y 2 .
Solução: O primeiro passo é determinar as curvas que limitam a região
de integração sobre o plano xy. Para isso resolvemos o sistema de equações
2
2
z = 36 x2 y 2
. Igualando as duas equações obtemos a elipse x9 + y4 = 1.
z = 3x2 + 8y 2
Desse modo,
no plano xy, a região de integração é delimitada pelas curvas
p
y = 23 9 x2 , x = 3 e x = 3. Veja o grá…co no primeiro octante.
114
Desse modo, a tabela de limites é dada por
Tabela de limites
Curvas
Curva à esquerda
Curva à direita
Curva inferior
Curva superior
Superfície inferior
Superfície superior
equações
x= 3
x=3 p
2
y= p
x2
3 9
2
2
y=3 9 x
z = 3x2 + 8y 2
z = 36 x2 y 2
O volume é dado por:
V
=
=
=
=
V
p
9 x2 R 36 x2 y 2
p
dzdydx
2
9 x2 3x2 +8y 2
R 23 3p9 x2 z=36 x2 y2
p
zjz=3x2 +8y2 dydx
2
9 x2
R 23 3p9 x2
p
36 x2 y 2
3x2 + 8y 2
2
9 x2
3 p
R y= 32 9 x2
p
36 4x2 9y 2 dydx
y= 23 9 x2
R3 R
R3
R3
R3
3
3
3
3
2
3
dydx
Sendo o sólido
simétrico em relação ao eixo x e y podemos escrever
R 3 R 2 p9 x2
= 2 0 2 03
36 4x2 p9y 2 dydx
2
R3
9 x2
2
dx
= 4 0 36y 4x y 3y 3 j03
p
p
p
R3
3
2
2 2
2
= 4 0 36 3 9 x
4x 3 9 x2
3 23 9 x2
dx
p
p
R3
2
(9 x2 ) dx
= 4 0 16 (9 x2 ) 16
9 x
Fazendo x = 3 cos temos dx = 3sen d
q
q
R
2
2
2
1
= 64 02
9 (3 cos )
(3
cos
)
9 (3 cos ) ( 3sen ) d
9
R
= 192 02 3sen
3 cos2 sen
sen d
R0
2
= 576
sen
cos2 sen2
d
R 20 1
R0 1
= 576
(1 cos 2 ) d
576
cos2 2 )d
2
4 (1
2
2
R
0
sen2
= 576
j02 ] 576
(1 12 (1 + cos 4 ))d
2 [
2
4
2
=
=
4.4
576
4
576
4
576 1
1 sen4
j02
4 (2
2
4
576
1728
16 = 16 = 108
)
Integrais triplas em coordenadas cilíndricas
Uma integral tripla pode ser convertida em coordenadas cilíndricas seguindo o
processo descrito a seguir.
Sejam 0 e 1 tais que 0 < 1
2 e suponhamos que 1 e 2 são
0
funções contínuas de tais que 0
1( )
2 ( ) seja verdadeiro para todos os
valores tais que 2 [ 1 ; 2 ]. Sejam f ( ; ) e g ( ; ) funções contínuas tais que
f( ; )
g ( ; ) seja verdadeiro para todo valor de com 2 [ 1 ; 2 ] e todo
115
1( )
2 ( ). Seja S o sólido contituido por todos os pontos cujas coordenadas
cilíndricas satisfaçam as condições 0
g ( ; ).
1, 1 ( )
2( ) e f( ; )
Então temos a tabela de limites
P(θ ,ρ , z)
ρ
θ
Tabela de limites
Curvas
equações
Arco inferior
1
Arco superior
2
Curva inferior
1( )
Curva superior
2( )
Superfície inferior z = f ( ; )
Superfície superior z = g ( ; )
E a integral tripla
Z
a
b
Z
y2 (x)
y1 (x)
Z
g(x;y)
f (x; y; z) dzdydx
f (x;y)
é escrita em coordenadas cilíndricas como segue
Z
b
a
Z
y2 (x)
y1 (x)
Z
g(x;y)
f (x;y)
f (x; y; z) dzdydx =
Z
2
1
Z
2(
1(
)
)
Z
g( ; )
f ( ; ; z) dzd d
f( ; )
Exemplo 110 Determinar o volume do sólido delimitado superiormente pelo
parabolóide y 2 + x2 + 1 z = 0 inferiormente pelo plano z = 0 , e lateralmente
pelo cilindro x2 + y 2 2y = 0 .
Solução: Gra…camente temos o seguinte sólido (ver …gura 4.4)
116
A projeção no plano xy é a circunferência x2 + y 2
ferência x2 + (y 1)2 = 1
y
2y = 0 que é a circun-
2
1. 5
1
0. 5
0
-1
-0. 5
0
0. 5
1
x
O sólido está limitado inferiormente pelo plano z = 0 e superiormente pelo
parabolóide z = y 2 + x2 + 1
Fazendo a tabela, podemos observar que em coordenadas cilindricas é muito
mais fácil resolver esse problema
Tabela de limites em coordenadas retangulares
Tabela de limites em
coord. cilíndricas
Curvas
equações
Curvas
equações
Curva à esquerda
x= 1
Arco inferior
1 =0
Curva à direita
x=1p
Arco superior
2 =
Curva inferior
y = p1 x2 + 1
Curva inferior
1( )=0
Curva superior
Curva superior
y=
1 x2 + 1
2 ( ) = 2sen
Superfície inferior z = 0
Superfície inferior z = 0
Superfície superior z = 2 + 1
Superfície superior z = y 2 + x2 + 1
logo o Volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
117
Z
V =
Z
0
0
Z
=
Z
0
=
Z
z j1+
0
2
(1 +
2
d d
2sent
Z
)d d
2sent
( +
3
)d d
0
Z
4
2
(
0
Z
dzd d
0
0
=
2
1+
0
2sent
Z
0
=
Z
0
Z
=
2sent
2
+
j2sen
)d
0
4
(2sen2 d + 4sen4 )d
0
=
Z
(1
cos 2 ) + 4(
1
cos 2 2
) )d
2
0
=
Z
(1
2 cos 2 + cos2 2 )d
cos 2 + 1
0
=
Z
(1
cos 2 + 1
2 cos 2 )d +
0
Z
cos2 2 )d
0
3sen2
j0 +
2
=2
=2 +( +
2
=2 +
Logo o volume desse sólido é V =
2
5
2
Z
0
1 + cos 4
d
2
sen4
j0 )
8
=
5
2
u:v
Exemplo 111 Represente gra…camente o sólido cujo volume é dado pela integral:
Z
0
2
Z
0
2
Z
4
2
cos2
dzd d
0
Tabela de limites em coord. cilindricas
118
Curvas
equações
Arco inferior
1 =0
Arco superior
2 =2
Curva inferior
1 =0
Curva superior
2 =2
Superfície inferior z = 0
2
Superfície superior z = 4
cos2
Considerando os arcos inferior e superior concluímos que a base do sólido
está projetada sobre todos os quadrantes, pois temos 0
2 : Como o
0
2 o raio varia …xamente, portanto, lateralmente temos um cilindro
centrado na origem x2 + y 2 = 4: Inferiormente temos z = 0 e superiormente o
cilindro parabólico z = 4 x2 (observe que 2 cos2 = x2 )
Portanto, temos o sólido:
Exemplo 112 Escreva
em
coordenadas
119
retangulares
a
integral
Z
0
2
Z
2 cos
0
Z
9
2
2
dzd d :
0
Solução: Para melhor compreensão, primeiro devemos identi…car a representação geométrica do sólido. Vamos estudar a tabela de limites
Tabela de limites em
Curvas
Arco inferior
Arco superior
Curva inferior
Curva superior
Superfície inferior
Superfície superior
coord. cilindricas
equações
1 =0
2 = 2
1 =0
2 = 2 cos
z=0
2
z=9
Considerando os arcos inferior e superior concluímos que a base do sólido
está projetada sobre o primeiro quadrante, pois temos 0
2 . Agora
vamos escrever a curva = 2 cos em coordenadas retangulares. Sabemos que
x = cos , de modo que cos = x , e que 2 = x2 + y 2 . Assim,
= 2 cos
donde vem
=2 x
2
= 2x
2
x + y 2 = 2x
x2 + y 2 2x = 0
2
(x 1) + y 2 = 1
ou
ou
ou
Vemos que em coordenadas retangulares a projeção do sólido sobre o plano
2
xy é delimitada pela circunferência de equação (x 1) + y 2 = 1. Desse modo,
a tabela de limites, em coordenadas retangulares é dada por:
Tabela de limites em
Curvas
Curva à esquerda
Curva à direita
Curva inferior
Curva superior
Superfície inferior
Superfície superior
coordenadas retangulares
equações
x=0
x=2
y=p
0
y = 2x x2
z=0
z=9
x2 + y 2
120
Também devemos escrever de forma adequada a expressão
dxdydz = dzd d temos
p
2
dzd d = ( dzd d ) = x2 + y 2 dxdydz:
Assim, a integral
Z
0
será dada por:
Z
0
4.5
2
Z
0
2 cos
Z
9
2
Z
0
0
dzd d . Como
2
9
2
dzd d
0
2
2
Z
2 cos
2
dzd d =
Z
2
0
Z
p
2x x2
0
Z
9 x2 y 2
p
x2 + y 2 dzdydx:
0
Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas
As integrais triplas podem ser convertidas para coordenadas esféricas de acordo
com o processo descrito a seguir.
Sejam 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 e 1 tais que 0 < 1
2 e0
0
0 < 1.
∆ρ
φ1
∆φ
φ0
r
T
P
R
φ
θ
Q
ρ0
∆ρ
ρ
1
∆θ
θ0
Observe a …gura 4.5
121
θ1
Ref: Thomas (2002)
Suponhamos que o sólido S seja constituido por todos os pontos cujas coordenadas esféricas ( ; ; ) tais que
0
1
0
1
0
1
Lembrando que o ponto P (x; y; z), em coordenadas esféricas é dado por
P ( ; ; ) em que x = cos sen , y = sen sen , z = cos e 2 = x2 + y 2 +
z2.
Considerando os acréscimos atribuidos a cada variável obtemos os pontos:
P( ; ; )
Q( ; ; + d )
R( ; +d ; )
T ( + d; + d ; )
Também, podemos observar um paralelepípedo in…nitesimal curvilíneo com
dimensões P T , QR e P Q cujo volume aproximado é
dV = P T QR P Q :
É fácil ver que P T é a variação do raio entre os pontos P e T e, portanto
PT = d .
d
Como P e Q pertencem ao círculo de raio OP = OQ = e o arco P
Q
subentende um ângulo correspondente a variação de segue que
PQ = d :
Como Q e R pertencem ao círculo de raio OU em que OU é lado oposto
b eQ
b = obtemos
do trângulo OQU
OU = OQ sen = sen
122
e, desse modo obtemos
QR = sen d
Portanto,
dV
= P T QR P Q
= d ( d ) ( sen d )
2
sen d d d
Lembrando que em coordenadas retangulares tem-se dV = dxdydz e, portanto, a equivalência
dxdydz = 2 sen d d d
.
Seja f (x; y; z) uma função de…nida em todos os pontos do sólido S e cada
ponto P (x; y; z) pode ser escrito em coordenadas esféricas f ( ; ; ). Então
podemos escrever
Z x1 Z y1 Z z1
Z 2Z 2Z 2
f (x; y; z) dzdydx =
f ( ; ; ) 2 sen d d d
x0
y0
z0
1
1
1
Exemplo 113 Mostre, usando coordenadas esféricas que o volume de uma es3
fera de raio r é V = 4 3r
Vamos utilizar uma esfera centrada na origem de raio r : x2 + y 2 + z 2 = r2
Portanto, a projeção no plano xy é uma circunferência x2 + y 2 = r2 e
portanto o 0
2 eo 0
:
4
2
-4
-2
4
00
2
-2
2
-4
4
y
x
-2
z
-4
123
1. V =
R2 R RR
0
0
0
2
sin d d d =
4
3
R3
Exercício 114 Escreva em coordenadas retangulares e após use coordenadas
esféricas para determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies z 2 =
x2 + y 2 , z 2 = 3x2 + 3y 2 e x2 + y 2 + z 2 = 4 nos pontos em que z é positivo.
Solução:
Primeiro vamos interpretar cada superfície. A equação z 2 =
x + y representa o cone inferior na …gura abaixo, a equação z 2 = 3x2 + 3y 2
representa o cone superior e a equação x2 + y 2 + z 2 = 4 representa a esfera.
O problema pede para determinar o volume do sólido dentro da esfera entre os
dois cones. Veja a …gura no primeiro octante.
2
2
Vamos determinar as curvas de interseção e projetadas sobre o plano xy. Rez 2 = x2 + y 2
z 2 = 3x2 + 3y 2
solvemos os sistemas de equações
e
2
2
2
x +y +z =4
x2 + y 2 + z 2 = 4
temos, em ambos os casos, substituindo z 2 da primeira equação na segunda
equação
x2 + y 2 + x2 + y 2 = 4
2x2 + 2y 2 = 4
x2 + y 2 = 2
e
x2 + y 2 + 3x2 + 3y 2 = 4
4x2 + 4y 2 = 4
x2 + y 2 = 1
O volume do sólido será dado pela diferença entre o volume do sólido delimitado pela esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 e o cone z 2 = x2 + y 2 e o volume do sólido
delimitado pela esfera z 2 = x2 + y 2 e o cone z 2 = 3x2 + 3y 2 . As tabelas de
limtes são:
Tabela de limites para os sólidos
Curvas
um - equações
p
Curva à esquerda
x=p 2
Curva à direita
x= p
2
Curva inferior
y = p 2 x2
Curva superior
y = p2 x2
Superfície inferior z = px2 + y 2
Superfície superior z = 4 (x2 + y 2 )
124
dois - equações
x= 1
x=1p
y = p 1 x2
y = p1 x2
z = p3x2 + 3y 2
z = 4 (x2 + y 2 )
Portanto, o volume será dado por
V =
Z
p
2
p
2
Z
p
2 x2
p
2 x2
Z p4
p
Z
(x2 +y 2 )
dzdydx
x2 +y 2
1
1
Z
p
1 x2
p
1 x2
Z p4
p
(x2 +y 2 )
dzdydx
3x2 +3y 2
Como podemos perceber a resolução da integral é trabalhosa. Vamos escrevêla em coordenadas esféricas.
É facil ver que o arco varia de zero a 2 . Vamos determinar a variação
do arco . O cone de equação z 2 = x2 + y 2 intercepta o plano zx na da reta
z = x. Sendo o coe…ente angular dessa reta tg = 1 segue que = 4 e assim,
também tem-se = 4 . Já o cone de equação z 2 = 3x2 + 3y 2 intercepta o plano
p
p
zx na da reta z = 3x. Sendo o coe…ciente angular dessa reta tg = 3, isto
é = 3 , então, segue que = 6 . Portanto, a tabela de limites do sólido em
coordenadas esféricas é dada por:
Tabela de limites em coordenadas esféricas
Curvas
equações
Arco inferior
1 =0
Arco superior
2 =2
Arco inferior
1 = 6
Arco superior
2 = 4
Superfície inferior
1 =0
Superfície superior
2 =2
Assim, o volume será dado por
V =
Z
Z
2
0
=
Z
=
=0
=2
=0
=
=
Z
Z
=0
=2
8
3
2
2
=4
Z
3
3
=6
=2
=0
Z
sen d d d
0
6
Z
=2
Z
4
=4
=6
j20 sen d d
8
sen d d
3
8
cos j 4 d
6
3
p
p !
2
3
+
d
2
2
125
p !
2
3
+
j20
2
2
p
8
=
3
=
p
4
3
3
p
2
Exemplo 115 Escreva em coordenadas retangulares a integral
4
Z
2
0
Z
3
Z
4
sen d d d :
0
6
R
O símbolo 02 signi…ca que a região de integração está situada
no primeiro quadrante.
R
O símbolo 3 indica que o sólido de integração é delimitado pelos raios cujas
6
p
p
retas tem coe…cientes angulares tg 6 = 33 e tg 3 = 3.
R4
E o símbolo 0 indica que o sólido é também delimitado pela esfera de raio
= 4, ou seja x2 + y 2 + z 2 = 16. p
p
p
Do coe…ciente angular tg 6 = 33 obtemos as retas z = 33 x e z = 33 y as
Solução:
2
2
quais pertencem a interseção do cone z 2 = x3 + y3 com os planos xz e yz,
respectivamente.
p
p
p
Do coe…ciente angular tg 3 = 3 obtemos as retas z = 3x e z = 3y as
quais pertencem a interseção do cone z 2 = 3x2 + 3y 2 com os planos xz e yz,
respectivamente.
x2 + y 2 + z 2 = 16
x2 + y 2 + z 2 = 16
2
Resolvendo os sistemas de equações
e
2
y
z 2 = 3x2 + 3y 2
z 2 = x3 + 3
obtemos as curvas que delimitam a região de integração para o cálculo da integral relativa a parte da esfera que está localizada dentro de cada um dos cones.
Em ambos os casos, substituindo a segunda equação na primeira temos
x2 + y 2 + z 2 = 16
3x2 + 3y 2 + x2 + y 2 = 16
x2 + y 2 = 4
donde
p
y = 4 x2
x2 + y 2 + z 2 = 16
2
2
x2 + y 2 + x3 + y3 = 16
2
4y
4x2
3 + 3 = 16
2
2
x + y = 12
donde
p
y = 12 x2
A integral
4
Z
0
2
Z
3
6
Z
4
sen d d d
0
é dada pela diferença entre a integral calculada sobre o sólido delimitado pelas
2
2
superfícies x2 +y 2 +z 2 = 16 e z 2 = x3 + y3 e o sólido delimitado pelas superfícies
x2 + y 2 + z 2 = 16 e z 2 = 3x2 + 3y 2 . Como a integral está multiplicada por
126
quatro signi…ca que devemos considerar os quatro quadrantes. Assim, a tabela
de limites para os sólidos de integração é dada por
limites
Curva a
Curva a
Curva a
Curva a
sólido p
I
x = p 12
x= p
12
y = p 12 x2
y = q12 x2
esquerda
direita
inferior
superior
Superfície inferior
z=
Superfície superior
z=
x2
3
p
+
16
y2
3
(x2
sólido II
x= 2
x=2p
y = p 4 x2
y = 4 x2
p
z = 3x2 + 3y 2
p
z = 16 (x2 + y 2 )
+ y2 )
p
Também, sabemos que
=
x2 + y 2 + z 2 e dxdydz = 2 sen d d d .
Como temos sen d d d devemos fazer a equivalência como segue:
sen d d d
=
sen d d d
2
sen d d d
2
sen d d d
=
=
dxdydz
=p
2
x + y2 + z2
Agora podemos escrever a integral
I=4
Z
=2
=0
Z
=3
=6
Z
=4
sen d d d
=0
é escrita em coordenadas retangulares como segue:
I=
Z
p
p
Z
4.6
12
12
2
2
Z
Z
p
12 x2
p
p
12 x2
4 x2
p
4
x2
Z p16
q
x2
3
Z p16
p
(x2 +y 2 )
2
+ y3
x2
(x2 +y 2 )
3x2 +3y 2
Área de uma Superfície
dzdydx
p
+ y2 + z2
dzdydx
p
x2
+ y2 + z2
Neste item estamos interessados apenas na aplicação das fórmulas que permitem
o cálculo da área de uma superfície. A demonstração das fórmulas o leitor poderá
127
encontrar em qualquer livro de cálculo vetorial. As fórmulas são as seguintes.
s
ZZ
2
2
@z
@z
+
+ 1dxdy se z = f (x; y)
A=
@x
@y
R
A=
ZZ
A=
ZZ
R
R
s
@y
@x
2
s
@x
@y
2
@y
@z
2
+
@x
@z
2
+
+ 1dxdz se y = f (x; z)
+ 1dydz se x = f (y; z)
Note que na primeira fórmula a região de integração é a projeção da superfície
sobre o plano xy, na segunda sobre o plano xz na terceira sobre o plano yz.
Exemplo 116 Calcular a superfície do sólido delimitado pela interseção dos
cilindros z 2 + x2 = 9 e y 2 + x2 = 9.
Solução: Vamos fazer o desenho do sólido e escolher um dos planos coordenados para a projeção.
Na …gura ao escolhemos projetar no plano xz que representa
a área A0 foi projetada sobre o plano coordenado
xz, de modo que a fórmula adequada é a que corresponde a y = f (x; z).
Assim, a região de integração terá a seguinte
tabela de limites:
Curvas
equações
Curva à esquerda x = 0
Curva à direita
x=3
Curva inferior
z = 0p
Curva superior
z = 9 x2
128
1
8
do sólido. Se
A superfície A0 pertencepao cilindro de equação
y 2 + x2 = 9, isto é y = 9 x2 .
Agora
0
A =
@y
@x
RR
R
=p
r 9
@y
@x
x
@y
= 0 e, portanto,
@z
2
2
R 3 R p9
+ @y
+ 1dxdz
= 0 0
@z
x2
Como A0 representa
e
R 3 R p9
x2
r
r
p x
9 x2
2
2
+ 1dxdz
x + 9 x2
dxdz
0 0
r 9 x2
p
R 3 R 9 x2
9
= 0 0
dxdz
9
x2
R 3 R p9 x2 dxdz
p
=3 0 0
9 x2
R 3 zdx p9 x2
=3 0 p
j0
9 x2
R3
= 3 0 dx
=9
=
1
16
x2
da área total, segue que A = 16A0 ou A = 144ua.
129
4.7
Exercícios Referente ao Trabalho
Trabalho valendo até 2 pontos na nota da terceira prova . Para fazer jus aos
dois pontos devem ser cumpridas as seguintes condições:
Em cada problema construir um artefato que represente geometricamente
o sólido sobre o qual será determinada a integral;
Encontrar os limites do sólido de integração, fazer a tabela, representá-los
na Integral;
Apresentar à turma o artefato que representa o sólido descrito pelas superfícies;
Apresentar à turma a tabela de limites e a representação da integral usando cartazes e/ou transparências (não será permitido o uso do quadro
para esse …m);
Entregar uma cópia do problema resolvido.
Obs 117 O não cumprimento de um dos itens acima acarreta a perda de um
ponto e o não cumprimento de dois dos itens acarretará a perda dos dois pontos.
1. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
z = y 2 , x = 0 x = 1; y = 1, y = 1 e z = 2
2. Calcular o volume do sólido delimitado superiomente por z = 4
x = 0 ; x = 2, y = 0, y = 41 x + 12 e z = 0 Resp= 15
4
x
y;
3. Calcular o volume do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo
plano x + y2 + z = 4 Resp= 64
3
4. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
y = 0, y = 1 x2 e x2 + z = 1 e z = 0. Resp. 16
15
5. Calcular o volume do sólido, no primeiro octante, delimitado por x =
4 y 2 ; y = z, x = 0, z = 0 Resp=4
6. Calcular o volume do sólido , no primeiro octante, delimitado por y+x = 2/
e z = x2 + y 2 Resp= 83
7. Determinar o volume do sólido delimitado
pelas superfícies
p
z = 16 x2 y 2 , z = 0, y 2 + x2 = 2 y 2 + x2 + x. Resp. 1123
16
8. Determinar o volume do sólido limitado acima pelo cilindro z = 4
lateralmente pelo cilindro x2 + y 2 = 4 e inferiormente por z = 0
x2 ;
9. Determinar o volume do sólido, no primeiro octante, delimitado por x2 +
y 2 = 1 e x2 + z 2 = 1.Resp. 23
10. Determinar o volume do sólido delimitado pelas
p superfícies
y 2 + x2 + z = 12 e 3x2 + 5y 2 z = 0. Resp.6 6 .
130
11. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
x2 + y 2 + z 2 = 16, x2 + y 2 = 9. Resp 207
12. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
z = 4 x2 e z = 3x2 + y 2 . Resp. 4
13. Determine o volume da porção da esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro
do cilindro x2 + y 2 = 4y Resp= 128
3
14. Calcular o volume do sólido, no primeiro octante, delimitado por y = x2
e x = y 2 Resp= 31
60
15. Determine o volume delimitado
pelas superfícies x2 +y 2 = 4 e 4x2 +4y 2 +
p
8
2
z = 64 resp= 3 (64 24 3)
16. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
z = 0 e 2 = 16 z 2 resp= 32
= 4 cos ,
17. Calcular o volume do sólido delimitado por z = 4x2 + y 2 e z = 8 4x2
y2
18. Calcular o volume interno a esfera x2 +y 2 +z 2 = 4 e externo ao parabolóide
x2 + y 2 = 3z
19. Encontre o volume acima do plano xy, limitado pelo parabolóide z =
x2 + 4y 2 e pelo cilindro x2 + 4y 2 = 4
20. Determine o volume de x = y 2 ; z = x, z = 0 e x = 1 resp=
4
5
21. Determine o volume que está dentro do cilindro x2 + y 2 = 1 acima do
plano z = 0 e abaixo do cone z 2 = 4x2 + 4y 2
22. Encontre o volume delimitado por z 2 + x2 + y 2 = 4; z 2
2
y2
z 2 x3
3 = 0 nos pontos em que z > 0:
x2
y2 = 0 e
23. Determine o volume do sólido delimitado pelas superfícies z = x2 , z =
8 x2 , y = 0 e z + y = 9: Resp= 320
3
131
4.8
Exercícios Gerais
1. Calcule a
RR
.(x+3y)dA, sendo D a região triangular de vértices (0; 0); (1; 1)
D
e (2; 0) resp 2
RR
p
2. Calcule
D
cardióide
1
dA,
x2 +y 2
sendo D a região do semiplano x > 0 interna à
= 1 = cos e externa à circunferência
=1
3. Determinar a área delimitada pelas curvas
(
y2 2
2xy
a2 b2
x2
+
)
=
.
resposta
=
a2
b2
c2
c2
4. O centro de uma esfera de raio r está sobre a superfície de um cilíndro
reto cuja base tem raio igual a 2r . Encontre a área da superfície cilíndrica
que …ca no interior da esfera. Resposta 4r2 .
5. Encontrar a área da porção da esfera x2 +y 2 +z 2 = 2ay que …ca no interior
do parabolóide by = x2 + z 2 . Resposta 2 ab.
6. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
2
b2 (x2 + y 2 ) + a2 z 2 = a2 b2 e x2 + y 2 = ax. Resp 2a b(39 4) .
7. Determinar o volume do sólido delimitado pelas
superfícies
p
4 (8 2 7)
2
2
2
2
2
x + y + z = 8 e x + y = 2z. Resp
.
3
RRR
8. Calcular I =
(x 1)dv, sendo T a região do espaço delimitada pelos
T
planos y = 0, z = 0, y + z = 5 e pelo cilindro parabólico z = 4
144
15
9. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
3
z = 0, z 2 = x2 + y 2 e x2 + y 2 = 2ax. Resp: 32a
9
10. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
y
x
z
abc
a + b + c = 1, x = 0, y = 0 e z = 0. Resp 6 .
11. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
x2 + y 2 + 2y = 0, z = 0, z = 4 + y
12. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
3
x2 + y 2 = a2 e x2 + z 2 = a2 . Resp 16a
3 .
13. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
= 4 cos , z = 0 e 2 = 16 z 2 . Resp 32 .
132
x2 . Resp
14. Encontrar a área da superfície
do parabolóide z = 4
p
[( 17)3 1]
plano z = 0. Resp
.
6
x2
y 2 acima do
15. Nos itens abaixo escreva em coordenadas retangulares as integrais.
p
9
R 2 R3p
R
(b) 0 2 0 0 9
R R R4p
(c) 02 3 0 4
(a)
R
0
2
R3R
0
2
2
2
dzd d .
2 sen
2
d d d .
sen d d d .
6
133
5
SEQÜÊNCIAS e SÉRIES
Seqüências e séries: Objetivos:
Ao …nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de:
1.
Reconhecer uma seqüência e veri…car se:
a.
é convergente ou divergente;
b.
crescente ou decrescente;
c.
Propriedades de uma seqüência;
2.
De…nir séries numéricas de termos positivos;
3.
Encontrar a soma de séries;
4.
Identi…car as séries especiais: geométrica, harmônica e p;
5.
Veri…car se é convergente ou divergente aplicando os critérios de convergência;
6.
Analisar a convergência de séries alternadas e de sinal quaisquer;
7.
Reconhecer séries absolutamente e condicionalmente convergentes;
8.
Reconhecer séries de funções;
9.
Encontrar o raio e o intervalo de convergência das séries de potências;
10
Desenvolver funções em séries de Taylor e Maclaurin;
11.
Desenvolver funções em séries binomiais;
12.
Resolver exercícios usando o Maple.
A prova será composta por questões que possibilitam veri…car se os objetivos
foram atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos.
O modelo de formulação das questões é o modelo adotado na formulação dos
exercícios e desenvolvimento teórico desse capítulo, nessa apostila.
5.1
5.1.1
Sequências
Introdução
Neste capítulo estudaremos séries in…nitas, as quais são somas que envolvem um
número in…nito de termos. As séries in…nitas desempenham um papel fundamental tanto na matemática quanto na ciência. elas são usadas, por exemplo,
para aproximar funções trigonométricas e logarítmica, para resolver equações
diferenciais, para efetuar integrais complicadas, para criar novas funções e para
construir modelos matemáticos de leis físicas (Anton, 1999).
Na linguagem cotidiana, o termo sequência signi…ca uma sucessão de coisas
em uma ordem determinada - ordem cronológica, de tamanho, ou lógica, por
exemplo. Em matemática o termo sequência é usado comumente para denotar
uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função.
Estudaremos um tipo especial de função de…nida nos números naturais N =
f1; 2; 3; 4:::g, com imagem em R. Isto é, estudaremos a função f : N ! R
quanto ao limite e suas propriedades quando n ! 1. A função f : N ! R
n
de…nida por f (n) = 2n+1
é um exemplo de seqüência. O conjunto composto
134
pelos pares ordenados (n; f (n)) é dado por
I = f(1; f (1)); (2; f (2)); (3; f (3)); ::::::::::; (n; f (n)); ::::::::::g
ou
2
3
n
1
I = f(1; ); (2; ); (3; ); ::::::::::; (n;
); ::::::::::g
3
5
7
2n + 1
é denominado conjunto dos termos da sequência f (n). Geralmente, o conjunto I
é escrito de forma simpli…cada. Isto é, I é representado pelas imagens de n 2 N
de forma que a posição que determinada imagem de f ocupa no conjunto dos
termos da seqüência f (n) é determinada pelo elemento n 2 N, ou seja,
1 2 3 4 5
n
I = ff (1); f (2); f (3); :::::::::; f (n); ::::::::::g = f ; ; ; ; ; ::::::::::;
; ::::::::::g:
3 5 7 9 11
2n + 1
5
Podemos observar que o termo 11
é imagem de n = 5, pois ocupa a quinta
n
posição no conjunto dos termos. O termo f (n) = 2n+1
é denominado termo
geral da seqüência. A forma usual de representar o termo geral de uma seqüência
n
n
n
, ou xn = 2n+1
, ou yn = 2n+1
etc. Passaremos agora à de…nição foré an = 2n+1
mal de seqüência. Nesse caso, temos o conjunto I = fx1 ; x2 ; x3 ; ::::::::::::; xn ::::::::g.
De…nição 118 Sejam N = f1; 2; 3; 4:::g o conjunto dos naturais, R a reta real.
Denominamos seqüência aplicação xn : N ! R.
Problema 119 Para melhor compreensão vamos supor que o crescimento diário
de uma linhagem de suínos é dada em função do crescimento total pela seqüência
n
un = n+13
onde n corresponde ao número de dias de vida do suíno e lim un o
n!1
n
o
1
2
3
4
5
n
tamanho de um suíno adulto. Assim, o conjunto 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; :::::::: n+13
; :::
representa o tamanho diário do suíno em relação ao tamanho …nal.
Gra…camente podemos observar a curva de crescimento, cujo limite é representado pela assíntota y = 1
y
1
0. 75
0. 5
0. 25
0
0
25
50
75
100
x
135
Como podemos observar a assíntota y = 1 representa o limite de crescimento
do suíno. Isso signi…ca que podemos levantar questões como por exemplo, qual
o número mínimo de dias que o suíno deve …car em tratamento para atingir,
pelo menos, 80% de seu tamanho …nal?
No grá…co abaixo podemos observar uma estimativa em torno de 50 dias
y
1
0. 75
0. 5
0. 25
0
0
25
50
75
100
x
A questão agora é como fazer uma estimativa em termos matemáticos?
resposta será dada pela de…nição de limite de uma seqüência.
5.1.2
A
Limite de uma Sequência
De…nição 120 Seja un uma seqüência, dizemos que o número a é limite de un
quando n tende para o in…nito se dado " > 0 podemos encontrar K > 0 tal que
para todo n > K vale a desigualdade jun aj < ".
Exemplo 121 Dada a seqüência un : N ! R é de…nida por un =
mostrar que lim un = 1.
n
n+13
vamos
Demonstração: Devemos mostrar que dado " > 0 podemos encontrar
K > 0 tal que para todo n > K vale a desigualdade jun aj < ". Agora,
jun
1j =
n
n+13
1 =
n n 13
n+13
De modo que podemos escrever
=
13
n+13
13 13"
"
13
n+13
<"
< " donde vem 13 < n" + 13" ou
< n. Consequentemente, podemos tomar K =
estará satisfeita.
13 13"
"
e a de…nição 118
Comparando os dados do problema 119 com a de…nição 120 concluímos que
" = 0; 2 representa a diferença entre o crescimento almejado e o crescimento total
136
dos suínos. Por outro lado, K é o número mínimo de dias que os suínos devem
permanecer em tratamento para atingir, pelo menos, 80% de seu crescimento
total.
Exemplo 122 Determine o número mínimo de dias que um lote de suínos, cujo
n
crescimento é dado pela seqüência un = n+13
dever permanecer em tratamento
para atingir, respectivamente, 80%; 90%, 95% do seu tamanho …nal.
Solução: No exemplo 121 concluímos que dado " > 0 podemos tomar
K = 13 "13" .
Como para 80%; 90%, 95% do tamanho …nal os valores de " são respectivamente 0; 2, 0; 1, e 0; 05 temos, respectivamente, o número mínimo de dias dado
por:
13 0:2
a) K = 13 "13" = 13 0:2
= 52 dias
13 13"
13 13 0:1
b) K =
=
=
117 dias
"
:1
13 0:05
c) K = 13 "13" = 13 0:05
= 247 dias
Outra conclusão que podemos tirar é que a partir de um determinado tempo,
a variação do crescimento é muito pequena em relação à quantidade de ração
que o suíno consome. Portanto, o produtor deve estimar o tempo mínimo de
tratamento em dias para obter o máximo de lucro.
Voltemos ao estudo das seqüências.
Teorema 123 (unicidade)
Seja un: N ! R uma sequência em R tal que
é único.
5.1.3
lim un existe, então o limite
n!1
Sequências Convergentes
De…nição 124 Seja un uma seqüência. Dizemos que un é convergente se, e
somente se, lim un = a para algum a 2 R..
Se un não for convergente diremos que un é divergente.
Exemplo 125 A seqüência un =
2n+3
3n+5
2n+3
n!1 3n+5
é convergente, pois lim un = lim
n!1
2
3.
Exemplo 126 Determine se a sequência un = 14 n2
a sequência un = 14 n2
1 converge ou diverge
1 diverge, pois lim un = lim( 14 n2
n!1
n!1
1) = 1
Como o limite de un não existe , a sequência diverge. O grá…co 5.1.3 ilustra
a maneira como esta sequência diverge
137
=
y
5
3. 75
2. 5
1. 25
0
0
1. 25
2. 5
3. 75
5
x
5.1.4
Subsequência
De…nição 127 Seja un : N ! R uma seqüência em R. Seja N = fn1 ; n2 ; n3 ; ::::::::g
um subconjuto de N, então xn =N : N ! R é uma subseqüência em R.
Exemplo 128 Seja un : N ! R uma seqüência dada por un = n12 . Seja
N = f1; 3; 5; 7; 9; ::::::::g N. Então a seqüência un =N : N ! R é subseqüência
1
1
1
1
; 25
; 36
; 49
; :::g e os termos da
de un . Os termos da seqüência são f1; 41 ; 19 ; 16
1 1
1
subseqüência são f1; 9 ; 25 ; 49 ; ::::g.
Teorema 129 Seja un : N ! R uma seqüência em R tal que lim un existe,
n!1
então o limite é único.
Demonstração: Suponhamos que un : N ! R é uma seqüência em R
tal que lim un existe e suponhamos que a e b, com a 6= b, são limites dessa
n!1
seqüência. Então dado " > 0 podemos encontrar K1 > 0 e K2 > 0 tal que para
todo n > K1 tenhamos jun aj < 2" e para todo n > K2 tenhamos jun bj < 2" .
Agora seja K = maxfK1 ; K2 g. Então podemos escrever, para todo n > K:
ja
bj = ja
un + un
ja
bj = j (un
bj
a) + (un
b)j
jun
aj + jun
bj <
"
2
+
"
2
= ".
Como a e b são constantes, teremos ja bj < " para todo " > 0 se, e somente
se ja bj = 0, isto é se a = b. Logo, o limite de un , se existe, é único.
5.1.5
Sequência Limitada
De…nição 130 Seja un : N ! R uma seqüência em R. Dizemos que un é
limitada quando o conjunto fu1 ; u2 ; u3 ; ::::::::::::; un ::::::::g for limitado.
Teorema 131 Seja un : N ! R uma seqüência convergente R, então un é
limitada.
138
Demonstração: Suponhamos que un : N ! R é uma seqüência convergente
em R e suponhamos que a é limite dessa seqüência. Então dado " = 1 podemos
encontrar K > 0 tal que para todo n > K tenhamos ja bj < 1. Assim, para
todo n > K temos un 2 B(a; 1). Como o conjunto fu1 ; u2 ; u3 ; ::::::::::::; un 1 g é
…nito segue que fu1 ; u2 ; u3 ; ::::::::::::; un 1 ; un ; ::::::::::::::::::g B(a; 1). Logo, un
é limitada.
Obs 132 A recíproca desse teorema não é verdadeira. Por exemplo, un =
( 1)n é limitada, mas não é convergente.
Teorema 133 Seja un : N ! R uma seqüência em R. Se lim un = a então
toda subseqüência de un converge e tem limite igual a a.
Demonstração: Suponhamos que existe uma subseqüência xnk de un e
que lim xn = a, então para todo " > 0, existe K > 0 tal que ja bj < " para
todo ni > K. Sendo N = fn1 < n2 < n3 ::::::::g um conjunto in…nito, existe
K > 0 tal que ni > K . Logo, para > i temos n > ni > K donde vem
ja bj < " e, assim, lim xnk = a.
5.1.6
Sequências Numéricas
Neste parágrafo analisaremos algumas propriedades das seqüências em R.
De…nição 134 Seja un uma seqüência de valores reais. Então:
Dizemos que un é não decrescente se un+1
un para todo n 2 N.
Dizemos que un é crescente se un+1 > un para todo n 2 N.
Dizemos que un é não crescente se un
un+1 para todo n 2 N.
Dizemos que un é decrescente se un > un+1 para todo n 2 N.
De…nição 135 Seja un uma seqüência de valores reais. Então un é denominada monótona se pertencer a um dos tipos descritos na de…nição 134.
Exemplo 136 Mostrar que a seqüência un =
n+1
n2 +2
é monótona.
Solução: Devemos mostrar que un pertence a um dos tipos descritos na
de…nição 134.
(n+1)+1
n+2
Temos un = nn+1
2 +2 e un+1 = (n+1)2 +2 = n2 +2n+3
Veri…caremos se que un+1
un .Então,
un+1
n+2
n2 +2n+3
(n2 + 2)(n + 2)
n+1
n2 +2
(n + 1)(n2 + 2n + 3)
n3 + 2n2 + 2n + 4
1
un
n3 + 3n2 + 5n + 3
n2 + 3n
139
A última desigualdade é verdadeira para todo n. Logo, un =
cente e, assim, monótona.
n+1
n2 +2
é decres-
De…nição 137 Seja un uma seqüência numérica C e K dois números reais.
Dizemos que C é limitante inferior de un se C
un para todo n e que K é
limitante superior de un se K un para todo n.
2 3 4
5
Exemplo 138 Consideremos a seqüência un = nn+1
2 +2 cujos termos são 3 ; 6 ; 11 ; 18 ; ::::::
e cujo limite é L = 0. Então todo número real C 0 é limitante inferior de un
2
e todo K
3 é limitante superior de un .
De…nição 139 Seja un uma seqüência numérica que possui limitantes inferiores e superiores então un é dita seqüência limitada.
Obs 140 Note que uma seqüência para ser limitada não precisa ter o limite.
Por exemplo, un = ( 1)n não tem limite mas é limitada.
Teorema 141 Toda seqüência monótona limitada em R é convergente.
Teorema 142 Sejam un e yn seqüências numéricas em R tais que lim un = a
n!1
e lim yn = b. Então são válidas as a…rmações:
n!1
i) lim c = c
n!1
ii lim cun = ca
n!1
ii lim (un
n!1
yn ) = a
b;
ii) lim un yn = ab;
n!1
un
n!1 yn
iii) Se b 6= 0 e yn 6= 0 então lim
c
k
n!1 n
vi lim
= ab .
= 0, se k é uma constante positiva
Demonstração:
i) Sejam un e yn seqüências numéricas em R tais que lim un = a e lim yn = b,
n!1
n!1
então dado " > 0 existem K1 e K2 maiores que zero tais que jun aj <
"
bj < 2" para todo n > K2 . Seja K =
2 para todo n > K1 e jyn
maxfK1 ; K2 g então para todo n > K temos jun aj < 2" e jyn bj < 2" .
Assim,
jun + yn j = j(un
jun + yn j = jun + yn
(a + b)j
a) + (yn
aj + jyn
b)j
jun
140
bj <
" "
+ = ":
2 2
Portanto,
lim (un + yn ) = a + b:
n!1
Analogamente, mostra-se que lim (un
yn ) = a
n!1
b.
ii) Sejam un e yn seqüências numéricas em R tais que lim un = a e lim yn = b,
n!1
n!1
"
"
e jyn bj < 2N
para
então dado " > 0 existe K > 0 tal que jun aj < 2N
todo n > K. Além disso, un e yn são seqüências limitadas, de modo que
existe N > 0 tal que jun j < N e jyn j < N para todo n 2 N. Assim,
jun yn
abj = jun yn
jun yn
abj = jun (yn
b) + b(un
jun yn
abj
bj + jbj j(un
jun j jyn
jun yn
abj
un b + un b
a)j
jun (yn
aj < N jyn
abj
b)j + jb(un
bj + N j(un
a)j
aj
N" N"
+
= ":
N
N
Logo,
lim un yn = ab:
n!1
5.2
SÉRIES
De…nição 143 Seja un uma seqüência numérica. Denominanos série numérica
à somas dos primeiros k termos dessa seqüência numérica un . Já un será
denominado termo geral da série.
A série gerada pela seqüência será denotada por:
n=k
X
un = u1 + u2 + u3 + ::::::::::: + uk
n=1
e
1
X
un = u1 + u2 + u3 + ::::::::::: + uk + ::::
n=1
Para melhor entendimento vamos considerar e analisar um problema.
141
Problema 144 Um estudante deverá receber mesada de seu pai em unidades
monetárias U M , durante o tempo que permanecer na universidade, segundo a
sequência
20000
un =
, em que n corresponde ao número da parcela a ser recebida.
n(n + 1)
Pergunta-se:
i - Qual o montante que o estudante deverá receber até o …nal da faculdade
supondo que conclua o curso em 60 meses?
ii) No caso do estudante permanecer na universidade inde…nidamente, como
…cará o montante?
Solução: As parcelas mensais serão dada pela seqüência que descreve o
valor da mesada são:
5000
2000
10000
2500
2000
2000
10000; 10000
3 ;
3 ; 1000;
3 ;
21 ;
7 ;
9 ;
11 ; ::::::
Para responder a pergunta vamos escrever o problema no formato de uma
série in…nita. Isto é,
1
X
2000
10000 5000
2000 10000 2500
= 10000 +
+
+ 1000 +
+
+
:::::::::
n(n
+
1)
3
3
3
21
7
n=1
As somas parciais são:
S1 = x1 = 10000
S4 = S3 + x4 = 16000
::::::::::::::::::::
S2 = S1 + x2 =
40000
3
50 000
S3 = S2 + x3 = 15000
S5 = S4 + x5 = 3
S n = Sn 1 + u n
Agora vamos determinar uma fórmula para o termo geral da soma. Escreveremos o termo geral da série em frações parciais. Temos então,
20000
A
B
= +
n(n + 1)
n
n+1
20000 = A (n + 1) + Bn
20000 = (A + B) n + A
A = 20000
A+B =0
Resolvendo o sistema obtemos A = 20000 e B =
142
20000
Desse modo a série
1
P
n=1
20000
n(n+1)
pode ser reescrita como segue
1
1
X
X
20000
=
n(n + 1) n=1
n=1
Já a soma dos n
Sn = 20000
20000
n
20000
n+1
primeiros termos será dada por:
20000
2
20000
2
+
20000
3
+ ::: +
20000
n
20000
n+1
Cuja simpli…cação resulta em
Sn = 20000
20000
n+1
que simpli…cada resulta em
Sn =
20000n
n+1
O leitor poderá veri…car que as somas parciais determinadas acima corresponde as resultadas pela fórmula.
A resposta da questão i) do problema corresponde à sexagésima soma, ou
seja
S60 =
20000 60
= 19672:
61
Desse modo, após 60 meses o estudante terá recebido um montante de
19672U M
Passaremos a resposta da segunda questão. No grá…co abaixo podemos ver
o crescimento da soma da série. Observe que a escala do eixo y é 1 para 10000.
143
y
2
1.5
1
0.5
0
0
12.5
25
37.5
50
x
Portanto, se o estudante …car a inde…nidamente na universidade, observando
o grá…co, podemos a…rmar que não receberia mais do que 20000U M:
Isso signi…ca que a soma da série tem limite 20000U M quando o tempo tende
para in…nito. Ou seja,
lim Sn = lim
n!1
n!1
20000n
= 20000
n+1
Em outras palavras a série converge para 20000.
O conjunto de somas parciais da série forma uma seqüência de somas. De…nimos o limite de uma seqüência de somas parciais do mesmo modo que foi de…nido
limite de uma seqüência numérica.
5.2.1
Limite de uma Série
De…nição 145 Seja Sn uma seqüência de somas parciais, dizemos que o número
S é limite de Sn quando n tende para o in…nito se dado " > 0 podemos encontrar
K > 0 tal que para todo n > K vale a desigualdade jSn Sj < "
Exemplo 146 Consideremos uma seqüência de somas parciais, obtida no prob20000n
20000n
lema 144 dada por Sn =
. Mostrar que lim
= 20000.
n!1 n + 1
n+1
Demonstração: Devemos mostrar que dado " > 0 podemos encontrar
K > 0 tal que para todo n > K vale a desigualdade jSn Sj < ". De jSn Sj <
" temos
jSn
Sj =
20000n
n+1
20000 =
20000n
De modo que podemos escrever
20000
n+1
144
20000n
n+1
20000
=
20000
<"
n+1
< " donde vem 20000 < n" + " ou
20000 "
"
< n. Consequentemente, podemos tomar K =
estará satisfeita.
20000 "
"
e a de…nição 143
Suponhamos que se deseja saber a partir de que parcela a diferença entre o
montante e o limite é menor do que 300U M . Para obter a resposta tomamos
"
300
" = 300 e obteremos K = 20000
= 20000
= 65: 667. Isso signi…ca que em
"
300
todas as parcelas, a partir da sexagésima sexta, a diferença entre o montante e
o limite é menor do que 300U M .
Suponhamos que se deseja saber a partir de que parcela a diferença entre o
montante e o limite é menor do que 200U M . Para obter a resposta tomamos
200
"
= 20000
= 99. Isso signi…ca que em todas
" = 200 e obteremos K = 20000
"
200
as parcelas, a partir da parcela de número 99, a diferença entre o montante e o
limite é menor do que 100U M .
Obs 147 Como no estudo de limite das funções, no estudo das séries apenas
temos interesse em " com valores próximos de zero, pois interessa apenas saber
o comportamento da função próximo ao ponto de limite.
5.2.2
Séries Convergentes
De…nição 148 Sejam un uma sequência numérica,
1
P
un a série cujo termo
n=1
geral é un , Sn a somas parciais dos termos dessa série. Dizemos que
1
P
un é
n=1
convergente se lim Sn existe. Caso contrário a série será denominada divern!1
gente..
Exemplo 149 A série
1
P
n=1
lim Sn = lim
n!1
n!1
20000
n(n+1) ,
obtida no problema 144 é convergente pois
20000n
= 20000.
n+1
Exemplo 150 Veri…que se a série dada por
1
P
n=1
2n
5n
1
é convergente.
Solução: Devemos veri…car se a soma da série tem limite. Todas as séries
que apresentam esse modelo podem ser resolvidas conforme o modelo que segue.
i) Escrevemos a soma dos n primeiros termos.
Sn = 2+
22
23
24
2n
+ 2 + 3 + ::::::::: + n 1
5
5
5
5
ii) Multiplicamos Sn por
2
5 Sn
=
2
5
e obtemos
22
23
24
2n
2n+1
+ 2 + 3 + ::::::::: + n 1 + n
5
5
5
5
5
ii) Fazemos a diferença entre os resultados de i) e ii)
145
2
5 Sn
Sn
= (2+
ou
22 23
2n
+ 2 + :::: + n 1 )
5
5
5
22
23
2n
2n+1
+ 2 + :::::: + n 1 + n
5
5
5
5
2n+1
=2
5n
n+1
52
10
3 5n = 3
e
3
5 Sn
Sn =
10
3
10
3
lim Sn = lim
n!1
n!1
10 2 n
3 (5)
10 2 n
3 (5)
donde
S = 10
3
Consequentemente a série
1
P
2n
n=1
5.2.3
5n
1
é convergente.
Propriedades
1. Uma das propriedades das séries in…nitas é que a convergência ou divergência não é afetada se subtrairmos ou adicionarmos um número …nito de
termos a elas. Por exemplo, se no problema 144 o estudante só começasse
a receber a primeira parcela após 5 meses a série seria escrita com n = 6
1
P
20000
no primeiro termo, ou seja,
S5 . Se
n(n+1) , e a soma seria S = 20000
n=6
por outro lado o seu pai decidisse nos primeiros 10 meses dar uma mesada
…xa de 2000U M por mês e iniciar o pagamento con n = 1 no décimo
20000n
. Em ambos os
primeiro mês a soma seria S = 2000(10) + lim
n!1 n + 1
casos a série continuará convergente. Nestes termos, podemos enunciar o
seguinte teorema.
2. Se a série
1
P
1
P
un é convergente e a série
n=1
1
P
yn é divergente, então a série
n=1
(un + yn ) é divergente.
n=1
Obs 151 Se as séries
1
P
n=1
ou não ser convergente.
3. Se
1
P
un e
1
P
yn são divergentes, a série
n=1
1
P
(un +yn ) pode
n=1
un é uma série convergente de termos positivos, seus termos po-
n=1
dem ser reagrupados de qualquer modo, e a série resultante também será
convergente e terá a mesma soma que a série dada.
146
Teorema 152 Seja
1
P
un = u1 + u2 + u3 + ::::::::::: + uk + ::: uma série. Se a
n=1
série
1
X
un = un
+ un
( +1)
+ un
( +2)
+ ::::::::::
n=
for convergente, então a série
1
X
un = u1 + u2 + u3 + ::::::::::: + uk + :::
n=1
também será convergente.
Demonstração: Suponhamos que a série
1
P
un é convergente, então pos-
n=
sui soma. Seja S n o termo geral da sua soma, S1 = lim S n e seja
n!1
S = x1 + x2 + x3 + ::::::::::: + xk . Desse modo, o termo geral da soma da
1
P
série
un será Sn = S + S n e, portanto, lim Sn = lim S n + lim S
n!1
n=1
donde vem S = S1 + S . Consequentemente,
1
P
n!1
n!1
un é convergente.
n=1
5.2.4
Exercícios
Em cada uma das séries abaixo encontre o termo geral da soma e veri…que se a
série é convergente.
1.
1
P
(2n
1
Resposta Sn =
1) (2n + 1)
n=1
(4n
2
3) (4n + 1)
n=1
2.
3.
4.
1
P
1
P
2n + 1
2
n=1 n2
1
P
(n + 1)
n
n+1
ln
n=1
5.
6.
n=1
7.
8.
Resposta Sn = ln
1 2n 1
P
n
n=1 3
1
P
1
P
p
Resposta Sn =
n (n + 1)
1
p
n+1+
p
n
n
2n+1 .
n(n+2)
(n+1)2 .
1
n+1
.
Resposta Sn = 1
1
Resposta Sn =
1:2:3:4:5:6::::::n
(n + 2)
n=1
1
P
n=1
3n + 4
, Resposta Sn =
n3 + 3n2 + 2n
147
5
2
2
n+1
1
2
p1 .
n+1
1
(n+2)!
1
n+2 .
Propriedades Sejam
1
X
un = u1 + u2 + u3 + ::::::::::: + uk + :::
n=1
e
1
X
yn = y1 + y2 + y3 + ::::::::::: + yk + :::
n=1
duas séries que convergem para S e S 0 , respectivamente, então são válidas as
seguintes propriedades:
i)
1
P
kun = k
n=1
ii)
1
P
1
P
n=1
(un
yn ) =
n=1
0
1
P
n=1
S.
5.2.5
un para todo k 2 R e a série
un
1
P
yn e a série
n=1
1
P
1
P
kun converge para kS:
n=1
(un
yn ) converge para S +
n=1
Condição necessária para convergência.
Não existe uma regra geral para veri…car se uma série é convergente. Como
veremos nos próximos itens há critérios que dão respostas a tipos particulares
de séries. Porém, veri…cando se uma série não possui a condição necessária para
convergência saberemos que ela não é convergente. Essa condição é dada pelo
teorema que segue.
Teorema 153 Seja
1
P
un uma série convergente, então lim un = 0.
n!1
n=1
Demonstração:
Suponhamos que a série
1
P
un converge para S, então
n=1
podemos a…rmar que lim Sn = S, de modo que pela de…nição 148 dado " >
n!1
0 podemos encontrar K > 0 tal que para todo n > K vale a desigualdade
jSn Sj < 2" e jSn 1 Sj < 2" . Como jun j = jSn Sn 1 j podemos escrever
jun 0j = jSn Sn 1 0j
= jSn S + S Sn 1 j
jun j
= j(Sn S) + ( (Sn 1 S))j
jun j
= j(Sn S) + ( (Sn 1 S))j
jun j
j(Sn S)j + j(Sn 1 Sj
jun j
jun j
< 2" + 2" = "
Assim, pela de…nição 120 segue que lim un = 0.
n!1
Uma consequência muito importante desse teorema é o corolário a seguir:
148
Corolário 154 Seja
1
P
n=1
divergente.
Exemplo 155 A série
un uma série tal que lim un 6= 0, então
n!1
1
P
n=1
0.
Porém, a série
1
P
n=1
1
n
2n+2
3n+5
1
n!1 n
é tal que lim un = lim
n!1
un é
n=1
2n+2
n!1 3n+5
é divergente já que lim un = lim
n!1
1
P
=
2
3
6=
= 0, isto é, possui a condição
necessária para convergência, mas não podemos, sem fazer um teste de convergência, a…mar se ela é convergente ou divergente.
Obs 156 Portanto …quem atentos, se o lim un 6= 0 prova-se que a série é
n!1
divergente. Mas se o lim un = 0 a série pode convergir ou divergir, para issso
n!1
necessitamos estudar critérios para fazer tal veri…cação.
Veremos na sequência alguns resultados que permitem veri…car se uma série
é convergente ou não,
Teorema 157 Seja Sn uma sequência de somas parciais convergente. Então,
dado " > 0 podemos encontrar K > 0 tal que para todo m; n > K vale a
desigualdade jSm Sn j < ".
Demonstração: Suponhamos Sn seja uma sequência de somas parciais
convergente. Então, dado " > 0 podemos encontrar K > 0 tal que para todo
m; n > K valem as desigualdades jSm Sj < 2" e jSn Sj < 2" . Agora
jSm
jSm
jSm
jSm
Sn j = jSm S + S Sn j
Sn j = j(Sm S) + (S Sn )j
j(Sm S)j + j(Sn S)j
Sn j
Sn j < 2" + 2" = "
Logo, o teorema é válido.
Obs 158 O teorema 157 pode ser ilustrado considerando o problema 144. Lá
nossa suposição era saber a partir de que parcela a diferença entre o montante
e o limite era menor do que 300U M . Para obter a resposta tomamos " = 300 e
obteremos K = 65; 667. Isso signi…ca que em todas as parcelas, a partir da sexagésima sexta, a diferença entre o montante e o limite é menor do que 300U M .
20000 70
Agora tomando n = 70 e m = 80 obteremos S70 =
= 19718 e S80 =
70 + 1
20000 80
= 19753:. Consequentemente, jS70 S80 j = j1971 8 19753j =
80 + 1
35:0 < 300. Caso tomássemos m; n < 66 não necessariamente a diferença
entre as somas será menor do que 300.
149
5.3
5.3.1
SÉRIES ESPECIAIS
Série harmônica
De…nição 159 Denominamos série harmônica à série
1 1
P
.
n=1 n
1 1
P
, embora possua a condição necessária para conn=1 n
vergência não converge. Para provar vamos mostrar que ela contraria o teorema
157. Vamos inicialmente escrever a soma dos n primeiros termos e a soma
dos 2n primeiros termos,
A série harmônica,
Sn = 1 + 12 + 13 + 14 + ::::: n1
1
1
1
S2n = 1 + 12 + 13 + 14 + ::::: n1 + n+1
+ n+2
+ ::::: 2n
Na sequência fazemos a diferença entre as duas somas parciais
1
1
1
+ n+2
+ ::::: 2n
1 + 12 + 13 + ::::: n1
S2n Sn = 1 + 12 ::::: n1 + n+1
1
1
1
S2n Sn = n+1 + n+2 + ::::: 2n
1
1
1
1
1
1
> 2n
; n+2
> 2n
; n+3
> 2n
:::::::: podemos escrever
Como n+1
1
1
1
1
1
1
S2n Sn = n+1 + n+2 + ::::: 2n > 2n + 2n
+ ::::::: + 2n
n
1
S2n Sn > 2n = 2
Tomando m = 2n obtemos jSm Sn j > 12 e isso contraria o teorema 157.
Logo, a série harmônica é divergente. Veja algumas somas de série harmônica
obtidas com auxílio do MAPLE 6
S10 = 2; 9289
Sum bilh~ao = 21; 300
S100 = 5; 1873
Sum trlh~ao = 28; 208
S1000 = 7; 485 Sum milh~ao = 14; 392
Como pode ser visto, lentamente a soma tende a in…nito.
5.3.2
Série geométrica
De…nição 160 Denominamos série geométrica à série escrita na forma
1
P
aq n ,
n=1
onde q é denominada razão.
Exemplo 161 Encontrar a soma da série geométrica e estudar sua convergência.
Solução: Consideremos a série geométrica
1
P
aq n = aq + aq 2 + aq 3 + ::::: +
n=1
aq n e a soma dos n primeiros termos dada por Sn = aq +aq 2 +aq 3 +:::::+aq n .
Multipicamos essa soma pela razão q e obtemos qSn = aq 2 + aq 3 + ::::: + aq n +
aq n+1 . Encontramos a diferença entre as duas somas
150
qSn
Sn = aq 2 + aq 3 + ::::: + aq n + aq n+1
qSn
Sn = aq n+1
Sn (q
1) = aqq n
Sn (q
1) = aq(q n
aq + aq 2 + aq 3 + ::::: + aq n
aq
aq
1)
como a1 = aq podemos escrever
Sn (q
1) = a1 (q n
donde vem Sn =
1)
a1 (q n 1)
(q 1)
Para estudar a convergência dessa série devemos considerar três casos a
saber:
a1 (q n 1)
! 1 e a série é divergente.
n!1
n!1 (q
1)
Se q = 1 então Sn tem dois valores para o limite e, portanto, a série é
divergente.
I Se q = 1 então lim Sn = lim
a1 (q n 1)
! 1 e a série é divergente.
n!1 (q
1)
II Se jqj > 1 então lim Sn = lim
n!1
a1 (q n 1)
a1 q n
a1
=
= lim
+ lim
n!1 (q
n!1
1)
q 1
(q 1)
III Se jqj < 1 então lim Sn = lim
n!1
a1
e a série é convergente.
(q 1)
a1
. Conclusão:
1 q
a série geométrica é divergente se jqj 1 e convergente se jqj < 1.
Desse modo, podemos escrever S =
Obs 162 A soma de uma série geométrica convergente (jqj < 1) converge para
a1
S=
1 q
Exemplo 163 A série
série
1
P
n=1
5.4
1
P
n=1
3 n
2
2 n
3
é convergente pois tem razão q =
é divergente pois tem razão q =
3
2
2
3
< 1. Já a
> 1.
Critérios para veri…car a convergência de uma série
Quando conhecemos o termo geral da soma de uma série é fácil fazer a veri…cação
da convergência. Podemos veri…car se uma série converge usando critérios para
convergência que passaremos ao estudo de alguns.
151
5.4.1
Seja
Critério da comparação.
1
P
un uma série e seja
n=1
1
P
yn uma série cuja convergência queremos estu-
n=1
dar, então:
Teorema 164
1
P
i) Se
un for uma série convergente e 0
1
P
yn
un para todo n a série
un
0 para todo n a série
n=1
yn é convergente.
n=1
ii) Se
1
P
1
P
un for uma série divergente e yn
n=1
yn é divergente.
n=1
Demonstração: i) Sejam
1
P
un uma série convergente e
n=1
tal que 0
yn
un para todo n. Como
1
P
1
P
yn uma série
n=1
un uma série convergente a
n=1
sequência de somas parciais Sn tem limite L, de modo que u1 +u2 +u3 +:::::::::::+
uk + ::: < L. Como 0 yn un para todo n segue que a sequência de somas
parciais 0 y1 + y2 + y3 + ::::::::: + yk + :::: u1 + u2 + u3 + ::::::::::: + uk + ::: < L.
Consequentemente, a sequência de somas parciais y1 + y2 + y3 + ::::::::: + yk + ::::
é limitada e, além disso, monótona. Logo, pelo teorema 141 é convergente e,
1
P
assim, a série
yn é convergente.
n=1
ii) Sejam
1
P
1
P
un uma série divergente e yn
n=1
yn é divergente. Como
n=1
1
P
un
0 para todo n a série
un uma série divergente a sequência de somas
n=1
parciais Sn não tem limite, de modo que dado um número L > 0 existe K > 0
tal que u1 +u2 +u3 +:::::::::::+uk +::: > L para todo n > K. Como yn un para
todo n segue que a sequência de somas parciais y1 + y2 + y3 + ::::::::: + yk + ::::
u1 + u2 + u3 + ::::::::::: + uk + ::: > L. Consequentemente, a sequência de somas
1
P
parciais y1 + y2 + y3 + ::::::::: + yk + :::: não é limitada e, assim, a série
yn é
n=1
divergente.
Exemplo 165 Usando o teorema 164 estudar a convergência da
1
P
n
série
.
3
2
n=1 n + n + n + 1
Solução: Conforme o teorma 164 devemos encontrar uma série que sabemos
ser convergente ou divergente e fazer a comparação do termo geral dessa série
com a série em estudo. Um procedimento usado para encontrar um termo
152
geral adequado é majorar o termo geral da série proposta. Vamos descrever o
processo.
i) Temos duas formas de majorar um quociente a saber: aumentando o denominador ou diminuindo o denominador. No termo geral da série em
estudo vamos diminuir o denominador passo a passo
n3
+
n
n
n
1
< 3
< 3
=
2
2
+n+1
n +n +n
n +n
n(n + 1)
n2
1
P
20000
é convergente. Como podemos
n=1 n(n + 1)
1
1
P
P
1
20000
escrever
= 20000
segue (pela propriedade i) que
n=1 n(n + 1)
n=1 n(n + 1)
1
P
1
é convergente.
n=1 n(n + 1)
No exemplo 144 vimos que a série
ii) Vamos veri…car se
n
n3 + n 2 + n + 1
n3
+
n
+n+1
n2
1
para todo n.
n(n + 1)
1
n(n + 1)
n3 + n2 + n + 1
nn(n + 1)
n3 + n2
n3 + n2 + n + 1
0 n+1
Verdadeiro para todo n
Logo, pelo teorema 164 a série
1
P
n=1
5.4.2
Seja
n
é convergente.
n3 + n 2 + n + 1
Critério de D ’Alambert
1
P
un uma série tal que un > 0 para todo n e lim
n!1
n=1
Teorema 166
i) A série
1
P
un converge se L < 1;
n=1
ii) A série
1
P
un diverge se L > 1;
n=1
iii) Nada podemos a…rmar se L = 1.
153
un+1
= L. Então
un
1
P
un+1
= L. Então, dado
n!1 un
n=1
" > 0 podemos encontrar K > 0 tal que para todo n > K vale a desigualdade
un+1
L < ". Suponhamos que L < 1. Então existe q tal que L < q < 1, e
un
un+1
isso implica em q L < 1. Tomando " = q L podemos escrever
L <
un
un+1
un+1
q L donde vem (q L) <
L < q L ou (q L) + L <
< q.
un
un
Da última relação concluímos que un+1 < un q. Dessa relação vem:
Demonstração: Seja
un uma série tal que lim
un+1 < un q
un+2 < un+1 q < un qq
un+2 < un+2 q < un q 2 q
un+k < un+(k 1) q < un q k 1 q
e assim sucessivamente, de forma que
ou seja
ou seja
un+2 < un q 2
un+3 < un q 3
ou seja
un+k < un q k
un+1 + un+2 + un+3 + ::::::::::: < un q + un q 2 + un q 3 + ::::::::::
Note que un q + un q 2 + un q 3 + :::::: é uma série geométrica com razão jqj < 1
1
P
un converge se
e, portanto, convergente. Assim, pelo teorema 164 a série
n=1
L < 1.
un+1
Por outro lado, suponhamos que lim
= L > 1, então obteremos
n!1 un
un+1 > un para todo n e, desse modo, lim un 6= 0. Consequentemente, a
n!1
série não possui a condição necessária para convergência. Logo, a série série
1
P
un diverge se L > 1.
n=1
Exemplo 167 Usando o critério de D ’Alambert, estudar a convergência da
1 2n
P
.
série
n=1 n
Solução: Temos un =
un+1
un
e
2n
2n+1
e un+1 =
. Logo,
n
n+1
2n+1
n2n+1
n2n 2
2n
= n +n 1 = n
= n
=
2
2 (n + 1)
2 (n + 1)
(n + 1)
n
lim
n!1
un+1
2n
= lim
=2>1
n!1 (n + 1)
un
Consequentemente, a série
1 2n
P
é divergente.
n=1 n
154
Exemplo 168 Usando o critério de D ’Alambert, estudar a convergência da
1 1
P
série
n=1 n!
Solução:Temos un =
1
1
e un+1 =
. Logo,
n!
(n + 1)!
1
un+1
n!
1
(n+1)!
= lim
= lim
= lim
=0 <1
1
n!1 un
n!1
n!1 (n + 1)!
n!1 n + 1
n!
lim
portanto a série
.
5.4.3
Seja
1 1
P
converge.
n=1 n!
Critério de Cauchy
1
P
un uma série tal que un > 0 para todo n e lim
n!1
n=1
p
n
un = L. Então
Teorema 169
1
P
i) A série
un converge se L < 1;
n=1
ii) A série
1
P
un diverge se L > 1;
n=1
iii) Nada podemos a…rmar se L = 1.
Demonstração: A demonstração deste teorema é análoga a do teorema
5.4.2.
Exemplo 170 Usando o critério de Cauchy, estudar a convergência da série
1
n
P
n
.
2n+5
n=1
Solução: Temos
p
n
un =
s
n
n
2n + 5
n
=
n
2n + 5
Assim,
lim
n!1
Logo, a série
1
P
n=1
n
2n+5
p
n
n
1
= < 1:
n!1 2n + 5
2
un = lim
n
é convergente.
Exemplo 171 Usando o critério de Cauchy, estudar a convergência da série
1
n
P
4n 5
.
2n+1
n=1
155
Solução: Temos
p
n
un =
s
n
4n 5
2n + 1
n
=
4n 5
2n + 1
Assim,
lim
n!1
p
n
un = lim
4n 5
2n + 1
= 2 > 1:
n!1
Logo, a série
1
P
n=1
5.4.4
Seja
4n 5
2n+1
n
é divergente.
Critério da integral
1
P
un uma série tal que un+1
un para todo n. Seja f (x) uma função
n=1
maior do que zero, contínua e decrescente no intervalo [0; 1) tal que f (1) =
1
R1
P
u1 ; f (2) = u2 :::::::::::; f (n) = un ; :::: Então, se 1 f (x) dx existe a série
un
n=1
é convergente. Caso contrário, divergente.
A demonstração deste teorema poderá ser estudada em qualquer um dos
livros constantes na bibliogra…a.
Série p
De…nição 172 Denominamos série p a série escrita na forma
é uma constante positiva.
1 1
P
onde p
p
n=1 n
A denominação p vem do fato dessa série também ser conhecida como série
hiper harm^
onica. Vamos usar o teorema 5.4.4 para o estudo da série p. A
série p é bastante utilizada no critério da comparação.
Exemplo 173 Estudar a convergência da série
Solução: Temos
1 1
P
.
p
n=1 n
1
X
1
1
1
1
1
= 1 + p + p + p + ::::::::::: + p ::::::::
p
n
2
3
4
n
n=1
1
Seja f (x) = p , então f (x) satisfaz as condições do teorema 5.4.4, de modo
x
que podemos escrever
Z 1
Z n
1
1
dx
=
lim
dx:
p
p
n!1
x
x
1
1
Temos três casos a considerar:
156
I) Se p = 1 teremos
Z
1
1
1
dx = lim
n!1
x
Z
n
1
1
dx = lim ln xjn1 = lim [ln n
n!1
n!1
x
Consequentemente, se p = 1 a série
se p = 1 temos a série harmônica.
ln 1] = 1
1 1
1 1
P
P
=
é divergente. Note que
p
n=1 n
n=1 n
II) Se p < 1 teremos 1 p > 0
Z 1
Z n
1
1
x1 p n
n1 p
dx
=
lim
dx
=
lim
j
=
lim
n!1 1 xp
n!1 1
xp
p 1 n!1 1 p
1
Consequentemente, se p < 1 a série
III Se p > 1 teremos 1
Z
1
1
1
dx = lim
n!1
xp
Z
n
1
p<0
Consequentemente, se p > 1 a série
1
=1
p
1 1
P
é divergente.
p
n=1 n
1
x1 p n
n1 p
dx = lim
j1 = lim
p
n!1 1
n!1 1
x
p
p
.
1
lim
1
n!1 1
p
1
=
1
p
1 1
P
é convergente.
p
n=1 n
Exemplo 174 As séries abaixo são exemplos de séries p.
a)
b)
1 1
P
convergente pois p > 1.
9
n=1 n
1 1
P
1
n=1
5.5
n2
divergente pois p < 1.
Exercícios
1. Usando o teste de comparação veri…que se as séries abaixo são convergente
ou não.
p
1
1
1 1
1
P
P
P
P
1
n
n2
0a)
b)
c)
d)
n
2
n
3
n=1 n3
n=1 n + 1
n=1 n
n=1 4n + 1
0 e)
1
P
n=1
i)
1
P
p
1
2
n + 4n
1
2
n=1 n n + 5
p
f)
j)
1 jsen(n)j
P
2n
n=1
1
P
1
p
n
+
n+5
n=1
157
g)
1
P
1
P
n!
(2
+
n)!
n=1
n
3+n+1
4n
n=1
h)
1
P
n=1
p
1
n3
+5
2n
n=1 (2n)!
1
P
2. Usando o teste de D ’Alambet veri…que se as séries abaixo são convergente
ou não.
1 n+1
1 n!
1
P
P
P
1
a)
b)
c)
2
n
n
n+1
n=1 n 2
n=1 e
n=1 (n + 1)2
1
P
d)
p
n=1
g)
3n
n3 + 1
e)
1
P
1
n
+
5
n=1
3n
n 2
n=1 2 (n + 2)
1
P
h)
1 n+1
P
n
n=1 n4
f)
i)
1
P
n!
n (2 + n)!
2
n=1
1
P
n
4n
+
n+1
n=1
3. Usando o teste de Cauchy, veri…que se as séries abaixo são convergente ou
não.
n
n
1 (ln n) n
1
1
P
P
P
n+1
n+1
n
a)
b)
2
a)
n
n2
n2 2n
n=1 n 2
n=1
n=1
4. Usando o teste da integral veri…que se as séries abaixo são convergente ou
não.
1
1
1
P
P
P
ln n
p1
a)
ne n b)
c)
n
n=1 (n+1)
n=1
d)
1
P
n=1
g)
1
P
1
n ln n
n2 e
e)
n=1
n
h)
n=1
5.6
1
P
1
P
n=1
ln(n+1)
n=1
arctgn
n2 +1
f)
1
P
ne
n2
n=1
earctgn
n2 +1
i)
1
P
n=1
1
(n+2)(n+4)
Séries de Termos Positivos e Negativos
De…nição 175 Seja un > 0 para todo n. Denominamos série alternada à série
1
P
n 1
n 1
( 1)
un = u1 u2 + u3 u4 + ::::::::::: + ( 1)
un :
n=1
::
Exemplo 176 A série
1
P
n 1
( 1)
n=1
1 1
1
= 1 p+ p
np
2 3
1
n
+:::::::::::+( 1)
4p
1
1
:::::::
np
é um exemplo de série alternada.
5.6.1
Convergência de uma série alternada
Infelizmente todos os critérios de convegência de séries vistos até o momento não
são válidos para séries alternadas. Por isso, passaremos a ver alguns resultados
que são válidos para esse caso.
Teorema 177 Teorema de Leibnitz.
Seja a série alternada
1
X
n 1
( 1)
un = u1
u2 + u3
n=1
158
n 1
u4 + ::::::::::: + ( 1)
un ::::
tal que:
Teorema 178
i) u1 > u2 > u3 > u4 > :::::::::::;
ii) lim un = 0
n!1
Então são válidas as seguintes conclusões:
a) A série é convergente e
b) 0 < Sn < u1 .
Demonstração: a)Consideremos a soma dos 2n primeiros termos da série
1
P
n 1
alternada. Suponhamos que os termos de ordem ímpar da série
( 1)
un =
n=1
n 1
u1 u2 + u3 u4 + ::::::::::: + ( 1)
un :::.sejam positivos e os de ordem par
negativos. Se por acaso o primeiro termo for negativo iniciaremos a contagem
em u2 , pois a retirada um número …nito de termos não afeta a convergência da
série. Desse modo teremos u2n 1 positivo e u2n negativo e, portanto, obteremos
0 < S2 < S4 < :::::::::::: < S2n .
S2n = u1 u2 + u3 u4 + ::::::::::: un + un+1 un+2 + :::::: u2n .
Aplicando a propriedade associativa obtemos
S2n = (u1 u2 ) + (u3 u4 ) + ::::::::::: + (un un+1 ) + :::::: + (u2n 1 u2n ).
Como u1 > u2 > u3 > u4 > ::: segue que
(u1 u2 ) > 0; (u3 u4 ) > 0; (un un+1 ) > 0; ::::::; (u2n 1 u2n ) > 0
Consequentemente, S2n é positiva
Podemos também associar os termos de outra forma como segue
S2n = u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) :::: (un un+1 ) ::: (u2n 2 u2n 1 )
u2n . Em virtude da condição ii) cada termo entre parênteses é positiva. Portanto, subtraindo uma quantidade positiva de u1 obteremos um resultado inferior a u1 , de modo que 0 < S2n < u1 .
Demonstraremos o item b). Como 0 < S2n < u1 segue que S2n é limitada com 0 < S2 < S4 < :::::::::::: < S2n . Assim, a sequência de somas
S2 ; S4 ; ::::::::::::; S2n é monótona e, pelo teorema 141, é convergente. Seja lim S2n =
n!1
S. Pelo item a) segue que s < u1 . Sendo S2n+1 = S2n +u2n+1 podemos escrever:
lim S2n+1 = lim S2n + lim u2n+1 = S + 0 = S
n!1
n!1
n!1
Consequentemente as somas de ordem ímpar tem a mesma soma dos termos
de ordem par. Finalmente, mostraremos que lim Sn = S.
n!1
Como lim S2n = S, dado " > 0 podemos encontrar K1 > 0 tal quem
n!1
jS2n = Sj < " sempre 2n > K1 .
Como lim S2n+1 = S, dado " > 0 podemos encontrar K2 > 0 tal quem
n!1
jS2n = Sj < " sempre 2n + 1 > K2 .
Tomando K = max fK1 ; K2 g, para todo n > K vale a desigualdade jSn = Sj <
1
P
n 1
". Logo, lim Sn = S e a série
( 1)
un é convergente.
n!1
n=1
159
Exemplo 179 Usando o teorema de Leibnitz, estudar a convergência da série
1
P
n 1 n+2
( 1)
n(n+1) .
n=1
Solução: Vamos veri…car se un satisfaz as condições do teorema 5.6.1.O
n+2
n+2
termo geral da série é un = n(n+1)
e n(n+1)
> 0 par todo n. Assim, Vamos
veri…car se un > un+1 para todo n. Temos
un > un+1
(n+1)+2
n+2
n(n+1) > (n+1)(n+1)+1)
n+2
n+3
n(n+1) > (n+1)(n+2)
(n + 2) (n + 1) (n + 2) > n (n + 1) (n + 3)
n3 + 5n2 + 8n + 4 > n3 + n2 + 3
2
4n + 8n > 1 Verdadeiro para todo n
Consequentemente a primeira condição do teorem 5.6.1 Está satisfeita.
Agora vamos veri…car se lim un = 0
n!1
lim n+2 = 0:
n!1 n(n+1)
Veri…camos, portanto, que todas as exigências do teorema 5.6.1 estão satis1
P
n 1 n+2
feitas. Logo, a série
( 1)
n(n+1) é convergente.
n=1
5.7
Série de termos de sinais quaisquer
De…nição 180 Denominamos série de termos de sinais quaisquer à série formada por termos positivos e negativos.
Exemplo 181 A série
1
P
n=1
p
3
2
1
2
sen( n6 ) =
1
2
+
p
3
2
+1+
p
3
2
+
1
2
+0
1
2
p
3
2
1
+ 0::: é um exemplo de série de termos de sinais quaisquer. As séries
alternadas são casos particulares das séries de termos de sinais quaisquer.
Veremos na sequência um teorema que permite veri…car se uma série de
termos de sinais quaisquer é convergente.
Teorema 182 Seja
1
P
1
P
un uma série de termos de sinais quaisquer. Se a série
n=1
n=1
jun j for uma série convergente então a série a
Se a série
1
P
n=1
1
P
un será convergente.
n=1
jun j for uma série divergente nada podemos a…rmar sobre a
convergência da série de sinais quaisquer
1
P
n=1
160
un .
Exemplo 183 Vimos no exemplo 179 que a série
1
P
vergente. Porém, a série
n 1
( 1)
n=1
n+2
n(n+1)
=
1
P
1
P
n 1
( 1)
n=1
n=1
n+2
n(n+1)
n+2
n(n+1)
é con-
não é convergente.
O leitor pode veri…car essa a…rmação usando o critério da comparação.
Exemplo 184 Usando o teorema 182 estudar a convergência da série
1
P
n=1
Solução: Podemos escrever
observar, a série
Logo,
1
P
n=1
(
1
P
n=1
n 1 1
1)
n3
1
P
n 1 1
n3
( 1)
n=1
1
n3
=
1
P
n=1
1
n3 .
n 1 1
n3 .
( 1)
Como podemos
é uma série p com p > 1 e, portanto, convergente.
é convergente. A convergência desta série também pode
ser estudada pelo teorema de Leibnitz.
Exemplo 185 Usando o teorema 182 estudar a convergência da série
1 sen(nt)
P
.
n2
n=1
1 sen(nt)
1 jsen(nt)j
P
P
=
. Usando o teste
2
n
n2
n=1
n=1
de comparação, sabendo que jsen(nt)j 1 para todo n, podemos concluir que
1 sen(nt)
P
jsen(nt)j
1
é
2 para todo n. Portanto, o termo geral da série
n
2
n
n2
n=1
1 1
P
que é uma série p convergente pois
menor que o termo geral da série
2
n=1 n
1 sen(nt)
P
é convergente.
p > 1. Logo, a série
n2
n=1
Solução: Podemos escrever
5.8
Séries absolutamente convergente e condicionalmente
convergentes.
Antes de de…nir séries absolutamente convergente e condicionalmente convergentes vamos considerar os exemplos abaixo.
Exemplo 186 Consideremos a série harmônica
1
X
1
1 1 1
1
= 1 + + + + ::::: :::
n
2 3 4
n
n=1
já mostramos que é divergente. Porém
1
X
n=1
n 1
( 1)
1
=1
n
1 1
+
2 3
é convergente. Vamos mostrar que a série
1
n
+ ::::: ( 1)
4
1
P
n 1
( 1)
n=1
isto é, podemos interferir na sua forma de convergir.
161
1
1
::::
n
1
converge sob condições,
n
Solução: Para modi…car o limite de convergência de
1
P
n 1
( 1)
n=1
reagrupar os termos como segue:
1
basta
n
a) Agrupamos a soma dos termos de ordem ímpar contra os de ordem par
Sn =
1+
1 1
1
+ + ::::: +
:::
3 5
2n 1
1 1 1
1
+ + ::::: +
:::
2 4 6
2n
Como o leitor pode observar, poderemos escrever
Sn =
1
X
n=1
1
2n
1
1
X
1
2n
n=1
e, cada uma das subsomas é divergente. Logo, ocorre Sn = 1
a soma é indeterminada, sigini…cando que se escrevermos
1
X
n 1
( 1)
n=1
1, isto é
1
n
na forma
1
X
n 1
( 1)
n=1
1
=
n
1+
1 1
1
+ + ::::: +
:::
3 5
2n 1
1 1 1
1
+ + ::::: +
:::
2 4 6
2n
nada podemos a…rmar sobre a sua convergência. Isso ocorre porque a série
1
X
n 1
( 1)
n=1
1
X
1
1
=
n
n
n=1
não converge.
Com base no exemplo vamos de…nir séries absolutamente convergente e
condicionalmente convergente.
De…nição 187 Seja
1
P
un uma série de termos de sinais quaisquer, então:
n=1
i) Se
1
P
n=1
ii) Se
1
P
jun j converge a série é denominada absolutamente convergente;
un converge e
n=1
mente convergente.
1
P
1
P
n=1
jun j diverge, então a série
1
P
un é condicional-
n=1
1
estudada no exemplo 186 é condicionaln
n=1
1 sen(nt)
P
mente convergente e a série
estudada no exemplo 185 é absolutan2
n=1
mente convergente.
Exemplo 188 A série
n 1
( 1)
162
5.9
Exercícios
Veri…que se as séries abaixo são absolutamente ou condicionalmente convergente.
n
2
1
1
1
P
P
P
1
n 1 2
n 1
n 1 n
b)
( 1)
( 1)
a)
( 1)
n!
(2n 1)!
n!
n=1
n=1
n=1
c)
1
P
n 1
( 1)
n
n=1
g)
1
P
n=1
n 1
( 1)
2
3
3n
n!
n
e)
1
P
n 1
( 1)
n=1
h)
1
P
n 1
( 1)
n=1
163
n!
2n+1
n2 + 1
n3
f)
1
P
n 1
( 1)
n=1
i)
1
P
n=1
1
n2 + 2n
n 1
( 1)
nn
n!
5.10
SÉRIES DE FUNÇÕES
Consideremos as seguintes funções f : R ! R de…nidas por f0 (x) = 1,
f1 (x) = x, f2 (x) = x2 , f3 (x) = x3 , f4 (x) = x4 , ......., fn (x) = xn ::. podemos
escrever as soma
Sn (x) = f0 (x) + f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + f4 (x) + ::: + fn (x) = xn :::
ou
Sn (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + ::::::: + xn ::::
A essa soma denominamos série de funções e Sn (x) é a soma dos n primeiros
termos da série. Mais geralmente de…nimos série de funções como segue.
De…nição 189 Denominamos série de funções a toda série na qual o termo
geral é uma função da variável x e denotaremos por
1
X
un (x) = u0 (x) + u1 (x) + u2 (x) + :::::: + un (x) + :::
n=0
5.10.1
Convergência de séries de funções
Como no estudo das séries numéricas, estamos interessados na convergência da
séries de funções. Uma série de funções se for convergente converge para uma
função. A imagem de cada valor de x numa série de funções é uma série numérica
que pode ser convergente ou divergente. Por exemplo, a série
1
X
xn = 1 + x + x2 + x3 + x4 + ::::::: + xn ::::
n=0
para cada valor de x é uma série geométrica e, portanto, converge se jxj < 1
e diverge caso contrário. Já sua soma será a função S (x) =
1
se jxj < 1.
1 x
Isso signi…ca que uma série de funções convergente, converge para um conjunto
de valores de x denominado domínio ou intervalo de convergência.
De…nição 190 Seja
1
P
un (x) uma série de funções que converge. Denomi-
n=0
namos domínio ou intervalo de convergência da série ao conjunto de todos os
valores de x para os quais a série é convergente e denominamos raio de convergência à distância entre o centro e a extremidade do intervalo convergência.
Exemplo 191 O raio e o intervalo de convergência da série
1
P
n=0
o intervalo de convergência é dado por ( 1; 1).
164
xn é R = 1 e
5.10.2
Séries de funções majoráveis num intervalo
1
P
De…nição 192 Seja
un (x) uma série de funções. Dizemos que
n=0
1
P
un (x)
n=0
é majorável no intervalo [a; b] se existir uma série numérica convergente
1
P
un
n=0
tal que jun (x)j
un .
Exemplo 193 Seja
1
P
n=0
jorável para todo x.
cos nx
n2 +1
uma série de funções. Então essa série é ma-
Prova: Pela de…nição 192, devemos mostrar que existe uma série numérica
1
P
nx
1 para todo n e todo
convergente
un tal que cos
n2 +1 < un . Como jcos nxj
n=1
x podemos escrever
jcos nxj
n2 +1
cos nx
n2 +1
1
n2 +1
<
Portanto, tomando un =
tal que
cos nx
n2 +1
<
1
n2 para
Teorema 194 Seja
[a; b], então
1
P
1
P
1
n2
1
n2
segue que existe a série p,
todo n > 1. Logo,
1
P
n=0
cos nx
n2 +1
1 1
P
, convergente
2
n=1 n
é majorável.
un (x) uma série de funções majorável no intervalo
n=0
un (x) é absolutamente convergente em [a; b].
n=0
Demonstração: Uma série que satisfaz a de…nição 192, também satisfaz as
da de…nição 185 e, portanto, é absolutamente convergente.
5.10.3
Continuidade da soma de uma série de funções.
Sabemos do Cálculo que a soma de um número …nito de funções contínuas é
contínua. Porém, se a soma for in…nita ela pode não ser contínua. Vejamos um
exemplo.
Exemplo 195 Considere a série
1
P
1
1
x 2n+1
x 2n
1
. Essa série não con-
n=1
verge para uma função contínua.
Prova: Escrevemos a soma dos n
1
Sn (x) = x 3
1
x + x5
primeiros termos
1
1
x3 + x7
165
1
1
x 5 + :::: + x 2n+1
1
x 2n
1
Eliminando os parênteses vem
1
Sn (x) =
Agora,
x + x 2n+1
lim Sn (x) = lim
n!1
n!1
x+
1
x 2n+1
=
8
< 1
:
x se x > 0
0 se x = 0
1 x se x < 0
Portanto, lim Sn (x) existe para todo x 2 R. Porém, a soma da série não é
n!1
uma função contínua.
O teorema que segue permite identi…car as séries de funções que convergem
para funções contínuas.
Teorema 196 Seja
1
P
un (x) uma série de funções majorável no intervalo
n=0
[a; b], então a soma Sn (x) converge para uma função contínua S (x) no intervalo [a; b].
Exemplo 197 A série de funções
1
P
xn converge para a função S (x) =
n=0
no intervalo ( 1; 1).
5.10.4
1
1 x
Integração de uma série de funções contínuas
A integração de uma série de funções também exige cuidados. No Cálculo vimos
que a integral da soma …nita de funções é igual a soma das integrais. Se a soma
de funções for in…nita, isso pode não ocorrer. As condições necessárias para
integração da soma in…nita de funções são dadas pelo teorema abaixo.
Teorema 198 Seja
1
P
un (x) uma série de funções contínuas majorável no
n=0
intervalo [a; b] e seja S (x) a soma. Então, para [ ; ] [a; b] vale a a…rmação
R
R
R
R
u3 (x) dx + :::::::::.
S (x) dx =
u1 (x) dx +
u2 (x) dx +
Exemplo 199 A série de funções contínuas
1
P
xn é majorável no intervalo
n=0
( 1; 1). Assim, para qualquer [ ; ] ( 1; 1) tem-se
R
R
R
R 2
R 3
1
dx +
xdx +
x dx +
x dx + :::::::::.
1 x dx =
5.10.5
Derivadas de uma série de funções contínuas
No Cálculo vimos que a derivada da soma …nita de funções é igual a soma das
derivadas. Se a soma de funções for in…nita, isso pode não ocorrer. As condições
necessárias para derivação da soma in…nita de funções são dadas pelo teorema
a seguir.
166
Teorema 200 Seja
1
P
un (x) uma série de funções contínuas majorável no
n=0
intervalo [a; b] que converge para a função S (x) no intervalo [a; b]. Então
S 0 (x) = u00 (x) + u01 (x) + u02 (x) + ::::: + u0n (x) ::: se as seguintes condições
estiverem satisfeitas:
i) As funções u0 (x), u1 (x), u2 (x), ....., un (x) tem derivadas contínuas;
ii) A soma u00 (x) + u01 (x) + u02 (x) + ::::: + u0n (x) :::, é majorável.
1 xn
P
é majorável no intervalo
n=1 n
( 1; 1). Assim, para qualquer intervalo [ ; ] ( 1; 1) :
Exemplo 201 A série de funções contínuas
x2
x3
xn
i) As funções u1 (x) = x, u2 (x) =
, u3 (x) =
....., un (x) =
::: tem
2
3
n
derivadas contínuas;
ii) A soma 1 + x + x2 + x3 + x4 + :::::::+ xn :::é majorável no intervalo ( 1; 1).
0
Consequentemente, S 0 (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + :::::::+ xn ::: = (ln j1 xj) .
A condição de que soma S 0 (x) = u00 (x)+u01 (x)+u02 (x)+:::::+u0n (x) :::, seja
majorável é extremamente importante. Caso não esteja satisfeita a derivação
termo a termo pode se tornar impossível. Vejamos um exemplo.
1 sen(n4 x)
P
. Nesse exemplo, a soma
n2
n=1
in…nita das derivadas é diferente da derivada da soma da série.
Exemplo 202 Consideremos a série
Prova: Como sen(n4 x)
1 para todo n e todo x real, segue que
1 sen(n4 x)
P
sen(n4 x)
1
é uma série de funções con2 . Portanto, a série
n
2
n
n2
n=1
tínuas majorável para todo x real. Agora,
S (x) =
e
S 0 (x) =
senx sen(24 x) sen(34 x) sen(44 x)
sen(n4 x)
+
+
+
+ ::: +
:::
2
2
2
2
1
2
3
4
n2
cos x 24 cos(24 x) 34 cos(34 x) 44 cos(44 x)
n4 cos(n4 x)
+
+
+
+
:::
+
:::
12
22
32
42
n2
ou
S 0 (x) = 12 cos x + 22 cos 24 x + 32 cos 34 x + 42 cos 44 x + ::: + n2 cos(n4 x) + ::
Para x = 0 temos
S 0 (x) = 12 cos 0 + 22 cos 0 + 32 cos 0 + 42 cos 0 + ::: + n2 cos 0 + :::
ou
S 0 (x) = 12 + 22 + 32 + 42 + ::: + n2 + :::
que é uma seqüência de somas divergente.
167
5.11
SÉRIE DE POTÊNCIAS
As séries de potências são séries de funções que aparecem com mais freqûencia
nos problemas de engenharia. Por isso deve-se dar atenção especial ao seu
estudo.
De…nição 203 Denominamos série de potências a toda série escrita na forma
1
P
cn xn , com coe…cientes constantes cn .
n=0
Obs 204 Para que os resultados anteriores possam ser usados sem mudanças
nas notações vamos admitir un = cn xn para o caso das séries de potências.
Teorema 205 Se uma série de potências,
1
P
cn xn , converge para um valor x0
n=0
não nulo, então converge para todo jxj < jx0 j.
De…nição 206 Seja uma série de potências,
1
P
cn xn , que converge para um
n=0
valor x0 não nulo. Denominamos intervalo de convergência da série ao conjunto
de todos os pontos para os quais a série converge e raio de convergência R, à
distância entre o centro e a extremidade do intervalo de convergência.
5.11.1
Processo para determinar o intervalo e o raio de convergência
de uma série de potências
Usam-se os critérios de convergência de D ’Alambert ou de Cauchy tomando
un+1
p
n
lim
ou lim
un
em que un = cn xn . Caso o limite exista valem
n!1
n!1
un
as condições dos critérios usados.
Em qualquer caso teremos
lim
n!1
un+1
= jxj L
un
em que
L = lim cn
n!1
e, desse modo, o raio e o intervalo de convergência serão dados resolvendo a
inequação
jxj L < 1
jxj L < 1 donde vem jxj <
1
L
ou seja R =
1
L:
Como pelo critério de D ’Alambert nada podemos a…rmar se jxj L = 1,
devemos veri…car se a série converge para x = L1 e x = L1 .
Feita a veri…cação pode-se estabelecer o intervalo de convergência.
168
Exemplo 207 Determinar o intervalo e o raio de convergência para a série
1
P
3n xn
.
n
2
n=0 5 (1 + n )
Solução: Vamos aplicar o critério de D ’Alambert. Assim devemos primeiro
un+1
encontrar lim
.
n!1
un
3n+1 xn+1
2
5n+1 1 + (n + 1)
un+1
lim
= lim
3n xn
n!1
n!1
un
5n (1 + n2 )
lim
n!1
5n 3n 3xn x 1 + n2
5n 5 (n2 + 2n + 2) 3xn
= lim
n!1
3x 1 + n2
3 1 + n2
un+1
3
= lim
=
lim
jxj
lim
= jxj :
n!1 5 (n2 + 2n + 2)
n!1
n!1 5 (n2 + 2n + 2)
un
5
A série converge se jxj 35 < 1 ou jxj < 53 . Portanto, o raio de convergência é
R = 53
Na sequência devemos veri…car se a série converge para x =
5
3
Se x =
5
3
e x = 53 .
teremos a série
1
1
1
5 n
X
X
X
3n
3n 5n
1
n
n
3
=
(
1)
=
( 1)
:
n (1 + n2 )
n (1 + n2 ) 3n
5
5
(1
+
n2 )
n=0
n=0
n=0
Pelo critério de Leibnitz a série
1
X
n=0
é convergente.
Logo, a série
1
P
n=0
Se x =
.
5
3
5n
n
( 1)
1
(1 + n2 )
3n xn
converge se x =
(1 + n2 )
5
3
.
teremos a série
n
1
1
X
X
3n 53
3n 5n
1
=
=
n (1 + n2 )
n (1 + n2 ) 3n
5
5
(1
+
n2 )
n=0
n=0
n=0
1
X
169
Usando o critério de comparação concluímos que a série
1
X
1
(1 + n2 )
n=0
é convergente.
Logo, a série
1
P
n=0
5n
3n xn
converge se x =
(1 + n2 )
5
3
Conclusão: O raio de convergência da série
intervalo é
5.11.2
5
3
x
5
3.
Série de potências em termos de (x
.
3n xn
é R =
n
2
n=0 5 (1 + n )
1
P
5
3
e
a)
De…nição 208 Denominamos série de potências de (x
a) a série
1
P
un (x
n
a) .
n=0
Para obter o raio e o intervalo de convergência das séries em (x
fazer z = (x
a) basta
1
P
a) e encontrar o intervalo de convergência para a série
un z n .
n=0
Após substitui z por (x
a) na inequação
R < z < R.
Exemplo 209 Determinar o raio e o intervalo de convergência da série
Solução: Seja z = (x
5). Então podemos escrever
n
1 2 (x
P
5)
.
2
n=0 n + 3
1
1
n
X
X
2 (x 5)
2z n
=
2
2
n +3
n +3
n=0
n=0
Usando o teorema de D’Alambert vem
2z n+1
lim
n!1
lim
n!1
2
un+1
(n + 1) + 3
= lim
= lim
2z n
n!1
n!1
un
n2 + 3
n2 + 3 2z n+1
2
(n + 1) + 3 2z n
n2 + 3 2z n z
un+1
n2 + 3
= lim
=
lim
jzj
lim
= jzj :
n!1 2z n (n2 + 2n + 4)
n!1
n!1 n2 + 2n + 4
un
A série converge se jxj < 1. Portanto, o raio de convergência é R = 1
Na sequência devemos veri…car se a série converge para x = 1 e x = 1.
170
Se z =
1 teremos a série
1
1
1
n
X
X
X
2 ( 1)
2
2z n
n
=
=
( 1)
2+3
2+3
2 + 3)
n
n
(n
n=0
n=0
n=0
.
1
P
Pelo critério de Leibnitz a série
2z n
série
converge se z =
2
n=0 n + 3
1
P
n
( 1)
n=0
2
é convergente. Logo, a
(n2 + 3)
1.
Se x = 1 teremos a série
1
1
1
X
X
X
2z n
2(1)n
2
=
=
2+3
2+3
2 + 3)
n
n
(n
n=0
n=0
n=0
.
Usando o critério de comparação concluímos que a série
vergente. Logo, a série
Conclusão: O raio de convergência da série
1
z
1.
Substituindo z por (x
vem 4
5.12
x
2
é con2 + 3)
(n
n=0
1
X
2z n
n2 + 3
n=0
converge se z = 1 .
é
1
P
5) em
1
z
2z n
é R = 1 e intervalo
2
n=0 n + 3
1
P
1 obtemos
1
x 5 1 donde
n
1 2 (x
P
5)
6 que é o intervalo de convergência da série
.
2
n=0 n + 3
Séries de Taylor
Considere a função f (x) : Pretende-se encontrar uma série de potências
1
P
un (x
n=0
tal que
f (x) =
1
P
un (x
n
a) . Em outras palavras queremos
n=0
f (x) = u0 + u1 (x
a) + u2 (x
2
a) + u3 (x
3
a) + u4 (x
4
a) + ::::::: (Taylor)
Assim, precisamos determinar os coe…cientes u0 , u1 , u2 , .....
171
n
a)
Primeiro determinamos u0 tomando x = a na função Taylor. Obtemos
f (a) = u0 + u1 (a
a) + u2 (a
2
3
a) + u3 (a
4
a) + u4 (a
a) + :
donde vem
f (a) = u0
.
Determinamos a derivada da função Taylor e, na sequência f 0 (a) para
obter u1 . Temos
2
f 0 (x) = u1 + 2u2 (x
a) + 3u3 (x
a) + 4u4 (x
f 0 (a) = u1 + 2u2 (a
a) + 3u3 (a
a) + 4u4 (a
2
3
a) + :::::::
3
a) + :::::
donde vem
f 0 (a) = u1 :
Determinamos a terceira derivada da função Taylor e, na seqüência f " (a)
para obter u2 . Temos
2
a) :::::::
2
a) :::::::
f " (x) = 2u2 + 3 2u3 (x
a) + 4 3u4 (x
a) + 5 4u5 (x
f " (a) = 2u2 + 3 2u3 (a
a) + 4 3u4 (a
a) + 5 4u5 (a
donde vem
f " (a) = 2u2 o ou u2 =
3
3
f " (a)
2!
.
Determinamos a segunda derivada da função Taylor e, na seqüência f 3 (a)
para obter u3 . Temos
2
f 3 (x) = 3 2u3 + 4 3 2u4 (x
a) + 5 4 3u5 (x
a) ::::::
f 3 (a) = 3 2u3 + 4 3 2u4 (a
a) + 5 4 3u5 (a
a) ::::
donde vem
f 3 (a) = 3 2u3 ou u3 =
f 3 (a)
:
3!
Prosseguindo dessa forma encontraremos un =
escrever a série de Taylor como segue
f (x) = f (a)+f 0 (a) (x
a)+
f " (a)
(x
2!
2
a) +
f n (a)
n!
172
de modo que podemos
f 3 (a)
(x
3!
ou
1
X
f n (a)
f (x) =
(x
n!
n=0
2
n
a) :
3
a) +::::+
f n (a)
(x
n!
n
a) +:::
Exemplo 210 Desenvolver em série de Taylor a função f (x) = senx.
Solução: Primeiro vamos determinar as derivadas de todas as ordens de
f (x) = senx no ponto a. Temos
f 0 (a) = cos a
f (a) = sena
f 3 (a) =
f " (a) =
f 4 (a) = sena
cos a
sena
f 5 (a) = cos a
Substituimos na fórmula
f (x) = f (a)+f 0 (a) (x
a)+
f " (a)
(x
2!
2
a) +
f 3 (a)
(x
3!
3
a) +::::+
f n (a)
(x
n!
n
a) ::::
sena
cos a
sena
2
3
4
(x a)
(x a) +
(x a) ::::
2!
3!
4!
Esta série pode ser reescrita separando os termos em seno do termos em
coseno
senx = sena + cos a (x
senx = sena
a)
sena
(x
2!
2
a) +
sena
(x
4!
4
a) :::: + cos a (x
cos a
(x
3!
a)
3
a) + ::::
escrevendo em forma de somatório vem
senx =
1
X
n=0
5.13
n
( 1)
sena
(x
2n!
2n
a)
+
1
X
n
( 1)
n=0
cos a
(x
(2n + 1)!
2n+1
a)
Série de Maclaurin
Colin Maclaurin (1698 - 1746) foi um matematico escocês. Para obter o desenvolvimento de uma função em série de Maclaurin basta tomar a = 0 na série de
Taylor. Desse modo temos
f 3 (0) 3
f n (0) n
2
f (x) = f (0) + f 0 (0) x + f "(0)
2! x + 3! x :::: + n! x ::::
Exemplo 211 Desenvolver em série de Maclaurin a função f (x) = senx.
Solução: No exemplo 210 desenvolvemos f (x) = senx em série de Taylor.
Fazendo a = 0 vem
senx =
sen0
sen0
(x
2!
2
0) +
sen0
(x
4!
173
4
0) :::: + cos 0 (x
0)
cos 0
(x
3!
3
0) + ::::
senx = x
:
senx =
x3
x5
+
3!
5!
1
X
n
( 1)
n=0
x7
x9
+ ::::
7!
9!
x2n+1
:
(2n + 1)!
Uma aplicação dessa série pode ser feita para determinar, por exemplo, o
valor do sen
6
3
sen
6
=
6
5
6
3!
+
6
5!
7
6
7!
9
+
6 ::::: = 1 .
9!
2
Exemplo 212 Desenvolver em série de funções
R
senx
x dx:
Solução: Usaremos os resultado do exemplo 211. Vimos no teorema 198
que uma série de funções contínuas majorável, a integral da soma é igual a soma
x3 x5 x7 x9
das integrais. A série senx = x
+
+ :::::, é majorável para todo
3!
5!
7!
9!
x.
Primeiro dividimos cada termo do exemplo 211 por x
x4
5!
senx
=1
x
x2
+
3!
x6
x8
+ :::::
7!
9!
Integramos a série termo a termo
Z
senx
dx =
x
Z
dx
Z
x2
dx +
3!
Z
x4
dx
5!
Z
x6
dx +
7!
Z
x8
dx:::::
9!
donde vem
Z
senx
dx = x
x
x3
x5
+
3!3 5!5
5
1
X
x7
x9
x2n+1
n
+
:::::: =
( 1)
:
7!7 9!9
(2n + 1)! (2n + 1)
n=0
que é o resultado …nal.
174
Exemplo 213 Desenvolver em série de Mclaurin a função f (x) =
sen2x
x
1. Tomando a função:
g(x) = sen2x
g(a) = sen2a
g (a) = 2 cos 2a
g (a) = 22 sen2a
g iii (a) = 23 cos 2a
g iv (a) = 24 sen2a
sen2a = sen2a + 2 cos 2a
sen2x =
1
X
22 sen2a
( 1)n 22n sen(2a) +
n=0
f (x) = f (a) + f 1 (a)(x
a) +
23 cos 2a + 24 sen2a + :::
1
X
( 1)n 22n+1 cos(2a)
n=0
f 2 (x a)2 f 3 (a)(x
+
2!
3!
22 sen2a(x
2!
sen2x = sen2a+2 cos 2a(x a)
1
X
( 1)n 22n sen(2a)(x
sen2x =
2n!
n=0
a)2n
a)2
a)3
+ :::::: +
23 cos 2a(x
3!
f n (a)(x
n!
a)3
+
1
X
( 1)n 22n+1 cos(2a)(x
+
(2n + 1)!
n=0
a)n
24 sen2a(x
4!
a)2n+1
para a = o temos:
sen2x =
portanto para
f (x) =
5.14
1
X
( 1)n 22n+1 (x)2n+1
(2n + 1)!
n=0
1
1
X
sen2x X ( 1)n 22n+1 (x)2n+1
( 1)n 22n+1 (x)2n
=
=
x
(2n + 1)!x
(2n + 1)!
n=0
n=0
Fórmula geral do binômio de Newton
n
Suponhamos que o interesse é o desenvolvimento do binômio (a + b) para n
inteiro positivo. Do desenvolvimento geral do binômino de Newton vem:
n
(a + b) = Cn0 an + Cn1 an
1
b + Cn2 an
2 2
175
b + ::: + Cnk an
k k
b + ::::: + Cnn bn .
a)4
+::
Como Cnk = k!(nn! k)! =
podemos escrever
n
(a + b) = an +nan
::::: + bn .
1
n(n 1)(n 2):::::(n (k 1))(n k)!
k!(n k)!
b+ n(n2! 1) an
b +:::+ n(n
2 2
=
n(n 1)(n 2):::::(n (k 1))
k!
1)(n 2):::::(n (k 1)) n k k
a
b +
k!
Tomando a = 1 e b = x vem
n
(1 + x) = 1 + nx +
n(n 1) 2
x
2!
+ ::: +
n(n 1)(n 2):::::(n (k 1)) k
x
k!
+ :::: + xn .
Porém, se n não for um inteiro positivo ou zero, é conveniente desenvolver o
n
binômio (1 + x) em série de Maclaurin. Desse modo teremos
n
(1 + x)
=
n (n 1) 2 n (n 1) (n 2) 3
x +
x + ::: +
2!
3!
1) (n 2) :::::(n k + 1) k
x + ::::
k!
1 + nx +
+
n (n
(7)
(8)
Esta série é chamada série binomial e como o leitor poderá veri…car através
do critério de D ’Alambert é absolutamente convergente para todo x tal que
jxj < 1. Pode ser provado que esse desenvolvimento é verdadeiro para todo n.
A prova pode ser encontrada nos livros citados na bibliogra…a. Escrevendo em
forma de somatório vem para todo n.
1 n (n
P
1) (n 2) :::::(n k + 1) k
n
(1 + x) = 1 +
x se jxj < 1.
k!
n=0
Exemplo 214 Desenvolver em série de funções a função f (x) =
Solução: Temos
1
1+x .
1
1
= (1 + x)
1+x
1 na fórmula??. Assim,
f (x) =
Portanto, basta substituir n =
1
= 1 + ( 1) x +
1+x
+
1( 1
1( 1
2!
1) ( 1
1)
x2 +
2) :::::( 1
k!
176
1( 1
k + 1)
1) ( 1
3!
xk + ::::
2)
x3 + ::
1
2
6 3
1( 1
= 1 x+ x2 +
x +:::+
1+x
2!
3!
1
=1
1+x
x + x2
1) ( 1
x3 + x4 ::::::::::: =
2) :::::( 1
k!
1
X
k + 1)
n
( 1) xn :
n=0
Exemplo 215 Desenvolver em série de funções a função f (x) =
Solução: Temos
f (x) = p
Portanto, basta substituir n =
p
1
=1+
1+x
+
1
2
1
2
xk +::::
1
2
x+
1
2
1
2
1
= (1 + x)
1+x
1
2
1
2
1
2
na fórmula??. Assim,
1
2!
1
p1 .
1+x
1
2
x2 +
2 :::::(
k!
1
2
1
2
k + 1)
1
2
1
3!
2
x3 + :::+
xk + ::::
donde vem
1
p
=1
1+x
1
x+
2
+
1
2
1
2
3
2
2!
3
2
x2 +
1
2
3
2
3!
5
2
x3 + :::+
5
1 2k
:::::(
)
2
2
xk + :::
k!
resultando em
p
1
=1
1+x
1
1 3
x+ 2 x2
2
2 2!
1 3 5 3
n 1 3 5 :::::: (2n
x +::::+( 1)
23 3!
2n n!
177
1)
xn ::::
Exemplo 216 Desenvolver em série de funções a função f (x) = p
1
1
x2
.
Solução: Podemos aproveitar o resultado do exemplo 215. Basta substituir
x no exemplo 215 por
x2 . Teremos então
1
p
=1
1 + ( x2 )
1
2
x2 +
n
+ ( 1)
p
1
1
x2
1 3
22 2!
2
x2
1 3 5 (2n
2n n!
1)
1 3 5
23 3!
x2
n
x2
3
+ :::+
:::
1
1 3
1 3 5 6
1 3 5 ::: (2n
= 1 + x2 + 2 x4 + 3
x + ::: +
2
2 2!
2 3!
2n n!
1)
x2n :::
Exemplo 217 Desenvolver em séries de funções a função f (x) = arcsenx.
Solução: Vimos no teorema 198 que uma série de funções contínuas majorável, a integral da soma é igual a soma das integrais. Sendo a derivada da
1
função f (x) = arcsenx igual a f 0 (x) = p
podemos aproveitar o resul1 x2
tado do exemplo 216, isto é
Z
dx
p
=
1 x2
Z
1
dx +
2
+
Z
1 3
x dx + 2
2 2!
2
1 3 5 ::: (2n
2n n!
resultando em
arcsenx = x +
1
2 3
x3 +
Z
1)
Z
1 3 5
x dx + 3
2 3!
4
Z
x6 + :::+
x2n dx:::
1 3 5 1 3 5 7
1 3 5 ::: (2n 1) 2n+1
x + 3
x + ::: +
x
:::
2
2 2!5
2 3!7
2n n! (2n + 1)
ou
arcsenx = x +
1
X
1 3 5 ::: (2n 1) 2n+1
x
:
2n n! (2n + 1)
n=1
178
5.15
Exercícios Gerais
1. Encontre a soma da série
1
1
P
P
5
a)
( 15 )n b)
(5n+2)(5n+7)
n=1
c)
n=1
1
P
n=1
p
1 p
n+1+ n
2. Use o teste de comparação para decidir se as séries abaixo são convergentes
1 p
1
1 p
1
P
P
P
P
n
n
2+cos n
1
b)
c)
d)
a)
n3n
n2 +1
n2
n+4
n=1
e)
1
P
1+2n
1+3n
n=1
f)
n=1
1
P
n=1
n+ln n
n3 +1
1
P
n=2
n=1
n=1
np
(n 1)n(n+1)
3. Use o teste da integral para decidir se as séries são convergentes
1
1
1
P
P
P
arctgn
1
p1
a)
b)
c)
2
4n+7
n2 +1
n n +1
n=1
n=1
n=1
4. Use o teste de D ’alambert para decidir se as séries são convergentes
1
1
1
1
P
P
P
P
3n
3n+1
n!
2n 1
a)
b)
c)
d)
2n
n2 +2
(n+2)3
5n (n+1)
n=1
n=1
n=1
n=1
5. Determine se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente
1
1
1
n
P
P
P
4
+3)2n
a)
( 1)n 1 12
b)
( 1)n 1 (n
c)
( 1)n 1 nen
(2n 5)n
n3
n=1
d)
1
P
n 1
( 1)
n=1
n=1
1
P
n
n2 +1
e)
n=1
( 1)n
n=1
1
n
n3 +3
6. Encontre o raio e o domínio de convergência das séries
1
1
1
P
P
P
n(x 5)n
(nn +3)(x+2)n
n4 (x 1)n
a)
b)
c)
2
n
n +1
(2n 5)
en
d)
n=0
1
P
n=0
2n (x+1)n
n2 +1
n=0
1
P
e)
n=0
n(x 1)2n
n3 +3
e)
1
P
n=0
n=0
n
1)x
( 1)n 1:3:5:7:::(2n
3:6:9:::::3n
7. Desenvolver em série de Taylor e Mclaurin as funções
a)f (x) = sen2x b)f (x) = x2 sen2x c)f (x) = e3x d)f (x) = e
x
e)f (x) = cos 2x
g)f (x) = senx
h)f (x) = cos
x
x2
x2
8. Desenvolver em série de Mclaurin as funções
1
1
1
a)f (x) = 1+x
b)f (x) = p1+x
c)f (x) = 1+x
2
R senx
R x2
R ln(1+x)
e)f (x) =
dx
g)f
(x)
=
e
h)f
(x)
=
x
x
j)f (x) = arcsenx l)f (x) = arccos x n)f (x) = arctagx
179
p 1
1 x2
= ln 11+xx
p
d)f (x) =
i)f (x)
o)f (x) =
3
1+x