introdução à teoria da probabilidade

FACULDADE IDEAL – FACI - 2008
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO – BACH/MARKETING/EMPREENDEDORISMO/SISTEMAS INFORM
ESTATÍSTICA I – PROF. RDO. ELI SIQUEIRA
INTRODUÇÃO À TEORIA DA PROBABILIDADE
01. INTRODUÇÃO
As origens da matemática da probabilidade remontam ao século XVI sendo que as aplicações iniciais
referiam-se quase todas aos jogos de azar. Nesta ocasião os jogadores ricos aplicavam o conhecimento da
Teoria das Probabilidades para planejar estratégias de apostas. Hoje os Governos, as Empresas e as
Organizações Profissionais já incorporaram essa Teoria em seus processos diários de deliberações ou
Tomadas de Decisão. Independente de qual seja a aplicação em particular a utilização das Probabilidades
indica que existe um elemento de acaso ou de incerteza quanto a ocorrência ou não, de um evento futuro.
02. EXPERIÊNCIA ALEATÓRIA (E)
A Teoria da Probabilidade é um ramo da matemática aplicada relacionada com as situações, fatos
experimentos ou experiências ditas aleatórias ou casuais. Tem raízes em situações da vida real, quando se
realiza uma experiência ( ou se seleciona uma amostra ) cujo resultado não pode ser previsto, com certeza,
antes de sua realização. Uma experiência deste tipo é chamada de EXPERIÊNCIA ALEATÓRIA. Assim os
jogos de azar, o resultado de um exame clínico, físico, o resultado de um teste, a previsão da procura de
um produto novo, o disparo de um míssil são exemplos de uma Experiência Aleatória, considerada o objeto
de estudo da Teoria das Probabilidades.
03. ESPAÇO AMOSTRA OU AMOSTRAL (S)
Associado a cada Experiência Aleatória, está seus resultados possíveis reunidos no chamado ESPAÇO
AMOSTRAL, denotado por S. Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: cara ou
coroa. Já ao lançarmos um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Na maioria das aplicações os espaços amostrais podem ser classificados em 03 tipos de acordo com o
número de resultados: finito, infinito enumerável e infinito não enumerável.
a) S finito ( discreto ou qualitativo) – contém apenas um número finito de resultados possíveis. Neste caso
podemos listar os itens separados por vírgulas.
b) S infinito enumerável – quando o conjunto de resultados possíveis pode ser postos em
correspondência com o conjunto dos números naturais ou de contagem ( idealização matemática)
c) S infinito não enumerável (contínuo) – quando os resultados possíveis podem assumir teoricamente
todo um intervalo de valores possíveis, ou seja, é um espaço contínuo.
Para conjunto finito com grande número de elementos a listagem é inconveniente e para conjuntos
infinitos a listagem é impossível. Neste caso S é representado através de uma especificação ou regra
matemática.
Se S é finito podemos utilizar a chamada “Arvore de Possibilidades ou Diagrama em Arvores” que é um
esquema usado para enumerar todos os resultados possíveis de uma seqüência de experimentos onde
cada um pode ocorrer em um número finito de maneiras.
04. EVENTOS. ( A, B, C ... )
Qualquer conjunto de resultados de um experimento denominaremos EVENTOS, ou seja, é qualquer subconjunto do Espaço Amostral S de um experimento aleatório.
TIPOS DE EVENTOS:
a)
Evento Simples ou Elementar: apresenta um único resultado.
b)
c)
d)
Evento Nulo ou Impossível: representado pela letra grega fi (  ), não apresenta resultado no Espaço
Amostral.
Evento Certo (S): quando há certeza de ocorrência do evento, ou seja é o próprio Espaço Amostral.
Evento União: simbolizado por
A  B, significa a ocorrência do evento A, ou de B, ou de ambos, se
existir. Através do Diagrama de VEEN observa-se esse evento
e) Evento Intercessão: denotado por A  B, significa a ocorrência conjunta dos eventos A e B. Usando o
Diagrama
obtemos
f) Evento Complementar: Quando não ocorre o evento A, e sim o restante do Espaço Amostral S. Pelo
Diagrama de VEEN observamos que:
g)
Eventos Mutuamente Exclusivos: Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos quando não podem
ocorrer ao mesmo tempo, ou seja sua intercessão é vazia.
05. DEFINIÇÃO DA PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM EVENTO
A característica fundamental do conceito de experiência aleatória é a impossibilidade de
prever, com certeza, a ocorrência de um certo evento A, quando uma experiência aleatória for realizada.
Por isso torna-se de maior importância associarmos um número ao evento A, o qual medirá as chances de
sua ocorrência. Esse valor, de 0 a 1, é chamado de Probabilidade do evento A, e será denotado por P(A).
Há três maneiras de estimar as probabilidades de um evento:
a) Probabilidade à Priori ( Método clássico ou matemático )
b) Probabilidade à Posteriori ( Método Empírico ou frequencial)
c)
Método Axiomático (Teoria Moderna das Probabilidades).
5.1 - DETERMINAÇÃO DE P(A) ATRAVÉS DO MÉTODO CLÁSSICO.
Se soubermos de antemão o número de casos favoráveis ao evento A, no total de casos possíveis ( o
espaço amostral de E ), poderemos dizer “a priori” qual será a probabilidade da ocorrência do evento A.
Neste caso, P(A) será dada por
:
P(A) =
Nº de casos fav. ao evento A
Nº de casos possíveis (S)
=
P(A) =
r /n
É importante notar que a definição acima exige que os resultados tenham todos a mesma chance, ou
seja seu Espaço Amostral seja considerado Uniforme ou Equiprovável.
5.2 – MÉTODO DA FREQUENCIA RELATIVA OU FREQUENCIAL
Se os resultados não tem todos a mesma chance, ou se nada conhecemos a respeito da
população anteriormente, devemos apelar para a estimativa da Probabilidade através da Freqüência
Relativa (fr). Neste caso teremos de obter alguns dados empíricos numa tentativa de estimar as
probabilidades, seja através da repetição da experiência, da observação do fato, utilizando dados históricos
ou mesmo dados acumulados no arquivo. Neste caso P ( A ) é estimada como segue:
N º de ocorrências do evento A
Fr a = ___________ _________________________ = P(A)
Nº de provas, repetições ou observações de E
Comprova-se através da Lei dos Grandes Números que no limite em que n cresce, Fra tende para a
verdadeira probabilidade do evento A, ou seja:
Lim Fra
= Fa/n = P(A)
n
Devemos observar que:
a) esse valor Fra é uma estimativa do verdadeiro valor da probabilidade do evento A
b) quanto maior a amostra melhor a estimativa da probabilidade
c) essa probabilidade só é válida para um conjunto de condições idênticas aquelas em que se originaram
os dados
5.3 - METODO AXIOMATICO ( TEORIA MODERNA DA PROBABILIDADE)
Historicamente os modelos de probabilidade foram baseados na freqüência relativa, porem o tratamento
moderno da Teoria das Probabilidades é puramente axiomático. Isto significa que as probabilidades de nossos
eventos podem ser perfeitamente arbitrários a menos que certos Axiomas sejam satisfeitos. Esta teoria inicia com a
construção de um conjunto de Axiomas ( que, como se verá, não fazem referencia a maneira de obter P(A).) Os
tres Axiomas são os seguintes:
a) 0 ≤ P(A) ≤ 1
b) P(S) = 1 , onde S é o evento certo.
c) Se A e B forem dois eventos mutuamente exclusivos, P ( A  B ) = P ( A ) + P ( B ) .
6.0 – REGRAS DO CÁLCULO DAS PROBABILIDADES
Para maior facilidade na solução dos problemas do cálculo das probabilidades,
probabilidades e regras seguintes:
devemos aprender as
a.
b.
c.
0  P(A)  1. A probabilidade de um evento deve ser um número de zero a 1.
P ( S ) = 1. A probabilidade do evento certo é igual a 1.
P (  ) = 0. A probabilidade do evento impossível é igual a zero.
d.
REGRA DA SOMA DAS PROBABILIDADES DE 02 EVENTOS. (Teorema da União de dois
eventos)
Se A e B são dois eventos quaisquer no mesmo S então a probabilidade do evento união,
simbolizado por
P ( A  B ) e é igual a
P ( A  B ) = P ( A ) + P( B ) – P ( A  B)
Esta Regra é também conhecido por Teorema da União de 02 eventos.
Se os eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos, ou seja, se A  B = , teremos
P ( A  B ) = P ( A ) + P ( B ) - P (  ) . Como P (  ) = 0, então,
P(AB)= P(A)+P(B)
e. REGRA DA SOMA DAS PROBABILIDADES DE 3 EVENTOS A, B e C. (Teorema da União
de 03 eventos)
Se A, B e C são três eventos quaisquer no mesmo Espaço Amostral
da União de três eventos da forma seguinte:
define-se o Teorema
P ( A  B  C ) = P (A) + P(B) + P(C) – [ P(A  B) + P( A  C) + P ( B  C) ] + P( A  B 
C)
f. SE A É O EVENTO COMPLEMENTAR DE A, ENTÃO
P(A) = 1 – P(A).
aaA
Obs. Para que dois eventos A e A sejam ditos complementares é necessário que A  A = S e
A  A = .
g. REGRA DO PRODUTO OU TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO DE DOIS EVENTOS, P ( A  B
). (Probabilidade conjunta de 2 eventos)
Essa regra difere se os eventos A e B sejam considerados independentes ou não
(dependentes).
Dois eventos são ditos independentes se a ocorrência (ou não ) de um deles não depende ou não
está vinculado a ocorrência do outro. Neste caso,
P ( A  B ) = P (A ) x P ( B )
ou seja, a probabilidade da ocorrência conjunta de dois eventos é igual ao produto de suas
probabilidade individuais.
Exemplos de eventos independentes: lançamento de moedas, dados e retiradas de itens de um
lote ( bolas, cartas de um baralho, peças, etc) com reposição do item selecionado .
Se os eventos não são independentes ou dependentes ( como seleção de itens sem reposição) ,
a probabilidade da ocorrência conjunta dos eventos A e B do mesmo S, é igual a
probabilidade de um deles multiplicada pela probabilidade do outro ocorrer, sabendo-se que o
primeiro já ocorreu. Neste caso,
P ( A  B ) = P ( A ) x P ( B/A)
Onde P (B/A ) é a chamada probabilidade Condicional ou condicionada de B, dado que
A já tenha ocorrido.
h.
REGRA DA PROBABILIDADE CONDICIONAL OU CONDICIONADA,
Do Teorema da Multiplicação, P ( A  B ) = P ( A ) x P ( B/A)
P( B/A)
obtem-se;:
Probabilidade da ocorrência conjunta de A e B,
P(B/A) = _______________________________________________
Probabilidade do evento condicionante A
=
P(AB)
_______
P (A)
Obs: evento condicionante é o primeiro evento que ocorre ou a primeira
informação que temos ( ou ainda , o sabendo-se que)
i. . REGRA OU TEOREMA DE BAYES
É uma aplicação da Probabilidade Condicional, também chamada de Probabilidade dos
antecedentes ou causas do problema. É definida como:
P ( Ai / B ) = P ( Ai  B ) / P ( B ) ,
Onde os eventos Ai constituem uma partição do Espaço Amostral S e B um evento qualquer em
S.
__________________________________________________________________________
MÉTODOS DE ENUMERAÇÃO OU DE CONTAGEM
Para utilizar o Método Clássico ( a priori) de Probabilidade é preciso conhecer o número
total de resultados possíveis. Técnicas de Contagem podem ser empregadas como listar
os resultados ou Arvores de Possibilidades. Porém, em muitos casos, o número de
possibilidades se torna extremamente grande o que nos leva a utilizar a Técnica da
Analise Combinatória ( Permutação, Arranjo e Combinação)
Consideramos cinco processos diferentes de contagem:
1.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Quando há uma sequência de eventos em que o 1º pode ocorrer de n1 maneiras, o 2º de
n2 maneiras diferentes, etc, então usamos o produto n1 . n2 ... nk
2.
REGRA DO FATORIAL
Quando há n objetos distintos e todos eles entrarão nos diferentes arranjos usaremos a
permutação
n P n = n  ( chamado n fatorial )
obs: é um arranjo com a totalidade dos elementos.
3.
REGRA DOS ARRANJOS (ELEMENTOS DISTINTOS)
Se existem n objetos ( ou elementos) diferentes e se apenas alguns deles ( r) entrarem
nos diferentes arranjos distintos utilizamos a expressão:
n Pr =
4.
n  / ( n – r )  = n. (n – 1). (n – 2).... ( n – r + 1)
REGRA DOS ARRANJOS ( COM ALGUNS ELEMENTOS IDENTICOS )
Se existem n elementos com n1 iguais, n2 iguais.... utilizaremos o número de arranjos
(permutação com todos eles) dado por:
n  / n1  . n2  . ... nk 
5.
REGRA DAS COMBINAÇÕES
Para selecionar r elementos de n elementos diferentes, não importando a ordem, usa-se
a expressão:
n
n C r =
r = n / r(n–r)
Obs: a ordem importa? arranjo ou permutação.
a ordem não importa? combinação.