(A→B) ↔ (B→A) (b) (A ∨ ¬A) → (B ∧ ¬B)

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Profa.: Ana Florência
[email protected]
Apresentação
 Prof. Ana Florência Chagas Mota
 Formado em Sistemas de Informação – UFPI
 Especialista em Redes e Segurança de Sistemas- INTA
 Mestrando em Ciência da Computação – UFMA
 Linha de Pesquisa:




Computação Gráfica
Processamento de Imagens
Redes de Computadores
etc
 E-mail: [email protected]
2
Objetivos
 Geral
 Desenvolver o raciocínio lógico-matemático, utilizando
a lógica como recurso para o desenvolvimento de
habilidades em informática, em particular, programação
estruturada e análise de algoritmos;
3
Objetivos
 Específicos
 1. Conhecer os mecanismos lógicos necessários para
realizar um processo dedutivo;
 2. Conhecer os procedimentos, conceitos, descrições e
representações lógicas do conhecimento humano;
 3. Familiarizar-se com a inferência lógica e reconhecer
como esta pode ser usada em informática e em outras
ciências.
 4. Utilizar as estruturas Lógicas de Decisão na
construção de Algoritmos e sistemas computacionais.
4
Conteúdo Programático
 MÓDULO I – Lógica Proposicional- 30 h
1. Proposições e Conectivos;
2. Conectivos: Negação, Conjunção, Disjunção,
Condicional e Bicondicional;
3. Construção da tabela verdade de uma
proposição composta e
4. Tautologia, Contradição e Contingência.
5
 MÓDULO II – Lógica de Predicados - 30h
1. Sentenças Abertas e Quantificadores
2. Quantificadores Universal e Existencial;
3. Interpretação, valor lógico de uma proposição com
Quantificador;
4. Negação de proposições com Quantificadores
universal e existencial;
5. Implicação e equivalência entre proposições
Quantificadas;
6. Definição de argumento: premissa e conclusão;
7. Validade de um argumento;
8. Axiomas, Regras de Inferência e Teoremas: prova
formal de validade
9. Teoremas e argumentos válidos.
6
 MÓDULO III – Lógica Digital - 20h
1. Conectivos Lógicos e Portas Lógicas;
2. Circuitos Sequenciais
3. Circuitos Combinacionais;
4. Confecção de Circuitos Lógicos Digitais;
5. Expressões Booleanas;
6. Funções Booleanas;
7. Circuitos e Expressões;
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Ementa
 Sentido
Lógico-matemático
convencional
dos
conectivos. Argumentos. Regras de formação de
fórmulas. Sistemas dedutivos. Lógica Sentencial.
 Decidibilidade da Lógica Sentencial. A Lógica de
Predicados de primeira ordem. Valores-verdade.
Funções de Avaliação.
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Bibliografia Básica
 ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica
matemática. São Paulo: Nobel, 1975.
 DAGLIAN, Jacob. Lógica e álgebra de Boole. 4ed, São
Paulo: Atlas, 1995.
 GERSTING, Judith L. Fundamentos matemáticos para
a ciência da computação. 4ed, Rio de Janeiro: LTC,
2001.
9
Bibliografia Complementar
 LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino
médio. vol 1 e 2, Rio de Janeiro: SBM, 1996.
 IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de matemática
elementar. vol 1 e 5, Rio de Janeiro: Atual, 1993.
 PAIVA, Manoel. Matemática II. São Paulo: Moderna,
2000.
10
Aulas
 Quarta- feira: 19:00 – 20:40h
 Quinta- feira: 19:00 – 20:40h
11
Notas
 P1 = prova 1;
 C= case;
 P2= prova 2.
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LÓGICA MATEMÁTICA E
COMPUTACIONAL
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O que é lógica
14
Lógica é:
 é o estudo sobre a natureza do raciocínio e do
conhecimento.
15
Usada:
 para formalizar e justificar os elementos do raciocínio
empregados nas demonstrações / provas de teoremas.
16
Baseada:
 em um mundo bivalente ou binário (visão restrita do
mundo real), onde os conhecimentos são
representados por sentenças que só podem assumir
dois valores verdade (verdadeiro ou falso).
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Lógica Proposicional
 a forma mais simples de lógica. Nela os fatos do
mundo real são representados por sentenças sem
argumentos, chamadas de proposições.
 Exemplo:
18
Definição (proposição)
 uma proposição é uma sentença, de qualquer natureza,
que pode ser qualificada de verdadeiro ou falso.
 Exemplo:
1 + 1 = 2 é uma proposição verdadeira da aritmética.
0 > 1 é uma proposição falsa da aritmética.
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Observação!
 Se não é possível definir a interpretação (verdadeiro ou
falso) da sentença, esta não é uma proposição. Alguns
exemplos deste tipo de sentença são apresentados
abaixo:
 Frases Interrogativas (ex: Qual o seu nome?).
 Frases Imperativas (ex: Preste atenção!).
 Paradoxos Lógicos (ex: Esta frase é falsa).
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Exercício 1
21
Lógica e Informática
 Na computação, a lógica pode ser utilizada, entre
outras coisas, para:
 Conceber circuitos lógicos (o raciocínio do computador
é um raciocínio lógico);
 Representar conhecimento (programação lógica);
 Validar algoritmos e corrigir programas (testes lógicos
das especificações em engenharia de software).
22
SINTAXE
23
Linguagem e alfabeto
O conjunto de fórmulas da lógica
denominado L∅ (lógica de ordem ∅).
proposicional
é
Cada fórmula deste conjunto é uma proposição gerada pela
concatenação de símbolos pertencentes ao alfabeto da lógica
proposicional, definido inicialmente.
24
Este alfabeto é infinito, constituído por:
- Símbolos verdade: true e false;
- Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, P2, P3, etc;
- Conectivos proposicionais: ¬ (não), ∨ (ou inclusivo), ∧
(e), → (implica ou “se, então”) e ↔ (equivalência, biimplicação ou “se e somente se”); e
- Símbolos de pontuação: ( e ).
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Regras
As fórmulas proposicionais são construídas, a partir do
alfabeto proposicional, de acordo com as seguintes regras:
1. Todo símbolo verdade é uma fórmula;
2. Todo símbolo proposicional é uma fórmula;
3. Se P é uma fórmula, então a sua negação (¬P) também é
uma fórmula;
4. Se P e Q são fórmulas, então:
4.1. A disjunção de P e Q (P ∨ Q) também é uma fórmula;
4.2. A conjunção de P e Q (P ∧ Q) também é uma fórmula;
4.3. A implicação de P em Q (P → Q) também é uma
fórmula;
4.4. A bi-implicação de P e Q (P ↔ Q) também é uma
fórmula;
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Exemplos de Fórmulas Válidas
(P ∨ Q) ( (¬R) → X) ( (P ↔ (¬Y) ) ∨ (Q → (R ∧ V) ) )
As construções acima são fórmulas proposicionais, pois podem ser
derivadas a partir da aplicação das regras de construção descritas.
Exemplos de Fórmulas Inválidas
PQR (R True →) ( False ∨∧ (↔ Q P) )
As construções acima não constituem fórmulas proposicionais, pois não
é possível derivá-las a partir das regras descritas.
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Exercício 2
28
Precedência dos conectivos
Os símbolos de pontuação (parênteses), assim como na
aritmética, são empregados para priorizar um “cálculo
proposicional”. Esses símbolos podem ser omitidos quando
isto não altera o significado da fórmula proposicional.
Ex: ((¬(¬P)) → Q) ≡ ¬¬P → Q
OBS: A fórmula ¬(X ∧ Y) não pode ser escrita sem parênteses:
¬(X ∧ Y) ≠ ¬X ∧ Y.
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Se em uma fórmula, os parênteses não são usados, o cálculo
proposicional deve seguir a seguinte ordem de prioridade:
¬
→e↔
∨e∧
Ex:
(maior precedência)
(menor precedência)
(precedência intermediária)
P ∨ Q → R ≡ (P ∨ Q) → R
¬P ∧ Q ↔ R ≡
30
Exercício 3
31
Exercício de Fixação
32
Obrigada!
Por hoje é só!!!
33
Aula 1
01/08/2013
Proposições e Operadores Lógicas
Construção de Tabelas – Verdade para Fórmulas
Tautologias
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Comprimento de Fórmula
O comprimento de uma fórmula proposicional H, denotado COMP[H], é
definido como segue:
-Se H é um símbolo verdade ou proposicional, então COMP[H] = 1;
-Se ¬H é uma fórmula proposicional, então COMP[¬H] = COMP[H] + 1;
- Se (P v Q) é uma fórmula proposicional, sendo v um dos conectivos
binários, então COMP[P v Q] = COMP[P] + COMP[Q] + 1.
Ex: COMP[ (P ∧ Q) ↔ R ]
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Subfórmulas
O conjunto formado pelas subfórmulas de uma fórmula
proposicional contém todos os pedaços válidos desta
fórmula, inclusive ela mesma. Este conjunto é formado
pelas seguintes regras:
-H é uma subfórmula de H;
-Se H = (¬P), então P é uma subfórmula de H;
-Se H = (P -> Q), sendo -> um dos conectivos binários,
então P e Q são subfórmulas de H;
- Se P é subfórmula de H, então toda subfórmula de P
também é subfórmula de H.
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Semântica
 A semântica associa um significado a cada objeto
sintático. Assim, quando se escreve a fórmula P∧Q,
dependendo dos valores de P e Q, esta fórmula pode
ser verdadeira ou falsa.
.....
37
Proposições e Operadores
Lógicos
Proposição Lógica
Considere que A, B, C, ... sejam símbolos usados para
representar (denotar) qualquer frase ou sentença que pode
assumir apenas um de dois valores verdade: ou a frase é
verdadeira (ela diz uma verdade) ou ela é falsa (diz uma
falsidade). Diz-se também que os símbolos A,B, C, ...
denotarão proposições lógicas.
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Conjunção de Proposições
Considere que o símbolo ∧ será usado para representar o
conetivo “e”, em sentenças como “gatos são mamíferos e
canários são aves”, “3 < 5 e 2+3=5”, etc.
Diz-se que o símbolo ∧ representa a conjunção lógica
das proposições A e B.
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Disjunção de Proposições
O símbolo ∨ será empregado para representar um dos
significados usuais do conetivo “ou” em frases da
linguagem natural.
O significado assumido por este símbolo é o do “ou
inclusivo” que somente será falso se ambas as sentenças
sendo conectadas por ele forem falsas, isto é, A ∨ B será
falso somente se ambos A e B forem falsos.
Diz-se que o símbolo ∨ representa a disjunção lógica das
proposições A e B.
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Implicação
O símbolo → será usado para representar sentenças como
“se chover, então a rua ficará molhada”, ou então “não
estudar implica em tirar notas baixas” ou também “não fui
ao cinema porque o carro estragou” e sentenças similares.
Geralmente estas sentenças podem ser reescritas no
formato “Se sentença A, então sentença B” que
simbolicamente fica apenas: A → B.
A noção que este operador lógico pretende capturar é a de
existência de implicação ou de consequência entre as
sentenças.
....
41
Dessa forma a sentença B não poderia ser falsa se a
sentença A fosse verdadeira.
Isto significa que considera-se que a sentença
simbolizada por A→B seria falsa somente no caso em
que A é verdadeiro e B falso.
Nos outros casos a expressão A→B seria verdadeira.
42
Bi-implicação ou Equivalência Lógica
O último conectivo lógico apresentado acima, o conectivo
↔ de bi-implicação ou de equivalência lógica é, na
verdade, uma abreviação da seguinte fórmula:
(A→B) ∧ (B→A)
ou seja:
(A↔B) = (A→B) ∧ (B→A)
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Construção de TabelasVerdade para Fórmulas
Para se construir a tabela-verdade de uma fórmula lógica pode-se
seguir os seguintes passos:
(i) nas colunas à esquerda coloque os símbolos sentenciais simples
(A, B, ...), depois
(ii) se houverem sentenças simples negadas (¬A, ¬B, ...) coloque-as
nas
próximas colunas e por fim
(iii) seguindo a precedência crie uma coluna para cada fórmula
composta (não é necessário repetir as sentenças simples negadas).
A última coluna a direita deve ser a expressão ou fórmula final.
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A sentenças ou símbolos proposicionais simples pertencentes a uma
fórmula definem o número de linhas da tabela-verdade para esta
fórmula através de uma regra simples:
1 símbolo: A 2 linhas (21 combinações: V e F)
2 símbolos: A e B 4 linhas (22 combinações: VV, VF, FV, FF)
3 símbolos: A, B e C 8 linhas (23 combinações: VVV, VVF, VFV, VFF,
FVV, FVF, FFV, FFF)
4 símbolos: A, B, C e D 16 linhas (24 combinações)
n símbolos: A, B, ... 2n linhas (2n combinações)
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Exercício
Agora construa
fórmulas:
tabelas-verdade
para
as
seguintes
(a) (A→B) ↔ (B→A)
(b) (A ∨ ¬A) → (B ∧ ¬B)
(c) ¬((A ∧ ¬B) → ¬C)
(d) (A→B) ↔ (¬B → ¬A)
(e) ((A ∧ B ∧ C) ∨ ¬(¬B ∨ A) ∨ (A ∧ ¬C)) → (C ∨ ¬A)
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Tautologias
Uma tautologia é uma fórmula que assume apenas o valor V, ou
seja, que é sempre verdadeira.
Uma tautologia é “intrinsecamente verdadeira” pela sua própria
estrutura; ela é verdadeira independente de qualquer valor lógico
atribuído as suas letras de proposição.
47
Uma contradição é o oposto de uma tautologia, ou
seja, é uma fórmula que assume apenas o valor F
independente de qualquer combinação de valores
verdade atribuída às proposições lógicas simples que
entram em sua composição.
48
Exercício
Descobrir quais das seguintes fórmulas são tautologias,
contradições ou fórmulas contingentes (fórmulas “simples”
que não são tautologias ou contradições).
(a) A ∨ B ↔ B ∨ A
(b) (A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ (B ∨ C)
(c) ¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∧ ¬B
(d) (A ∧ B) ∧ B ↔ ¬((B ∧ A) ∧ A)
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Exercício de classe
50
Equivalências Tautológicas e
Leis de DeMorgan
51
Equivalências Tautológicas
 P e Q sejam fórmulas tautológicas;
 P bi- implicação Q seja uma tautologia;
 Sempre que P for V numa dada linha da tabela verdade, a
fórmula Q deverá ser V nesta linha.
 O mesmo acontece quando P for F.

Neste caso se diz que P e Q são fórmulas equivalentes.
OBS: Essa propriedade é denota pelo operador
<-> bi-implicação de equivalência tautológica.

52
 Na tabela a seguir são apresentadas algumas
equivalências tautológicas que definem propriedades
importantes da disjunção e da conjunção:
53
 Na tabela as seguir são apresentadas equivalências
tautológicas que permitem reescrever ou redefinir os
outros operadores:
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Atividade em sala
 Demonstrar, pelo uso da tabela- verdade, as
equivalências tautológicas acima ( não precisa repetir
as demonstrações para a equivalência comutativa,
associativa e contraposição).
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Leis de De Morgan
 As equivalências vistas permitem efetuar vários tipos
de manipulações ou alterações numa fórmula sem que
ela altere seu significado.
 Maneira de se converter proposições conectadas pelo
conectivo (ou) em proposições conectadas pelo
conectivo (e).
 Essas equivalências são denominadas Leis de De
Morgan.
56
Obrigada!
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