DERIVADAS Teoria

DERIVADAS
Teoria
• Definições Básicas:
Sejam f uma função e p um ponto de seu domı́nio. O limite
limx→p
f (x) − f (p)
x−p
quando existe e é finito, denomina-se derivada de f em p e indica-se
por f 0 (p).
Se f admite derivada em p, então diremos que f é diferenciável em p.
Se f for diferenciável em p, então f será contı́nua em p.
A reta de equação
y − f (p) = f 0 (p)(x − p)
é, por definição, a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p)).
• Regras de Derivação:
Seja n um número real. É válida a fórmula de derivação:
f (x) = xn ⇒ f 0 (x) = nxn−1 .
São válidas as fórmulas de derivação:
(a) f (x) = ex ⇒ f 0 (x) = ex
1
(b) g(x) = ln x ⇒ g 0 (x) = , x > 0
x
São válidas as fórmulas de derivação:
(a) sin0 x = cos x
(b) cos0 x = − sin x
Sejam f e g funções diferenciáveis em x e k uma constante. Então
1
(a) [f + g]0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
(b) [kf ]0 (x) = kf 0 (x)
(c) [f · g]0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
0
f
g(x)f 0 (x) − f (x)g 0 (x)
(d)
(x) =
g
[g(x)]2
• Regra da Cadeia:
Sejam y = f (x) e x = g(t) duas funções diferenciáveis, com Img ⊂ Df .
Então a composta h(t) = f (g(t)) é diferenciável e vale a Regra da
Cadeia
h0 (t) = f 0 (g(t))g 0 (t), t ∈ Dg
Observação. Na notação de Leibniz, temos
f 0 (x) =
dx
dy
e g 0 (t) =
.
dx
dt
Assim, a Regra da Cadeia na notação de Leibniz fica
dy dx
dy
=
dt
dx dt
onde
dy
deve ser calculado em x = g(t).
dx
• Diferencial:
A variação total que uma função f sofre quando se passa de x a x + dx
é dada pela fórmula
∆y = f (x + dx) − f (x)
e corresponde à variação real que a função sofreu.
Fixado x, podemos olhar para a função linear dy = f 0 (x)dx, que a
cada dx associa dy, correspondente ao acréscimo na ordenada da reta
tangente ao gráfico de f no ponto x. Tal função denomina-se diferencial
de f em x e corresponde a uma aproximação para a variação total da
função.
2
• Regra de L’Hospital:
f (x)
apresenta uma indeterg(x)
0
∞
f 0 (x)
minação do tipo ou
. Nesses casos, se limx→p 0
existir (finito
0
∞
g (x)
ou infinito), então
Sejam f e g diferenciáveis, cujo limx→p
limx→p
f (x)
f 0 (x)
= limx→p 0
.
g(x)
g (x)
Observação. A Regra de L’Hospital continua válida se substituirmos
x → p por x → p+ ou x → p− ou x → ±∞.
• Máximos e Mı́nimos:
A derivada de f 0 denomina-se derivada de 2a ordem da função f e é
indicada por f 00 ou por f (2) , assim, f 00 = (f 0 )0 . De modo análogo,
definem-se as derivadas de ordens superiores a 2 de f .
Dizemos que p é um ponto de máximo se f (x) ≤ f (p) para todo
x ∈ A ⊂ Df (máximo local) ou para todo x ∈ Df (máximo global). Dizemos que p é um ponto de mı́nimo se f (x) ≥ f (p) para todo
x ∈ A ⊂ Df (mı́nimo local) ou para todo x ∈ Df (mı́nimo global).
Seja f uma função diferenciável em p que admite derivada de 2a ordem
contı́nua no intervalo aberto I e p ∈ I.
(a) f 0 (p) = 0 e f 00 (p) > 0 ⇒ p é ponto de mı́nimo local.
(b) f 0 (p) = 0 e f 00 (p) < 0 ⇒ p é ponto de máximo local.
Um ponto p ∈ Df se diz ponto crı́tico de f se f 0 (p) = 0.
3
Exercı́cios
• Fixação:
1. Determine a equação da reta tangente em (2, f (2)) sendo dados
(a) f (x) = x2
1
(b) f (x) =
x
2. Calcule f 0 (x).
(a) f (x) = x3
1
(b) f (x) = 3
x
√
(c) f (x) = 3 x
2
(d) f (x) = 5
x
√
(e) f (x) = x5
3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f (x) = ex no
ponto de abscissa 0.
4. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f (x) = ln x
no ponto de abscissa 1.
5. Calcule as derivadas das funções abaixo.
(a) f (x) = 4x3 + x2
(b) f (x) = 5x4 + 4
2x + 3
(c) f (x) = 2
x +1
(d) f (x) = (3x2 + 1)ex
sin x
(e) f (x) =
x+1
(f) f (x) = x3 + ln x
√
1
(g) f (x) = x2 + 2 + x
x
x + sin x
(h) f (x) =
x − cos x
(i) f (x) = ex sin x
4
6. Calcule a derivada.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
y = e3x
y = sin t2
f (x) = (3x2 + 1)3
f (x) = cos 3x
y = ln(x2 + 3)
7. Calcule.
x5 − 6x3 + 8x − 3
x4 − 1
ex
(b) limx→+∞
x
8. Calcule.
x4 − 2x3 + 2x − 1
(a) limx→1
x2 − 2x + 1
e2x
(b) limx→+∞ 3
x
9. A primeira aparição impressa da Regra de L’Hospital foi em um
livro Analyse des infiniment petits publicado pelo marquês de
L’Hospital em 1696. Esse foi o primeiro livro de cálculo publicado e o exemplo que o marquês usou em seu livro para ilustrar
sua regra foi encontrar o limite da função
√
√
2a3 x − x4 − a 3 aax
√
y=
4
a − ax3
quando x tende a a, onde a > 0. (Naquela época era comum
escrever aa no lugar de a2 ). Resolva esse problema.
(a) limx→1
10. Determine os pontos crı́ticos da função dada e classifique-os em
máximos e mı́nimos.
x4
− x3 − 2x2 + 3
(a) f (x) =
4
(b) h(x) = x3 − 3x2 + 3x − 1
• Aplicação:
1. Se uma bola for atirada ao ar com velocidade de 10m/s, sua altura
(em metros) depois de t segundos é dada por y = 10t − 4, 9t2 .
Encontre a velocidade quando t = 2.
5
2. Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte com velocidade de 10m/s, sua altura (em metros) após t segundos é dada
por H = 10t − 1, 86t2 .
(a)
(b)
(c)
(d)
Encontre a velocidade da pedra após dois segundos.
Encontre a velocidade da pedra quando t = a.
Quando a pedra atinge a superfı́cie?
Com que velocidade a pedra atinge a superfı́cie?
3. O número de bactérias depois de t horas em um laboratório experimental controlado é n = f (t).
(a) Qual o significado da derivada f 0 (5)? Quais são suas unidades?
(b) Suponha que haja uma quantidade ilimitada de espaço e nutrientes para a bactéria. Qual será maior: f 0 (5) ou f 0 (10)? Se
a oferta de nutrientes for limitada, isso afetaria sua conclusão?
Explique.
4. Um corpo em uma mola vibra horizontalmente sobre uma superfı́cie lisa. Sua equação de movimento é x(t) = 8 sin t, onde
t está em segundos e x, em centı́metros.
(a) Encontre a velocidade e a aceleração no tempo t.
(b) Encontre a posição, velocidade e aceleração do corpo no ins2π
. Em que direção ele está se movendo nesse
tante t =
3
momento?
5. A equação de movimento de uma partı́cula é s = t3 − 3t, em que
x está em metros e t, em segundos. Encontre
(a) a velocidade e a aceleração como funções de t,
(b) a aceleração depois de 2s e
(c) a aceleração quando a velocidade for 0.
6. A Lei de Boyle diz que, quando uma amostra de gás é comprimida
em uma pressão constante, a pressão P do gás é inversamente
proporcional ao volume V do gás.
(a) Suponha que a pressão de uma amostra de ar que ocupa
0, 106m3 a 25◦ C seja de 50kPa. Escreva V como uma função
de P .
6
dV
quando P = 50kP a. Qual o significado da deri(b) Calcule
dP
vada? Quais são suas unidades?
7. Uma escada com 6m de comprimento está apoiada em uma parede
vertical. Seja θ o ângulo entre o topo da escada e a parede e x,
a distância do pé da escada até a parede. Se o pé da escada
escorregar para longe da parede, com que velocidade x variará em
π
relação a θ quando θ = ?
3
8. Um fabricante produz peças de tecido com tamanho fixo. A quantidade q de cada peça de tecido (medida em metros) vendida é uma
função do preço p (em reais por metro); logo, podemos escrever
q = f (p). Então, a receita total conseguida com o preço de venda
p é R(p) = pf (p).
(a) O que significa dizer que f (20) = 10000 e f 0 (20) = −350?
(b) Tomando os valores da parte (a), encontre R0 (20) e interprete
sua resposta.
9. O deslocamento de uma partı́cula em uma corda vibrante é dado
1
pela equação s(t) = 10+ sin(10πt) onde s é medido em centı́metros
4
e t, em segundos. Encontre a velocidade da partı́cula após t segundos.
10. Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela mais
visı́vel dessa constelação é a Delta Cefeu, para a qual o intervalo
de tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 dias. O brilho médio
dessa estrela é de 4,0, com uma variação de ±0, 35. Em vista
desses dados, o brilho de Delta Cefeu no tempo t, onde t é medido
em dias, foi moddelado pela função
2πt
.
B(t) = 4, 0 + 0, 35 sin
5, 4
Encontre, com precisão até duas casas decimais, a taxa de crescimento após 1 dia.
11. O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma
força de amortecimento (tal como o amortecedor em um carro) é
frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação de
movimento de um ponto nessa mola seja
7
s(t) = 2e−1,5t sin 2πt
onde s é medido em centı́metros e t, em segundos. Encontre a
velocidade após t segundos.
12. Quando o sangue flui ao longo de um vaso sanguı́neo, o fluxo F (o
volume de sangue por unidade de tempo que passa por um ponto
dado) é proporcional à quarta potência do raio R do vaso (Lei de
Poiseuille):
F = kR4 .
Uma artéria parcialmente obstruı́da pode ser alargada por uma
operação chamada angioplastia, na qual um cateter-balão é inflado
dentro da artéria a fim de aumentá-la e restaurar o fluxo normal
do sangue. Mostre que uma variação relativa em F é cerca de
quatro vezes a variação relativa em R. Como um aumento de
5% no raio afeta o fluxo do sangue? (A variação relativa de uma
dG
∆G
≈
).
grandeza G é dada por
G
G
13. Um modelo usado para a produção Y de uma colheita agrı́cola
como função do nı́vel de nitrogênio N no solo (medido em unidades
apropriadas) é
kN
1 + N2
onde k é uma constante positiva. Que nı́vel de nitrogênio dá a
melhor produção?
Y =
14. Uma refinaria de petróleo está localizada na margem norte de um
rio reto que tem 2km de largura. Um oleoduto deve ser construı́do
da refinaria até um tanque de armazenamento localizado na margem sul do rio, 6km a leste da refinaria. O custo de construção
do oleoduto é R$400000/km sobre a terra, até um ponto P na
margem norte e R$800000/km sob o rio até o tanque. Onde P
deveria estar localizado para minimizar o custo do oleoduto?
15. Em uma colmeia, cada alvéolo é um prisma hexagonal regular,
aberto em uma extremidade com um ângulo triédrico na outra
extremidade. Acredita-se que as abelhas formam esses alvéolos de
forma a minimizar a área da superfı́cie, usando assim uma quantidade mı́nima de cera na construção. O exame desses alvéolos
8
mostrou que a medida do ângulo do ápice θ é surpreendentemente
consistente. Baseado na geometria do alvéolo, pode ser mostrado
que a área da superfı́cie S é dada por
√ !
3
3 2
csc θ,
S = 6sh − s cot θ + 3s2
2
2
onde s, o comprimento dos lados do hexágono, e h, a altura, são
constantes.
dS
.
(a) Calcule
dθ
(b) Que ângulo as abelhas deveriam preferir?
(c) Determine a área da superfı́cie mı́nima do alvéolo (em termos
de s e h).
Observação: Medidas reais do ângulo θ em colmeias foram feitas,
e as medidas desses ângulos raramente diferem do valor calculado
em mais que 2◦ .
9
Respostas
• Fixação:
1. (a) y = 4x − 4
1
(b) y = − x + 1
4
2
2. (a) 3x
3
(b) − 4
x
1
(c) √
3
3 x2
10
(d) − 6
x
5√ 3
(e)
x
2
3. y = x + 1
4. y = x − 1
5. (a) 12x2 + 2x
(b) 20x3
2 − 6x − 2x2
(c)
(x2 + 1)2
(d) (3x2 + 6x + 1)ex
(x + 1) cos x − sin x
(e)
(x + 1)2
1
(f) 3x2 +
x
2
1
(g) 2x − 3 + √
x
2 x
x(cos x − sin x) − (cos x + sin x) − 1
(h)
(x − cos x)2
x
(i) e (sin x + cos x)
6. (a) 3e3x
(b) 2t cos t2
(c) 18x(3x2 + 1)2
10
(d) −3 sin 3x
2x
(e) 2
x +3
5
7. (a) −
4
(b) +∞
8. (a) 0
(b) +∞
16
9.
a
9
10. (a) 0 é máximo; −1 e 4 são mı́nimos.
(b) 1 é ponto de inflexão.
• Aplicação:
1. −9, 6m/s
2. (a)
(b)
(c)
(d)
2, 56m/s
v = 10 − 3, 72a
Após 5, 4s.
10, 1m/s
3. (a) Taxa de crescimento da população de bactérias após 5 horas,
medida em bactérias por hora.
(b) f 0 (10) > f 0 (5); as bactérias crescem em ritmo acelerado num
ambiente sem limitação de espaço e nutrientes. Caso haja
alguma forma de limitação dos nutrientes, a partir de certo
valor de t, a função n = f (t) começa a decrescer e sua derivada
irá diminuir e se tornar negativa.
4. (a) v = 8 cos t; a = −8 sin t
√
√
2π
2π
2π
(b) x( ) = 4 3cm; v( ) = −4cm/s; a( ) = −4 3cm/s2 . O
3
3
3
corpo está se movendo para a esquerda (sentido negativo).
5. (a) v = 3t2 − 3; a = 6t
(b) 12m/s2
(c) 6m/s2
11
6. (a) V =
(b)
5, 3
P
dV
= −0, 002m3 /kP a significa que, a 25◦ C, o volume de ar
dP
está decrescendo a uma taxa de 0, 002m3 a cada aumento de
1kP a na pressão.
7. 3 m/rad
8. (a) f (20) = 10000 é a quantidade de metros de tecido vendidos
a 20 reais por metro; f 0 (20) = −350 é a taxa de variação da
quantidade de tecido vendida em função do preço de venda.
(b) R0 (20) = 3000 reais; essa taxa representa a variação da receita
obtida em função do preço de venda.
5
9. v(t) = π cos(10πt)
2
10. 0, 16
11. v(t) = e−1,5t (4π cos 2πt − 3 sin 2πt)
12. Um aumento de 5% no raio da artéria produz um aumento de 20%
no fluxo sanguı́neo.
13. N = 1
14. O custo mı́nimo é cerca de R$3, 79 milhões quando P está a 6 −
2
√ ≈ 4, 85 km a leste da refinaria.
3
√
3
dS
= s2 csc θ(csc θ − 3 cot θ)
15. (a)
dθ
2
(b) 55 graus, aproximadamente.
1
(c) S = 6s h + √ s
2 2
12