Progressão Geométrica – Exercício - Avançado 1. (ITA ) Seja k um número inteiro positivo eAk ={j ∈ IN : j ≤ k e mdc (j, k) = 1}. Verifique se n(A3), n(A9), n( A27) e n (A81) estão ou não, nesta ordem, numa progressão aritmética ou geométrica. Se for o caso, especifique a razão. 2. (ITA) Seja (a1, a2, a3,...; an,...) uma progressão geométrica infinita de razão positiva r, em que a1 = a é um número real não nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é 16/13, determine o valor de a + r. 3. (ITA) Considere n pontos distintos A1, A2, ... An sobre uma circunferência de raio unitário, de forma que os comprimentos dos arcos A1A2, A2A3 ... An-1An formam uma progressão geométrica de termo inicial π e razão teremos o comprimento do arco AnAl menor que 1 . Para que valores de n ∈ N 2 1 do comprimento da circunferência? 512 Obs.: Para todo arco AkAl o comprimento considerado é o do arco que une o ponto Ak ao ponto Al no sentido anti-horário. 4. (ITA) Considere a seguinte situação baseada num dos paradoxos de Zenão de Eléia, filósofo grego do século V A.C. Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaruga apostam uma corrida em linha reta, correndo com velocidades constantes vA e vT, com 0 < vT < vA. Como a tartaruga é mais lenta, é-lhe dada uma vantagem inicial, de modo a começar a corrida no instante t = 0 a uma distância d1 > 0 na frente de Aquiles. Calcule os tempos t1, t2, t3, ... que Aquiles precisa para percorrer as distâncias d1, d2, d3, ..., respectivamente, sendo que, para todo n ≥ 2, dn denota a distância entre a tartaruga e Aquiles no n −1 instante ∑ tk da corrida. Verifique que os termos tk, k = 1, 2, 3, ..., formam uma progressão geométrica infinita, determine sua k =1 soma e dê o significado desta soma. 5. Seja (a n )n ∈ IN* P.G. se a m + n = A e a m − n = B . Determine a m e a n . 6. Seja S n a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, tal que q ≠ 0 e S n ≠ 0 , prove que Sn S − Sn . = 2n S 2n − S n S 3n − S 2 n 7.Prove que as raízes da equação x 3 + px 2 + qx + r = 0 estão em progressão geométrica se, e somente se p 3 r = q 3 . 8. Prove que os números 1, 2 e 5 não podem ser termos de uma mesma progressão geométrica. 9. Determine o valor da soma 1 + 11 + 111 + ... + 111 12... 31 . n vezes 10. Demonstre que o número 444....4 88...8 9 é um quadrado perfeito 1 424 3 123 n vezes n −1 vezes 11. (IME) Demonstre que o número 11...1 222..25 é um quadrado perfeito. { 123 n −1 vezes n vezes 12. Prove que, para qualquer x ∈ IR e n ∈ IN * , x k −1 n ∑ (x k =1 13. Determine o termo geral da sequência ( 2 − 2x + 3 ) k < 4 . 3 6, 8, 15, 27, 44, ...). 14. Prove que se uma P.A. de termos inteiros e positivos possui um quadrado perfeito então a P.A. possui infinitos quadrados perfeitos. 15. Seja ( a n ) n ∈ IN P.A. , a n ∈ IN , ∀ n ∈ IN. . Se o primeiro , o j-ésimo e o k-ésimo termos desta P.A. formam uma P.G., determine a razão desta P.G.. 16. Determine todas as sequências finitas de números naturais consecutivos cuja soma seja igual a 1.000. 17. Prove que existe uma P.G. que admite 8, 12 e 27 como termos. 18. Prove que não existe uma P.G. que admite 1, 2 e 5 como termos. Gabarito 1. q = 3 2. a + r = 11 3. n > 10 5. a m = AB an = 2n −m A 2n m 2 B n 9. 10 n +1 − 9n − 10 81 13. an = 5n 2 − 11n + 18 , n ∈ IN. 2 15. q= k−j . j −1 16. ( 1.000 ) ( 198, 199, ...., 202 ( 55, 56, ...., 70 ) ( 28, 29, ..., 52 ) )