Guia de CÁLCULO INTEGRAL

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1
CÁLCULO INTEGRAL
Antes de iniciarmos o estudo do Cálculo Integral, vamos definir e calcular
Diferencial, pois, para aplicar as regras de integração, precisaremos do
conceito e da aplicação de Diferencial.
DIFERENCIAL
Prezado estudante, quando avaliamos derivadas, vimos que
dy
dx
representava um dos símbolos da derivada primeira da função y = f(x) em
relação a variável independente x.
y´ f ´( x) 
dy
dx
Contudo, existem certos problemas em que dy e dx deverão ter sentidos
isoladamente. É esse isolamento que verificaremos a seguir.
Seja a função y  f (x)
Determinando
dy
, encontramos:
dx
dy
 f ´(x)
dx
Isolando dy, temos: dy  f ´( x).dx .
Em função disso podemos dizer que:
- A diferencial de uma função f(x) é igual ao produto de sua derivada f´(x)
pela diferencial da variável independente dx.
Regras para o cálculo da Diferencial
Vimos, pela definição, que a diferencial de uma função é o produto de sua
derivada pela diferencial da variável independente, portanto, as regras para
determinamos diferenciais serão as mesmas das derivadas, bastando para isso
multiplicarmos a derivada por dx.
Em decorrência dessa informação, vamos calcular as diferenciais das
funções abaixo:
2
a) f(x) = 3
c) y = 2x5
b) y = -3x
d) f(x) = x3 + 5x2 - 4
e) y = e4x
f) y = Ln (5x)
SOLUÇÃO
a) f ( x)  3
b) y  3x
dy
 3
dx
df
0
dx
df  0.dx
c) y  2 x 5
dy
 10 x 4
dx
dy  10 x 4 dx
dy  3dx
df  0
f ) y  Ln(5 x)
d ) f ( x)  x 3  5 x 2  4
dy (5 x )'

dx
5x
dy 5

dx 5 x
1
dy  .dx
x
e) y  e 4 x
df
 3x 2  10 x
dx
dy
 4.e 4 x
dx
df  (3x 2  10 x)dx
dy  4.e 4 x dx
A partir dessas orientações sobre Diferencial, podemos iniciar os estudos de
Cálculo Integral.
CÁLCULO INTEGRAL
01- INTRODUÇÃO
Durante nossos estudos sobre a disciplina Matemática, observamos
algumas funções que apresentam inversas. Relembremos algumas delas com
seus respectivos gráficos.
y
4
y
y=x+4
-1
y =x-4
x
0
x
-4
3
-1
y = √x
2
y=x
x
y=2
y-1 = Log x
2
Agora, verificaremos através de exemplo, que a Integral e a Derivada são
funções inversas uma da outra.
- Seja a função f(x) = x4.
- Determinando a primeira derivada, temos:
f`(x) = 4x3
- Integrando essa derivada, obtemos:
f`(x) = 4x3
f`(x) = x4
Observe que o resultado de f`(x) é igual ao valor da função f(x), logo f(x) é
a antiderivada de f’(x) que é a função Primitiva (Integral).
O2) CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO
- Sejam as funções
f(x)3x2 4,
2
(x
)
3
x

Ln
2.
g(x)3
x2 2 e h
Calculando suas respectivas derivadas:
f`(x) = 6x
g`(x) = 6x
h`(x) = 6x
Observando que os resultados das derivadas são iguais e sabendo que a
derivada e a integral são funções inversas, então, podemos afirmar que:
 f`(x)3x ,  g`(x)3x e  h`(x)3x
2
2
2
4
Notamos que, neste momento, não existe condição de sabermos quais as
constantes que irão acompanhar as integrais para que encontremos as funções
primitivas, por isso que, ao integrarmos qualquer função, adicionamos sempre,
no final, a letra c, que é denominada CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO.
x
)3
x
c,  g
`(
x
)3
x
ce h
`(
x
)3
x c
 f`(
2
2
2
03- INTEGRAL INDEFINIDA
Toda integral que apresenta a constante de integração é denominada de
INTEGRAL INDEFINIDA.

f `( x)dx  f ( x)  c
Notas:
a) A função a ser integrada [ f `(x) ] é chamada de integrante.
b) c é chamada de constante de integração.
c) A expressão dx indica que x é a variável independente utilizada na operação
04- REGRAS FUNDAMENTAIS DE INTEGRAIS INDEFINIDAS (IMEDIATAS)
4.1) Integral de uma constante.

kdx  k  dx  k  x  c   kx  c
Quando k = 1, temos:
 dxxc
Exemplo:
- Resolva as integrais:
a)
 3dx
b)

 dx
c)

5dx
2
d)

5dx
Solução:
a)  3dx  3 dx  3.( x  c)  3x  c
Observe que ao multiplicar -3 pela constante c encontramos outra constante (3.c). Como não sabemos o valor dessas constantes, no final da integração
colocamos sempre +c.
5
b)
 dxdx= -x+c
c)

c
 2
dx
2
2
d)

5
dx
5
5
x
5dx  5  dx  5 x  c
4.2) Integral da potência.
n

1
x
n
x
dx


cn


1

n

1
Nota: observe o que acontece com a integral da potência quando n = -1.

1

1
0
x
x

1
x
dx


c


c
(
impossível
)
.
 
1

1 0
Então, nesse caso, a regra de integração da função f(x) = x-1 é:
dx

Ln
x

c
xdx
x

1
Exemplo:
- Resolva as integrais:
a)

x 3 dx
b)
3 2
e)  b x db
f)

2x5dx
c)


4dx
3x 5
g)

5
dx
2x
3
d)
xdx
Solução:
3

1
4
x
x
3
x
dx


c


c
a) 
3

1
4
5

1
6
6
x
x
x
5
5

2
x
dx


2
x
dx


2
.

c


2
.

c



c
b) 
 5

1 6 3
c)
d)
5
5
dx
5
dx

.
Ln
x

c
2
x
x 2
2

b 31
b 2
x
b xdb  x  b db  x.
 c x.
c  2 c
 3 1
2
2b
3
3
3
x
b
x
dx

b
x
dx

b
. 
c
e) 

3
32
f)

3 2
3
4dx 4 5
4 x 4
x 4
1
  x dx  .
c  
  4 c
5
3
3 4
3
3x
3x
h)
b
3

xdb
dx
3
x2
6
g)
h)

3
1
3
3
4
3
x
x
33 x 4
x dx   x dx 
c
c
c
1
4
4
1
3
3
2
3
2
 1
3
1
x3
  2   x dx 
c 
 c  3.3 x  c
2
2
1
x
 1
x3
3
3
dx

1
1
3
dx
x
4.3) Integral da soma algébrica.
(
U

V

Z
)
dx

udx

Vdx

Zdz
,
onde
U
,
V
e
Z
são
funç
de
x
.




Exemplo:
- Resolva as integrais:
a)
 x3dx
t
2
t
t


dt
dx c)  x  xdx d) 
3
x4
b)  x 


t
4
2
3
3


Solução:
2
a)
x


x

3
dx

xdx

3
dx


3
x

c



2
x
3
x


x

3
x

4
dx

x
dx

3
xdx

4
dx



4
x

c
b) 



3
2
3 2
2
2
 
3
4 2
4
3
x
x x
2
x
x

x
dx

x
dx

x
dx



c



c
c) 
 4
3 4
3
2
3
3
1
2
4
3
4

32
t

2
t

t
t
3
2


dt

t

2
t

1
dt

t
dt

2
tdt

dt


t

t

c
d) 






t
4

 
4.4) Integral da função exponencial.

a x dx 
ax
c
Lna

e x dx 
ex
 c   e x dx  e x  c ( Lne  1).
Lne
7
Exemplo:
- Resolva as integrais:
a)

3 x dx
b)

x
 2
  dx
 3
c)

4.et dt
d)

3.eb
db
2
Solução:
a)
x
3
x
3
dx


c

Ln
3
x
b)
c)
d)

2
 
x
2
3 c
dx

 
2
3
Ln
 
3

4.et dt  4 et dt  4.

 3.e b
3
 3e b
 3e b
b
db 
e
db


c

c
2
2 
2 Lne
2
et
 c  4et  c
Lne
( Lne  1)
Exercício
- Em cada item abaixo, encontre a função primitiva:
a) f’(x)=2x – 4, sendo f(3) = 2
b) y’ = 6x2 – 4x + 2, sendo y(2) = -3
Solução:
a) f’(x) = 2x – 4, sendo f(3) = 2
f ( x)   f ' ( x)dx   2 x  4dx  x 2  4 x  c, log o :
f ( x)  x 2  4 x  c
Como f (3)  2, temos :
f ( x)  x 2  4 x  c  f (3)  32  4.3  c  3  c
 3  c  2  c  5, por tan to :
f ( x)  x 2  4 x  5
b) y’ = 6x2 – 4x + 2, sendo y(2) = -3


y   y ' dx   6 x 2  4 x  2 dx  2 x 3  2 x 2  2 x  c
Como y (2)  3, temos :
y  2 x 3  2 x 2  2 x  c  y (2)  2.23  2.22  2.2  c  y (2)  12  c
Como, y (2)  3, temos :
12  c  3  c  15
8
Substituindo c = -15 em y, temos a função primitiva y = 2x3 – 2x2 + 2x - 15.
Aplicação na Economia.
- Sabendo que q representa a quantidade produzida de determinado produto e
Rmg = -q2 + 20q – 2, Cmg = 4q – 3, Cf = 70 e Pmg = 4q3 + q, suas
respectivamente, funções Receita Marginal, Custo Marginal, Custo Fixo e
Produção Marginal. Determine as funções Receita, Custo e Produção.
Solução:
- Cálculo da Função Receia (Rt).
Como, a Função Receita Marginal (Rmg) representa a 1a derivada da
Função Receita (Rt), devemos integrar Rmg, para encontrar Rt.


Rt (q)   Rmg    q 2  20q  2 dq
Rt (q)  
q3
 10q 2  2q  c
3
Note que para determinar a constante de integração c, devemos lembrar
que quando q = 0 a Função receita torna-se nula.
3
q
2
R
(
q
)


10
q

2
q

c (q = 0  R = 0)
3
03
0    10  0 2  2  0  c  c  0
3
3
q
2
R
(
q
)



10
q

2
q
Logo, a Função Receita é
3
- Cálculo da Função Custo (Ct).


C
(
q
)

Cmg

4
q

3
dq


2
C
(
q
)

2
q

3
q

c
Note que para determinar a constante de integração c, verifica-se que quando
q = 0 temos C(0) = Cf = 70, logo:
C (q)  2q 2  3q  c
70  2  0 2  3  0  c  c  70
9
2
(
q
)
2
q

3
q

70
Portanto, a Função Custo é C
- Cálculo da Função Produção (Pt).


P(q)   Pmg   4q 3  q dq
P(q )  q 4 
q2
c
2
Quando q = 0 a Função Produção torna-se nula, logo,
q2
P(q)q4  c
2
2
0
004  c
c0
2
q2
4
P
(
q
)

q

Portanto, a Função Produção é
2
Aplicação na Física.
- Após determinado instante, a velocidade de um veículo (km/hora) é dada pela
função V(t)4t350t 20. Encontre a posição do veículo quando t = 10 h.
Ao estudar derivada observamos que a Função Velocidade está relacionada
com a derivada primeira da Função Espaço, então, para encontrar a Função
Espaço, tendo a Função Velocidade, devemos integrar a mesma da seguinte
maneira:
S   V (t )   4t  35dt
S  2t 2  35t  c  t  0, S  0, temos c  0
S  2t 2  35t
Para t = 10 h, temos:
S2t2 35
t
2
S(10
)2.10
35
.10
S(10
)550
km
Verifica-se que após 10 horas o veículo percorreu 550 km.
10
APLICAÇÃO – 1
1) Calcule a função primitiva em cada caso:
1.1) f’(x) = 2x – 5, sendo f(3) = -14
1.2) f’(x) = 2x2 + 2x – 3, sendo f(-2) = 2
1.3) f’(x) = 3. x , sendo f(4) = 12
1.4) f’(x) =
2
, sendo f(e3) = 8
x
2) Resolva as integrais indefinidas:
2.1)  3dx
2.2)
2.4)

2.7)
 x dx
2.10)
  5dx
2.5)  6 xdx
3dx
3
2.8)
3dx
 x2
 4 x dx
5
2.11)

3
x 2 dx
x t
2.3)

dx
7
2.6)

x
dx
4
2.9)
x
2.12)
dx

4
2dx
x
2
2.13)  b xdb
2.14)
2.16) (34x)dx
2
3
2
x3
)dx 2.18) 
(
x

3
x

2
x

7
)
dx
2.17) (x 4
2.19) (bax)dx
3
2


x

3
x

2
x

7


dx
2.20) 
2.21)


x


2 0,333
...
dt
2.15) (2x5)dx
x22

x
3
dx 2.24)
(
x
2
x x
)
dx
2.22) 
2.23) 
 x
3 


3
2 3
1
2
2.25)
x3 dx
3
5x
2.28)  2 dx
2.26)  5 dx
x
2 x
2.29)  3 dx

x(x1)dx
3x2 dx
2
x
 3
2.27)    dx
 5
t3
3
t2
4
t


dt
2.30) 

t


Até esse momento, trabalhamos com funções simples, agora,
utilizaremos as regras de integral vista acima, em funções compostas,
onde foram analisadas quando do estudo de Derivadas (Regra da Cadeia).
11
Para resolvermos esse tipo de integral, utilizaremos o método de
substituição (mudança de variável), por ser um caminho que facilitará a
resolução de integrais pertencentes a uma extensa categoria de funções.
A fim de entendermos esse método, vamos resolver alguns exemplos:
1o)
4x2 dx.
5
Um caminho para determinar essa integral seria o desenvolvimento da
potência 4x  2 e, em seguida, integrar um por um dos termos. Para evitar
5
esse trabalho, vejamos se é possível resolver
4x2 dx, pelo método da
5
substituição.
4x2 dx
5
1- Chama-se de u a base da potência (4x – 2).
2- Calcula-se du/dx.
3- Isola-se dx (diferencial).
u
4
x
2


du
du

5

4

dx

 
4x2dx
dx
4

n
5


Agora, faz-se a mudança de variável.
 4 x  2 dx   u
5
n
du 1 n
  u du
4
4
Observa-se que a integral
 4 x  2 dx , transformou-se na integral simples
5
1 n
u du , logo, podemos aplicar a fórmula da potência vista anteriormente, e
4
em seguida, voltar para a variável x.
n
u
4 x  2  c
du 1 n
1 u n 1
1 4 x  2
  u du  .
c  .
c 
4 4
4 n 1
4
6
24
6
6
Para confirmar se o resultado encontrado está correto, devemos verificar
se a derivada do resultado encontrado é igual ao integrante da integral.
6
5
5










d
4
x

2
6
4
x

2
.
4
x

2
'6
.
4
x

2
.
4 5



c



4
x

2


dx
24
24
24


12
A resposta está correta, pois, o resultado encontrado é o integrante de
4x2 dx.
5
2o)
2
2
5x
5x
dx .
dx
Aplica-se a mesma técnica do exemplo anterior.
u5
x

du
du

5x

dx

 5
2 dx
5
dx
a2


u
5
x
5
x
du
1
a
1
2
2
5
x
u
u1
2
dx

a

a
du

.

c

.

c
ou

c

5
5
5
Lna
5
Ln
2Ln
32
3o)


2
4xx 3 dx
4
2

u
x

3

4
du
du

2

2
x

dx

 
4xx3dx
dx
2
x

n

4




 
5
5
n

1
2
2
du

3
2
x

3
n ux
4
x
x

3
dx

4
x
.
u

2
u
du

2
.

c

2
.

c


c



2
x
n

15 5

4
2
4o)

3
n
3x2dx

u

3
x

2

1
du
du

3
3
x

2
dx

x

2
3

dx

 
3
3
dx
3

1

n

 3
n

1
3

3
x

2
3

du
1
u
1
3
x

2
n1

3
x

2

u

u
du

.

c

.

c


c
 

4
3
33
n

1
3
4
3
4
1 n
3
4
13
APLICAÇÃO – 2
- Encontre o resultado de cada integral indefinida abaixo:
 2x dx
2)
3x4 dx
3)
47x dx
5)

6)
x5
dx
8)

q2 q34 dq
10) 3

11)
 4x 
dx
13) 
3 2

2
x

7


 3x2 
dx
14) 
3
3
2

x


 5 
dx
15) 
3x4
 2x 
dx
16)  2
x 4
 a2 
17) 
1a2x
dx


1 x

18) 
 x dx


3
14)

7)
2x 1
2bxdx
4x
5
2

5

5
32x dx
x
3x
2
dx
4
3
4

9)
dx
ab2x dx
q2
dq12) q 12q
1
q
q
2
4

 2 x3
3
a2 4

dx

da
19) 
20)  3


x
a

4
a




2
21)
dq
a . 23ada
n

1
n
 e 
22) 
12ex 
dx






 x  4 dx
23)   2

x
 4x 

 2

 2ab
da
24) 
a2 
ba
 2x 
dx
25) 
2
12x 
 5
e5x 

dx
26) 
5x 4 
12e 
27)
x
28)
5 x

3
3
3
2
x


).
ex4xdx 30)
29) (2x
2
dx
e
dx
x2.Lnx
x .
2
x 3  2 dx
14
4.5) Integral de Funções trigonométricas.
4.5.1) Função Seno.
sen
u
du


cos
u
c

Exemplo:
- Resolva as integrais:
a)
4senx dx


2
3
x
.sen
6
x

5dx
b) 
Solução:
a)



4
sen
x
dx


4
senxdx


4

cos
x

c

4
cos
x

c




2
3
x
.sen
6
x

5dx
b) 
u  6 x 2  5

2
 3xsen 6 x  5 dx   du  12 x  dx  du

12 x
 dx
du 1
1
1
2
2
 3xsen 6 x  5 dx   3xsen(u) 12 x  4  sen(u)du   4 cos(u)  c   4 cos 6 x  5  c






4.5.2) Função Cosseno.
u
du

sen
u
c
cos
Exemplo:
- Resolva as integrais:
a)

cosx
dx
5
b)
x2dx
x.cos
2
3
Solução:
cos
x 1
1
a)

cos
xdx

.
senx

c
5dx

5
5
b)
x2dx
x.cos
2
3
3

u

x

2

2
3
x
.
cos
x

2
dx


du
du

2
3
x

dx


2
dx
3
x

du
1
1
1 3
2
3
2
x
.
cos
x

2
dx

x
cos
u2

cos
udu

senu

c

sen
x

2

c



3
3
3
x3
 
 
 
15
4.5.3) Função Tangente.
tg
u
du


Ln
cos
u

c
ou
Ln
sec
u

c

Exemplo:
- Resolva as integrais:
a)
tgx
 2
dx
b) tg42x dx
Solução:
a)

Ln cos x
tgx
1
1
dx    tgxdx   . Ln cos x   c 
c
2
2
2
2
b) tg42x dx
u

4

2
x




tg
4

2
x
dx

du
du




2

dx


dx

2

du
1
1
1




tg
4

2
x
dx

tgu


tgudu

Ln
cos
u

c

Ln
cos
4

2
x

c




22
2
2
4.5.4) Função Cotangente.
cot
g
u
du

Ln
sen
u

c
ou

Ln
cos
sec
u

c

Exemplo:
- Resolva as integrais:
a)

cotgx
2
g 6x dx
b) cot
dx
Solução:
cot
gx
1
1
a)
dx

cot
gxdx

Ln
senx

c
2

2
2
b)
g 6x dx
cot
u

6
x



cot
g
6
x
dx

du du



6

dx


dx
6

du
1
1

1


cot
g
6
x
dx

cot
gu

cot
gudu

Ln
senu

c

Ln
sen
6
x

c




6
6
6

6
16
4.5.5) Função secante.
sec
u
du

Ln
sec
u

tg
u

c

Exemplo:
- Resolva as integrais:
a)
2x
  dx
b) sec
 3
7sec
x
dx
2

Solução:
a)
7sec
x
dx
2

7
sec
x 7
7
dx

sec
xdx

Ln
sec
x

tgx

c


2 2
2
2x
  dx
b) sec
 3
2x

u


 2x 
3
 sec  3  dx   du 2
   dx  3du
 dx 3
2
 sec
3
 2x 
 3du  3
  dx   sec u 
   sec udu  Ln sec u  tgu  c
2
 3 
 2  2
 sec
2
 2x 
 2x 
 2x 
  dx  Ln sec   tg    c
3
 3 
 3 
 3 
4.5.6) Função cossecante.
cos
sec
u
du

Ln
cos
sec
u

cot
g
u

c

Exemplo:
- Resolva as integrais:
a)


6
cos
sec
x
dx
5
xcos
sec
x2 dx
b) 5

Solução:
a)

6
cos
sec
x
dx
5


6
cos
sec
x6
6
dx


cos
sec
xdx


Ln
cos
sec
x

cot
g
x

c


5
5
5
17
x2dx
xcos
sec
b) 5
4

u

1

x

4
xcos
sec
1

x dx


du
du

2
x

dx


dx
2
x

dx
5
5
2
5
x
cos
sec
x
dx

5
x
cos
sec
u 
cos
sec
udu
Ln
cos
sec
u

cot
gu

c



2
x2
2
5
2
2
Ln
cos
sec
x

cot
gx

c
2
 
3
4
2
sec
udu

tg
u

c
4.5.7) 
Exemplo:
- Resolva a integral abaixo:
3x dx
2x.sec
2
2
Solução:
2

u

3
x

2 2
2
x
.
sec
3
x
dx


du
du

6
x

dx


dx
6
x

1 2 1
1 2
2 2
2 dx
2
x
.
sec
3
x
dx

2
sec
u
. 
sec
u
du

tgu

c

tg
3
x
c



6
x3
3
3


4.5.8)

cos
sec
u
du


cot
g
u

c

2
Exemplo:
- Resolva a integral abaixo:
36
dx
sec
x
cos
2
Solução:
u
3

6
x


36
dx
sec
x

du
du

cos


6

dx



dx
6

 1
2
2  dx
2
36
dx
sec
x

sec
u
. 
 cos
sec
u
du

cos
cos
 6 6
1
1
2
 cot
gu

c cot
g3
x

c
6
6
2
 
18
sec
u
tg
u
du

sec
u

c
4.5.9) 
Exemplo:
- Resolva a integral abaixo:



x
sec
4
x
3
.
tg
4
x
3
dx

2
2
Solução:
u  4 x 2  3

2
2
 x sec 4 x  3 .tg 4 x  3 dx   du  8x  dx  du

8x
 dx
1
 du  1
2
2
 x sec 4 x  3 .tg 4 x  3 dx   x sec u.tgu 8x   8  sec u.tgu.du  8 sec u  c 
1
 sec( 4 x 2  3)  c
8

 


 

cos
sec
u
cot
g
u
du


cos
sec
u

c
4.5.10) 
Exemplo:
- Resolva a integral abaixo:


5
x
cos
sec
x.
cot
g
xdx

2
3
3
Solução:
u  x 3

2
3
3
 5x cos sec x .cot g x dx   du  3x 2  dx  du

3x 2
 dx
 du  5
2
3
3
2
 5x cos sec x .cot g x dx   5x cos sec u.cot gu 3x 2   3  cos sec u. cot gu.du 
5
5
  cos sec u  c   cos sec x 3  c
3
3
 
 
 
 
APLICAÇÃO - 3
- Resolva as integrais indefinidas:
3x 4dx
xsen
1)
sen4xdx
2)
7x3dx
sen
4)
3xcos
xdx
sen
5)

7)
25xdx
cos
8)
cos
5
sen
5
dx
6
3
x

x
dx9) 
cos
x
x
x
4
sen x
x
3)
2
2
x3dx
6) 6x sen
dx
2
3
19
85x2dx
11) xtg
10) tg5xdx
2x
sen
13)
dx
 2cos
2x
14)

5x
cos
dx
5x
sen
12)
tgx
cos xdx
2
gx
.sena
cot

da
15) 
x 
 cos
05- INTEGRAÇÃO POR PARTES.
Existem algumas integrais que não conseguimos resolver utilizando qualquer
método até agora visto. Então, para resolver essas integrais devemos utilizar
um novo método denominado Integração por Partes.
Fórmula da Integração por Partes:
Seja f(x).g(x) o produto de duas funções.
Aplicando a derivada nesse produto, encontramos:
[f(x).g(x)]’= f(x).g’(x) + g(x).f’(x)
Tirando o valor de f(x).g’(x) temos:
f(x).g’(x) = [f(x).g’(x)]’ - g(x).f’(x)
Integrando ambos os membros da igualdade obtemos:
 f(x).g’(x)dx = [f(x).g’(x)]’ -  g(x).f’(x)dx
 f(x).g’(x)dx = f(x).g’(x) -  g(x).f’(x)dx  fórmula de integração por partes.
Exemplo:
- Calcular as integrais:
01)
 x.senx
dx
02)
 Ln
x dx
03)
 x. cos sec
Solução:
01)
 x.senx
dx
 f(x).g’(x)dx = f(x).g’(x) -  g(x).f’(x)dx
 x.senx dx

 f ( x)  x  f ' ( x)  1

 g ' ( x)  senx  g ( x)   cos x int egrando 
2
x dx
20
 f(x).g’(x)dx = f(x).g’(x) -  g(x).f’(x)dx
 x.senx
 x.senx
 x.senx
02)
dx   x. cos x    cos x.1dx
dx   x. cos x   cos xdx
dx   x. cos x  sex  c
 Ln
x dx
 f(x).g’(x)dx = f(x).g’(x) -  g(x).f’(x)dx
 Lnx dx
1

 f ( x)  Lnx  f ' ( x) 
x

 g ' ( x)  dx  g ( x)  x int egrando 


 f(x).g’(x)dx = f(x).g’(x) -  g(x).f’(x)dx
1
 Lnx dx  x.Lnx   x. x dx
 Lnx dx  x.Lnx   dx
 Lnx dx  x.Lnx  x  c
 Lnx dx  x.Lnx  1  c
ou
 Lnx dx  x.Lnx  Lne  c
 x
 Lnx dx  x..Ln e   c
03)
 x. cos sec
2
x dx
 f(x).g’(x)dx = f(x).g’(x) -  g(x).f’(x)dx
2
 x. cos sec x dx

 f ( x)  x  f ' ( x)  1

2
 g ' ( x)  cos sec x  g ( x)   cot gx int egrando 
 f(x).g’(x)dx = f(x).g’(x) -  g(x).f’(x)dx
 x. cos sec
 x. cos sec
 x. cos sec
 x. cos sec
2
2
2
2
x dx   x. cot gx    cot gxdx
x dx   x. cot gx    cot gxdx
x dx   x. cot gx   cot gxdx
x dx   x. cot gx  Ln senx  c
21
10- INTEGRAL DEFINIDA
10.1- Introdução.
Durante nossos estudos sobre integral Indefinida, aprendemos a calcular
vários tipos de integrais, utilizando para isso alguns métodos de resolução.
Esses métodos são também utilizados para calcular a Integral Definida.
Essas integrais, que são definidas num intervalo [a, b], facilitam os cálculos das
áreas e dos volumes das figuras geométricas.
10.2- Cálculo de uma Integral Definida.
- Seja a função y = f(x).
- Determinando a diferencial, temos:
dy
 f ' ( x)
dx
dy  f ' ( x)dx
- Calculando a Integral Definida num intervalo [a, b], encontramos:
b
y   f ' ( x)dx
a
y   f ( x)a
b
Agora, devemos substituir a variável independente x, primeiramente pelo
limite superior (b), depois, pelo limite inferior (a), em seguida subtrair os
resultados encontrados.
y = f(b) – f(a)
Exemplo:
- Encontrar os resultados das seguintes integrais definidas:
2
01)

03)

05)
x 2 dx
1

sen 3x dx
02)
 x
3
 1 dx
04)
 x
2
 x  2 dx
2
 3x  1 dx
1
4
1
06)
Solução:
01)

2
1
x 2 dx
2

2
1
 x 3   2 3 13  8 1 7
x dx          
 3 1  3 3  3 3 3
2
1
0
3
1


0


 x
cos dx
2
22
02)
0
3
0

 1 dx
1
 x4
  1   04
 5
x  1 dx    x     1    0  
4
0  4   4
 4

1
 x
1

3

u ( )  3


u  3x      3



u 2   2
03)  sen 3x dx  
  
2

dx  du

3


3
2
sen3x dx  3
04)
 x
3
1
2
senu.
2
du
1
1
 3
3
  cos u 3   cos3   cos
2
3
3
3
 2
 1
 
 3

 x  2 dx

 x3 x 2

 33 3 2
   13  12

  
x

x

2
dx



2
x



2
.
3

 2. 1 
3

1

2
2

 1  3 2
  3

9   1 1

  30  9    2  3  12  21 17 80 40
 15       2   


  
2  3 2
6
6
3

  2  
 2 6
3

05)
3

2
 3x  1 dx
1

4
1

u (1)  2
u  3x  1  

u (1)  4

du

dx  3
5
du 1 2 4
1 u 5 
1  2 5  4  352
1 3x  1 dx  4 u . 3  3 4u du  3  5   3  5  5   5  70,4
4
2
1
4
06)


0


0
 x
cos dx
2
2
4




u  x  u    2


2

u 0  0

dx  2du


  

 x
cos dx   2 cos u.2du  2.senu o2  2 sen   sen0  2.1  2
0
2
 2

23
APLICAÇÃO
- Resolva as integrais definidas:
4
 x dx
 x  1dx
02)
3, 5

0,5
1  2x
 x  4 dx
3
1
4dx

05)

 3x  4 dx
4x  2
1
1
3x  1 dx
0
e2
2
xdx
08)  2
1 x 4

06)
09)

e
dx
x


2
10)
2
0
2
dx
1
07)
03)
1
1
04)
 x
1
1
2
01)
 senx dx

11)  cos x dx
0
3
 tgx dx
12)

0
4


2
13)
 cot gx dx


14)  sec x dx
0
3
2
15)
 cos sec x dx

3
CÁLCULO DE ÁREAS
Seja a função y = f(x) que representa uma curva.
Para calculamos a área limitada por essa curva, pelo eixo dos x e pelos
os pontos P(a, c) e Q(b, d), devemos encontrar a integral definida dessa função
no intervalo [a,b], da seguinte maneira:
b
S   f ( x)d x  [ F ( x)]ba  F (b)  F (a)
a
24
Exemplo:
1) Resolver os seguintes problemas:
1.1) Calcular a área limitada pela curva f(x) = x2 – 5x + 4 e pelos pontos x = 2 e
x= 3.
y = x2 – 5x + 4
3
2
2
S
3
 x 3 5x 2
  33 5.32
  2 3 5.2 2

13
x  5x  4 d x   
 4 x    
 4.3    
 4.2   
2
2
2
6
3
2  3
  3

 f ( x)d x   
3

2

13 13
1
  2 u.a. unidade de área
6
6
6

Nota: o sinal negativo significa que a área da figura encontra-se abaixo do eixo-x.
02) Encontrar a área limitada pela parábola y = x2 e pelas retas x = -3 e x = -1.
 x3 
 13   33   1  27  26  8 2 u.a.
S   f ( x)d x   x d x    
3
3
3 3
3
3
 3  3
3
3
.
1
1
1
2
03) Calcular a área limitada pela curva f(x) = x2 – 4 e pelo eixo dos x.
Inicialmente, determina-se as raízes da função, em seguida, calcula-se a
integral definida no intervalo [x’, x”].
25
y
1

1
f ( x)d x 
3
 x
2
3
1
 x3

 32
 4 d x    4 x 
3
3
 3

 S
 32 32
 u.a..
3
3
.
04) Determinar a área limitada pela curva f(x) = x3, eixo dos x e pelas retas x =
-2 e x = 4.
0
 x4 
S1   x d x     4  S1   4  4u.a.
 4  2
2
0
3
4
 x4 
S 2   x d x     64
 4 0
2
0
3
S t  S1  S 2  4  64  68 u.a.
05) Calcular a área limitada pela curva y2 = 2x, eixo dos y e pelas retas y=2 e y
=3.
y 2  2x x 
y2
2
3
 y3 
 3 3 2 3  19
y2
S
d y         u.a.
2
6  6
 6 2  6
2
.
3
26
SÍNTESE DA UNIDADE
Nesta unidade, você verificou que a Integral e a Diferencial são funções
inversas. Aprendeu a resolver exercícios utilizando as regras de Integral
Indefinida. Conceituou Integral Definida. Aprendeu a utilizar Integral Definida na
resolução de exercícios e problemas práticos.
Prezado aluno, esse aprendizado que absorveu sobre Cálculo Integral,
tem como obletivo mostrar os caminhos para resolução de problemas práticos
vinculados a diversas atividades do dia-a-dia, como determinação do valor de
áreas e volumes.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado aluno, chegamos ao final do aprendizado da disciplina Cálculo
Diferencial e Integral. Esperamos que nossos objetivos tenham sidos
alcançados por você. É importante lembrar que os assuntos abordados nesse
trabalho serão de extraordinária ajuda tanto para sua formação acadêmica,
como para continuidade do seu curso.
Abraço fraterno,
Anicio Bechara Arero
27
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
BARANENKOV, G E DEMITOVITH, B. Problemas e Exercícios de Análise
Matemática. Moscou: Mir, 1978.
GRANVILLE, W. A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro:
Científica, 1954.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. V.2. Rio de Janeiro: LTC,
2008.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COMPLEMENTARES:
IEZZI, Gelson ET AL. Fundamento da matemática elemntar. São Paulo: Atual,
1993, 10v.
LEITHOLD, Loui. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 2000.
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