Coelhos e Lotarias - Gazeta de matemática
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Coelhos e Lotarias ANTÓNIO PEREIRA ROSA ESCOLA SECUNDÁRIA MARIA AMÁLIA VAZ DE CARVALHO [email protected] 16 GAZETA DE MATEMÁTICA r174 1. INTRODUÇÃO lacionado com um conhecido problema de lotarias, a saber, 1XPFRQKHFLGROLYURGHSUHSDUDomRSDUDRH[DPHQDFLRQDO TXDODSUREDELOLGDGHGHQXPFRQFXUVRGRJpQHURGR7RWROR- GH0DWHPiWLFD$GRDQRGHHVFRODULGDGH>@SiJLQD to com bolas numeradas de 1 a nVDtUHPGRLVQ~PHURVFRQVH- PDU´3UREOHPDGRVFRHOKRVµ JHPVXJHULGDHP>@HGHVHQYROYLGDHP>@H>@SDUHFHQRV H[HUFtFLR VXUJH R VHJXLQWH SUREOHPD D TXH YDPRV FKD- “Numa coelheira há 20 coelhos sendo 5 brancos e 15 pretos. Abre-se a porta da coelheira e deixa-se sair os coelhos um a um. Qual a probabilidade de que saiam, pelo menos, 2 coelhos brancos seguidos?” FXWLYRVTXDQGRVHID]XPDH[WUDomRGHm bolas. Esta aborda- PDLVLQWHUHVVDQWHHLQVWUXWLYDGRTXHDVLPSOHVUHVROXomRGR SUREOHPDGRVFRHOKRVSRUPHLRGRVSURFHVVRVTXHLQGLFDPRV QDSUy[LPDVHFomR 2. RESOLUÇÕES DIRETAS DO PROBLEMA 2OLYURHPFDXVDDSUHVHQWDDSHQDVDUHVSRVWDDHVWHSUR- EOHPDVHPGDUTXDOTXHULQGLFDomRVREUHRSURFHV- so seguido para a obter 6HWHQWDUPRVUHVROYHUHVWHSUREOHPD 1 SHORVPpWRGRVXVXDLVQRDQRFiOFXORGDSUREDELOLGDGH GRDFRQWHFLPHQWRFRQWUiULRHDSOLFDomRGD5HJUDGH/DSODFH YHULÀFDPRVUDSLGDPHQWHTXHDSDUWHGLItFLOpDGHWHUPLQDomR GRQ~PHURGHVHTXrQFLDVGHFRHOKRVEUDQFRVHSUHWRV TXH nãoWrPGRLVFRHOKRVEUDQFRVVHJXLGRV Este tipo de problema de contagem surge com alguma freTXrQFLDQDOLWHUDWXUDYHMDVHSRUH[HPSOR>@RX>@HPTXH VHSHUJXQWDTXDORQ~PHURGHVHTXrQFLDVELQiULDV , de com2 primento n, com m]HURVHPTXHQXQFDÀJXUDPGRLV]HURV DOS COELHOS $SUHVHQWDPRV HP VHJXLGD XPD VROXomR HOHPHQWDU SDUD R SUREOHPD GRV FRHOKRV TXH HQFRQWUiPRV HP >@ 3HQVDQGR HPWHUPRVGHVHTXrQFLDVGHFRHOKRVEUDQFRV%HSUHWRV3 YDPRVFDOFXODUDSUREDELOLGDGHGRDFRQWHFLPHQWRFRQWUiULR LVWR p D SUREDELOLGDGH GH QXQFD VXUJLUHP GRLV % VHJXLGRV 3DUDTXHQmRVXUMDPGRLV%FRQVHFXWLYRVWHPGHKDYHUSHOR PHQRV XP 3 D VHSDUiORV FRPR DFRQWHFH SRU H[HPSOR QD VHTXrQFLDVHJXLQWH «%3%33%3%3« 0DLVSUHFLVDPHQWHDVHJXLUDFDGDXPGRVTXDWURSULPHLURV FRHOKRV % WHUi GH VDLU REULJDWRULDPHQWH XP FRHOKR 3 SHOR FRQVHFXWLYRVRXDLQGD>@SiJLQD TXH RV FRHOKRV EUDQFRV DSHQDV SRGHP RFXSDU SRVLo}HV EOHPD H PRVWUDUHPRV WDPEpP TXH HOH HVWi GLUHWDPHQWH UH- YDGR7HRUHPD3RULVVRHVWHVFRHOKRVSRGHPVHUGLVSRV- 6HJXLGDPHQWHYDPRVDSUHVHQWDUVROXo}HVSDUDHVWHSUR- XPDPRWLYDomRSDUDHVWHIDFWRpGDGDPDLVjIUHQWHQDSUR- tos de 16 A5 PDQHLUDVGLVWLQWDV$OpPGLVVRFRPRRVFRHOKRV SUHWRVSRGHPSHUPXWDUHQWUHVLGHPDQHLUDVFRQFOXtPRV TXHRQ~PHURGHFDVRVIDYRUiYHLVD´QmRVDtUHPGRLVFRHOKRV EUDQFRVFRQVHFXWLYRVµp 16 A5 × 15!'DGRTXHRVFRHOKRV SRGHPSHUPXWDUHQWUHVLGHPDQHLUDVGLVWLQWDVDSURED- bilidade de não VDtUHP GRLV FRHOKRV EUDQFRV VHJXLGRV p GH U m problema de cálculo FRPELQDWyULRHSUREDELOLGDGHV QRDQROHYDQRVjVORWDULDV DRVQ~PHURVGH)LERQDFFLH FODURDRWULkQJXORGH3DVFDO 16 A 5 × 15!/20! = 91/323 H D UHVSRVWD DR SUREOHPD LQLFLDO p 1 − 91/323 = 232/323. 2EVHUYHVHTXHVHGLYLGLUPRVDPERVRVWHUPRVGDIUDomR 16 A 5 × 15!/20! por 15! × 5!, a probabilidade pode ser escrita na forma 16 C5 /20 C5TXHVXJHUHXPDIyUPXODJHUDOSDUDHVWH WLSRGHTXHVW}HV2PHVPRVXFHGHFRPRSUREOHPDGHFRQ- 1 No mesmo livro (página 178) surge um outro problema semelhante a este, referente à disposição de livros numa prateleira de uma estante, apresentando-se de novo apenas a solução 11/13. 2 Sequências de zeros e uns. COELHOS E LOTARIAS rAntónio Pereira Rosa 17 WDJHPUHIHULGRQDVHFomRVHKRXYHUm]HURVQXPDVHTXrQ- cia binária de comprimento n D FRQVLGHUDomR GD H[SUHVVmR n−m+1 C /n C EHP FRPR R IDFWR EHP FRQKHFLGR GH KDYHU m m n C VXFHVV}HVELQiULDVGHVWHWLSRVXJHUHTXHKiH[DWDPHQWH m n−m+1 C VHTXrQFLDV VHP ]HURV FRQVHFXWLYRV 9DPRV DJRUD m SURYDUDFRUUHomRGHVVDH[SUHVVmR Teorema 1: Há n−m+1 C VXFHVV}HVELQiULDVGHFRPSULPHQm 3HQVDQGRQR7RWRORWRSRUWXJXrVpLPHGLDWRTXHRQ~PH- UR GH FKDYHV SRVVtYHLV p 49 C6 = 13983816 UHVWD VDEHU TXDO RQ~PHURGHFDVRVIDYRUiYHLVDRDFRQWHFLPHQWR´VDLUFKDYH VHPQ~PHURVFRQVHFXWLYRVµ&RQVLGHUHPRVXPDFKDYHRUGHQDGDFRPHVVDSURSULHGDGHSRUH[HPSOR HWLUHPRVUHVSHWLYDPHQWHHDFDGDXPGRVVHXV WHUPRV2EWHPRVDQRYDVHTXrQFLD H to n, compreendendo m zeros (e, logo, n − m uns) sem zeros FRQVHFXWLYRV 2VVHXVWHUPRVHVWmRFHUWDPHQWHHQWUHHMiTXHVXE- Demonstração: &RPHFHPRVSRUHVFUHYHURVn − mVtPERORV WUDtPRVQ~PHURVHQWUHHDQ~PHURVHQWUHHSRURXWUR SDoRVHQWUHRVVtPERORV´µLQFOXLQGRRHVSDoRDQWHVGRSUL- YRVQDVHJXQGDRVWHUPRVVmRWRGRVGLVWLQWRV6HUHSDUDUPRV HYDPRVHVFROKHUmGHOHVSDUDFRORFDURVVtPERORV´µRTXH GH VHLV Q~PHURV QDWXUDLV HQWUH H H OKH VRPDUPRV GD ´µ«'HSRLVFRORTXHPRVRVmVtPERORV´µQRVHV- PHLUR´µHRHVSDoRGHSRLVGR~OWLPR+in − m + 1HVSDoRV SRGHVHUIHLWRH[DWDPHQWHGH n−m+1 Cm maneiras, concluindo (VWiDVVLPUHVROYLGRRSUREOHPDGRVFRHOKRVDSUREDELOL- GDGHGHQmRVDtUHPGRLVFRHOKRVEUDQFRVVHJXLGRVp =16 TXHRSURFHVVRpUHYHUVtYHOLVWRpTXHGDGDXPDVHTXrQFLD PDQHLUDGHVFULWDRVQ~PHURVHREWHPRVFHUWDPHQWH XPD VHTXrQFLD GH VHLV Q~PHURV QDWXUDLV QmR FRQVH- VHDVVLPDGHPRQVWUDomR 20−5+1 C /20 C 5 5 ODGRFRPRQDSULPHLUDVHTXrQFLDQmRKiQ~PHURVFRQVHFXWL- C5 /20 C5 . 3UREOHPDV GHVWH JpQHUR IRUDP DERUGDGRV SHOD SULPHLUD FXWLYRV H HQWUH H FRQFOXtPRV TXH H[LVWH XPD ELMHFomR entre o conjunto A GDV VHTXrQFLDV RUGHQDGDV GH VHLV Q~- PHURV QDWXUDLV HQWUH H H R FRQMXQWR B GDV VHTXrQFLDV RUGHQDGDV GH VHLV Q~PHURV QDWXUDLV QmR FRQVHFXWLYRV HQ- WUH H $VVLP Card( A) = Card( B) H FRPR REYLDPHQWH YH]SRU$EUDKDPGH0RLYUH3QRVpFXOR;9,,,YHMDVH>@QR Card( A) =44 C6 YHPTXH Card( B) =44 C6 e a probabilidade PRVWURXTXHDVXDVROXomRSRGHVHUREWLGDGLUHFWDPHQWHSRU 8P SRXFR PDLV IRUPDOPHQWH YDPRV SURYDU R VHJXLQWH VpFXOR ;,; R PDWHPiWLFR LQJOrV :LOOLDP $OOHQ :KLWZRUWK4 PHLRGRFiOFXORGRVFRHÀFLHQWHVGHFHUWRVSROLQyPLRVROHLWRU LQWHUHVVDGRSRGHFRQVXOWDU>@SiJLQDSURSRVLomR/,, pGH 44 C6 /49 C6 ≈ 0, 5048. teorema: Teorema 2: 6HMDPn ≥ 1 e m ≥ 0GRLVQ~PHURVLQWHLURV6HMDP 3. O PROBLEMA DA LOTARIA &RQVLGHUHPRVXPDORWDULDHPTXHGHXPDXUQDFRQWHQGRn bolas, numeradas de 1 a nVHH[WUDHPVHPUHSRVLomRm bolas , e não há em X núPHURVFRQVHFXWLYRV n = { X ⊆ {1, 2, ...n + 1 − m } : Card ( X ) = m } Gm . SRUH[HPSORQRQRVVR7RWRORWRn = 49 e m = 63UHWHQGHVH (QWmRHVWHVGRLVFRQMXQWRVWrPRPHVPRQ~PHURGHHOHPHQWRV YRVRXPDLVJHUDOPHQWHDSUREDELOLGDGHGHDGLIHUHQoDPt- Demonstração:%DVWDFRQVWUXLUXPDELMHFomRHQWUHRVGRLV VDEHUTXDODSUREDELOLGDGHGHQmRVDtUHPQ~PHURVFRQVHFXWL- QLPDHQWUHTXDLVTXHUGRLVQ~PHURVVDtGRVVHULJXDOD k > 0 D QmR H[LVWrQFLD GH Q~PHURV FRQVHFXWLYRV FRUUHVSRQGH D k = 2+iPXLWDVPDQHLUDVGHUHVROYHUHVWHSUREOHPDDUHIH- conjuntos. 6HMD { a1 , . . . , am } ∈ Fmn SRGHPRV GHVGH Mi VXSRU TXH ai < ai+1 para cada i ∈ {1, . . . , m − 1}.3RQGRbk = ak + 1 − k , UrQFLD>@DSUHVHQWDTXDWURSURFHVVRVGLVWLQWRV(VFROKHPRV YHP TXH 1 ≤ b1 < b2 < . . . < bn ≤ n + 1 − m &RP HIHLWR p sante. Tal como sucede com o problema dos coelhos, a parte bm = am − m + 1 ≤ n − m + 1 = n + 1 − m; DVHJXQGDGDVVROXo}HVGH>@TXHpSDUWLFXODUPHQWHLQWHUHV- GLItFLO p D GHWHUPLQDomR GR Q~PHUR GH FDVRV IDYRUiYHLV DR DFRQWHFLPHQWR´QmRVDtUHPQ~PHURVFRQVHFXWLYRVµRQ~PHURGHFDVRVSRVVtYHLVpVLPSOHVPHQWH n Cm . 18 GAZETA DE MATEMÁTICA r174 yEYLRTXHb1 ≥ 1 e TXDQWRDRUHVWRFRPRai+1 − ai ≥ 2 YHPTXH bi + 1 − bi = a i + 1 − a i − 1 ≥ 1 e portanto, bi+1 > bi . 3RGHPRVHQWmRHVWDEHOHFHUDELMHFomRSUHWHQGLGDDVVRFLDQdo a cada { a1 , . . . , am } ∈ Fmn (supondo os elementos de A es- critos por ordem crescente) o conjunto B = {b1 , . . . , bm }, com bk = ak + 1 − k GR TXH IRL GLWR DQWHULRUPHQWH UHVXOWD TXH n 5HVWDQRVSURYDUDLQMHWLYLGDGHHDVREUHMHWLYLGDGH B ∈ Gm 4XDQWRjLQMHWLYLGDGHVHGRLVVXEFRQMXQWRVGH Fmn , digamos { a1 , . . . , am } e { a1∗ , . . . , a∗m }WLYHVVHPDPHVPDLPDJHPYLULD TXH ak + 1 − k = a∗k + 1 − k para cada k ∈ {1, . . . , m} e, portanto, ak = a∗k para todo o k ∈ {1, . . . , m}3DUDYHULÀFDUDVRn , basta considerar EUHMHWLYLGDGH GDGR B = {b1 , . . . , bm } ∈ Gm os elementos a1 , . . . , am GHÀQLGRV SRU ak = bk + k − 1 para cada k ∈ {1, . . . , m}SDUDVHFRQFOXLUTXH UDGDVGHD6HFRQVLGHUDPRVDVSUREDELOLGDGHVDQWHULRU- PHQWHFDOFXODGDVYHULÀFDPRVTXHRMRJRpIDYRUiYHOjEDQFD PDVSRUPXLWRSRXFRVHDDSRVWDIRUGHHXURDHVSHUDQoD GHOXFURGDEDQFDp(= 1 × 0, 5048 − 1 × (1 − 0, 5048)), OLJHLUDPHQWHLQIHULRUDXPFrQWLPRSRUFDGDHXURDSRVWDGR $SUHVHQWDPRV HP VHJXLGD XPD JHQHUDOL]DomR GR 7HRUH- ma 2. Teorema 3: O número de maneiras distintas f k (m, n) de es- colher m números em {1, 2, . . . , n}WDLVTXHDPHQRUGDVGLVWkQFLDVHQWUHGRLVTXDLVTXHUGHOHVpLJXDOD k > 0pGDGRSRU f k (m, n) =n−(k−1)(m−1) Cm , com n > m > 1, k ≥ 1 n B = {b1 , . . . , bm } ∈ Gm pDLPDJHPGH { a1 , . . . , am } ∈ Fmn SRUPHLRGDDSOLFDomRFRQ- R7HRUHPDpSUHFLVDPHQWHRFDVRk = 2). Demonstração:1mRYDPRVDSUHVHQWiODROHLWRULQWHUHVVD- siderada. Corolário: Card ( Fmn ) = GRSRGHFRQVXOWDU>@RX>@RQGHVXUJHPYiULDVGHPRQVWUD- o}HVTXHVmRGHXPPRGRJHUDOVHPHOKDQWHVjVGR7HRUHPD n − m +1 C . m HPERUDDOJRPDLV´SHVDGDVµ Demonstração: decorre imediatamente do teorema e do facto de n Gm ter precisamente n − m +1 C m Corolário: 1XPDORWDULDHPTXHDVERODVWrPRVQ~PHURV elementos. 5HSDUHPRVDJRUDTXHXPDVHTXrQFLDELQiULD B pode re- SUHVHQWDUXPDVHTXrQFLDGHQ~PHURVQDWXUDLV N VHFRQYHQ- « n H D FKDYH WHP m Q~PHURV D SUREDELOLGDGH GH TXH SHOR PHQRV GRLV GRV Q~PHURV GD FKDYH WHQKDP GLVWkQFLD inferior a kpGH FLRQDPRVTXH pk (m, n) = 1 − D8P´µQDnpVLPDSRVLomRGHB VLJQLÀFDTXHRQ~PHURn Demonstração: eLPHGLDWDDSDUWLUGR7HRUHPD ID]SDUWHGDVHTXrQFLD N . E8P´µQDnpVLPDSRVLomRGHB VLJQLÀFDTXHRQ~PHUR n nãoID]SDUWHGDVHTXrQFLD N . 3RUH[HPSORjVHTXrQFLDGHQ~PHURVQDWXUDLVFRU- UHVSRQGHDVHTXrQFLDELQiULDHYLFHYHUVD&RP HVWDFRUUHVSRQGrQFLDYHULÀFDVHTXHDXPDVHTXrQFLDELQi- ria de comprimento n FRQWHQGR H[DWDPHQWH k VtPERORV ´µ QmRFRQVHFXWLYRVHVWiDVVRFLDGDXPDVHTXrQFLDGHk elemen- tos de {1, 2, · · · , n}VHPQ~PHURVFRQVHFXWLYRV $VVLPDVROXomRREWLGDSDUDRSUREOHPDGDORWDULDOHYD- QRVDXPDVROXomRDOJRLQGLUHWDGRSUREOHPDGHFRQWDJHP 1RUHVWRGHVWDVHFomRYDPRVSURFHGHUDXPDDQiOLVHPDLV ÀQDGDVFKDYHVGDORWDULDQXPDGLUHomRGLIHUHQWHGR7HRUH- PD XVDQGR LGHLDV TXH HQFRQWUiPRV HP >@ &RPHFHPRV SRUXPDGHÀQLomR 'HÀQLomR&RQVLGHUHPRVr números distintos, a1 , a2 , . . . , ar ∈ Xn = {1, 2, . . . , n}, ordenados por ordem crescente. Um grupo GD VHTXrQFLD a1 , a2 , . . . , ar p (i) um conjunto singular formado por um desses números, VXEMDFHQWHDRSUREOHPDGRVFRHOKRVRTXHSRVVLELOLWDDVROX- TXDQGRDGLVWkQFLDDTXDOTXHUGRVRXWURVGDVHTXrQFLD omRTXDVHLPHGLDWDGHVWH~OWLPR O Teorema anterior fornece a base para um curioso jogo n−(k−1)(m−1) C m . nC m for superior a 1. ou GHD]DUVXSRQGRSDUDÀ[DULGHLDVTXHn Hm SRGH- PRVDSRVWDUQDVDtGDGHGRLVQ~PHURVFRQVHFXWLYRVTXDQGR UHWLUDPRVDRDFDVRVHLVERODVGXPDXUQDFRPERODVQXPH- 3 Abraham de Moivre (1667-1754), matemático inglês de origem francesa. 4 William Allen Whitworth (1840-1905), matemático e sacerdote anglicano. COELHOS E LOTARIAS rAntónio Pereira Rosa 19 (ii) um subconjunto de dois ou mais destes números, con- Demonstração: É semelhante à do Teorema 2. O número VHFXWLYRVTXDQGRDGLVWkQFLDGHFDGDXPGRVQ~PHURV GH KLSyWHVHV SDUD D HVFROKD GH XPD VHTXrQFLD a1 , a2 , . . . , ar GRVXEFRQMXQWRDTXDOTXHUGRVRXWURVGDVHTXrQFLDTXH não do subconjunto) for superior a 1. 3RU H[HPSOR QD VHTXrQFLD WHPRV RV JUXSRVFRPXPHOHPHQWR^`H^`RJUXSRFRPGRLVHOHPHQ- WRV^`HRJUXSRFRPWUrVHOHPHQWRV^` 6HFKDPDUPRVgDRQ~PHURGHJUXSRVQDVHTXrQFLDd ao H[WUDtGDGH Xn e com gJUXSRVp n−r+1 Cg , se ignorarmos as SHUPXWDo}HVGRVJUXSRVSHORUDFLRFtQLRIHLWRQDSURYDGRUHIHULGR7HRUHPDSRURXWURODGRSDUDFDGDFRQÀJXUDomRFRPg g! grupos de dWLSRVH[LVWHP g1 !× g2 !×...× gd ! possibilidades, pela IyUPXOD GDV SHUPXWDo}HV FRP UHSHWLo}HV &RPELQDQGR RV GRLVUHVXOWDGRVYHPTXHN = TXHUtDPRV g! g1 !× g2 !×...× gd ! ×n−r+1 Cg , como número de diferentes tipos de grupos (números isolados, pa- UHVGHQ~PHURVFRQVHFXWLYRVWHUQRVGHQ~PHURVFRQVHFXWL- 3RU H[HPSOR VH Xn = {1, 2, . . . , 30} e considerarmos YRVHWFH gi (i = 1, 2, . . . , d) ao número de grupos de tipo ip yEYLRTXH g1 + g2 + . . . + gd = g. 1RH[HPSORDQWHULRUg d H g1 + g2 = 2 + 1 + 1 = 4 = g. 2UHVXOWDGRTXHSUHWHQGHPRVSURYDUpRVHJXLQWH Teorema 4:6HMDXn = {1, 2, . . . , n}HFRQVLGHUHPRVDVVHTXrQ- FKDYHV FRP VHWH HOHPHQWRV FRP GRLV JUXSRV FRP XP elemento, um grupo com dois elementos e um grupo FRP WUrV HOHPHQWRV YHULÀFDPRV TXH H[LVWH XP WRWDO GH 3! 2!×1!×1! ×30−7+1 C3 = 6072 FKDYHVXPDGHODVp TXHYLPRVDQWHULRUPHQWH 'HL[DPRV DR FXLGDGR GR OHLWRU D YHULÀFDomR GD WDEHOD TXHLOXVWUDDVLWXDomRSDUDR7RWRORWRQDFLRQDOn H cias de r números distintos a1 , a2 , . . . , ar H[WUDtGDVGHXn .'HV- r diferentes, com gi (i = 1, 2, . . . , d) grupos de tipo ipGDGRSRU g! N= × n −r +1 C g . g1 ! × g2 ! × . . . × g d ! 13983816 =49 C6 , RQ~PHURGHFKDYHVH[LVWHQWHVQR7RWRORWR WDVVHTXrQFLDVRQ~PHURNGDVTXHWrPg grupos, de d tipos 5HSDUHVHTXHDVRPDGRVQ~PHURVGD~OWLPDFROXQDp SRUWXJXrV Núm. de tipos de grupos (d) Núm. de cada tipo de grupo (g i) Núm. total de grupos (g) N 6HLVQ~PHURVLVRODGRV 1 g1 = 6 4XDWURQ~PHURVLVRODGRVHGRLVFRQVHFXWLYRV 2 g1 = 4, g2 = 1 7UrVQ~PHURVLVRODGRVHWUrVFRQVHFXWLYRV 2 g= 3, g2 = 1 'RLVQ~PHURVLVRODGRVHTXDWURFRQVHFXWLYRV 2 g1 = 1, g2 = 1 8PQ~PHURLVRODGRHFLQFRFRQVHFXWLYRV 2 g1 = 1, g2 = 1 2 6HLVQ~PHURVFRQVHFXWLYRV 1 g1 = 1 1 'RLVQ~PHURVLVRODGRVHGRLVSDUHVGHQ~PHURVFRQVHFXWLYRV 2 g1 = 2, g2 = 2 7UrVSDUHVGHGRLVQ~PHURVFRQVHFXWLYRV 1 g1 = 3, 8PQ~PHURLVRODGRXPSDUXPWHUQRGHQ~PHURVFRQVHFXWLYRV 4XDWURQ~PHURVFRQVHFXWLYRVXPSDUGHQ~PHURVFRQVHFXWLYRV 2 g1 = 1, g2 = 1 2 'RLVSDUHVGHWUrVQ~PHURVFRQVHFXWLYRV 1 g1 = 2 2 Tipo de Chave Tabela 1 20 GAZETA DE MATEMÁTICA r174 g1 = 1, g2 = 1 g3 = 1 4. RESOLUÇÕES DIRETAS DO PROBLEMA DE Teorema 6 (segundo lema de Kaplansky): O número g(n, m) CONTAGEM DOS NATURAIS NÃO CONSECUTIVOS de maneiras de escolher m objetos dentre n objetos dispostos 2SUREOHPDGHFRQWDJHP´'HWHUPLQDURQ~PHURGHPDQHLUDV VREUHXPDFLUFXQIHUrQFLDVHPTXHKDMDGRLVFRQVHFXWLYRVp de selecionar m objetos de entre n objetos numerados de 1 a n dado por g(n, m) = HGLVSRVWRVQXPDÀODVHPTXHVXUMDPREMHWRVFRPQ~PHURV FRQVHFXWLYRVµpPXLWRDQWLJRHSRGHVHUUHVROYLGRGHYiULDV maneiras 'HQWUHDVYiULDVVROXo}HVFRQKHFLGDVHVFROKHPRV 5 XPDTXHpHPQRVVDRSLQLmRSDUWLFXODUPHQWHLQWHUHVVDQWH (P ,UYLQJ .DSODQVN\ DSUHVHQWRX XPD UHVROXomR 6 elementar do famoso Problème des Ménages de Édouard Lucas YHMDVH>@>@>@RX>@EDVHDGDHPGRLVOHPDVTXHVmR FRQKHFLGRV QHVWH FRQWH[WR FRPR SULPHLUR H VHJXQGR OHPDV n n−m Cm , para n−m n > m. 5. UMA RELAÇÃO COM OS NÚMEROS DE FIBONACCI 2SUREOHPDGDVORWDULDVSHUPLWHREWHUXPDFXULRVDUHODomR HQWUH RV FRHÀFLHQWHV ELQRPLDLV H RV Q~PHURV GH )LERQDFFL QmRpGHHVSDQWDUTXHHVWHVVXUMDPHPSUREOHPDVUHODFLRQD- GRVFRPFRHOKRV«1DÀJXUDDEDL[RHVWiUHSUHVHQWDGRRWULkQJXORGH3DVFDOEHPFRPRDVVXDV´GLDJRQDLVVHFXQGiULDVµ GH.DSODQVN\2SULPHLUROHPDGH.DSODQVN\pSUHFLVDPHQWH XPDUHVROXomRGRSUREOHPDGHFRQWDJHPTXHWHPRVYLQGRD estudar. Teorema 5 (primeiro lema de Kaplansky): O número f (n, m) de maneiras de escolher m objetos dentre n obje- WRV DOLQKDGRV VHP TXH KDMD GRLV FRQVHFXWLYRV p GDGR SRU f (n, m) =n−m+1 Cm . Demonstração: e yEYLR TXH f (n, 1) = n =n−1+1 C1 H TXH f (n, n) = 0 =n−n+1 Cn , se n > 1. 6HMDHQWmRmWDOTXH1 < m < n.3RGHPRVFRQVLGHUDUGRLV WLSRVGHVHOHo}HVQDVFRQGLo}HVGRHQXQFLDGRDTXHODVDTXH RSULPHLURREMHWRSHUWHQFHHDTXHODVDTXHHVWHQmRSHUWHQFH Figura 1 4XDQWRjVSULPHLUDVpyEYLRTXHQmRSRGHPFRQWHURVH- gundo objeto e são em número de f (n − 2, m − 1)TXDQWRjV Teorema 7: O número total de maneiras de selecionar nú- o número f (n, m)YHULÀFDDUHODomR REWHQKDQ~PHURVFRQVHFXWLYRVLQFOXLQGRDVHOHomRYD]LDp segundas, são em número de f (n − 1, m).'LVWRGHFRUUHTXH f (n, m) = f (n − 2, m − 1) + f (n − 1, m). (1) 3RGHPRV HQWmR SURYDU D UHODomR f (n, m) =n−m+1 Cm por LQGXomR&RPRn > m > 1,FRPHFHPRVSRUQRWDUTXH f (3, 2) = 1 = 3−2+1 meros dentre os n SULPHLURV Q~PHURV QDWXUDLV VHP TXH VH igual a f n+2, o (n²pVLPRQ~PHURGH)LERQDFFL Demonstração:$SURYDpPXLWRVHPHOKDQWHjGR7HRUHPD 6HMD an R Q~PHUR D GHWHUPLQDU 4XDQGR HVFROKHPRV XQV tantos elementos de {1, 2. . . . , n}VHPTXHKDMDQ~PHURVFRQ- C2 . 3RUKLSyWHVHGHLQGXomR VHFXWLYRVKiGXDVKLSyWHVHVPXWXDPHQWHH[FOXVLYDV f (n − 1, m) =n−m Cm e f (n − 2, m − 1) =n−m Cm−.1 ; 1) O número n está entre os escolhidos. VXEVWLWXLQGRHPYHPTXH ou f (n, m) =n−m Cm +n−m Cm−1 =n−m+1 Cm , 2) O número n não está entre os escolhidos. SRU XPD FRQKHFLGD SURSULHGDGH GDV FRPELQDo}HV FRPR TXHUtDPRV 5 $ WtWXOR GH FXULRVLGDGH HQXQFLDPRV R VHJXQGR OHPD GH .DSODQVN\FXMDGHPRQVWUDomRSRGHVHUYLVWDHP>@ Veja-se, por exemplo, [13]. O autor da solução aí apresentada, Thomas Muir (1884 -1934), foi um especialista em determinantes; uma outra solução, recorrendo a uma equação diofantina, aparece em [3], página 37. 6 Irving Kaplansky (1917-2006), matemático canadiano. COELHOS E LOTARIAS rAntónio Pereira Rosa 21 1R FDVR HVWDPRV HP SUHVHQoD GH XPD GDV an−1 se- GH )LERQDFFL RV números de Lucas7 R OHLWRU LQWHUHVVDGR SRGH OHo}HV VHP Q~PHURV FRQVHFXWLYRV TXH VH SRGH ID]HU HP FRQVXOWDU>@SDUDDSURYDGHVWDDÀUPDomR VHOHomRHRVUHVWDQWHVHOHPHQWRVGHVWDFRQVWLWXHPFHUWDPHQWH Agradecimento: O autor agradece ao referee a leitura atenta do de elementos de {1, 2, . . . , n − 2} VHP Q~PHURV FRQVHFXWLYRV tUDPSDUDPHOKRUDUDTXDOLGDGHGRDUWLJR WDQWHVQRFDVRGHDVHOHomRQRFDVRVHUHGX]LUDn'LVWRUH- 5. REFERÊNCIAS {1, 2, . . . , n − 1}QRFDVRn − 1 não faz certamente parte da uma das an−2SRVVtYHLVPDQHLUDVGHHVFROKHUXPFHUWRQ~PHUR 5HSDUHVHTXHSRGHGDUVHRFDVRGHQmRKDYHUHOHPHQWRVUHV- VXOWDTXHRQ~PHURGHVHOHo}HVFRQWHQGRnpSUHFLVDPHQWHan−2 e, portanto, an = an−1 + an−2&RPRHVWDPRVDLQFOXLUDVHOHomR YD]LDYHPTXHa1 = 2 e a2 = 3 e a sucessão ( an )p« sendo assim an = f n+2 , o (n²pVLPRQ~PHURGH)LERQDFFL 9HMDPRV XPD DSOLFDomR DR HVWXGR GR WULkQJXOR GH 3DVFDO &RQVLGHUHVHn HHQXPHUHPRVDVVHOHo}HVGHHOHPHQWRVGH ^`VHPHOHPHQWRVFRQVHFXWLYRV 6HOHomRYD]LD WH[WRDVFRUUHo}HVHVXJHVW}HVTXHDSUHVHQWRXPXLWRFRQWULEX- >@$QGUp&H)HUUHLUD)Matemática Finita8QLYHUVLdade Aberta, Lisboa. >@$30²4XHVWmRUHVSRQGLGDVREUHR´SUREOHPDGRV FRHOKRVµUHFXUVR´3HUJXQWD$JRUDµ$VVRFLDomRGRV3URIHVsores de Matemática. >@%DODNULVKQDQ9.Theory and Problems of Combinatorics0F*UDZ+LOO,QF1HZ<RUN 6HOHo}HVFRPXPHOHPHQWR²VmRDVDEHU´µ´µ´µH´µ 6HOHo}HVFRPGRLVHOHPHQWRV²VmRDVDEHU´µ´µ H´µ +iXPWRWDOGH TXHpSUHFLVDPHQWHRQ~PH- URGH)LERQDFFL >@&KHQ&+H.RK.0Principles and Techniques in Combinatorics:RUOG6FLHQWLÀF6LQJDSXUD >@'UDNDNLV.Facta Universitatis: Mathematics and Informatics9ROXPH,VVXHSS 5HODFLRQHPRVHVWHVUHVXOWDGRVFRPDIyUPXODGRFRUROiULR >@+RQVEHUJHU5Mathematical Gems III (Dolciani Mathematical Expositions, No. 9), The Mathematical Association do Teorema 2: 1) Neste caso, n m H n−m+1 Cm =5 C0 = 1 2) Neste caso, n m=1 e n−m+1 Cm =4 C1 = 4 1HVWHFDVRn m=2 e n−m+1 Cm =3 C2 = 3 e a igualdade acima pode ser escrita como 5C 0 +4 C1 +3 of America. >@ +RZDUG ) 7 ´7KH 3UREDELOLW\ RI &RQVHFXWLYH 1XPEHUVLQ/RWWR$SSOLHG3UREDELOLW\7UXVWµGLVSRQtYHOHP KWWSPVDSSOLHGSUREDELOLW\RUJGDWDÀOHV$UWLFOHVSGI C2 = f 6 , RXVHMDDVRPDGRVHOHPHQWRVGDGLDJRQDOVHFXQGiULDpSUHFLVDPHQWHLJXDODRQ~PHURGH)LERQDFFL >@.DSODQVN\,´6ROXWLRQRIWKH´3UREOqPHGHV0pQDges””, Bull. Amer. Math. Soc O caso geral pode ser tratado da mesma maneira, cheganGRVHjFRQFOXVmRGHTXHDVRPDGDn²pVLPDGLDJRQDOVHFXQGi- ULDGRWULkQJXORGH3DVFDOpLJXDODRn²pVLPRQ~PHURGH)LER- >@/LQKDUHV$VG´&RHOKRVHP)XJDµVLWH0DWHPiWLFDFRP (http://matematica.com.sapo.ptVHFomR´3UREDELOLGDGHVµ nacci. Este resultado pode ser interpretado apenas como uma LJXDOGDGH HQYROYHQGR RV Q~PHURV f (n, m) do primeiro lema GH.DSODQVN\PDVSDUHFHQRVPDLVLQWHUHVVDQWHHDSHODWLYDD YHUVmRHQYROYHQGRRWULkQJXOR3DUDFRQFOXLUUHIHULPRVTXHVH pode fazer um estudo semelhante para os números g(n, m) do VHJXQGROHPDGH.DSODQVN\REWHQGRVHHPYH]GRVQ~PHURV 22 GAZETA DE MATEMÁTICA r174 >@0DWWVRQ-U+)Discrete Mathematics with applications-RKQ:LOH\DQG6RQV1HZ<RUN >@0F3KHUVRQ,H+RGVRQ'´/RWWHU\&RPELQDWRULFV0DWKHPDWLFDO6SHFWUXPµ$SSOLHG3URED- ELOLW\7UXVWGLVSRQtYHOHPhttp://ms.appliedprobability.org/data/ >@ :KLWZRUWK : $ Choice and Chance (5th edition), >@0RUJDGR$&2&DUYDOKR-%3&DUYDOKR3&3 &RQVXOWiPRV DLQGD RV VLWHV %LE0#WKQHW www.bibmath.net) ÀOHVVHOHFWHGDUWLFOHVSGI )HUQDQGH]Análise Combinatória e Probabilidade6RFLHGDGH%UDVLOHLUDGH0DWHPiWLFD5LRGH-DQHLUR 'HLJKWRQ%HOODQG&R&DPEULGJH e MacTutor History of Mathematics (www-history.mcs.st-and. ac.ukHVWH~OWLPRSDUDDVELRJUDÀDVGRVYiULRVPDWHPiWLFRV referidos neste trabalho. >@0XLU7´1RWHRQ6HOHFWHG&RPELQDWLRQVµProceedings of the Royal Society of Edinburgh9RO;;,91HLO DQG&RPSDQ\/LPLWHG(GLQEXUJK >@1HYHV0$)H*XHUUHLUR/Acesso ao Ensino Su- SOBRE O AUTOR perior – Matemática A3RUWR(GLWRUD3RUWR António Pereira Rosa é licenciado em Matemática (1986) e mestre em Matemática para o Ensino (2008) pela Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. É professor do quadro da Escola Secundária Maria Amália Vaz de Carvalho desde 1994. >@5\VHU+%Combinatorial Mathematics (The Carus 0DWKHPDWLFDO0RQRJUDSKV1RQGLPSUHVVLRQ, The Mathe- PDWLFDO$VVRFLDWLRQRI$PHULFDGLVWULEXtGRSRU-RKQ:LOH\ DQG6RQV >@7RGKXQWHU,A History of the Mathematical Theory of Probability0DF0LOODQDQG&R&DPEULGJH >@:DWVRQ5´/RWWHUDO7KLQNLQJµTeaching StatisticsYROQ1RWWLQJKDP*Um%UHWDQKD 7 Os números de Lucas são os termos da sucessão 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, …, definida por L1 = 1, L2 = 3, Ln = Ln−1 + Ln−2 (n > 2). Estes números gozam de muitas propriedades semelhantes às dos números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …., já que a relação de recorrência que os define é igual; apenas a segunda condição inicial é diferente. COELHOS E LOTARIAS rAntónio Pereira Rosa 23
