Análise Combinatória – Intermediário

Análise Combinatória – Intermediário
1. (AFA) As senhas de acesso a um determinado arquivo de um microcomputador de uma empresa deverão ser formadas apenas
por 6 dígitos pares, não nulos.
Sr. José, um dos funcionários dessa empresa, que utiliza esse microcomputador, deverá criar sua única senha.
Assim, é INCORRETO afirmar que o Sr. José
(A) poderá escolher sua senha dentre as 212 possibilidades de formá-las.
(B) poderá escolher dentre 120 possibilidades, se decidir optar por uma senha com somente 4 dígitos iguais.
(C) terá 4 opções de escolha, se sua senha possuir todos os dígitos iguais.
(D) terá 480 opções de escolha, se preferir uma senha com apenas 3 dígitos iguais.
2. (AFA) Marque V para verdadeiro F para falso e, a seguir, assinale a opção correspondente.
( ) Sendo A um conjunto com x elementos e B um conjunto com y elementos, o número de funções f: A → B é xy
( ) Uma urna contém n bolas numeradas (de 1 a n). Se s bolas são retiradas sucessivamente e com reposição, o número de
seqüências de resultados possíveis é ns
( ) Com n algarismos distintos, entre eles o zero, pode-se escrever n4 números distintos de 4 algarismos.
(A) F – V – V
(B) V – F – V
(C) V – F – F
(D) F – V – F.
3. (AFA) A palavra que não muda o seu sentido, quer se leia da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, é chamada
palíndromo (Ex., ovo, asa, acaiaca, serres, etc.). Considerando-se as 23 letras do nosso alfabeto, quantos anagramas de 6 letras
com características de um palíndromo, pode-se formar?
(A) 236
(B) 233
(C) 323
(D) 623.
4. (AFA) Usando-se 5 algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, sem repeti-los, a quantidade de números pares que se pode formar é:
(A) 1080
(B) 2160
(C) 2520
(D) 5040.
5. (AFA) Uma pessoa fará uma viagem e em cada uma de suas malas colocou um cadeado contendo um segredo formado por
cinco dígitos. Cada dígito é escolhido dentre os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Na primeira mala, o segredo do cadeado começa e termina com dígito par e os demais são dígitos consecutivos em ordem
crescente. Na segunda mala, o segredo do cadeado termina em dígito ímpar e apenas o 1º e 2º dígitos são iguais entre si.
Dessa maneira, se ela esquecer:
(A) o segredo do cadeado da primeira mala, deverá fazer no máximo (52x 83) tentativas para abri-lo.
(B) o segredo do cadeado da segunda mala, o número máximo de tentativas para abri-lo será de 1890.
(C) apenas os três dígitos consecutivos em ordem crescente do cadeado da primeira mala, ela conseguirá abri-lo com, no
máximo, 8 tentativas.
(D) apenas os dois primeiros dígitos do cadeado da segunda mala, deverá tentar no máximo 10 vezes para abri-lo.
6. (AFA) Com base no conhecimento sobre análise combinatória, é correto afirmar que:
(01) existem 2160 possibilidades de 8 pessoas ocuparem um veículo com 3 lugares voltados para trás e 5 lugares voltados para
frente, sendo que 2 das pessoas preferem bancos voltados para trás, 3 delas preferem bancos voltados para frente e as demais não
têm preferência.
(04) com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, pode-se formar 525 números ímpares com 4 algarismos e que não tenham zeros
consecutivos.
(08) podem ser formados 330 paralelogramos a partir de 7 retas paralelas entre si, interceptadas por outras 4 retas paralelas
entre si.
A soma das alternativas corretas é
(A) 05.
(B) 09.
(C) 12.
(D) 13.
7. (AFA) Uma prova consta de 3 partes, cada uma com 5 questões. Cada questão, independentemente da parte a que
pertença, vale 1 ponto, sendo o critério de correção “certo ou errado”. O número de maneiras diferentes de se alcançar 10
pontos nessa prova, se devem ser resolvidas pelo menos 3 questões de cada parte e 10 questões no total, é igual a:
(A) 1500.
(B) 150.
(C) 75.
(D) 1600.
8. (AFA) Numa demonstração de paraquedismo, durante a queda livre, participam 10 paraquedistas. Em um certo
momento, 7 deles devem dar as mãos e formar um círculo. De quantas formas distintas eles poderão ser escolhidos e
dispostos nesse círculo?
(A) 120
(B) 720
(C) 86400
(D) 151200.
9. (AFA) Assinale a alternativa correta.
(A)Pode-se codificar quinhentos pacientes, por uma palavra de duas letras quando as letras são escolhidas de um alfabeto de
25 letras.
(B)Nas calculadoras, os algarismos são freqüentemente representados, iluminando-se algumas das sete barras reunidas na
forma padrão 8. O número de diferentes símbolos que podem ser expressos pelas sete barras é igual a 7! (fatorial de 7).
(C)O número de anagramas da palavra ASTRONAUTA é igual a 10! (fatorial de 10).
(D)Entre 10 machos e 7 fêmeas de gatos experimentais, foi escolhida uma amostra de dois machos e duas fêmeas. O
número de maneiras que isto pode ser feito é igual a 945.
10. (AFA) Seja An,p o número de arranjos simples de n elementos distintos, tomando p a p. A equação A n,3 = 6n tem
como solução.
(A) uma raiz nula
(B) uma raiz positiva
(C) duas raízes positivas
(D) uma raiz positiva e outra negativa.
11. (AFA) Numa sala de aula, estão presentes 5 alunos e 6 alunas. Para uma determinada atividade, o professor deverá
escolher um grupo formado
por 3 dessas alunas e 3 dos alunos. Em seguida, os escolhidos serão dispostos em círculo de tal forma que alunos do mesmo
sexo não fiquem lado a lado. Isso poderá ocorrer de n maneiras distintas.
O número n é igual a
(A) 24.000
(B) 2.400
(C) 400
(D) 200
12. (AFA) Uma pessoa deve escolher (não importando a ordem) sete, dentre dez cartões numerados de 1 a 10, cada um
deles contendo uma pergunta diferente. Se nessa escolha houver, pelo menos três, dos cinco primeiros cartões, ela terá n
formas de escolha.
Sendo assim, pode-se afirmar que n é um número
(A) quadrado perfeito.
(B) múltiplo de 11.
(C) ímpar.
(D) primo.
13. (AFA) Em uma reunião social, cada participante cumprimenta todos os outros uma única vez. Se houve um total de 36
cumprimentos, o número de participantes da reunião é
(A) 7.
(B) 8.
(C) 9.
(D) 10.
14. (AFA) Quatro pontos não-coplanares determinam, exatamente, quantos planos?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4.
15. (EN) No sistema decimal, a quantidade de números ímpares positivos menores que 1000, com todos os algarismos
distintos é
(A) 360
(B) 365
(C) 405
(D) 454
(E) 500
16. (EN) Um tapete de oito faixas deve ser pintado com as cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras que se
pode pintar este tapete de modo que duas faixas consecutivas não sejam da mesma cor é:
(A) 256.
(B) 384.
(C) 520.
(D) 6561.
(E) 8574.
17. (EN) Entre os dez melhores alunos que freqüentam o grêmio de informática da Escola Naval, será escolhido um diretor,
um tesoureiro e um secretário. O número de maneiras diferentes que podem ser feitas as escolhas é:
(A) 720
(B) 480
(C) 360
(D) 120
(E) 60.
18. (EN) Um Aspirante ganhou, em uma competição na Escola Naval, quatro livros diferentes de Matemática, três livros
diferentes de Física e dois livros diferentes de Português. Querendo manter juntos aqueles da mesma disciplina, concluiu
que poderia enfileirá-los numa prateleira de sua estante, de diversos modos. A quantidade de modos com que poderá fazêlo é
(A) 48
(B) 72
(C) 192
(D) 864
(E) 1728.
19. (EN) Um banco de sangue catalogou um grupo de 50 doadores, assim distribuídos: 19 com tipo O; 24 com fator Rh
(negativo); e 11 com fator Rh (positivo) e tipo diferente de O. Quantos são os modos possíveis de selecionar 3 doadores
desse grupo que tenham sangue de tipo diferente de O, mas com fator Rh (negativo)?
(A) 4495.
(B) 2024.
(C) 1140.
(D) 165.
(E) 155.
20. (EN) O maior número de planos que podemos formar com 10 pontos distintos do espaço, dos quais 6 são coplanares é:
(A) 30.
(B) 31.
(C) 100.
(D) 101.
(E) 208.
21. (EN) Uma livraria vai doar 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada biblioteca deve receber ao menos dois livros. O número
de modos que esses livros podem ser repartidos nessa doação, é igual a
(A) 1365
(B) 840
(C) 240
(D) 120
(E) 35.
22. (ITA) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte
regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode
aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido.
(A) 204.
(B) 206.
(C) 208.
(D) 210.
(E) 212.
23. (ITA) O número de divisores de 17 640 que, por sua vez, são divisíveis por 3 é:
(A) 24
(B) 36
(C) 48
(D) 54
(E) 72.
24. (ITA) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos
destes números são ímpares e começam com um dígito par?
(A) 375
(B) 465
(C) 545
(D) 585
(E) 625.
25. (ITA) Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1
e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?
(A) 144
(B) 180
(C) 240
(D) 288
(E) 360.
26. (ITA) Listando-se em ordem crescente todos os números de cinco algarismos distintos, formados com os elementos do
conjunto {1, 2, 4, 6, 7}, o número 62417 ocupa o n-ésimo lugar. Então n é igual a:
(A) 74
(B) 75
(C) 79
(D) 81
(E) 92.
27. (ITA) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que
contenham 2 das letras a, b e c?
(A) 1692.
(B) 1572.
(C) 1520.
(D) 1512.
(E) 1392.
28. (ITA) Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada
questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7
das 10 questões é:
(A) 44 . 30
(B) 43 . 60
(C) 53 . 60
⎛7⎞
(D) ⎜⎜ ⎟⎟ . 43
⎝ 3⎠
⎛10 ⎞
(E) ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝7⎠
29. (ITA) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do
plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?
(A) 210
(B) 315
(C) 410
(D) 415
(E) 521.
30. (ITA) Mostre que
4
⎛x
y⎞
⎜⎜ + 2 + ⎟⎟ > C8,4,
y
x
⎝
⎠
para quaisquer x e y reais positivos.
⎛ 2n ⎞
⎛ 2n ⎞
⎟⎟ temos que, para cada n = 1 , 2 , 3 , " . a diferença a n − b n
31. (ITA) A respeito das combinações a n = ⎜⎜ ⎟⎟ e b n = ⎜⎜
⎝n⎠
⎝ n − 1⎠
é igual a:
(A)
n!
an
n +1
(B)
2n
an
n +1
n
an
n +1
2
(D)
an
n +1
1
(E)
an .
n +1
(C)
Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
B
D
B
A
C
A
A
C
D
B
B
B
C
D
B
B
A
E
C
D
D
E
C
D
A
D
D
A
A
\
E