1 a n - Liceu Albert Sabin

MATEMÁTICA
Sequências & Progressões – 1
• Professor
Marcelo Gonzalez Badin
Exercícios
1. Determine o quarto termo das sequências definidas por:
a) an = n2 – 2n + 3 (n ∈ IN*)
a4 = 11
b) a1 = 3
an+1 = an + 5n (nIN*)
n = 1 a2 = a1 + 5⋅1
a2 = 3 + 5 = 8
n = 2 a3 = a2 + 5⋅2
a3 = 8 + 10 = 18
n = 3 a4 = a3 + 5⋅3
a4 = 18 + 15
a4 = 33
Progressão Aritmética (P.A.)
Progressão aritmética é uma sequência na qual a diferença entre
cada termo e o termo anterior é constante.
Essa diferença constante é chamada razão da progressão e
representada pela letra r.
Exemplos:
(3, 7, 11, 15, 19, ...) a1 = 3
(1, 2, 3, 4, 5, ...) a1 = 1
r=4
r=1
(2, 2, 2, 2, 2, ...) a1 = 2
(13, 10, 7, 4, 1, ...) a1 = 13
r=0
r=–3
r>0
PA crescente
PA decrescente r < 0
PA constante r = 0
(– 15, – 13, – 11, – 9, ...) a1 = – 15
r=2
Progressão Aritmética (P.A.)
PA (a, b, c)
r=b–a
r=c–b
b–a=c–b
b+b=a+c
2b = a + c
Média aritmética
Propriedade da média
(3, 7, 11, 15, 19,...)
O dobro do termo central é
a+c
b=
a soma dos termos adjacentes
2
2. Determine x de modo que a sequência (x + 2, 3x, 2x + 7) seja uma P.A.
a
b c
2⋅(3x) = (x + 2) + (2x + 7)
Obs.: Qual a razão da PA formada?
6x = 3x + 9
3x = 9
PA (5, 9, 13)
x=3
r=4
PA de três termos
( a – r , a ,a + r )
Ao somar, “some” o r
3. A soma de três números em progressão aritmética é 15 e seu
produto 80. Quais são esses números?
Sejam os números em PA: a – r, a , a + r
Soma = 15 Þ a – r + a + a + r = 15
3a = 15 Þ a = 5
Produto = 80 Þ (a – r)⋅a⋅(a + r) = 80
(5 – r)⋅5⋅(5 + r) = 80 (Divide por 5)
(5 – r)(5 + r) = 16
Os números
r = 3 Þ PA (2, 5, 8)
52 – r2 = 16
são 2, 5 e 8
r2 = 9
r = – 3 Þ PA (8, 5, 2)
Progressão Aritmética (P.A.) Termo Geral
PA (a1, a2, a3, a4, ...)
= a1 + (n – 1)r
a
n
razão = r
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a3 = a1 + r + r
a3 = a1 + 2r
Todo termo pode ser escrito em função
do primeiro termo e da razão
a28 = a1 + 27r
Deve ser automático: a56 = a1 + 55r
a123 = a1 + 122r
Para saber tudo de uma PA, basta conhecer a1 e r
a4 = a3 + r
a4 = a1 + 2r + r
a4 = a1 + 3r
a5 = a1 + 4r
4. Calcule o vigésimo primeiro termo da
PA (– 5, – 2, ...) a21 = a1 + 20r
a1 = – 5
a21 = – 5 + 20⋅3
r= 3
a21 = 55
a21 = ?
5. Determine a progressão aritmética onde a3 + a5 = 22 e a4 + a8 = 34
a3 + a5 = 22 ⇒ a1 + 2r + a1 + 4r = 22
(..., a3, a4, a5, ...)
a4 + a8 = 34 ⇒ a1 + 3r + a1 + 7r = 34
2a = a + a
4
2a1 + 6r = 22
2a1 + 10r = 34
2a1 + 6⋅3 = 22
2a1 = 4
a1 = 2
4r = 12
r=3
Opções para apresentar a resposta:
1) A progressão aritmética é (2, 5, 8, 11, ...)
2) É uma progressão aritmética com a1 = 2 e r = 3
3) É uma progressão aritmética cujo termo geral é
an = 3n – 1
Obs.: O termo geral de uma P.A. de razão
não nula é sempre uma função do 1º grau
3
5
2a4 = 22
a4 = 11
a4 + a8 = 34
11 + a8 = 34
a8 = 23
an = a1 + (n – 1)r
an = 2 + (n – 1)3
an = 2 + 3n – 3
an = 3n – 1
6. Inserindo 4 meios aritméticos entre 14 e 49, qual a razão da PA formada?
4 meios aritméticos
14
49
O número de termos n é 6:
2 nas pontas (14 e 49) e 4 no meio
PA:
an = a1 + (n – 1)r
a1 = 14
49 = 14 + (6 – 1)r
an = 49
5r = 35
n=6
r=7
r=?
A razão da PA formada é 7
PA: (14, 21, 28, 35,42, 49)
7. Determine quantos múltiplos de 7 estão compreendidos entre 100 e 1000
Os múltiplos de 7 formam PA de razão 7
Neste caso, temos:
PA:
an = a1 + (n – 1)r
r=7
a1 = 105 994 = 105 + (n – 1)⋅7
an = 994
(Divide por 7)
142 = 15 + (n – 1)
n=?
n = 128
Há 128 múltiplos de 7 compreendidos
entre 100 e 1000
100 7
30 1 4
2
100 não é múltiplo de 7
mas 100 – 2 = 98 é
Assim, a1 = 98 + 7 = 105
1000 7
30 14 2
20
6
1000 não é múltiplo de 7
mas 1000 – 6 = 994 é
Variações do mesmo tema:
Quantos múltiplos de 6 e 15 estão compreendidos entre 100 e 1000?
Como MMC(6, 15) é 30, o problema equivale a determinar quantos
múltiplos de 30 estão compreendidos entre 100 e 1000.
Quantos múltiplos de 6 ou 15 estão compreendidos entre 100 e 1000?
M6
É só fazer M6 + M15 – M30
Comecei uma leitura na página 158 e terminei
na página 279. Quantas páginas eu li?
a) 120 b) 121 c) 122 d) 123 e) 124
PA:
r=1
a1 = 158
an = 279
n=?
an = a1 + (n – 1)r
279 = 158 + (n – 1).1
M15
M30
n – 1 = 279 – 158
n = 279 – 158 + 1
n = 122
Li 122 páginas
8.(Vunesp-04) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população
de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na
população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte sequência
de figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao
final de cada um dos quatro primeiros minutos.
Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número
de vírus no final de 1 hora era de:
a) 241
b) 238
c) 237
d) 233
e) 232
Seja an o número de vírus no final do minuto n
Como o ritmo é constante, temos uma PA com
Das figuras:
a1 = 1 e r = 4
a1 = 1
a2 = 5
O número de vírus no final de 1 hora é a60
a60 = 237
a3 = 9
a60 = a1 + 59r
a4 = 13
a60 = 1 + 59.4
(Unicamp 2012)
b) A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é conhecida como sequência de Fibonacci, cujo
n-ésimo termo é definido recursivamente pela fórmula
se n = 1 ou 2;
1,
F(n) = 
F(n − 1) + F(n − 2), se n > 2.
Podemos aproximar o número áureo, dividindo um termo da sequência de Fibonacci
pelo termo anterior. Calcule o 10º e o 11º termos dessa sequência e use-os para obter
uma aproximação com uma casa decimal para o número áureo.
A sequência de Fibonacci é aquela em que cada termo, a partir do terceiro, é obtido
somando-se os dois termos imediatamente anteriores a ele.
Assim podemos escrever a sequência:
Temos F(10) = 55 e F(11) = 89
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
F(11)
≈ 1, 6
F(10)
(Fuvest) Em uma PA de termos positivos, os três primeiros termos são:
2 = 22
(–
2)
1 – a, – a, 11 − a . O quarto termo desta P.A. é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
2⋅(– a) = 1 – a + 11 − a
11 − a
2
(– a – 1)2 = ( 11 − a )
–a–1=
e) 6
PA (a, b, c)  2b = a + c
(a + 1)2 = a2 + 2a + 1
(a – 1)2 = a2 – 2a + 1
(– a – 1)2 = [–(a + 1)]2 = (a + 1)2
a2 + 2a + 1 = 11 – a a = 2 (não convém)
a2 + 3a – 10 = 0
a = – 5  PA ( 6, 5, 4, 3, ...
S=–3
P = – 10
(Mack) As progressões aritméticas (5, 8, 11, ...) e (3, 7, 11, ...) têm 100
termos cada uma. O número de termos iguais nas duas progressões é:
a) 15 (5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, ..., 302) razão = 3 5 + 99⋅3 = 302
b) 25 (3, 7, 11, 15, 19, 23, ..., 399) razão = 4 3 + 99⋅4 = 399
c) 1
d) 38 Os termos iguais formam uma progressão aritmética, com
e) 42 a1 = 11 e r = MMC(3,4) = 12. Devemos ter an < 302
12n < 303 O maior n inteiro é 25
a1 + (n – 1)⋅r < 302
11 + (n – 1)⋅12 < 302 n < 25,25
Obs: O último termo igual é
11 + 12n – 12 < 302
11 + 24⋅12 = 299
Alguns alunos percebem que a cada 4 termos escritos nas progressões,
sempre há um termo comum. Como elas tem 100 termos, o nº de termos
iguais é 100 dividido por 4 = 25.