Linguagem da Lógica proposicional

06/03/2012
INTRODUÇÃO
Lógica para
computação
Professor Marlon Marcon
INTRODUÇÃO
• Assim, todo sistema lógico, que é aparato formal
para a representação e obtenção da informação,
tem, pelo menos duas partes:
o Uma linguagem, por meio da qual proposições (ou sentencas) de outras
linguagens podem ser expressas;
o Um mecanismo de inferência, por meio do qual argumentações (ou
deduções) efetuadas em outras linguagens podem ser checadas e
argumentações (ou deduções) do proprio sistema podem ser efetuadas.
• O objetivo geral da logica formal é a mecanização
do raciocnio, ou seja, A obtenção de informação a
partir de informações prévias por meio de recursos
que podem ser implementados em um
computador.
• Qualquer forma de raciocínio tem, pelo menos,
dois aspectos: a representação da informação em
uma linguagem adequada e a aplicação de
mecanismos de inferência a informação
representada, para a obtenção da nova
informação.
INTRODUÇÃO
• O sistema lógico mais simples é a Lógica Proposicional,
e o estudo deste segue três passos básicos:
• Especificação de uma linguagem, a partir da qual o
conhecimento é representado.
o Considera os conceitos de sintaxe e semântica associados à linguagem
• Estudo de métodos que produzam ou verifiquem as
fórmulas ou os argumentos válidos
• Definição de sistemas de dedução formal em que são
consideradas as noções de prova e consequência
lógica.
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Definição
LINGUAGEM DA LÓGICA
PROPOSICIONAL
• A definição da linguagem da lógica proposicional
é semelhante à definição de outras linguagens,
como por exemplo, a linguagem da lingua
portuguesa.
• Alfabeto
o { a, b, ..., z, A, B, ..., Z }
• A concatenação das letras “d” e “e” forma a
palavra “de”, que pertence à linguagem da lingua
portuguesa.
• Por outro lado a concatenação das letras “e” e
“d”, cujo resultado é “ed” não pertence.
Definição
• Nas linguas naturais, como o português, temos os
dicionários de determinam as palavras da
linguagem.
• No caso da lógica, não existe dicionário e sim
regras para formação das sentenças.
• Gramática
o É um conjunto de regras que determinam como as palavras e os simbolos
do alfabeto devem ser combinados para formar sentenças.
Sentenças
• Nas linguagens naturais as sentenças podem ser
classificadas como:
• Interrogativas = “Qual é seu nome?”
• Imperativas = “Lave as panelas agora!”
• Declarativas = “José é uma pessoa legal”
• Na lógica usamos as sentenças declarativas
somente.
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Sentenças
Proposição
• Portanto, a lógica considera sentenças somente do
tipo “Está chovendo”, que podem ser interpretadas
como verdadeiras ou falsas.
• Uma proposição não pode ser ambígua, exemplo:
o “Eu vi José com uma luneta”
• A definição de sentença, na verdade se confunde
com a definição de proposição:
• Sentença: sequência de palavras que obedecem
a certas regras gramaticais.
• Proposição: é uma sentença que pode ser ou não
verdadeira.
Validade de argumentos
Exemplo 1: O argumento que segue é válido?
Se eu ganhar na Loteria, serei rico.
Eu ganhei na Loteria.
Logo, sou rico.
É Válido
(a conclusão é uma decorrência
lógica das duas premissas.)
• A proposição não leva em conta a ordem das
palavras, e sim seu significado, exemplo:
o “José comeu o bolo”
o “O bolo foi comido por José”
Expressões
o “José comerá o bolo”
equivalentes
o “José come o bolo”
Validade de argumentos
Exemplo 2: O argumento que segue é válido?
Se eu ganhar na Loteria, serei rico
Eu não ganhei na Loteria
Logo, não sou rico
Não é Válido
(a conclusão não é uma decorrência
lógica das duas premissas.)
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Alfabeto da LP
Fórmulas da LP
Definição 1.1 (alfabeto)
O alfabeto da Lógica Proposicional é constituído
por:
Alguns livros
• Na LP, como na lingua portuguesa, não é qualquer
concatenação de palavras que forma uma
sentença;
• Símbolos de pontuação: (, );
• Simbolos de verdade: true, false;
descrevem como
VeF
• Simbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, Q1, R1, S1,
P2,...;
• Conectivos proposicionais: ¬, Λ, V, →, ↔.
o
o
o
o
o
¬: “não”
Λ: “ou”
V: “e”
→: “se ... então” ou “implica”
↔: “se, e somente se”, “sse” ou “bi-implicação”
Alguns livros
descrevem como ~
Fórmulas da LP
• Todo símbolo de verdade (true) é uma fórmula;
• Todo simbolo proposicional é uma fórmula;
• Se H é uma fórmula, então (¬H), a negação de H, é
uma fórmula;
• Se H e G são fórmulas, então a disjunção de H e G,
dada por: (H V G), é uma fórmula
• Se H e G são fórmulas, então a conjunção de H e G,
dada por: (H Λ G), é uma fórmula;
• Se H e G são fórmulas, então a implicação de H em G,
dada por: (H → G), é uma fórmula.
• Se H e G são fórmulas, então a bi-implicação de H em
G, dada por: (H ↔ G), é uma fórmula.
Definição 1.2 (fórmula)
• As fórmulas da Lógica Proposicional são
construídas, de forma indutiva, a partir dos símbolos
do alfabeto conforme as regras a seguir. O
conjunto das fórmulas é o menor conjunto que
satizfaz as regras:
Construção de fórmulas
• Exemplo 1:
o A partir das fórmulas P e Q, obtemos a fórmula (P V Q)
o Utilizando as fórmulas (P V Q) e true, obtemos a fórmula ((P V Q) →true)
• Este raciocínio pode ser repetido obtendo-se com
isso, infinitas fórmulas;
• Exemplo 2:
o PR
o (R true ↔ )
o (true → ↔ (R true →))
• As fórmulas acima não são válidas, pois não
podem ser obtidas a partir da Definição 1.2.
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Comprimento de uma
fórmula
Ordem de precedência
• Na LP utiliza-se parênteses para definir qual é a
ordem que os conectivos serão aplicados, quando
estes forem omitidos, utiliza-se a seguinte ordem:
Definição 1.4 (comprimento de uma fórmula)
• Seja H uma fórmula da Lógica Proposicional. O
comprimento de H, denotado por comp[H], é definido
como segue:
Definição 1.3 (ordem de precedência)
• Na lógica proposicional, a ordem de precedência
dos conectivos proposicionais é definida por:
• Maior precedência: ¬
• Precedência média:→ e ↔
• Menor precedência: Λ e V
•
•
•
•
•
•
Comprimento de uma
fórmula
• Exemplo 1:
• (P → Q) tem tamanho igual a 3
• Exemplo 2:
• (( P Λ Q) ↔ R) tem tamanho igual a 5
Se H = P ou é um simbolo de verdade, então comp[H] = 1
comp[¬H] = comp[H] + 1;
comp[H v G] = comp[H] + comp[G] + 1
comp[H Λ G] = comp[H] + comp[G] + 1
comp[H → G] = comp[H] + comp[G] + 1
comp[H ↔ G] = comp[H] + comp[G] + 1
• Os simbolos de pontuação não são considerados.
Subfórmula
Definição 1.5 (subfórmula)
• Seja H uma fórmula da Lógica proposicional,
então:
• H é uma subfórmula de H
• Se H é uma formula do tipo (¬ G), então G é uma
subfórmula de H;
• Se H é uma formula do tipo: (G v E), (G Λ E), (G→E)
ou (G ↔ E), então G e E são subfórmulas de H;
• Se G é subfórmula de H, então toda subfórmula de
G é subfórmula de H
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Subfórmulas
• As subfórmulas de (((P v S) Λ Q) ↔ R) são:
•
•
•
•
•
•
•
(((P v S) Λ Q) ↔ R);
((P v S) Λ Q);
(P v S);
R;
Q;
P;
S.
Exercícios – ordem de
precedência
2. Elimine o maior número possível de símbolos de
pontuação das fórmulas a seguir, mantendo a
representação da fórmula original:
Exercícios - fórmulas
1. Quais das expressões seguintes são fórmulas e quais
não são:
a)
b)
c)
d)
e)
¬¬¬R
(¬ R)
PQ
¬(PQ)
¬(¬P ^ ¬Q)
Exercícios – comprimento
e subfórmula
3. Determine o comprimento e as subfórmulas das
fórmulas a seguir:
a) ((¬ ¬P v Q) ↔ (P → Q)) Λ true
a) ((¬(¬P)) ↔ ((¬((¬(¬(P v Q))) → R)) Λ P))
b) ((P → ¬P) ↔ ¬P)v Q
b) ((P v Q) → (P → (¬ Q)))
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Exercícios
• Mais exercícios podem ser
encontrados nas páginas 10 e
11 do livro texto.
• João Nunes de Souza
• Lógica para Computação:
Uma introdução concisa
• 2ª Edição
• Editora Elsevier
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