PF - Instituto de Física / UFRJ

Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica – Fı́sica
III – 2012/2
Prova Final: 25/02/2013
Versão: A
Formulário
I
1
q
~ e = qE
~ ,
~ = k0 q r̂
~ ·dA
~ = Qint ,
~ = −∇V
~ ,
F
E
E
,
onde
k
=
E
V = k0 ,
0
r2
4πǫ0
ǫ0
r
S
Z
qq ′
1
~ ·dA
~ ,
~ = nq~v ,
U = k0
J
J
V = RI ,
,
C = Q/V ,
uE = ǫ0 E 2 ,
I=
r
2
S
I
~
~ m = q~v × B
~ ,
~ m = Id~ℓ × B
~ ,
~ A
~ = 0,
~ = µ0 Idℓ × r̂ ,
F
dF
B·d
dB
4π r 2
S
I
dΦ ~
1 B2
~
~ · d~ℓ = µ0 Ienc + µ0 ǫ0 dΦE
B
,
Eind = − B ,
ΦB
uB =
;
~ [1] = LI1 + MI2 ,
dt
dt
2 µ0
C
1 − cos (2θ)
,
sen θ =
2
2
Seção 1.
1 + cos (2θ)
cos θ =
,
2
2
sen (2θ)
sen θ cos θ =
2
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Em um dado instante, uma espira de cobre encontrase em repouso, com uma parte dentro de uma região
com campo magnético e a outra fora, conforme mostra a figura. Suponha que, nesse instante, o campo
magnético comece a aumentar em intensidade. Qual
das opções melhor descreve o que ocorrerá com a espira?
2. Considere dois pequenos dipolos elétricos: o primeiro
encontra-se no eixo Y, com seu centro na origem O, e
é formado por partı́culas (pontuais) de cargas q > 0
e −q, enquanto o segundo encontra-se no eixo X e é
formado por partı́culas (pontuais) de cargas q ′ > 0 e
~ 1→2 a força eletrostática exer−q ′ (cf. figura). Seja F
cida pelo dipolo 1 sobre o diplo 2. Podemos afirmar
que:
(a)
A tensão nos fios aumentará, mas a espira não
sairá do repouso.
(a)
(b)
A espira será empurrada para cima, no sentido
do topo da página.
(b)
(c)
A espira será empurrada para baixo, no sentido
da base da página.
(c)
(d)
A espira será empurrada para a esquerda, para
a região com campo magnético.
(d)
(e)
A espira será empurrada para a direita, para a
região sem campo magnético.
(e)
1
~ 1→2 é nula e o torque sobre o dipolo 2 tende
F
a girá-lo no sentido horário.
~ 1→2 é nula e o torque sobre o dipolo 2 tende
F
a girá-lo no sentido anti-horário.
~ 1→2 tem o sentido de −ŷ e o torque sobre o
F
dipolo 2 tende a girá-lo no sentido horário.
~ 1→2 tem o sentido de ŷ e o torque sobre o diF
polo 2 tende a girá-lo no sentido anti-horário.
~ 1→2 tem o sentido de −ŷ e o torque sobre o
F
dipolo 2 tende a girá-lo no sentido anti-horário.
3. Considere um dipolo magnético no centro de um cubo
de lado L1 , que, por sua vez, está inscrito em uma superfı́cie esférica de raio R. Considere, ainda, no lado
de fora da esfera, uma superfı́cie tetraédrica regular,
de lado L2 . Designando o fluxo do campo magnético
resultante através das superfı́cies cúbica, esférica e tetraédrica por ΦC , ΦE e ΦT , respectivamente, temos
6. Considere um sistema constituı́do por um solenóide
ideal, de N voltas, comprimento ℓ muito grande e
seção reta circular, de raio R, junto com um anel
circular de raio a. Tal anel encontra-se totalmente
dentro do solenóide e a perpendicular ao seu plano
faz um ângulo θ com o eixo do solenóide. Qual é a
indutância mútua entre o solenóide e o anel?
(a)
ΦC < ΦE < ΦT .
(a)
µ0 πNa2 sen θ/ℓ .
(b)
ΦC > ΦE > ΦT .
(b)
µ0 πNa2 /ℓ .
(c)
ΦC = ΦE = ΦT .
(c)
µ0 πNa2 /(ℓ cos θ) .
(d)
ΦC = ΦE > ΦT .
(d)
µ0 πNa2 cos θ/ℓ .
(e)
ΦC = ΦE < ΦT .
(e)
µ0 πNa2 /(ℓ sen θ) .
4. Considere uma partı́cula (pontual) de carga q > 0,
circundada por uma casca (espessa) condutora, com
carga 3q. O sistema encontra-se em equilı́brio eletrostático. Em relação aos fluxos Φi (i = 1, 2, 3),
do campo elétrico resultante, através das superfı́cies
gaussianas tracejadas Si (i = 1, 2, 3), podemos afirmar
que
(a)
Φ3 > Φ1 > Φ2 .
(b)
Φ2 > Φ1 > Φ3 .
(c)
Φ3 > Φ2 > Φ1 .
(d)
Φ3 > Φ1 = Φ2 .
(e)
Φ2 = Φ3 > Φ1 .
7. Uma barra de cobre retilı́nea, de comprimento L e
resistência R, desliza, sobre trilhos também condutores (de resistências desprezı́veis), em uma região de
~ constante (estacionário e unicampo magnético B
forme), sendo sua velocidade ~v mantida constante às
custas da ação de uma força externa. Qual é a expressão para tal força externa?
5. Uma corrente estacionária, retilı́nea, de intensidade I,
bifurca-se em duas iguais, que percorrem os lados de
um losango, juntando-se novamente no vértice oposto,
conforme mostra a figura. Qual é o módulo do campo
magnético resultante no centro do losango?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2µ0 I
πL
2µ0 I
πL
0.
2µ0 I
πL
2µ0 I
πL
(a)
(cos θ1 + cos θ2 ) .
(b)
(sen θ1 + sen θ2 ) .
(c)
.
(d)
| cos θ1 − cos θ2 | .
(e)
2
B 2 L2 v
x̂ .
R
B 2 L2 v
−
x̂ .
R
B 2 L2 v
ŷ .
R
B 2 L2 v
−
ŷ .
R
B 2 L2 v
ẑ .
R
10. Uma esfera sólida, condutora, neutra é colocada entre
as placas condutoras, planas e paralelas, que constituem um capacitor. O capacitor está carregado e, na
situação de equilı́brio eletrostático, a distribuição de
cargas na superfı́cie da esfera é não uniforme, como
mostra a figura. Sobre o potencial eletrostático nos
pontos a, b, c e d, indicados na figura, é correto afirmar que
8. A figura ilustra o corte transversal de um capacitor de placas planas e paralelas, cuja região interna
está preenchida por três meios isolantes de constantes
dielétricas todas diferentes. Pensando tal capacitor
como uma associação de três “sub-capacitores”, qual
das opções melhor representa o capacitor equivalente?
(a)
[2,5 pontos] Considere uma semicircunferência de raio R.
Escolhemos os eixos cartesianos retangulares de forma que
tal semicircunferência esteja no plano X Y e o seu centro O
coincida com a origem dos eixos. Além disso, a semicircunferência está carregada com uma distribuição não uniforme,
cuja densidade (linear) é dada por λ(θ) = λ0 sen θ, onde
λ0 = const e θ é o usual ângulo polar.
(a) Determine a carga total da semicircunferência. [0,5 ponto]
(b) Determine o campo elétrico devido a tal semicircunferência
na origem O. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrostático devido a tal semicircunferência na origem O, supondo-o nulo em pontos infinitamente
afastados. [1,0 ponto]
(b)
(c)
(d)
(e)
9. Considere uma esfera (sólida), de raio R, com uma
densidade de carga estacionária, mas não uniforme,
dada por ρ = C/r, com C constante, onde r é a
distância até o centro da esfera. Qual é o trabalho realizado pela força elétrica, ao deslocarmos uma
partı́cula de teste, com carga q, desde um ponto com
r = a > R até um outro com r = b > R?
qCR2 1 1
−
.
(a)
2ǫ0
b a
qCR2 1 1
(b)
.
−
2ǫ0
a b
qCR2 1 1
−
(c)
.
ǫ0
b a
qCR2 1 1
(d)
−
.
ǫ0
a b
qCR2 1 1
−
.
(e)
3ǫ0
a b
(a)
V (a) > V (b) > V (c) > V (d) .
(b)
V (a) < V (b) < V (c) < V (d) .
(c)
V (a) > V (b) = V (c) > V (d) .
(d)
V (a) < V (b) = V (c) < V (d) .
(e)
V (a) = V (d) > V (c) = V (b) .
(f)
Não é possı́vel especificar a relação entre os potenciais sem que seja definida a posição onde
V = 0.
2. [2,5 pontos] Temos um fio de cobre de comprimento total
L, área de seção reta e resistividade uniformes, tal que sua
resistência elétrica total seja R. Esse fio apresenta dois trechos
retilı́neos (com extremidades livres) paralelos ao eixo X e uma
dobra circular. As extremidades do fio são movimentadas de
forma a ter o raio da dobra circular variando no tempo através
2
da função r(t) = ae−bt , onde a e b são constantes positivas,
enquanto o tempo é tomado no intervalo −∞ < t < ∞ . Sabese, ademais, que a dobra no fio mantém em contato elétrico o
ponto 2 onde a parte circular se completa e que, ortogonal ao
plano da figura, existe um campo magnético externo constante
~ = −Bẑ (B > 0), no qual o aparato
(estacionário e uniforme) B
está imerso.
(a) Determine o fluxo ΦB
~ (t) do campo magnético externo
através da dobra circular. [0,5 ponto]
(b) Desprezando a auto-indutância e capacitância do fio,
determine a intensidade da corrente elétrica induzida Iind (t) no
fio, levando em conta a resistência elétrica efetiva do trecho por
onde passa corrente, e indique, explicitamente, o sentido de tal
corrente na dobra circular, para t < 0 e t > 0. [1,0 ponto]
(c) Indique, nos quatro pontos assinalados na figura, a direção
e o sentido da força magnética sobre o fio, para t < 0 e para
t > 0. [1,0 ponto]
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1.
3
4
3
5
Finalmente
Gabarito para Versão A
Seção 1.
Ey = −
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
λ0
,
8ǫ0 R
ou seja,
λ0
~
ŷ .
E(O)
=−
8ǫ0 R
8. (a)
1. (e)
2. (e)
3. (c)
(c) Já considerando que o potencial é 0 em pontos infinitamente afastados da semicircunferência, cada elemento
infinitesimal dl, gera um potencial eletrostático de:
4. (a)
dV =
5. (c)
6. (d)
9. (b)
7. (b)
10. (d)
1 dQ
.
4πǫ0 R
Uma vez que a distância R é sempre a mesma, todos os elementos contribuem com o mesmo potencial. Portanto,
o potencial resultante é
Z
1 Q
.
V (O) = dV =
4πǫ0 R
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
Utilizando o resultado do item (a):
1. Resolução:
(a) Tendo a semicircunferência uma densidade linear de carga λ, a carga de um elemento infinitesimal de arco dl
será:
dQ = λdl = λ0 sen θRdθ .
Portanto, a carga total armazenada na semicircunferência será:
Z π
Q=
Rλ0 sen θdθ = Rλ0 [− cos θ|π0 ] ,
0
V (O) =
λ0
.
2πǫ0
2. Resolução:
~ através de uma superfı́cie S fornecido pela integral
(a) Sendo o fluxo do campo magnético B
Z
~ · dA
~
B
ΦB~ =
S
ou seja,
~ é ortogonal a superfı́cie S em cada ponto, então no caso da dobra circular existente no fio, ao
onde o vetor dA
~
escolhermos dA = −dA ẑ e considerarmos que o campo magnético é uniforme, encontraremos que
Z
Z
Z
B dA (ẑ · ẑ) = B dA = BA = πr 2 B.
B(−ẑ) · dA(−ẑ) =
ΦB~ =
Q = 2Rλ0 .
(b) Cada elemento infinitesimal de arco dl, produz um campo elétrico
S
~ = − 1 λdl r̂ .
dE
4πǫ0 R2
onde o vetor unitário r̂ é o que vai da origem dos eixos ao elemento infinitesimal. Analisando a simetria do problema,
verifica-se que um elemento infinitesimal de ângulo θ e um outro de ângulo π − θ vão produzir um campo elétrico
de mesma componente dEy e de componentes opostas dEx . Dessa forma, as componentes dEx se cancelam e o
~ sen θ calcula-se
~ = Ey ŷ. A partir da componente infinitesimal dEy = −|dE|
campo resultante será na direção Y, E
a componente resultante Ey :
Z
Z π
Z π
1
Rλ0 sen2 θdθ
λ0
Ey = dEy = −
⇒
E
=
−
sen2 θdθ .
y
4πǫ0 0
R2
4πǫ0 R 0
Utilizando a relação trigonométrica
sen2 θ =
1 − cos (2θ)
,
2
resolve-se a integral:
Ey = −
λ0
4πǫ0 R
Z
0
π
dθ
−
2
Z
0
π
cos (2θ)dθ
2
1
=−
λ0
8πǫ0 R
[θ|π0 ] −
π sen (2θ) .
2 0
S
S
Contudo no caso da dobra circular no fio temos que, devido à ação de um agente externo, o seu raio varia no tempo
2
como r(t) = ae−bt . Esta variação, quando considerada na expressão obtida acima, faz com que o fluxo do campo
magnético através da dobra circular assuma a forma
2
ΦB~ (t) = πa2 B e−2bt .
(b) Segundo a lei de Faraday temos que a força eletromotriz induzida está relacionada à variação do fluxo do campo
magnético através de
dΦ ~ (t)
Eind = − B .
dt
Portanto, ao considerarmos a força eletromotriz que será induzida na dobra circular devido à variação do fluxo do
campo magnético através da área definida por ela, encontraremos que
u
d(−2bt2 )
de
d 2 −2bt2 2
πa B e
= −πa2 Be−2bt (−4bt)
= −πa2 B
Eind = −
dt
du u=−2bt2
dt
2
ou seja
2
Eind (t) = 4πa2 bBte−2bt .
(c) A força magnética dF~B~ sobre qualquer elemento de comprimento d~ℓ do fio será dada por
Observando que, sendo o fio de comprimento finito e estando as suas extremidadas livres, então só circulará corrente
elétrica induzida através da dobra circular que, neste caso, será obtida pela razão
Iind =
Eind
.
Ref
A resistência elétrica efetiva da dobra circular Ref pode ser obtida ao considerarmos que, sendo o fio de seção reta
A e a resistividade ρ constantes, então
Lef
onde
Lef = 2πr.
Ref = ρ
A
Neste ponto, se levarmos em conta que a resistência elétrica total R do fio está relacionada ao seu comprimento L
por
L
R
ρ
R=ρ
= ,
=⇒
A
A
L
e usarmos este resultado na expressão para a resistência elétrica efetiva concluiremos que
2πr
R
Ref =
L
~
~ B~ = Iind d~ℓ × B.
dF
Portanto, tendo em vista que Iind só circula pela dobra, concluı́mos que a força magnética nos trechos retilı́neos do
fio [neste caso, nos pontos (1) e (4)] será nula. Como para pontos na dobra circular d~ℓ = r dθ θ̂, onde o unitário
θ̂ aponta no sentido do crescimento da coordenada angular θ, então a força magnética sobre qualquer elemento da
dobra circular do fio será dada por
~ B~ = −Iind rB dθ (θ̂ × ẑ)
dF
ou seja,
~ B~ = −Iind rB dθ r̂
dF
onde o unitário r̂ aponta no sentido do crescimento do raio r. Esta expressão implica que o sentido da corrente
elétrica induzida na dobra circular Iind definirá a natureza radial da força magnética sobre qualquer um de seus
~ B~ em qualquer ponto da dobra
pontos. Portanto quando Iind circular no sentido anti-horário (para t < 0), dF
circular [pontos (2) e (3), no nosso caso] apontará radialmente para o seu centro. Por sua vez, quando Iind
~ B~ em qualquer ponto da dobra circular [pontos (2) e (3), no nosso
circular no sentido horário (para t > 0), dF
caso] apontará radialmente para fora do seu centro.
ou seja,
Ref (t) =
2πa
L
2
R e−bt .
Para finalizar devemos usar as expressões obtidas para Eind (t) e Ref (t) na expressão que fornece a corrente induzida
e assim concluirmos que
2
4πa2 bBte−2bt
,
Iind (t) = 2πa 2
R e−bt
L
3
5
3
ou seja,
Iind (t) =
2abLB
R
2
te−bt .
Para determinarmos o sentido da corrente elétrica devemos observar que, conforme o tempo t evolui de −∞ para
0, o raio r(t) da dobra circular (e por conseqüência a sua área) cresce até chegar ao seu valor máximo rmax = a
quando t = 0. A partir desse instante, conforme o tempo passa o raio r(t) decresce até tender a zero quando
t → +∞. Considerando este comportamento e o que diz a lei de Lenz, concluı́mos que a corrente induzida Iind (t)
deve se opor a esta variação do fluxo do campo elétrico: (i) circulando pela dobra no sentido anti-horário quando
t < 0 e a sua área está aumentando; (ii) circulando pela dobra no sentido horário quando t > 0 e a sua área
está diminuindo.
3
4
5