Integral definido

Matemática - 2008/09 - Integral de…nido
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Método de integração por partes
O método de integração por partes é apenas uma "tradução", em termos de integrais, do
método de primitivação por partes.
Sejam f e g duas funções de…nidas num intervalo I, com derivadas f 0 e g 0 , contínuas em I:
Para quaisquer dois pontos a; b 2 I tem-se:
Zb
f (x) g 0 (x) dx = [f (x) g (x)]ba
a
Zb
f 0 (x) g (x) dx
a
Exemplo:
1
Z2
arcsin xdx =
0
1
1
2
= [x arcsin x]0
(1)
Z2
0
=
=
1
1
arcsin
2
2
12
p
x
x2
1
0 arcsin 0
!
r
1
1
4
dx =
p
p
x2
1
1
!
=
1
2
0
=
12
f = arcsin x
g=x
+
p
3
2
1
! f0 = p
1
1
x2
(1)
0
g =1
Primitivação e integração por substituição
O método de primitivação por substituição baseia-se na regra de derivação da função composta e permite, mais uma vez, transformar primitivas não imediatas em primitivas imediatas
ou já conhecidas.
Seja f (x) uma função que pretendemos primitivar e suponhamos que F (x) é uma primitiva
de f (x) num determinado intervalo real. Se substituirmos x por uma função bijectiva u (t) ;
como
(F (u (t)))0 = F 0 (u (t)) u0 (t) = f (u (t)) u0 (t) ;
temos que
(P (F (u (t))))0 = P (f (u (t)) u0 (t)) ,
, F (u (t)) = P (f (u (t)) u0 (t)) :
Assim a função F (u (t)) pode ser calculada primitivando a função
f (u (t)) u0 (t) :
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78
Como u (t) é bijectiva, de x = u (t) ; obtemos t = u
variável t por u
1
(x) ; …camos com F (u (u
1
1
(x) : Substituindo em F (u (t)) a
(x))) = F (x) ; que é a primitiva pretendida.
Vejamos alguns exemplos de aplicação do método:
Exemplos:
1.
Z
p
1
ex
1
dx:
Fazendo
t=
p
ex
1;
tem-se que
x = ln t2 + 1 ;
pelo que, neste caso,
u (t) = ln t2 + 1
e
2t
:
t2 + 1
Vamos então efectuar a substituição e primitivar a função f (u (t)) u0 (t) :
u0 (t) =
P
1 2t
t t2 + 1
dt =
2
dt =
t2 + 1
1
= 2P 2
dt =
t +1
= 2 arctan t + c:
= P
Para obter a primitiva pretendida, basta agora substituir t por u
…ca:
P
p
1
ex
1
p
= 2 arctan ex
1
(x) =
p
ex
1e
1 + c:
Nota: Para não sobrecarregar os cálculos, muitas vezes não se refere explicitamente a função
u (t) ; pois de facto o que interessa é ter x escrito em função de t e t em função de x: Para
dx
indicar a derivada de u (t) ; comete-se um abuso de linguagem escrevendo
ou simplesmente
dt
0
x : No caso anterior ter-se-ia:
2
p
t = ex 1
6
6 x = ln (t2 + 1)
4
2t
x0 = 2
t +1
2.
Z
ex
ex + e
x
dx
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Vamos efectuar a a substituição x = ln t. Resumimos a informação necessária ao
procedimento na seguinte tabela:
2
x = ln t
6
6 t = ex
4
1
x0 =
t
Assim,
P
t
t+t
1
1
t
=
= P
t
=
+1
2t
=
t2 + 1
t2
1
P
2
1
=
ln t2 + 1 + c:
2
=
Substituindo t por ex ; obtém-se:
P
ex
ex + e
=
x
1
ln e2x + 1 + c:
2
Método de integração por substituição:
Neste caso do método, o procedimento simpli…ca-se pois o cálculo do valor do integral é
directo desde que, ao efectuar a susbstituição, para além de alterar a função integranda e
mudar a variável de integração, se mudem também os limites de integração.
Sendo f uma função contínua num intervalo I e u uma função bijectiva de um intervalo H
no intervalo I; com derivada contínua. Então, para a; b 2 I;
Zb
f (u (t)) u0 (t) dt
f (x) dx =
a
uZ1 (b)
u
1 (a)
Exemplos:
3.
Z5 p
x 1
dx =
x
1
=
( )
Z2
0
Z2 2
t
t
2t dt = 2 2
dt =
2
t +1
t +1
Z2
=2 1
0
t2
1
dt = 2 [t
+1
arctan t]20 =
0
= 2 (2
arctan 2
0 + arctan 0) = 4
2 arctan 2
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( ) Substituição:
p
t = x 1 = u 1 (x)
x = t2 + 1 = u (t)
x0 = u0 (t) = 2t
Novos limites de integração:
p
u 1 (5) = 5 1 = 2
p
u 1 (1) = 1 1 = 0
4.
Z4
p
=
Z 18t2
x
dx =
2 + 4x
1
p
( )
p
2
t
dt =
t 2
4
6
p
Z 18
1
t2
=
8p
1 t3
2 dt =
8 3
2t
p
18
p
6
=
6
p 3
p
18
1
=
2 18
8
3
p
3 2
=
2
( ) Substituição:
p
t = 2 + 4x = u 1 (x)
x=
t2
2
4
p
6
3
3
!!
p
2 6
=
= u (t)
t
2
Novos limites de integração:
p
p
u 1 (4) = 2 + 4 4 = 18
p
p
u 1 (1) = 2 + 4 1 = 6
x0 = u0 (t) =
Primitivação de funções racionais
Chama-se função racional uma função que pode ser de…nida pelo quociente de dois polinómios.
Exemplos:
1. f (x) =
2. f (x) =
x5
x3
2x + 5
1
x6 + 1
x2 + 1
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a (x)
em que a (x) e b (x)
b (x)
são polinómios. Quando o grau de a (x) é maior ou igual que o grau de b (x) a função racional
Uma função racional é, portanto, representável por um cociente
pode ser representada na forma
a (x)
r (x)
= q (x) +
b (x)
b (x)
em que o grau de r (x) é menor que o grau de b (x) : De facto, dado que efectuando a divisão
de a (x) por b (x) se obtém a (x) = q (x) b (x) + r (x) ; em que o grau de r (x) é menor que o
grau de b (x) ; então
a (x)
q (x) b (x) + r (x)
r (x)
=
= q (x) +
b (x)
b (x)
b (x)
O problema de primitivar funções racionais arbitrárias reduz-se assim ao de primitivar
funções racionais em que o grau do numerador é menor que o grau do denominador pois
P
a (x)
b (x)
=P
q (x) +
r (x)
b (x)
= P (q (x)) + P
r (x)
b (x)
em que P (q (x)) é a primitiva de um polinómio e o grau de r (x) é menor que o grau de
b (x) : Para primitivar essas funções, vamos decompô-las na soma de funções racionais mais
simples, cujas primitivas se inserem na classe das primitivas imediatas.
Consideramos, então uma função racional da forma
p (x)
, em que o grau de p (x) é menor
q (x)
que o grau de q (x) : Há dois casos fundamentais:
Caso 1 q (x) decompôe-se num produto de factores de grau 1:
q (x) = (x
a1 ) (x
a2 ) : : : (x
an )
Caso 2 q (x) tem factores de grau 2 sem raízes.
Vamos analisar cada um desses casos:
Caso 1: Este caso tem dois subcasos:
Subcaso (i) a1 ; a2 ; : : : ; an são todos diferentes. Neste caso:
A1
A2
p (x)
=
+
+
q (x)
x a1 x a2
+
An
x an
em que
Ai =
Exemplo:
(ai
x+4
=
x
5x + 6
(x
2
a1 ) : : : (ai
x+4
2) (x
p (ai )
ai 1 ) (ai
3)
=
ai+1 ) : : : (ai
7
x
6
3
x
2
an )
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p (x)
; para além
q (x)
das parcelas correspondentes às raizes simples, a cada um desses factores correspondem
Subcaso (ii) Existem factores da forma (x
at )k : Na decomposição de
k parcelas da forma:
A1t
A2t
+
+
x at (x at )2
Exemplo:
1
x (x
2
1)
=
1
x
1
x
1
+
Akt
ai )k
(x
1
+
(x
1)2
Caso 2: Novamente há dois subcasos:
Subcaso (i) Cada factor quadrático é simples. Neste caso a cada factor de grau dois, sem
raizes reais, ax2 + bx + c, corrsponde uma parcela da forma:
Bx + C
ax2 + bx + c
Exemplo:
x2
2x + 5
x2 2x + 5
=
=
x3 1
(x 1) (x + x2 + 1)
x
4
3
1
+
1
x
3
11
3
x + x2 + 1
k
Subcaso (ii) Existem factores quadráticos múltiplos, isto é, da forma (ax2 + bx + c) . A
cada um desses factores correspondem k parcelas da forma:
B2 x + C2
B1 x + C1
+
+
ax2 + bx + c (ax2 + bx + c)2
Exemplo:
2
x+2
=
3
x
x (x2 + 1)
2x
+1
x2
+
Bk x + Ck
(ax2 + bx + c)k
2x
2x + 1
+
2
(x2 + 1)
(x2 + 1)3
Método dos coe…cientes indeterminados
Em geral, para determinar as constantes que aparecem nos numeradores, usa-se o chamado
p (x)
à soma das
método dos coe…cientes indeterminados, que consiste em igualar
q (x)
fracções correspondentes aos factores do denominador, de acordo com os casos explicitados
acima, e efectuar os cálculos para determinar as constantes que têm de …gurar nos numeradores, o que passa em geral por resolver um sistema (exemplo 1 abaixo), ou então atribuir
valores de modo a obter os resultados pretendidos (exemplo 2 abaixo).
Exemplos:
1. Vamos decompor a função racional
1
(1 + x) (x2
x + 1)
numa soma de fracções simples:
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A
Bx + C
+ 2
,
x + 1)
1+x x
x+1
1
A (x2 x + 1) + (Bx + C) (1 + x)
,
=
(1 + x) (x2 x + 1)
(1 + x) (x2 x + 1)
2
, A (x
x + 1) + (Bx + C) (1 + x) = 1
1
(1 + x) (x2
=
, (A + B) x2 + ( A + B + C) x + (A + C) = 0x2 + 0x + 1
8
>
< A+B =0
,
A+B+C =0
>
:
A+C =1
1
1
2
, A = ;B =
;C =
3
3
3
1
1
2
x+
1
3
= 3 + 23
Portanto
2
(1 + x) (x
x + 1)
1+x x
x+1
x
numa soma de fracções simples:
(x 1)2 (x + 1)
C
x
A
B
=
+
,
2
2 +
x 1 (x 1)
x+1
(x 1) (x + 1)
, x = A (x2 1) + B (x + 1) + C (x 1)2
1
x = 1 ) 4C = 1 ) C =
4
1
x = 1 ) 2B = 1 ) B =
2
1
x=0) A+B+C =0)A=
4
1
1
1
x
2
4
= 4 +
Portanto
2
2 +
x
1
x
+
1
(x 1) (x + 1)
(x 1)
2. Vamos decompor
3. Cálculo de uma primitiva por decomposição em fracções simples:
x (x + 1)
P
=
(x2 1)2
=P
=
P
#
ex. 2
1
= P
4
=
1
4
(x
0
B
@
x
x
=
1)2 (x + 1)
1
1
1
1
4 +
2
4 C
A=
2 +
1 (x 1)
x+1
1
x
ln jx
1
+
1j
2
1)
1
x+1
1
ln jx + 1j
2
(x
2
x
=
4. Cálculo de um integral de…nido utilizando o método de decomposição:
Z4
x
dx =
2
x
6x + 5
2
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Z4
=
( )
x
5) (x
(x
1)
84
dx =
2
=
(
)
Z4
5
4
x
5
dx +
Z4
2
1
4
x
1
dx =
2
2
5
=
4
Z4
1
x
5
dx
1
4
Z4
1
x
1
dx =
2
1
5
= [ln jx 5j]42
[ln jx 1j]42 =
4
4
5
1
= (ln 1 ln 3)
(ln 3 ln 1) =
4
4
1
5
ln 3
ln 3 =
=
4
4
3
=
ln 3
2
( ) x2 6x + 5 = 0 , x = 5 _ x = 1
( ) Decomposição:
x
A
B
5
=
+
,A= eB=
(x 5) (x 1)
x 5 x 1
4
1
4