O número de ouro - A Magia da Matemática

O número de ouro
As relações entre o número de ouro, a
seqüência de Fibonacci, o Triângulo de
Pascal, as Artes, a Natureza e o
Cotidiano das Pessoas.
Ilydio Pereira de Sá – USS / UERJ
Diz-se que um segmento de reta está dividido em duas
partes, na razão áurea ou divina proporção, quando o
todo está para a maior parte, na mesma razão em que
esta parte está para a outra. Tal relação gera o valor
1,618034..., que é o irracional, denominado número de
ouro.
O número de ouro é representado pela letra grega  (Fi),
em homenagem a Fídias (Phideas), famoso escultor
grego, por ter usado a proporção de ouro em muitos dos
seus trabalhos.
Um Método para a divisão de um segmento AB,
na razão áurea.
1) Inicialmente determina-se a mediatriz
de AB, que corta o segmento no ponto O.
2) A partir de B, levanta-se uma
perpendicular a AB.
3) Com centro em B e raio BO,
determina-se o ponto C.
4) Traça-se o segmento CA.
5) Com centro em C e raio CB,
determina-se D, sobre CA.
6) Com centro em A e raio AD,
determina-se E, sobre AB. Finalmente
tem-se que: AE é o segmento áureo de
AB.
JUSTIFICATIVA MATEMÁTICA DO MÉTODO
O RETÂNGULO DE OURO
O RETÂNGULO DE OURO NAS ARTES
No quadro Mona Lisa pode-se observar a proporção
áurea em várias situações. Por exemplo, ao se construir
um retângulo em torno de seu rosto, vê-se que este é
um retângulo de ouro.
Pode-se também subdividir este retângulo usando a
linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e tem-se
novamente a razão de ouro.
Pode-se continuar a explorar esta proporção em várias
outras partes do corpo. As próprias dimensões do
quadro formam igualmente um retângulo áureo.
Decompondo a figura num quadrado e num retângulo, o retângulo
obtido tem as proporções de ouro. Curiosamente esta divisão permite
que o retângulo de ouro enquadre as partes mais importantes da
figura: o anjo e a jovem, se o quadrado for construído no lado direito
ou no lado esquerdo, respectivamente.
Construção do Retângulo de Ouro, a partir de um
quadrado de lado unitário
A ESPIRAL DE OURO
A SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI
A seguir será analisada uma importante seqüência, que está relacionada
ao número de ouro e que surgiu de um curioso problema proposto pelo
matemático Leonardo de Pisa (Fibonacci – Filho de Bonacci). Veja o
seguinte problema:
"Quantos pares ou casais de coelhos serão produzidos, por exemplo em
um ano, começando-se com um só par, se em cada mês cada par gera
um novo par, que se torna produtivo a partir do segundo mês?". Este
problema considera que os coelhos estão permanentemente fechados
num certo local e que não ocorrem mortes. A tabela a seguir mostra a
progressão dos casais, até o mês 16.
Listando a seqüência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987... na
margem dos seus apontamentos, ele observou que cada um dos números a partir do
terceiro é obtido pela adição dos dois números antecessores, e assim pode-se fazêlo em ordem a uma infinidade de números de meses. Esta seqüência é conhecida,
atualmente, como a seqüência ou sucessão de Fibonacci.
O TRIÂNGULO DE PASCAL, A SEQÜÊNCIA DE
FIBONACCI E O NÚMERO DE OURO
O que tem a ver a seqüência de Fibonnacci com o triângulo de Pascal? Veja
que interessante, a seqüência aparece através da soma de vários números
binomiais (do triângulo de Pascal), localizados acima e ao lado direito do
número anterior, veja abaixo:
Existem diversas razões,
envolvendo as medidas de
um corpo humano, que
também geram o número de
ouro. Ao lado um esquema
mostrando algumas dessas
razões.
Principalmente com os exemplos aqui mostrados, vê-se que a matemática está
presente em todos os domínios científicos. Dos girassóis às imagens médicas
mostradas nos eletrocardiogramas ou outros exames mais complexos, das
flutuações da bolsa aos tornados, a matemática também mostra e evidência a sua
unidade através de fenômenos da natureza.
Mais do que uma ferramenta, mais do que uma linguagem comum a todas as
culturas, a matemática é uma ciência, trazendo, cada vez mais, surpresas na
compreensão do nosso Universo. Para concluir pode-se citar o grande Mestre
Galileu Galilei:
«O grande livro do Universo está escrito em linguagem matemática.»
Galileu (1564-1642)