Geometria Plana I

1.1. Ponto, reta e plano
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Letras maiúsculas do nosso Letras minúsculas do nosso
alfabeto: A, B, C, …
alfabeto: a, b, c, …
Geometria Plana I
Letras minúsculas do
alfabeto grego: α, β, π, …
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Geometria Plana I
4
1.2. Postulados ou axiomas
1.Primeiros conceitos
Além dos conceitos primitivos, aceitos sem
definição, há propriedades geométricas aceitas
sem demonstração. Tais propriedades são
chamadas postulados ou axiomas. Por exemplo, um
dos postulados da Geometria afirma que:
2.Ângulos
3.Triângulos
4.Quadriláteros
5.Polígonos
“Por dois pontos distintos A e B passa uma única
reta”.
6.Ângulos na circunferência
7.Congruência de triângulos
8.Teorema de Tales
9.Semelhança de polígonos
10.Semelhança de triângulos
Essa reta é denotada pelo símbolo , AB que
se lê “reta AB”.
11.Relações métricas no triângulo retângulo
5
1.3. Posições de duas retas
distintas num plano
1. Primeiros conceitos
Conceitos Primitivos: São conceitos aceitos sem
uma definição no campo da Geometria. De cada um
destes termos temos um conhecimento intuitivo
decorrente da experiência e observação.
Enquadram-se nessa categoria os conceitos
de ponto, reta e plano.
3
6
1
1.4. Subconjuntos da reta
2. Ângulos
A
⌢ medida de um ângulo AOB será denotada
por AOB . Assim, se ) AOB é um ângulo de 60o
(60 graus), escrevemos:
<
⌢
AOB = 60O
7
1.5. Subconjuntos da reta
10
2. Ângulos
A medida de AB será denotada por AB.
Desse modo, se AB é um segmento de reta de 3
cm, escrevemos AB = 3cm.
Dois ângulos de
denominados congruentes.
medidas
iguais
são
⌢
⌢
∢ABC ≡ ∢DEF ⇔ ABC ≡ DEF
8
1.5. Subconjuntos da reta
11
2.1. Bissetriz de um ângulo
Dois segmentos que possuem medidas iguais
são chamados congruentes. Se AB e CD são
segmentos congruentes, escrevemos AB ≡ CD .
Lê-se AB é congruente a CD .
Bissetriz é a semi-reta de origem no vértice
de um ângulo e que o divide em dois ângulos
congruentes.
9
Se OC é bissetriz de ∢AOB,
⌢
⌢

Então AOC ≡ BOC
12
2
2.2. Ângulos notáveis
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício 1: Calcule x, em graus, na figura abaixo:
⌢
AOB ≡ 360o
⌢
AOB ≡ 180o
⌢
AOB ≡ 90o
13
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
16
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
⌢
Exercício
2: Na figura, sabe-se que ABC é o dobro
⌢
de CBD . ⌢Calcule as medidas desses ângulos, sabendo que ABD = 81o.
Duas retas concorrentes determinam dois
pares de ângulos chamados opostos pelo vértice
(o.p.v.).
14
17
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício 3: Na figura seguinte,⌢ OX é bissetriz
⌢
⌢
de ∢AOB e OY é bissetriz de ∢BOC . Calcule XOY .
Dois ângulos são chamados complementares
se a soma de suas medidas é igual a 90o. Cada um é
chamado complemento do outro.
Observação: AOC é um ângulo de meia-volta.
Dois ângulos são chamados suplementares se
a soma de suas medidas é igual a 180o. Cada um é
chamado suplemento do outro.
15
18
3
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
4:
Dois
ângulos
são
chamados
complementares se a soma de suas medidas é igual
a 90o. Cada um é chamado complemento de outro.
Calcule a medida de dois ângulos complementares,
sabendo que:
a) elas são expressas por 3x e 7x;
Nomenclatura
b) uma delas é o quádruplo da outra;
c) a diferença entre elas é 18o.
Propriedade
Correspondentes: a e e; b e f; c e g; d e h
Congruentes
Colaterais internos: c e f; d e e
Suplementares
Colaterais externos: a e h; b e g
Suplementares
Alternos internos: c e e; d e f
Congruentes
Alternos externos: a e g; b e h
Congruentes
19
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício
22
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
5:
Dois
ângulos
são
chamados
Exercício 7: Calcular x e y na figura.
suplementares se a soma de suas medidas é igual a
180o. Cada um é chamado suplemento do outro.
Calcule a medida de dois ângulos suplementares,
sabendo que:
a) eles são congruentes;
b) uma delas é o quíntuplo da outra;
c) a diferença entre elas é 36o.
20
23
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Resolução: Inicialmente vamos imaginar a reta r
deslocando-se até coincidir com s.
Exercício 6: Calcule a medida de um ângulo,
sabendo que o seu suplemento é o triplo de seu
complemento.
21
24
4
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Fica claro que os ângulos de medidas 2x e 3x são
suplementares.
Exercício 10: Calcule x na figura, sabendo que
r // s.
3 x + 2 x = 180o ⇒ x = 36o
Por outro lado, temos y = 2x (ângulos o.p.v.). Logo,
y = 72o.
25
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
28
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Exercício 8: Calcule x e y nas figuras, sabendo que
r // s.
Exercício 11: Qual é o valor de a + b + c?
26
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
29
3. Triângulos
Exercício 9: Sabendo que a // b // c, calcule as
medidas dos ângulos indicados na figura.
A soma das medidas dos ângulos internos de
um triângulo qualquer é igual a 180o.
⌢
⌢ ⌢
Se A, B e C são as medidas dos ângulos
internos de um triângulo ABC, vamos provar que:
⌢ ⌢ ⌢
A + B + C = 180o
27
30
5
3. Triângulos
3.1. Classificação em função
dos ângulos
Para isso, traçamos pelo vértice A a reta r
paralela ao
⌢ lado
⌢ BC , determinando os ângulos de
medidas X e Y.
Seus três ângulos são agudos, isto é,
menores do que 90o.
⌢
⌢
A < 90o , B < 90o
Então temos:
⌢ ⌢ ⌢
A + X + Y = 180o
e
⌢
C < 90o
(1)
31
3. Triângulos
34
3.1. Classificação em função
dos ângulos
Por outro lado, sabemos que:
⌢ ⌢
 X = B (ângulos alternos internos)
⌢ ⌢
Y = C (ângulos alternos internos)
Um de seus ângulos é reto. O lado oposto ao
ângulo reto é a hipotenusa AC . Os lados adjacentes ao ângulo reto são os catetos AB e BC.
32
3. Triângulos
35
3.1. Classificação em função
dos ângulos
⌢
⌢
⌢
⌢
Substituindo X por B e Y por C na igualdade
(1) obtemos:
⌢ ⌢ ⌢
A + B + C = 180o
Um de seus ângulos é obtuso, isto é, maior
do que 90o.
⌢
B > 90o
33
36
6
3.2. Classificação em função
dos lados
3.2. Classificação em função
dos lados
Exercício 12: Calcule as medidas dos ângulos de
um triângulo isósceles em que o ângulo do vértice é
o triplo de um ângulo da base.
Seus três lados têm medidas diferentes.
AB ≠ AC, AB ≠ BC, BC ≠ AC
Os três ângulos internos têm medidas
diferentes.
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢
A ≠ B, A ≠ C, B ≠ C
37
3.2. Classificação em função
dos lados
40
3.2. Classificação em função
dos lados
Exercício 13: Calcule x, sabendo que ABC é um
triângulo equilátero e que AC = AD.
Possui dois lados congruentes (AB = AC).
O ângulo formado pelos lados congruentes é
denominado ângulo do vértice (∢ A) .
O lado oposto ao ângulo do vértice é
denominado base BC .
⌢ ⌢ Os ângulos da base são congruentes, isto é,
B =C
38
3.2. Classificação em função
dos lados
41
3.2. Classificação em função
dos lados
Exercício 14: Se AB = AC = CD, calcule x e y.
Seus três lados são congruentes (AB = BC =
AC).
Os três ângulos internos são congruentes.
⌢ ⌢ ⌢
A = B =C
E, uma vez que a soma dos três ângulos é
igual a 180o, conclui-se que cada um deles mede
39
60o.
42
7
3.3. Teorema do ângulo
externo
3.3. Teorema do ângulo
externo
Exercício 15: Calcule x.
Num triângulo, o prolongamento de um lado
qualquer determina com um outro lado um ângulo
denominado externo.
43
3.3. Teorema do ângulo
externo
46
3.3. Teorema do ângulo
externo
Em todo triângulo, a medida de um ângulo
externo qualquer é igual à soma das medidas dos
dois ângulos internos não adjacentes a ele.
Exercício 16: Calcule m – n, sabendo que a // b.
Vamos provar que:
⌢ ⌢
e = A+B
44
3.3. Teorema do ângulo
externo
47
3.3. Teorema do ângulo
externo
Exercício 17: Na figura, calcule x em função de α.
Como
⌢
e + C = 180o
e
⌢ ⌢ ⌢
A + B + C = 180o ,
temos :
⌢
⌢ ⌢ ⌢
e+ C = A+B + C
⌢ ⌢
e = A+B
45
48
8
3.3. Teorema do ângulo
externo
3.4. Cevianas do triângulo
Exercício 18: Se na figura seguinte AB = AF,
calcule x em função de a, b e c.
Os pontos A1, A2 e B1 são os pés das
cevianas.
As cevianas AA1 e AA2 são relativas ao vértice A, ou relativas ao lado BC. A ceviana BB1 é relativa ao vértice B ou relativa ao lado AC.
49
3.3. Teorema do ângulo
externo
52
3.5. Cevianas notáveis
Exercício 19: Na figura a seguir, qual é o valor de
a + b + c + d + e?
É qualquer ceviana que divide um ângulo
interno em dois ângulos congruentes.
50
3.4. Cevianas do triângulo
53
3.5. Cevianas notáveis
Ceviana é qualquer segmento de reta que
tem uma extremidade num vértice de um triângulo
e a outra num ponto qualquer da reta suporte do
lado oposto a esse vértice.
É qualquer ceviana que tem como pé o ponto
médio de um lado.
Na figura, AA1, AA2 e BB1 são cevianas do triângulo ABC.
51
54
9
3.5. Cevianas notáveis
3.5. Cevianas notáveis
Exercício 20: Na figura, AS e AH são a bissetriz e
a altura relativas ao vértice A do triângulo ABC.
Calcule α.
É qualquer ceviana perpendicular a um lado.
55
58
3.5. Cevianas notáveis
3.5. Cevianas notáveis
Exercício
21: Num triângulo escaleno ABC, em
⌢
que C = 36o, as bissetrizes internas relativas aos
vértices ⌢A e B interceptam-se no ponto I.
Calcule AIB .
De um modo geral, bissetriz
mediana e altura são cevianas distintas.
interna,
AH é altura
AS é bissetriz
AM é mediana
59
56
3.5. Cevianas notáveis
3.5. Cevianas notáveis
Exercício 22: Na figura, BB′ e CC′ são alturas do
triângulo. Calcule x.
Porém, as três coincidem num único
segmento se forem relativas à base de um
triângulo isósceles.
AM é bissetriz, mediana e altura simultaneamente.
57
60
10
3.6. Mediatriz de um segmento de reta
3.7. Pontos notáveis do triângulo
Mediatriz de um segmento AB é a reta
perpendicular a
médio.
É o ponto de encontro das alturas.
AB conduzida pelo seu ponto
61
3.7. Pontos notáveis do triângulo
64
3.7. Pontos notáveis do triângulo
É o ponto de encontro das bissetrizes
internas.
O incentro é o centro da circunferência
inscrita no triângulo.
É o ponto de encontro das mediatrizes dos
lados.
O circuncentro é o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo.
62
3.7. Pontos notáveis do triângulo
3.7. Pontos notáveis do triângulo
É o ponto de encontro das medianas.
O baricentro divide cada mediana em dois
segmentos que estão na razão de 2 para 1.
AG BG CG 2
=
=
=
GM GN GL 1
65
63
No triângulo eqüilátero, o incentro, o
baricentro, o ortocentro e o circuncentro
coincidem num único ponto O, chamado centro do
triângulo eqüilátero.
66
11
3.7. Pontos notáveis do triângulo
3.7. Pontos notáveis do triângulo
Exercício 25: Na figura seguinte, ABC é um
triângulo equilátero de lado igual a 6 cm, M é o
ponto médio de AB e CD = BC. Calcule AN.
Como O é também o baricentro do triângulo,
esse ponto divide a altura AH em segmentos
proporcionais a 2 e 1. Assim, se r e R são os raios
das circunferências inscrita e circunscrita, e h é a
altura, é imediato que:
1
2
r= h e R= h
67
3
3
3.7. Pontos notáveis do triângulo
70
3.7. Pontos notáveis do triângulo
Exercício
de um triângulo
⌢ 23: Se I é o incentro
⌢
ABC e BIC = 116o, calcule A .
Exercício 26: O ponto I da figura é o centro da
circunferência inscrita no triângulo ABC e a reta r,
conduzida por I, é paralela a BC . a) Mostre que o
triângulo PIB é isósceles e b) se AB = 7 e AC = 9,
qual é o perímetro do triângulo APQ?
68
3.7. Pontos notáveis do triângulo
71
4. Quadriláteros
Exercício 24: Na figura, G é o baricentro do
triângulo. Calcule x, y e z, sabendo que AM = 12
cm, BN = 15 cm e CL = 18 cm.
A soma das medidas dos quatro ângulos
internos de um quadrilátero é igual a 360o.
69
72
12
4. Quadriláteros
4.1. Trapézios
Seja ABCD um quadrilátero qualquer.
Traçando a diagonal AC , decompomos o quadrilátero em dois triângulos. Como em cada triângulo
a soma das medidas dos ângulos é igual a 180o,
deduz-se que:
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
Trapézio é todo quadrilátero que possui um
par, e somente um par, de lados opostos paralelos.
73
76
A + B + C + D = 360
o
4. Quadriláteros
 AB e CD são as bases do trapézio
AB // CD 
 AC e BD são os lados transversais
4.2. Classificação dos trapézios
Exercício 27: Calcule x e y.
Trapézio escaleno: os lados transversos têm
medidas diferentes.
AD ≠ BC
74
O trapézio escaleno não possui ângulos
congruentes.
77
4.2. Classificação dos trapézios
4. Quadriláteros
⌢
Exercício
28: ABC é um triângulo no qual A = 52o
⌢
o
e C = 72 . Calcule a medida do ângulo obtuso formado pelas mediatrizes dos lados AB e BC .
Trapézio isósceles: os lados transversos têm
medidas iguais.
AD = BC
75
Os ângulos de uma mesma base de um
trapézio isósceles são congruentes.
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
78
A =B eC =D
13
4.2. Classificação dos trapézios
4.2. Classificação dos trapézios
Exercício 31:⌢ ABCD é um trapézio retângulo em A
e em D. Se B = 100o, calcule a medida do ângulo
obtuso formado pelas bissetrizes de ∢C e ∢D.
Trapézio
retângulo:
um
dos
transversos é perpendicular às bases.
lados
⌢ ⌢
A = D = 90o
79
4.2. Classificação dos trapézios
82
4.3. Paralelogramos
Exercício 29: Calcule as medidas dos ângulos do
trapézio da figura.
Paralelogramo é todo quadrilátero que
possui os lados opostos respectivamente paralelos.
80
83
4.4. Propriedades válidas para
todos os paralelogramos
4.2. Classificação dos trapézios
Exercício 30: Num trapézio ABCD isósceles,
de
⌢
o
bases
⌢ AB e CD (AB M CD), sabe-se que A = 10x + 7
e C = 4x + 5o. Calcule as medidas dos quatro ângulos desse trapézio.
Os ângulos opostos são congruentes.
Quaisquer dois ângulos adjacentes a um
mesmo lado são suplementares.
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
α + β = 180o
A =C e B =D
81
84
14
4.4. Propriedades válidas para
todos os paralelogramos
4.5. Paralelogramos notáveis
Os lados opostos são congruentes.
As diagonais dividem-se ao meio pelo seu
ponto de intersecção.
AB = CD e BC = AD
AM = MC e BM = MD
85
É todo paralelogramo que é retângulo e
losango simultaneamente, isto é, seus ângulos são
retos e seus lados são congruentes.
As diagonais são congruentes, são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos internos. 88
4.5. Paralelogramos notáveis
4.5. Paralelogramos notáveis
Exercício 32: Uma diagonal de um retângulo forma
com um dos lados um ângulo de 35o. Calcule a
medida do ângulo agudo formado pelas duas
diagonais.
É todo paralelogramo que possui seus quatro
ângulos retos.
As diagonais são congruentes.
89
86
4.5. Paralelogramos notáveis
4.5. Paralelogramos notáveis
Exercício 33: Uma diagonal de um losango forma
com um dos lados um ângulo de 25o. Calcule as
medidas dos ângulos desse losango.
É todo paralelogramo que possui quatro
lados congruentes.
As diagonais são perpendiculares e são
bissetrizes dos ângulos internos.
87
90
15
4.5. Paralelogramos notáveis
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Exercício 34: Na figura seguinte, ABDE e ACMN
são quadrados
e ABC é um triângulo equilátero.
⌢
Calcule CBN e BNE .
Tomando um ponto I qualquer no interior do
polígono e unindo esse ponto a cada vértice, o
polígono fica decomposto em n triângulos (cada
lado do polígono dá origem a um triângulo).
91
5. Polígonos
94
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Polígono
côncavo
Polígono
convexo
Um polígono é convexo se, quaisquer que
sejam os pontos X e Y do seu interior, o segmento
de reta XY está inteiramente contido em seu
interior.
92
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Então, a soma das medidas dos ângulos dos n
triângulos é igual a: n ⋅ 180o
Subtraindo os ângulos do vértice I dessa
soma, o que resta é a soma dos ângulos do polígono.
Assim,
95
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Sejam i1, i2, i3, …, in as medidas dos ângulos
internos de um polígono de n lados.
93
Si = n ⋅ 180o − 360o
Si = 180o (n − 2)
96
16
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
Exercício 35: A soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono é igual a 2340o. Quantos
lados tem esse polígono?
Sejam e1, e2, e3 … en as medidas dos ângulos
externos de um polígono de n lados.
97
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
100
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
e1 + i1 = 180o

o
e2 + i 2 = 180

o
e3 + i 3 = 180
⋮ ⋮

en + i n = 180o

Exercício 36: Na figura, calcule x e y.
Se + Si = n ⋅ 180o
↓
Se + 180o (n − 2) = n ⋅ 180o
Se + n ⋅ 180o − 360o = n ⋅ 180o
Se = 360o
98
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
101
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
Exercício 37: Calcule x.
Em todo polígono convexo, a soma das
medidas dos ângulos externos é constante e igual
a 360o.
Se = 360o
99
102
17
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
5.3. Polígonos regulares
Exercício 38: Qual é o polígono em que a soma dos
ângulos internos é o dobro da soma dos ângulos
externos?
e=
360o
n
Desse modo, como a soma das medidas dos
ângulos externos de um polígono é igual a 360o, a
medida de um ângulo externo
de um polígono
o
regular de n lados é igual a 360 .
n
103
106
5.3. Polígonos regulares
5.3. Polígonos regulares
Hexágono regular
Exercício 39: Num polígono regular, um ângulo
interno é o quádruplo de um ângulo externo. Qual é
esse polígono?
Um polígono é regular se, e somente se:
1o)
todos os seus lados são congruentes;
2o) todos os seus ângulos internos são congruentes.
107
104
5.3. Polígonos regulares
5.3. Polígonos regulares
Exercício 40: Na figura ABCDE é um pentágono
regular. Calcule as medidas dos ângulos do
triângulo ACD.
Da definição decorre que os ângulos
externos de um polígono regular também são
congruentes.
105
108
18
6. Ângulos na circunferência
6.1. Ângulo central
 AB é uma corda

CD é um diâmetro
Corda: Segmento de reta que une dois pontos quaisquer
de uma circunferência.
Diâmetro: Qualquer corda que passa pelo centro de uma
circunferência.
Arco: Qualquer uma das partes em que uma
circunferência fica dividida por dois quaisquer de seus
pontos. Esses dois pontos são as extremidades dos
109
arcos.
6. Ângulos na circunferência
Um ângulo é central em relação a uma
circunferência se o seu vértice coincide com o
centro da mesma.
O arco interceptado por um ângulo central é
denominado arco correspondente ao ângulo.
112
6.1. Ângulo central
.A própria circunferência é chamada arco de
volta inteira e sua medida é 360o.
Um arco de extremidades A e B é chamado
arco AB. A medida de um arco AB será denotada
pelo símbolo AB .
110
6. Ângulos na circunferência
⌢
AOB = AB
⌢
EOF = EF
A medida de um ângulo central é igual à
medida do arco correspondente a ele.
113
6.1. Ângulo central
Exercício 41: Calcule x, nas figuras abaixo.
AB = medida do arco AB
Quando necessário, para diferenciar os dois
arcos determinados pelos pontos A e B de uma
circunferência, marcamos um ponto C qualquer
pertencente a um deles (de um modo geral ao
111
maior deles) e o denominamos arco ACB.
114
19
6.1. Ângulo central
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 42: Calcule as medidas dos ângulos
internos do pentágono ABCDE.
A medida de um ângulo inscrito é igual à
metade da medida do arco correspondente a ele.
A demonstração completa abrange os casos
em que o centro pertence a um lado, está no
interior ou está no exterior do ângulo.
115
6.2. Ângulo inscrito
118
6.2. Ângulo inscrito
1o Caso:
Um ângulo é inscrito numa circunferência se
o seu vértice é um ponto da circunferência e cada
um de seus lados contém uma corda dessa
circunferência.
Traçando o raio OA,
⌢ obtemos o triângulo
⌢
isósceles OAC. Então, se C = α teremos OAC = α .
Como ∢AOB
é ângulo externo desse triângulo,
⌢
temos AOB = 2α . E, como ∢AOB é um ângulo
central, temos:
116
119
6.2. Ângulo inscrito
6.2. Ângulo inscrito
1o Caso:
Na figura, em vez de dizer que o ângulo está
inscrito na circunferência, pode-se dizer que ele
está inscrito no arco ACB.
O arco interceptado por um ângulo inscrito
também é chamado arco correspondente ao ângulo.
117
⌢
AOB = 2α ⇒ AB = 2α
α=
AB
2
120
20
6.2. Ângulo inscrito
6.2. Ângulo inscrito
2o Caso:
3o Caso:
α1 ⇒
Traçando o diâmetro CD, ∢ACB fica dividido em dois ângulos inscritos de medidas α1 e α2.
Como esses dois ângulos têm um dos lados
passando pelo centro, pelo 1o caso temos:
α1 − α 2 ⇒
e
α2 ⇒
DB
2
AD − DB
2
∴α =
121
6.2. Ângulo inscrito
AD
2
AB
2
124
6.2. Ângulo inscrito
2o Caso:
α1 ⇒
AD
2
α1 + α 2 ⇒
e
α2 ⇒
DB
2
Dois ou mais ângulos inscritos num mesmo
arco são congruentes.
AD + DB
2
∴α =
AB
2
α =β =γ =
122
6.2. Ângulo inscrito
AB
2
125
6.2. Ângulo inscrito
3o Caso:
Traçando o diâmetro CD, os ângulos
inscritos ACD e BCD, de medidas α1 e α2, têm
ambos um dos lados passando pelo centro. Então,
novamente pelo 1o caso, teremos:
Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
123
126
⌢
AB = 180o ⇒ ACB = 90o
21
6.2. Ângulo inscrito
6.2. Ângulo inscrito
Resolução:
Unindo-se o centro O aos vértices B e C obtém-se
o triângulo equilátero OBC. Como ∢OBC é um ângulo central, temos:
⌢
BOC = 60o ⇒ BC = 60o
É possível demonstrar também que: todo
ângulo reto e, portanto, todo triângulo retângulo é
inscritível numa semicircunferência.
Então, como ∢BAC é um ângulo inscrito,
⌢
⌢
BC
BAC =
⇒ BAC = 30o
2
127
6.2. Ângulo inscrito
130
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 44: ABC é um triângulo retângulo em A.
Calcular o ângulo formado pela altura
⌢ e a mediana
relativas à hipotenusa, sabendo que C = 20o.
Note que a hipotenusa é o diâmetro da
semicircunferência.
128
6.2. Ângulo inscrito
131
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 43: No triângulo ABC da figura, o lado
BC e o raio
⌢ da circunferência são congruentes.
Calcular BAC .
Resolução: Inicialmente, note que o triângulo ABC
é inscritível numa semicircunferência de centro M
e diâmetro BC . Então, o triângulo AMC é isósceles,
pois MA = MC (por serem raios da semicircunferência). Logo, conclui-se que:
⌢
⌢
C = 20o ⇒ M AC = 20o
129
132
22
6.2. Ângulo inscrito
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 46: Na figura seguinte, ABCD é um
quadrilátero qualquer inscrito numa circunferência.
Prove que α + γ = 180o.
Por outro lado, ∢AMH é um ângulo externo do triângulo AMC. Logo,
AMH = 20o + 20o = 40o
133
6.2. Ângulo inscrito
136
6.2. Ângulo inscrito
Por fim, no triângulo AMH temos:
Exercício 47:⌢Num triângulo ABC, retângulo em A,
sabe-se que C = 26o. Calcule a medida do ângulo
formado pela bissetriz e a mediana relativas ao
vértice A.
x + 90o + 400 = 180o
x = 50o
134
6.2. Ângulo inscrito
137
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 45: Na figura seguinte,⌢ BC é um
diâmetro
⌢ da circunferência. Calcule APB , sabendo
que ABC = 70o.
135
Exercício 48: Um dos catetos de um triângulo
retângulo é a metade da hipotenusa. Qual é a
medida do ângulo oposto a esse cateto?
138
23
7. Congruência de triângulos
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Critério L.A.L.
Dois triângulos são congruentes se os seus
lados e ângulos forem ordenadamente congruentes.
 AB ≡ DE

∆ABC ≡ ∆DEF ⇔ BC ≡ EF

 AC ≡ DF
e
 ∢A ≡ ∢D

 ∢B ≡ ∢E
∢C ≡ ∢F

139
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Dois triângulos são congruentes se dois lados de um
são congruentes a dois lados do outro e os ângulos
compreendidos entre esses lados são também congruentes.
 AB = DE
⌢ ⌢
B = E
BC = EF

⇔
∆ABC ≡ ∆DEF
⇒
⌢ ⌢
A = D

 AC = DF
⌢ ⌢
C = F
142
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Critério A.L.A.
Embora
a
definição
de
triângulos
congruentes exija seis congruências, três entre
lados e mais três entre ângulos, há situações em
que a congruência de dois triângulos fica garantida
com apenas três determinadas congruências. Tais
situações constituem os critérios de congruência
de triângulos.
140
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Dois triângulos são congruentes se dois ângulos de um
são congruentes a dois ângulos do outro e os lados
adjacentes a esses ângulos são também congruentes.
⌢ ⌢
B = E

BC = EF
⌢ ⌢
C = F
⇔
∆ABC ≡ ∆DEF
⇒
 AB = DE
⌢ ⌢
A = D
 AC = DF

7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Critério L.L.L.
Dois triângulos são congruentes se os lados de um são
respectivamente congruentes aos lados do outro.
 AB = DE

BC = EF
 AC = DF

⇔
143
∆ABC ≡ ∆DEF
⇒
⌢ ⌢
A = D
 ⌢ ⌢
B = E
⌢ ⌢
C = F
141
Critério L.A.Ao
Dois triângulos são congruentes se um lado e um
ângulo adjacente são congruentes a um lado e um ângulo
adjacente do outro e os ângulos opostos a esses lados são
também congruentes.
BC = EF
⌢ ⌢
C = F
⌢ ⌢
A = D
⇔
∆ABC ≡ ∆DEF
⇒
 AB = DE
⌢ ⌢
B = E
 AC = DF

144
24
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Exercício 49: A figura seguinte apresenta um par
de triângulos em que elementos congruentes são
identificados por marcas iguais.
Critério L.L.Ar
Dois triângulos retângulos são congruentes se a
hipotenusa e um cateto de um deles são respectivamente
congruentes à hipotenusa e a um cateto do outro.
BC = EF

 AC = DF
⌢ ⌢
o
 A = D = 90
⇒
∆ABC ≡ ∆DEF
⇒
⌢ ⌢
B = E
 ⌢ ⌢
F = C

 AB = DE
145
148
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
A partir das informações contidas na figura é
possível concluir que os triângulos são congruentes
e deduzir congruências que não constam nos dados.
Tudo isso pode ser feito de forma resumida neste
esquema:
Quando escrevemos, por exemplo, ∆PXQ ≡ ∆LTU, a
ordem das letras (P, X, Q e L, T, U) indica que, se
pudéssemos deslocar um desses triângulos até fazê-lo
coincidir perfeitamente com o outro, os vértices que
ficariam sobrepostos seriam P e L, X e T, Q e U.
⌢
MN = KO
M =K
⌢
A.L. A.
MT = KR 
→ ∆MTN ≡ ∆KRO 
→ N =O
(Critério )
(
Conclusão
)
⌢ ⌢
NT = OR
T =R
( Dados )
149
146
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
(Consequências )
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Estabeleça esquemas semelhantes para cada um
dos seguintes pares de triângulos.
Com isso, a linguagem escrita já informa quais lados e
quais ângulos são congruentes, isto é, escrevendo
∆PXQ ≡ ∆LTU
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢
já sabemos que P = L, X = T , Q = U e
PX = LT, PQ = LU, XQ = TU
147
150
25
8. Teorema de Tales
8. Teorema de Tales
Se um feixe de paralelas determina
segmentos congruentes sobre uma transversal,
então
esse
feixe
determina
segmentos
congruentes sobre qualquer outra transversal.
Assim, pelo critério L.A.Ao, conclui-se que
∆DED ' ≡ ∆EFE '
Logo, DE = EF.
151
8. Teorema de Tales
154
8. Teorema de Tales
Por D e E traçamos DD' e EE ' paralelos à
reta AC. Então os quadriláteros ABD’D e BCE’E são
paralelogramos e, consequentemente, DD’ = AB e
EE’ = BC.
Um feixe de paralelas separa, sobre duas
transversais quaisquer, segmentos de uma proporcionais
aos segmentos correspondentes na outra.
Se r // s // t , então
152
8. Teorema de Tales
AB DE
=
BC EF
155
8. Teorema de Tales
E já que AB = BC (por hipótese), conclui-se
⌢
⌢
que DD’ = EE’. Além disso, temos: D
(ângulos
⌢ 1 = E⌢1
correspondentes em DD ' // EE ' ) e E2 = F2 (ângulos
correspondentes em s // t ).
153
Seja u um segmento que divide AB em m partes
iguais e BC em n partes iguais. Logo,
AB m ⋅ u
AB m
=
⇒
=
BC n ⋅ u
BC n
(1)
156
26
8. Teorema de Tales
8. Teorema de Tales
Exercício 51: Na figura, a reta r é paralela a BC .
Calcule AD, sabendo que AB = 18, AC = 27 e
EC = 12.
Tracemos, agora, as retas que passam por esses
pontos de divisão e são paralelas a r, s e t. Pelo teorema
anterior, as retas traçadas dividem DE em m partes
iguais a u’ e EF em n partes iguais a u’. Então,
DE m ⋅ u '
DE m
=
⇒
=
EF n ⋅ u '
EF
n
(2)
157
8. Teorema de Tales
160
8. Teorema de Tales
Exercício 52: Calcule x e y, sabendo que r // s // t.
Então, de (1) e (2),
AB DE
=
BC EF
158
8. Teorema de Tales
161
8. Teorema de Tales
Exercício 50: Nas figuras, sabe-se que r // s // t.
Calcule x.
159
Exercício 53: Se r // s // t, calcule a, b e c.
162
27
9. Semelhança de polígonos
9. Semelhança de polígonos
Exercício 54: Na figura, sabe-se que ABCD ∼ LMNP.
Calcular: a) a razão de semelhança entre ABCD e
LMNP e, b) x, y e u.
Dois polígonos ABCDE … e A’B’C’D’E’ … com o
mesmo número de vértices, são semelhantes se, e
somente se,
1o) seus ângulos correspondentes (ou homólogos) são
congruentes, isto é:
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢
163
A = A' , B = B ' , C = C ' , …
166
9. Semelhança de polígonos
9. Semelhança de polígonos
Resolução:
a) Para calcular a razão de semelhança, basta obter
a razão de semelhança entre dois lados homólogos quaisquer de medidas conhecidas. No caso,
entre os lados AB e LM.
Dois polígonos ABCDE … e A’B’C’D’E’ … com o
mesmo número de vértices, são semelhantes se, e
somente se,
k=
AB
28
7
⇒k =
⇒ k=
20
5
LM
2o) seus lados homólogos são proporcionais, isto é:
AB
BC
CD
=
=
=… = K
A'B ' B 'C ' C 'D '
167
164
9. Semelhança de polígonos
9. Semelhança de polígonos
Resolução:
b) Já que a razão entre quaisquer dois lados
homólogos é igual à razão de semelhança, temos:
A constante k, de proporcionalidade entre os
lados, é chamada razão de semelhança dos polígonos.
165
7
x
= ⇒ x = 49
35 5
7
y
= ⇒ y = 56
40 5
35 7
= ⇒ u = 25
u
5
168
28
9. Semelhança de polígonos
10. Semelhança de triângulos
Exercício 55: Sabendo que os pentágonos ABCDE e
KLMNO são semelhantes, calcule: a) a razão de
semelhança e b) u, v, x e y.
Apenas uma dessas duas condições não garante
que dois polígonos sejam semelhantes. Por exemplo, os
quadriláteros da figura acima possuem seus ângulos
respectivamente congruentes, mas não são semelhantes,
pois seus lados não são proporcionais.
169
9. Semelhança de polígonos
172
10. Semelhança de triângulos
Exercício 56: Na figura, os retângulos ABCD e
BCFE são semelhantes. Se AEFD é um quadrado,
calcule o valor de m/n.
Porém, exclusivamente no caso dos triângulos, a
semelhança fica garantida com um menor número de
informações sobre eles. Tais informações constituem os
critérios de semelhança de triângulos.
170
10. Semelhança de triângulos
173
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
‘
‘
‘
Conforme visto anteriormente, para que dois
polígonos sejam semelhantes são necessárias duas
condições: 1o) os ângulos correspondentes têm de ser
congruentes; 2o) os lados homólogos têm de ser
proporcionais.
171
‘
‘
‘
Critério A.A. (Ângulo, Ângulo)
Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos
de um são congruentes a dois ângulos do outro.
⌢ ⌢
B = B '
' ' '
 ⌢ ⌢ ' A.A. ∆ABC ∼ ∆A B C
174
C = C
29
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
‘
‘
‘
‘
‘
‘
Critério L.L.L. (Lado, Lado, Lado)
BC AC AB
=
=
LM LN MN
Dois triângulos são semelhantes se os lados de
um são proporcionais aos lados do outro.
a b c
= =
a' b ' c '
L.L.L.
∆ABC ∼ ∆A'B 'C '
175
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
178
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
Exercício 57: Calcule x e y nas figuras abaixo.
‘
‘
‘
r / / BC
‘
‘
r / / AB
‘
Critério L.A.L. (Lado, Ângulo, Lado)
Dois triângulos são semelhantes se possuem um
par de ângulos congruentes compreendidos entre lados
⌢ ⌢
proporcionais.  A = A'

b c
 ' = '
b c
L.A.L.
∆ABC ∼ ∆A'B 'C '
176
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
179
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
Exercício 58: Na figura seguinte, observe os dados
com atenção e calcule x e y.
No reconhecimento dos lados homólogos em
triângulos semelhantes, deve-se identificar os pares de
ângulos congruentes por meio de marcas iguais, ou com
letras do alfebeto grego. Esse procedimento visa
facilitar o reconhecimento dos lados homólogos.
177
180
30
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
Exercício 59: Qual é a medida do lado do quadrado
ABCD da figura?
‘
Até agora trabalhamos com a proporcionalidade
dos lados de polígonos semelhantes. Porém, essa
proporcionalidade não ocorre apenas entre os lados e
sim entre quaisquer dois elementos lineares homólogos
de figuras semelhantes.
181
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
184
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
Exercício 60: Calcule x nas figuras abaixo:
‘
Por exemplo, para dois triângulos semelhantes, se
a razão de semelhança é igual a k, então: (a) a razão
entre lados homólogos é k; (b) a razão entre alturas
homólogas é k; (c) a razão entre medianas homólogas é
k; (d) a razão entre os perímetros é k; etc …
182
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
a h m
a+b+c
= =
=
=… = k
a' h' m' a' + b' + c '
185
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
Exercício 61: Na figura, sabe-se que AD = BD e que
AB = AC = CD = 2. Calcule os valores de α e x.
183
Exercício 62: Na figura, LMNP é um quadrado
inscrito no triângulo ABC. Calcular x em função de
a e h.
186
31
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
Resolução: Como
Exercício 64: A figura seguinte mostra um
retângulo inscrito no triângulo ABC. Calcule as
medidas dos lados do retângulo, sabendo que sua
base é o dobro de sua altura.
LM / /BC ⇒ ∆ALM ∼ ∆ABC
Então, como a razão entre alturas homólogas é igual
à razão entre lados homólogos, temos:
187
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
x h−x
=
⇒ hx = ah − ax ⇒ ax + hx = ah
a
h
ah
(a + h )x = ah ⇒ x =
a+h
190
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Pelo teorema de Tales, verifica-se de imediato
que: “A reta que passa pelo ponto médio de um lado de
um triângulo e é paralela a um outro lado intercepta o
terceiro lado em seu ponto médio.”
188
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
191
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 63: Os quadriláteros ABCD e A’B’C’D’ da
figura são semelhantes. Se o perímetro do segundo
é igual a 32, calcule as medidas de seus lados e de
sua diagonal B’D’.
Se r // BC e M é ponto médio de AB, então N é o
ponto médio de AC.
Note então que a reta que passa pelos pontos
médios de dois lados de um triângulo é paralela ao
terceiro lado.
189
192
32
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 65: Na figura dada, ABC é um triângulo
equilátero de lado l = 6 e M é o ponto médio de AB .
Calcular NC, sabendo que CD = 8.
Observando ainda que ∆AMN R∆ABC, pois r // BC,
podemos escrever:
MN AM
=
BC
AB
E como AM é a metade de AB, conclui-se que MN
193
é a metade de BC.
196
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Resolução: Unindo M ao ponto P, médio de BC , temos:
AC
MP / / AC e MP =
2
isto é, MP = 3.
Resumindo, o segmento que une os pontos médios
de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado
e sua medida é a metade da medida do terceiro lado.
Mas, se
MP / / AC, então ∆NCD ∼ ∆MPD
197
194
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Se M e N são pontos médios de AB e AC .
então
1) MN // BC


BC
2) MN =
2

195
NC CD
x 8
=
⇒ =
MP PD
3 11
24
x=
11
198
33
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 66: Os lados de um triângulo retângulo
medem 10, 12 e 16. Os pontos médios dos lados
desse triângulo são vértices de um novo triângulo.
Calcule as medidas dos lados do segundo triângulo.
199
202
11. Relações métricas no triângulo retângulo
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 67: Na figura, L, M e N dividem AB em
quatro partes iguais e as retas r, s e t são paralelas
a BC . Calcule o valor de a + b + c.
Note que a altura AH divide o triângulo ABC nos
triângulos HBA e HAC.
⌢
⌢
o
Então, ∆ABC R ∆HBA, pois A = H = 90 e ∢B é
ângulo comum.
⌢
∢C
⌢
o
Além disso ∆ABC R ∆HAC, pois A = H = 90 e
é ângulo comum. Logo,
∆ABC ∼ ∆HBA ∼ ∆HAC
203
200
11. Relações métricas no triângulo retângulo
11. Relações métricas no triângulo retângulo
∆ABC ∼ ∆HBA
Se ABC é um triângulo retângulo em A, traçandose a altura AH, relativa à hipotenusa, ficam definidos os
seguintes elementos: a → hipotenusa; b e c → catetos;
h → altura relativa à hipotenusa; m → projeção de c
sobre a hipotenusa; n → projeção de b sobre a
hipotenusa.
201
a b
= ⇒ b⋅c = a ⋅h
c h
a c
= ⇒ c2 = a ⋅ m
c m
(1)
(2)
204
34
11. Relações métricas no triângulo retângulo
11. Relações métricas no triângulo retângulo
∆ABC ∼ ∆HAC
Se x, p e q são números ou segmentos que
satisfazem a equação
a b
= ⇒ b2 = a ⋅ n
b n
(3)
x2 = p ⋅ q
∆HBA ∼ ∆HAC
h m
=
⇒ h2 = m ⋅ n
n h
dizemos que x é a média geométrica entre p e q. Desse
modo, há três médias geométricas entre as relações
métricas no triângulo retângulo.
(4)
205
11. Relações métricas no triângulo retângulo
208
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras
b 2 = a ⋅ n
+ 2
c = a ⋅ m
Cada cateto é média geométrica
hipotenusa e a sua projeção sobre ela.
(2) + (3)
b2 = a ⋅ n
b 2 + c 2 = a ⋅ (m + n )
a
c2 = a ⋅ m
A altura é média geométrica entre as projeções
dos catetos sobre a hipotenusa.
a
b2 + c 2 = a2
e
entre
h2 = m ⋅ n
(5)
206
11. Relações métricas no triângulo retângulo
209
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Exercício 68: Os catetos de um triângulo retângulo
medem 5 e 2 5 . Calcular: a) a hipotenusa, b) as projeções dos catetos e c) a altura relativa à
hipotenusa.
Resumindo:
a =b +c
2
2
2
b2 = a ⋅ n
c2 = a ⋅ m
h2 = m ⋅ n
b⋅c = a⋅h
207
210
35
11. Relações métricas no triângulo retângulo
11. Relações métricas no triângulo retângulo
Resolução:
a) Calculamos a hipotenusa pelo teorema de
Pitágoras.
a = b +c ⇒a =
2
2
2
2
( 5 ) + (2 5 )
2
c) Finalmente, podemos calcular h por meio de
qualquer uma das relações h2 = m ⋅ n ou b ⋅ c = a ⋅ h.
h 2 = m ⋅ n ⇒ h 2 = 1⋅ 4 ⇒ h = 2
2
a = 5 + 4 ⋅ 5 ⇒ a 2 = 25
2
a=5
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b) Podemos determinar m pela fórmula c2 = a ⋅ m,
pois já calculamos a hipotenusa.
c2 = a ⋅ m ⇒
( 5)
2
= 5⋅m
Exercício 69: Os catetos de um triângulo retângulo
medem 2 13 e 3 13 . Calcule: a) a hipotenusa; b) as
projeções dos catetos; e c) a altura relativa à
hipotenusa.
5 = 5⋅m
m =1
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Exercício 70: Na figura, AB é o diâmetro da
semicircunferência. Calcule AP e PB.
Por outro lado, como m + n = a, temos:
m + n = a ⇒ 1+ n = 5 ⇒ n = 4
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Exercício 71: O perímetro de um losango é igual a
40 e sua diagonal mede 16. Calcule o raio da
circunferência inscrita nesse losango.
Exercício 74: Na figura, as circunferências de
centros O e O’ têm raios R e r, são tangentes entre
si e tangenciam a reta t nos pontos A e B. Calcule
AB em função de R e r.
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Exercício 72: O triângulo ABC da figura é retângulo
em A. AH e AM são a altura e a mediana relativas à
hipotenusa. Calcule b e c.
Exercício 75: Na figura seguinte, ABCD é um
trapézio retângulo de bases AB e CD. A
semicircunferência de diâmetro AD tangencia o
lado BC em T. Calcule o raio da semicircunferência.
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Exercício 73: No plano cartesiano são dados os
pontos A(2; 1) e B(6;4). Calcule a distância de A e B.
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Exercício 76: Vista de trás, a carroceria de um
certo caminhão tem forma retangular. Sua altura,
medida desde o solo, é de 3,6 m. O caminhão se
dirige a um clube, cuja entrada é um arco
semicircular de 3,9 m de raio. Para que ele possa
passar pelo arco, é necessário que sua largura seja
menor que um certo valor l. Calcule l.
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Exercício 79: Calcule os raios das circunferências
inscrita e circunscrita num quadrado de lado l = 4.
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Exercício 77: Na figura seguinte, O é o centro da
circunferência, AB = 30 e MP = 9. Calcule o raio da
circunferência.
Exercício 80: Calcule a área de um triângulo
equilátero de lado l.
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11. Relações métricas no triângulo retângulo
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Exercício 78: Qual é o comprimento da diagonal de
um quadrado de lado l?
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Exercício 81: Calcule os raios das circunferências
inscrita e circunscrita num triângulo equilátero de
lado l = 6.
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