1) Observe o diálogo entre Júlia e Dora

DEVOLUTIVA DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA (Prova Unificada-8ªsérie)
1) Observe o diálogo entre Júlia e Dora:
Para calcular a altura do avião antes do momento
em que ele iniciou o trajeto para pousar, consideremos o
triângulo retângulo formado pela imagem ilustrativa.
Note que a altura procurada representa o cateto oposto
ao ângulo de 30° e o percurso realizado pelo avião do
início do percurso até o momento em que toca o solo é
hipotenusa que é de 6000m. A razão trigonométrica que
envolve cateto oposto e hipotenusa é o seno. Logo
devemos utilizar:
𝑠𝑒𝑛 30° =
O que a Júlia respondeu para Dora?
Como a equação citada por Dora está escrita na
forma geral, ou seja, igual a zero, as raízes desta equação
são os valores de “x” que ao ser substituído nesta equação
tornam esta sentença verdadeira. Portanto a resposta
dada por Júlia é:
...substituir x por 7, se a expressão não der 0, então 7 não
é raiz.
Note que:
72 − 3.7 + 4 = 32 ≠ 0
1 𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
=
=
2 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
6000
Considerando h para altura teremos:
1
ℎ
=
→ 2ℎ = 6000 → ℎ = 3000
2 6000
Portanto a altura do avião antes de iniciar o pouso era de
3000m
3) José irá cercar uma área retangular de 60m² em seu
sítio para criar ovelhas. Ele tem um rolo de tela de 32m.
Qual a medida dos lados deste cercado?
2) (ETEC) Um avião está voando paralelo ao solo,
conforme ilustra a figura a seguir. Ao avistar a pista de
pouso, inclina-se trinta graus em direção ao solo e
percorre seis mil metros até tocá-la. Antes de se inclinar
para iniciar o pouso, a altura desse avião em relação ao
solo é de
A área de um retângulo é dada por base X altura,
ou seja, neste caso X.Y=60.
O perímetro de um retângulo é dado pela soma
das medidas de seus lados, ou seja, neste caso
X+X+Y+Y=2X+2Y=32.
Com essas informações obtemos um sistema de
equações conforme descrito a seguir:
{
𝑥. 𝑦 = 60
2𝑥 + 2𝑦 = 32
Para resolver este sistema isolamos y na 2ª
equação e substituímos esse valor na 1ª equação
conforme descrito a seguir:
32
32 − 2𝑥
2𝑥 + 2𝑦 = 32 → 2𝑦 = 32 − 2𝑥 → 𝑦 =
2
= 16 − 𝑥.
𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑚 𝑥. 𝑦 = 32, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑥. (16 − 𝑥) = 60 → −𝑥 2 + 16𝑥 = 60 →
𝑥 2 − 16𝑥 + 60 = 0
Note que “caímos” em uma equação de 2º grau. Ao
determinar suas raízes teremos:
∆= 16, 𝑥1 = 10 𝑒 𝑥2 = 6
Substituindo os valores de 𝑥1 𝑒 𝑥2 em 𝑥. 𝑦 = 60, teremos:
10𝑦 = 60 → 𝑦 = 6
ou
6𝑦 = 60 → 𝑦 = 10
Portanto a alternativa que apresenta corretamente umas
dessas soluções para x e y é a alternativa que indica:
x=10 e y=6
4) Ana alegrava-se em conseguir estimara o comprimento
de objetos inacessíveis, como por exemplo a altura de
uma torre. A partir dos conhecimentos das relações
trigonométricas, que a medida de x, em metros, era de
aproximadamente igual a:
A altura da torre, representada por “x” é o cateto
oposto do ângulo 𝛼 indicado na figura. Já a distância da
torre até um determinado ponto cujo ângulo de visão
deste ponto até o topo da torre resulte em 𝛼 é de 20m. A
razão trigonométrica que envolve cateto oposto e cateto
adjacente é a tangente.
Como tg 𝛼 = 0,84 (dado pelo enunciado), temos:
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝛼
𝑥
= 0,84 =
→ 𝑥 = 20.0,84
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝛼
20
= 16,8 ≅ 17𝑚
5) (ETEC) O acesso a um edifício é feito por uma escada de
dois degraus, sendo que cada um tem 16 cm de altura.
Para atender portadores de necessidades especiais, foi
construída uma rampa.
Respeitando a legislação em vigor, a rampa deve formar,
com o solo, um ângulo de 6º, conforme a figura.
Dados: sen 6º = 0,10 e cos 6º = 0,99
A medida c do comprimento da rampa é, em metros,
igual a
A altura alcançada pela rampa é a mesma
alcançada pela altura dos dois degraus. Como cada
degrau tem 16cm, a altura dos dois degraus e
consequentemente a altura da rampa é de 32cm.
Note que esta altura representa o cateto oposto
em relação ao ângulo de 6°. A distância a ser encontrada
(comprimento da rampa denotado por “c”) representa a
hipotenusa do triângulo retângulo formado. Logo a razão
trigonométrica que envolve cateto oposto e hipotenusa é o
seno. Então teremos:
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜6° 32
32
𝑠𝑒𝑛 6° =
=
= 0,10 → 𝑐 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐
0,10
= 320𝑐𝑚
Portanto, em metros, o comprimento desta rampa é 3,2.