Inequações, PA e PG

Aula de Matemática
Professor  Neilton Satel
Junho 2009
CONTEÚDO DA AULA:
revisão
Qual o domínio da função?
Dm = R
Qual o domínio da função?
Dm = R – {1, 3}
Qual o domínio da função?
01. Dada a função g(x) = x² – 2x, encontre as coordenadas
do vértice da parábola, suas raízes e seu conjunto imagem.
g(x) = x2 – 2 x
Im = [ -1, +∞ [
V = ( 1, – 1)
01. Encontre a solução do sistema de
inequações (x² – 4x +3) (x + 2) >0.
EXERCICIO RESOLVIDO Reolva a inequação.
–2x + 3 > 0
X
0
1
Y
3
1
3/2 0
Coeficiente linear
f(0) = -2.0 + 3  f(0) = 3
f(1) = -2.1 + 3  f(1) = 1
S = {x  R / x < 3/2 } (isto significa que para qualquer
x antes da raíz, os valores de y serão positivos)
-2.x + 3 =0 x = 3/2  este ponto é
chamado de raiz ou zero da equação
01. Esboçar o gráfico e determinar o conjunto imagem das funções abaixo.
a) f(x) = x2 – 6x + 8
Observe que o x do vértice e o
ponto de simetria da parábola
b) f(x) = –x2 + 2x + 3
01. Ache a soma dos sessenta primeiros termos
da PA (2, 5, 8, ...).
Resolução
Cálculo de a60:
a60= a1 + 59r
a60 = 2 + 177
a60 = 179
a60 = 2 + 59 · 3
Fórmula do termo
Cálculo da soma:
geral de uma
P.A. : an  a1  (n  1).r
Soma de termos de uma P.A. finita :
Sn 
(a1  an ).n
2
S60 = 5.430
Resposta: 5.430
Artifícios de Resolução
Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas
alguns elementos da PA, é possível, através de artifícios de
resolução, tornarmos o procedimento mais simples:
PA com três termos: (a – r), a e (a + r), razão igual a r.
PA com quatro termos: (a – 3r), (a – r), (a + r) e (a + 3r),
razão igual a 2r.
PA com cinco termos: (a – 2r), (a – r), a, (a + r) e (a + 2r),
razão igual a r.
Exemplo
Determinar os números a, b e c cuja soma é igual a 15, o
produto é igual a 105 e formam uma PA crescente.3
Resolução
Fazendo a = ( b – r ) e c = ( b + r) e sendo a + b + c = 15,
teremos:
(b – r) + b + (b + r) = 15
3b = 15
b = 5.
Assim, um dos números, o termo médio da PA, já é
conhecido.
Dessa forma a seqüência passa a ser:
(5 – r), 5 e (5 + r), cujo produto é igual a 105, ou seja:
(5 – r) · 5 · (5 + r) = 105
52 – r2 = 21
r2 = 4
r = 2 ou r = –2.
Sendo a PA crescente, ficaremos apenas com r = 2.
Finalmente, teremos a = 3, b = 5 e c = 7.
03. (UFPa-PA) A soma da série infinita
... é:
EXERCÍCIO 09
A reta r contém o ponto P( -5, 0), tem coeficiente angular
negativo e forma, com os eixos coordenados, um triângulo
de área igual a 20.
Determine a equação de r.
Cálculos e resposta:
Equação da reta
y = ax + b
P(-5,0)
L

0 = – 5a + b
L5
 20

5a = b
L8
2
Logo, a reta contém o ponto (0, – 8)
Assim,
–8
=b e
a=–
8
5
A equação da reta é
y=–
8
5
x8
Fórmula do termo geral de uma
P.A. : an  a1  (n  1).r
OU
Fórmula do termo geral de uma
P.A. : an  aK  (n  K ).r
• 05 UFBA 98 – 1ª fase – Durante 15 dias,
um automóvel é submetido a testes de
desempenho mecânico. No primeiro dia
ele percorre 40 km; no segundo, 60 km;
no terceiro, 80 km; e assim
sucessivamente, até o último dia, quando
percorre x km. Calcule x/10.
Questão de PA ( progressão aritmética ) onde pede para calcular
o 15º termo...
a n = a1 + ( n – 1 ) R
a 15 = a1 + ( 15 – 1 ) R ou a 15 = 40 + 14.60
a 15 = 320
RESPOSTA: x / 10 = 32
06. ( UESSBA – Irecê-BA ) Numa progressão
aritmética, a soma do segundo termo com o
quarto é igual a 34, e o quinto termo é 27.
Com base nessa informação, pode-se concluir
que a razão dessa progressão é igual a
01) 7
02) 5
03) 3
04) 2
05) 1
a2 + a4 = 34  a1 + R + a1 + 3R = 34
 2a1 + 4R = 34 ou a1 + 2R = 17
como a5 = 27  a5 = a1 + 4R = 27
E resolvendo o sistema de equações do
1º Grau, vem:
 a1  4R  27

- a1 - 2R  - 17
 LOGO 2R = 10
E
R=5
06. ( UESSBA – Irecê-BA ) Numa progressão
aritmética, a soma do segundo termo com o
quarto é igual a 34, e o quinto termo é 27.
Com base nessa informação, pode-se concluir
que a razão dessa progressão é igual a
01) 7
02) 5
03) 3
04) 2
05) 1
07. Em um progressão aritmética (PA),
a4 + a7 = 24 e a6 + a10 = 34. Calcule o
seu 20º termo.
a4 = a1 + 3R a6 = a1 + 5R a7 = a1 + 6R
a10 = a1 + 9R
a4 + a7 = 24  a1 +3R + a1 + 6R =24
a4 + a7 = 24  2a1 +9R =24
a6 + a10 = 34  a1 +5R + a1 + 9r =34
a6 + a10 = 34  2a1 +14R =34
E só resolver o sistema:
a4 + a7 = 24  2a1 +9R =24
a6 + a10 = 34  2a1 +14R =34
E finalmente: a20 = a1 + 19R
a20 = 3 + 19.2
a20 = 3 + 38
a20 = 41
2a1 +14R =34
-2a1 -9R =- 24
5R =10
R =2
2a1 +14R =34
2a1 +14.2 =34
a1 =3
• 08 UFBA 98 – 1ª fase – Durante 15 dias,
um automóvel é submetido a testes de
desempenho mecânico. No primeiro dia
ele percorre 40 km; no segundo, 60 km;
no terceiro, 80 km; e assim
sucessivamente, até o último dia, quando
percorre x km. Calcule x/10.
Questão de PA ( progressão aritmética ) onde pede para calcular
o 15º termo...
a n = a1 + ( n – 1 ) R
a 15 = a1 + ( 15 – 1 ) R ou a 15 = 40 + 14.60
a 15 = 880
an = a1 +( n – 1) R  an = 19 +( n – 1) 4
an = 19 + 4n – 4  an = 15 + 4n
Os 492 convites é a soma dos termos dessa PA.
(a1  an ).n
Soma de termos de uma P.A. finita : Sn 
2
OU  2 Sn = (a1 + an ) n
2 . 492 = ( 19 + 15 + 4n) n
 2 . 492 = 34 n + 4n2  492 = 17n + 2n2
 2 . 12 2 + 17 . 12  492 Então n = 12