po21303193515 - fhi, a razão da nossa proporção ser divina!

FHI, A RAZÃO DA NOSSA PROPORÇÃO SER DIVINA!
Semíramis Coelho da Silva Guabiraba, Universidade
Luterana do Brasil, [email protected]
Malcus Cassiano Kuhn Universidade
Luterana do Brasil, [email protected]
Introdução
“É impossível explicar honestamente as belezas contidas nas
leis da natureza, de uma forma que as pessoas possam sentí-las, sem
que elas tenham uma boa compreensão da Matemática”.
(RICHARD FEYNMAN)
Certas formas capturam nosso olhar e mexem com nossos sentidos, bem mais do
que outras e, mesmo que não saibamos a princípio o que as diferenciam umas das
outras, temos uma sensação de harmonia, encantamento e perfeição. Quando
examinamos profundamente o padrão de uma flor, uma concha ou o balanço de um
pêndulo, descobrimos uma ordenação incrível, que desperta em nós o maravilhoso que
experimentávamos quando crianças. Algo infinitamente maior do que nós se revela, e
percebemos que o ilimitado emerge dos limites, dos padrões bem definidos.
Algumas das referências mais antigas aos prazeres que essas formas causam aos
nossos sentidos, e sua ligação com a Matemática estão ligadas ao nome do filósofo
grego Pitágoras (569 – 500 a.C.) que observou, na Natureza, a ocorrência de certas
combinações e relações entre números. Para Pitágoras, a explicação da ordem e da
harmonia na Natureza iria ser encontrada na ciência dos números.
Quando você acha algo muito bonito ou entra num lugar que transmite uma
inexplicável sensação de harmonia, saiba que isso acontece por causa de determinadas
formas que obedecem a uma regra geométrica especial, chamada de proporção áurea.
Uma flor, uma construção, as ondas do mar ou a disposição das sementes no interior de
uma maçã: a Matemática está presente em tudo que é belo.
O Número de Ouro
Também chamado de razão áurea, razão de ouro, divina proporção, proporção
em extrema razão, divisão de extrema razão, o número de ouro é encontrado a partir da
razão entre a medida de um segmento AB e as medidas de suas partes AC e CB.
Relativamente a esta divisão, o matemático alemão Zeizing formulou, em 1855,
o seguinte princípio: "Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo
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do ponto de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação
que entre esta e o todo."
O número de ouro É representado pela letra grega Φ (fhi maiúsculo) em
homenagem ao matemático grego Fídias e seu valor aproximado é 1,618.
1 Contexto Histórico
“A geometria possui dois grandes tesouros: um é o teorema de
Pitágoras; o outro, a divisão de uma linha em extrema e média razão.
O primeiro, podemos comparar a uma medida do áureo; ao segundo,
podemos chamar de jóia preciosa.” (KEPLER, 1571 – 1630)
A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos
numéricos que apareciam na natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas
provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina.
Um outro fato familiar à escola de Pitágoras era que há cinco, e somente cinco
sólidos convexos regulares que podem cada um, ser circunscritos por uma esfera: o
tetraedro, o cubo, o octaedro, o icosaedro e o dodecaedro.
Um gosto pelos mistérios levou os gregos antigos a atribuir um significado
especial ao último deles: suas doze facetas regulares correspondiam aos doze signos do
zodíaco. Era um símbolo do Universo. Mais que isso, cada face pentagonal, associada à
divisão áurea, era de um interesse especial para os pitagóricos. O ponto P de duas
diagonais divide cada uma delas na proporção áurea (Figura 1). P divide AQ e AB
internamente e QB externamente nessa proporção. Um outro fato do conhecimento
desses antigos geômetras era que a razão do raio do circuncírculo de um decágono
regular para um dos lados é a razão áurea.
No final do séc XII o matemático Fibonacci, provou através de uma fórmula
numérica que de um retângulo que possuía seus lados proporcionais em extrema e
média razão, chamado de retângulo perfeito, derivam uma infinidade de quadrados e
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retângulos todos com as mesmas proporções do primeiro que, em projeções
harmoniosas, cria-se uma série de espirais que são a essência da vida.
Os arquitetos e escultores gregos incorporavam esta razão em suas obras. Fídias,
o famoso escultor grego, fazia uso delas. As dimensões do Partenon (Figura 2), em
Atenas, construído no século V a.C., podiam ser encaixadas quase exatamente em um
retângulo áureo quando seu frontão triangular ainda estava intacto.
Figura 2: Partenon
Assim, sugeriu-se, no início do século XX, que a letra grega Φ – a letra
inicial do nome de Fídias – fosse adotada para designar a razão áurea. A ubiqüidade do
Φ (fhi) na matemática despertou o interesse de muitos matemáticos na Idade Média e
durante a Renascença. Em 1509, foi publicado um tratado de Luca Pacioli, De Divina
Proportione, ilustrado por Leonardo da Vinci. Reproduzido em 1956 em uma vistosa
edição, é um compêndio fascinante da aparição do fhi em várias figuras planas e sólidas.
No Renascimento, demonstrou-se que o corpo humano (Figura 3) obedece à
regra de ouro: o umbigo divide a altura do corpo humano em dois segmentos que estão
na razão de ouro; a altura do seu crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça; a
medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax; a medida do seu ombro à ponta do
seu dedo e a medida do seu cotovelo à ponta do seu dedo; o tamanho dos dedos e a
medida da dobra central até a ponta; a medida da dobra central até a ponta dividido e da
segunda dobra até a ponta; a medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho ao
chão.
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Figura 3: Corpo Humano
Há registros históricos de que um grego mediu as alturas de 65 mulheres e
comparou os resultados com as alturas de seus respectivos umbigos, tendo obtido a
média de 1,618.
Da Vinci também usou o número de ouro em suas obras e se aplicarmos o
retângulo na face da Monalisa (Figura 4), veremos que tem um rosto onde estas
proporções são exatas. E se dividirmos o referido retângulo por uma linha que passe nos
olhos, o novo retângulo obtido também é de ouro e o próprio tamanho do quadro
representa a razão de ouro.
Figura 4: Monalisa
2. Construção do retângulo áureo e da espiral logarítmica
Seja um segmento AB, com medida x, qualquer, trace uma perpendicular em B
cuja altura deve ser 0,618 de x, construindo um retângulos áureo como mostra a figura
5.
5
Figura 5
Determine um ponto E em AB , tal que EB = BC e traçando uma perpendicular
teremos um quadrado e um retângulo, repetindo o processo no retângulo ADEF e, em
cada retângulo que aparece (Figura 6).
Figura 6: Retângulo áureo
Centro em E, faz-se o arco BF. Com raio DF determina-se G em AD e H em
EF.Com raio HF e centro em H, traça-se o arco GF (Figura 7).
Figura 7
Repetindo sucessivamente o procedimento acima, determina-se a Espiral
Logarítmica também chamada Espiral Equiangular (Figura 8).
Figura 8: Espiral Logarítmica ou Equiangular
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3. Cálculo Algébrico do Número de Ouro
O problema de determinar a divisão áurea de uma reta está solucionado
em Euclides II, 11. Este tem sido um ponto de interesse para os matemáticos durante
mais de vinte séculos:
Tomemos um segmento AB de comprimento 1u, dividido em dois segmentos pelo
ponto C (Figura 9). Tomemos a e 1-a como comprimentos de AC e CB,
respectivamente. Se C é um ponto tal que 1 está para a assim como a está para 1-a, C é
a secção áurea ou divisão áurea de AB.
Figura. 09
Na terminologia dos matemáticos antigos, AB está dividida pelo C em “extrema
e média razão”. Kepler a chamava de “divina proporção”.
Tomemos como base o segmento AB da figura 02. Sendo a medida (AB) = 1, a medida
(AC) = a e medida (CB) = (1 – a), temos:
O valor algébrico de fhi pode ser calculado facilmente a partir da relação acima:
Por se tratar de um cálculo envolvendo medida, desprezaremos a raiz negativa, logo:
a=
Sendo a a medida do segmento maior dizemos que 0,618... é denominado SECÇÃO
ÀUREA do segmento AB.Assim, temos que:
7
=
O número 0,618... é o inverso do número de ouro.
4 Outras relações associadas ao Número de Ouro
O fhi também está relacionado com qualquer seqüência de inteiros formada de
acordo com a lei segundo a qual cada termo é a soma dos dois termos anteriores,
quaisquer que sejam os dois primeiros termos: u n 1  u n  u n 1 . A razão de termos
sucessivos,
u n 1 / u n , aproxima-se cada vez mais de fi à medida que n aumenta.
Podemos tomar, como exemplo aleatório, 5 e 2 como termos iniciais, u1 e u 2 , dando a
seqüência 5, 2, 7, 9, 16, 25, ..., 280, 453, 733, ..., 13153, 21282, ..., a partir da qual
podemos determinar aproximações do fi:
16/9 = 1,7777...
453/280 = 1,6178...
733/453 = 1,6181...
21282/13153 = 1,61803...
Este processo nos leva cada vez mais próximos do valor de fi, que até a sétima
casa decimal é 1,6180340. Alguns cálculos demonstrarão que as aproximações oscilam,
sendo alternadamente maiores e menores que fi: 453/280 = 1,6178... < Φ, 733/453 =
1,6181... > Φ.
Na ausência de qualquer restrição aos dois termos iniciais da série, podemos
começar com os mais simples, o que resulta na série de Fibonacci, assim chamada por
Edward Lucas em 1877: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... . Calculando
u 40 / u 39 a partir da seqüência de Fibonacci chegamos mais uma vez a razão áurea, ou
seja,
u 40 / u 39 = 102334155/63245986 = 1,61803398...
A apreciação da arte baseia-se em dois fatores distintos, um hereditário e o outro
que depende de treinamento, um da natureza, outro da educação. O primeiro é
instintivo, baseado no inconsciente racial. O segundo, o fator educativo, desenvolve-se
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através do treinamento. A fome é instintiva, mas a preferência pelo leite materno, que
independe de qualquer educação consciente, pode evoluir, através do treinamento, para
uma predileção por chocolate ou queijo. Tanto na matemática como na música, há
certas combinações que exigem somente um mínimo de educação artística para a sua
apreciação como objetos de beleza. Na matemática, o círculo, a elipse, o quadrado; na
música, intervalos musicais simples – podem estimular alguma resposta emocional com
treinamento preliminar significante.
Certas mensagens nervosas recebidas pelos centros visuais do cérebro podem
despertar ecos associativos nos centros auditivos. Há três intervalos musicais
emocionalmente potentes que se destacam de todos os demais graças à sua consonância:
são o uníssono, a oitava e a sexta maior. Estes intervalos são esteticamente agradáveis
porque estes pares de notas não produzem vibrações entre os seus harmônicos. As
vibrações são características da dissonância que ofende o ouvido como desafinação.
Correspondentes aos três intervalos musicais agradáveis, há três retângulos próprios:
Intervalo Musical
Uníssono
Oitava
Sexta Maior
Razões de
Freqüências
256:256 = 1:1
512:256 = 2:1
512:320 = 8:5
Retângulo
Quadrado
Quadrado duplo
Retângulo áureo
Razão dos
segmentos laterais
1:1
2:1
8:5
De acordo com a observação e a experiência, o intervalo musical que maior
satisfação proporciona ao maior número de pessoas é a sexta maior, com razão de
freqüência equivalente a 8:5, aproximadamente. O que corresponde ao prazer que se
experimenta quando se contempla o retângulo áureo, cujos lados adjacentes acham-se
na proporção de Φ:1, que é aproximadamente igual a 8:5.
5 O Número de Ouro em diversas àreas
Da mesma forma, podemos encontrar as relações áureas na configuração de
alguns animais e plantas, encontrar proporções similares em conchas, nos girassóis e em
vários outros elementos da natureza.
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Figura 10: Concha
Figura 11:
Figura 12:
Girassol
Atualmente
essa
proporção
ainda
Sementes de maçã
é
muito
usada.
Ao
padronizar
internacionalmente algumas medidas usadas em nosso dia-a-dia, os projetistas
procuraram "respeitar" a proporção divina. A razão entre o comprimento e a largura de
um cartão de crédito, alguns livros, jornal, uma foto revelada, entre outros.
Como diz Biembengut, “É dito que onde houver “harmonia” lá
encontraremos o Número de Ouro”. Este número Φ (fhi) é indicado como a máxima
expressão da harmonia e equilíbrio.
Considerações finais
Observamos a importância da Razão Áurea no desenvolvimento da humanidade.
Seja nas construções, nas observações da natureza ou na procura pela perfeição e pelo
belo, o número Φ (fhi) está sempre presente. Ainda hoje ele se faz presente nos estudos
e desenvolvimentos de novos produtos, que comumente seguem a Razão Áurea para
que sejam visualmente atrativos.
Pensar matematicamente acerca do mundo que nos rodeia, é ser capaz de ler a
natureza e entendê-la através de uma linguagem que nem sempre é imediatamente
perceptível, sob a qual, a natureza foi construída ou criada, ou simplesmente escrita.
A experiência de perceber a beleza da matemática é tão difícil de interpretar,
para as pessoas, quanto de transmiti-la para um aluno. Ela é assimilada, e não ensinada.
O estudante pode apenas ser encorajado a ver o esplêndido da visão por si mesmo. O
prazer, mediado através do intelecto, origina em estratos inferiores da mente a arena das
emoções. Poincaré apud Huntley (1985), escreveu:
“Pode parecer surpreendente que a sensibilidade deva ser apresentada
simultaneamente com as demonstrações matemáticas, as quais, parece-me,
podem interessar somente ao intelecto. Mas não se tivermos em mente o
senso da beleza matemática, da harmonia e das formas e da elegância
geométrica. Ela é uma sensação estética real que todos os matemáticos
verdadeiros reconhecem, e esta é a verdadeira sensibilidade... As
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combinações úteis são precisamente as mais belas; refiro-me àquelas que
mais podem encantar aquela sensibilidade especial que todos os matemáticos
conhecem mas acerca das quais os leigos são tão ignorantes que muitas
vezes ficam tentados a rir delas”. (p.140 -141)
A proporção áurea tem o poder de criar harmonia porque une diferentes partes,
de tal forma que cada uma mantém sua identidade e ao mesmo tempo se integra ao todo.
Ela nos mostra que as limitações não são apenas restritivas, mas também criativas. E
isso não vale só para as formas, mas para tudo nesta vida. Afinal, respeitar e integrar as
diferenças entre as pessoas, por exemplo, cria muita harmonia.
Mais um motivo para prestar atenção nessa organização maravilhosa que rodeia
a todos nós e perceber a beleza de cada coisa, de cada pessoa, de cada instante.
Referências
AFONSO, Luís. Proporções, medidas de grandeza e unidades-padrão. Disponível
em: <http://www.revista-temas.comcontacto/NewFiles/Contacto13.html> Acesso em
em 26 ago. 2006.
BIEMBENGUT, Maria Salett. Número de ouro e secção áurea: Considerações e
sugestões para a sala de aula. Blumenau: Ed da FURB, 1996.
HUNTLEY, H. E. A Divina Proporção: um ensaio sobre a beleza na Matemática.
Trad. de Luís Carlos Ascêncio Nunes. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1985.
MARILVIA, e Oliveira. Disponível em: < http://www.sophie.org.br/sophie/ponto.asp >
acesso em 26 ago.
READ, Herbert. As origens da Forma na Arte. 2.ed. Rio de Janeiro: Zahar editores,
1981.