A apresentação de motociclistas dentro do globo da morte é sempre

LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
1. (cps 2015) A apresentação de motociclistas dentro do globo da morte é sempre um
momento empolgante de uma sessão de circo, pois ao atingir o ponto mais alto do
globo, eles ficam de ponta cabeça. Para que, nesse momento, o motociclista não caia, é
necessário que ele esteja a uma velocidade mínima (v) que se relaciona com o raio do
globo (R) e a aceleração da gravidade (g) pela expressão: v  R  g, com R dado em
metros.
Considere que no ponto mais alto de um globo da morte, um motociclista não caiu, pois
estava com a velocidade mínima de 27km h.
Assim sendo, o raio do globo é, aproximadamente, em metros,
Adote g  10m / s2
a) 5,6.
b) 6,3.
c) 7,5.
d) 8,2.
e) 9,8.
2. (Unifesp 2015) Uma pista de esqui para treinamento de principiantes foi projetada de
modo que, durante o trajeto, os esquiadores não ficassem sujeitos a grandes acelerações
nem perdessem contato com nenhum ponto da pista. A figura representa o perfil de um
Página 1 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
trecho dessa pista, no qual o ponto C é o ponto mais alto de um pequeno trecho circular
de raio de curvatura igual a 10 m.
Os esquiadores partem do repouso no ponto A e percorrem a pista sem receber nenhum
empurrão, nem usam os bastões para alterar sua velocidade. Adote g  10 m / s2 e
despreze o atrito e a resistência do ar.
a) Se um esquiador passar pelo ponto B da pista com velocidade 10 2 m s, com que
velocidade ele passará pelo ponto C?
b) Qual a maior altura h A do ponto A, indicada na figura, para que um esquiador não
perca contato com a pista em nenhum ponto de seu percurso?
3. (Ita 2015) Uma massa puntiforme é abandonada com impulso inicial desprezível do
topo de um hemisfério maciço em repouso sobre uma superfície horizontal. Ao
descolar-se da superfície do hemisfério, a massa terá percorrido um ângulo θ em
relação à vertical. Este experimento é realizado nas três condições seguintes, I, II e III,
quando são medidos os respectivos ângulos θI, θII e θIII :
I. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal e não há atrito entre a massa e o
hemisfério.
II. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal, mas há atrito entre a massa e o
hemisfério.
III. O hemisfério e a massa podem deslisar livremente pelas respectivas superfícies.
Nestas condições, pode-se afirmar que
Página 2 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
a) θII  θI e θIII  θI .
b) θII  θI e θIII  θI .
c) θII  θI e θIII  θI .
d) θII  θI e θIII  θI .
e) θI  θIII.
4. (Fuvest 2014) Uma estação espacial foi projetada com formato cilíndrico, de raio R
igual a 100 m, como ilustra a figura abaixo.
Para simular o efeito gravitacional e permitir que as pessoas caminhem na parte interna
da casca cilíndrica, a estação gira em torno de seu eixo, com velocidade angular
constante ω. As pessoas terão sensação de peso, como se estivessem na Terra, se a
velocidade ω for de, aproximadamente,
Note e adote:
A aceleração gravitacional na superfície da Terra é g = 10 m/s2.
a) 0,1 rad/s
b) 0,3 rad/s
c) 1 rad/s
d) 3 rad/s
e) 10 rad/s
5. (Fuvest 2014) Duas pequenas esferas, cada uma com massa de 0,2 kg, estão presas
nas extremidades de uma haste rígida, de 10 cm de comprimento, cujo ponto médio está
Página 3 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
fixo no eixo de um motor que fornece 4 W de potência mecânica. A figura abaixo
ilustra o sistema.
No instante t = 0, o motor é ligado e o sistema, inicialmente em repouso, passa a girar
em torno do eixo. Determine
a) a energia cinética total E das esferas em t = 5 s;
b) a velocidade angular ω de cada esfera em t = 5 s;
c) a intensidade F da força entre cada esfera e a haste, em t = 5 s;
d) a aceleração angular média α de cada esfera, entre t = 0 e t = 5 s.
Note e adote:
As massas da haste e do eixo do motor devem ser
ignoradas.
Não atuam forças dissipativas no sistema.
6. (Unesp 2014) Em um show de patinação no gelo, duas garotas de massas iguais
giram em movimento circular uniforme em torno de uma haste vertical fixa,
perpendicular ao plano horizontal. Duas fitas, F1 e F2, inextensíveis, de massas
desprezíveis e mantidas na horizontal, ligam uma garota à outra, e uma delas à haste.
Enquanto as garotas patinam, as fitas, a haste e os centros de massa das garotas
mantêm-se num mesmo plano perpendicular ao piso plano e horizontal
Página 4 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
Considerando as informações indicadas na figura, que o módulo da força de tração na
fita F1 é igual a 120 N e desprezando o atrito e a resistência do ar, é correto afirmar que
o módulo da força de tração, em newtons, na fita F2 é igual a
a) 120.
b) 240.
c) 60.
d) 210.
e) 180.
7. (Fuvest 2014) Há um ponto no segmento de reta unindo o Sol à Terra, denominado
“Ponto de Lagrange L1”. Um satélite artificial colocado nesse ponto, em órbita ao redor
do Sol, permanecerá sempre na mesma posição relativa entre o Sol e a Terra.
Nessa situação, ilustrada na figura acima, a velocidade angular orbital ωA do satélite em
torno do Sol será igual à da Terra, ωT .
a) ωT
G, da massa MS do Sol e da distância R
entre a Terra e o Sol;
ωA em rad/s;
Página 5 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
c) a expressão do módulo Fr da força gravitacional resultante que age sobre o satélite,
em função de G, MS ,MT, m, R e d, sendo MT e m, respectivamente, as massas da Terra
e do satélite e d a distância entre a Terra e o satélite.
Note e adote:
1ano  3,14  107 s.
O módulo da força gravitacional F entre dois corpos de massas M1 e M2, sendo r a
distância entre eles, é dado por F = G M1 M2/r2.
Considere as órbitas circulares.
8. (Unesp 2013) A figura representa, de forma simplificada, o autódromo de Tarumã,
localizado na cidade de Viamão, na Grande Porto Alegre. Em um evento comemorativo,
três veículos de diferentes categorias do automobilismo, um kart (K), um fórmula 1 (F)
e um stock-car (S), passam por diferentes curvas do circuito, com velocidades escalares
iguais e constantes.
As tabelas 1 e 2 indicam, respectivamente e de forma comparativa, as massas de cada
veículo e os raios de curvatura das curvas representadas na figura, nas posições onde se
encontram os veículos.
Página 6 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
TABELA 1
TABELA 2
Veículo
Massa
Curva
Raio
kart
M
Tala Larga 2R
fórmula 1 3M
do Laço
R
stock-car
Um
3R
6M
Sendo FK, FF e FS os módulos das forças resultantes centrípetas que atuam em cada um
dos veículos nas posições em que eles se encontram na figura, é correto afirmar que
a) FS < FK < FF.
b) FK < FS < FF.
c) FK < FF < FS.
d) FF < FS < FK.
e) FS < FF < FK.
9. (Ibmecrj 2013) Um avião de acrobacias descreve a seguinte trajetória descrita na
figura abaixo:
Ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória a força exercida pelo banco da aeronave
sobre o piloto que a comanda é:
a) igual ao peso do piloto.
b) maior que o peso do piloto.
c) menor que o peso do piloto.
d) nula.
e) duas vezes maior do que o peso do piloto.
Página 7 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
10. (Epcar (Afa) 2013) Em um local onde a aceleração da gravidade vale g, uma
partícula move-se sem atrito sobre uma pista circular que, por sua vez, possui uma
inclinação θ. Essa partícula está presa a um poste central, por meio de um fio ideal de
comprimento
que, através de uma articulação, pode girar livremente em torno do
poste. O fio é mantido paralelo à superfície da pista, conforme figura abaixo.
Ao girar com uma determinada velocidade constante, a partícula fica “flutuando” sobre
a superfície inclinada da pista, ou seja, a partícula fica na iminência de perder o contato
com a pista e, além disso, descreve uma trajetória circular com centro em C, também
indicado na figura.
Nessas condições, a velocidade linear da partícula deve ser igual a
3
a)  g 
2

b)  g 
c) 3 g
d) 4 2  g 
11. (Fgv 2013) Em um dia muito chuvoso, um automóvel, de massa m, trafega por um
trecho horizontal e circular de raio R. Prevendo situações como essa, em que o atrito
dos pneus com a pista praticamente desaparece, a pista é construída com uma sobreelevação externa de um ângulo α , como mostra a figura. A aceleração da gravidade no
local é g.
Página 8 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
A máxima velocidade que o automóvel, tido como ponto material, poderá desenvolver
nesse trecho, considerando ausência total de atrito, sem derrapar, é dada por
a) m  g  R  tgα .
b) m  g  R  cosα .
c) g  R  tgα .
d) g  R  cosα .
e) g  R  senα .
12. (Fuvest 2013) O pêndulo de um relógio é constituído por uma haste rígida com um
disco de metal preso em uma de suas extremidades. O disco oscila entre as posições A e
C, enquanto a outra extremidade da haste permanece imóvel no ponto P. A figura
abaixo ilustra o sistema. A força resultante que atua no disco quando ele passa por B,
com a haste na direção vertical, é
(Note e adote: g é a aceleração local da gravidade.)
a) nula.
b) vertical, com sentido para cima.
c) vertical, com sentido para baixo.
d) horizontal, com sentido para a direita.
e) horizontal, com sentido para a esquerda.
13. (Esc. Naval 2013)
Um pêndulo, composto de um fio ideal de comprimento
L  2,00 m e uma massa M  20,0 kg, executa um movimento vertical de tal forma que a
massa M atinge uma altura máxima de 0,400 m em relação ao seu nível mais baixo. A
força máxima, em newtons, que agirá no fio durante o movimento será
Página 9 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
Dado: g  10,0 m s2
a) 280
b) 140
c) 120
d) 80,0
e) 60,0
14. (Unesp 2012) Uma pequena esfera de massa m, eletrizada com uma carga elétrica
q  0 , está presa a um ponto fixo P por um fio isolante, numa região do espaço em que
existe um campo elétrico uniforme e vertical de módulo E, paralelo à aceleração
gravitacional g, conforme mostra a figura. Dessa forma, inclinando o fio de um ângulo
 em relação à vertical, mantendo-o esticado e dando um impulso inicial (de
intensidade adequada) na esfera com direção perpendicular ao plano vertical que
contém a esfera e o ponto P, a pequena esfera passa a descrever um movimento circular
e uniforme ao redor do ponto C.
Na situação descrita, a resultante das forças que atuam sobre a esfera tem intensidade
dada por
a) (m  g  q  E)  cos 
b) (m  g  q  E  2)  sen
c) (m  g  q  E)  sen  cos 
d) (m  g  q  E)  tg
e) m  g  q  E  tg
Página 10 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
15. (Uff 2012)
Uma criança se balança em um balanço, como representado
esquematicamente na figura a seguir. Assinale a alternativa que melhor representa a
aceleração a da criança no instante em que ela passa pelo ponto mais baixo de sua
trajetória.
a)
b)
c)
d)
e)
16. (Uftm 2012) Ao se observar o movimento da Lua em torno da Terra, verifica-se
que, com boa aproximação, ele pode ser considerado circular e uniforme.
Aproximadamente, o raio da órbita lunar é 38,88  104 km e o tempo gasto pela lua para
percorrer sua órbita é 27 dias.
Considerando a massa da Lua igual a 7,3  1022 kg, adotando o centro do referencial
Terra-Lua no centro da Terra e π  3, determine:
Página 11 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
a) a velocidade escalar média de um ponto localizado no centro da Lua, em km h.
b) o valor aproximado da resultante das forças, em newtons, envolvidas no movimento
orbital da Lua.
17. (Ita 2012) Um funil que gira com velocidade angular uniforme em torno do seu
eixo vertical de simetria apresenta uma superfície crônica que forma um ângulo θ com
a horizontal, conforme a figura. Sobre esta superfície, uma pequena esfera gira com a
mesma velocidade angular mantendo-se a uma distância d do eixo de rotação. Nestas
condições, o período de rotação do funil é dado por
a) 2π d / g senθ
b) 2π d / g cosθ
c) 2π d / g tanθ
d) 2π 2d / g sen2θ
e) 2π dcos θ / g tanθ
18. (Udesc 2011) Considere o “looping” mostrado na Figura, constituído por um trilho
inclinado seguido de um círculo. Quando uma pequena esfera é abandonada no trecho
inclinado do trilho, a partir de determinada altura, percorrerá toda a trajetória curva do
trilho, sempre em contato com ele.
Sendo v a velocidade instantânea e a a aceleração centrípeta da esfera, o esquema que
melhor representa estes dois vetores no ponto mais alto da trajetória no interior do
Página 12 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
círculo é:
a)
b)
c)
d)
19. (Uesc 2011)
A figura representa as forças que atuam sobre um piloto que tomba sua motocicleta em
uma curva para percorrê-la com maior velocidade.
Sabendo-se que a massa do conjunto moto-piloto é igual a m, a inclinação do eixo do
corpo do piloto em relação à pista é θ , o módulo da aceleração da gravidade local é g e
que o raio da curva circular é igual a R, contida em um plano horizontal, em movimento
circular uniforme, é correto afirmar que a energia cinética do conjunto moto-piloto é
dada pela expressão
a)
mR2
2gtgθ
b)
mRtgθ
2g
c)
mgR
2tgθ
Página 13 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
d)
mgRtgθ
2
m  gRtgθ
e)
2
2
20. (Uff 2011) Medidas para facilitar o uso de bicicletas como meio de transporte
individual estão entre aquelas frequentemente tomadas para diminuir a produção de
poluentes pelo trânsito urbano. Numa bicicleta, o freio é constituído por sapatas de
borracha que, quando acionadas, comprimem as rodas . Analise as três possibilidades de
posicionamento das sapatas indicadas em vermelho nas figuras a seguir. Chame de T1,
T2 e T3 o tempo necessário para a parada total das rodas da bicicleta com cada um
desses arranjos.
Supondo que a velocidade inicial das bicicletas é a mesma e que a força feita pelas
sapatas é igual nos três casos, é correto, então, afirmar que
a) T1 = T2 = T3
b) T1 > T2 > T3
c) T1 > T2 = T3
d) T1 < T2 = T3
e) T1 < T2 < T3
21. (Cesgranrio 2011) Uma esfera de massa igual a 3 kg está amarrada a um fio
inextensível e de massa desprezível. A esfera gira com velocidade constante em módulo
igual a
4 6
m/s, formando um cone circular imaginário, conforme a figura abaixo.
15
Página 14 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
O fio permanece esticado durante todo o movimento, fazendo um mesmo ângulo  com
a vertical, cuja tangente é 8/15. A componente horizontal da tração no fio vale 16 N e é
a força centrípeta responsável pelo giro da esfera. O volume do cone imaginário, em
cm3, é
a) 280
b) 320
c) 600
d) 960
e) 1800
22. (Epcar (Afa) 2011)
Um garoto, que se encontra em repouso, faz girar, com
velocidade constante, uma pedra de massa m presa a um fio ideal. Descrevendo uma
trajetória circular de raio R num plano vertical, essa pedra dá diversas voltas, até que,
em um dado instante, o fio arrebenta e ela é lançada horizontalmente, conforme ilustra a
figura a seguir.
Sujeita apenas à aceleração da gravidade g, a pedra passou, então, a descrever uma
trajetória parabólica, percorrendo uma distância horizontal x equivalente a 4R.
Página 15 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
A tração experimentada pelo fio toda vez que a pedra passava pelo ponto onde ele se
rompeu era igual a
a) mg
b) 2 mg
c) 3 mg
d) 4 mg
23. (Puccamp 2010) Num trecho retilíneo de uma pista de automobilismo há uma
lombada cujo raio de curvatura é de 50 m. Um carro passa pelo ponto mais alto da
elevação com velocidade v, de forma que a interação entre o veículo e o solo (peso
aparente) é
mg
neste ponto. Adote g = 10 m/s2.
5
Nestas condições, em m/s, o valor de v é
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
24. (Pucsp 2010) Um automóvel de massa 800 kg, dirigido por um motorista de massa
igual a 60 kg, passa pela parte mais baixa de uma depressão de raio = 20 m com
velocidade escalar de 72 km/h. Nesse momento, a intensidade da força de reação que a
pista aplica no veículo é: (Adote g = 10m/s2).
a) 231512 N
b) 215360 N
c) 1800 N
d) 25800 N
e) 24000 N
Página 16 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
25. (Upe 2010) Um coelho está cochilando em um carrossel parado, a uma distância de
5 m do centro. O carrossel é ligado repentinamente e logo atinge a velocidade normal de
funcionamento na qual completa uma volta a cada 6s. Nessas condições, o coeficiente
de atrito estático mínimo entre o coelho e o carrossel, para que o coelho permaneça no
mesmo lugar sem escorregar, vale:
Considere π = 3 e g = 10 m/s2.
a) 0,2
b) 0,5
c) 0,4
d) 0,6
e) 0,7
26. (Ufla 2010) Uma esfera de massa 500 gramas desliza em uma canaleta circular de
raio 80 cm, conforme a figura a seguir, completamente livre de atrito, sendo abandonada
na posição P1. Considerando g = 10 m/s2, é correto afirmar que essa esfera, ao passar
pelo ponto P2 mais baixo da canaleta, sofre uma força normal de intensidade:
a) 5N
b) 20N
c) 15N
d) π N
27. (Unesp 2010) Curvas com ligeiras inclinações em circuitos automobilísticos são
indicadas para aumentar a segurança do carro a altas velocidades, como, por exemplo,
no Talladega Superspeedway, um circuito utilizado para corridas promovidas pela
NASCAR (National Association for Stock Car Auto Racing). Considere um carro como
Página 17 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
sendo um ponto material percorrendo uma pista circular, de centro C, inclinada de um
ângulo α e com raio R, constantes, como mostra a figura, que apresenta a frente do
carro em um dos trechos da pista.
Se a velocidade do carro tem módulo constante, é correto afirmar que o carro
a) não possui aceleração vetorial.
b) possui aceleração com módulo variável, direção radial e no sentido para o ponto C.
c) possui aceleração com módulo variável e tangente à trajetória circular.
d) possui aceleração com módulo constante, direção radial e no sentido para o ponto C.
e) possui aceleração com módulo constante e tangente à trajetória circular.
28. (Ufpr 2010) Convidado para substituir Felipe Massa, acidentado nos treinos para o
grande prêmio da Hungria, o piloto alemão Michael Schumacker desistiu após a
realização de alguns treinos, alegando que seu pescoço doía, como consequência de um
acidente sofrido alguns meses antes, e que a dor estava sendo intensificada pelos
treinos. A razão disso é que, ao realizar uma curva, o piloto deve exercer uma força
sobre a sua cabeça, procurando mantê-la alinhada com a vertical.
Considerando que a massa da cabeça de um piloto mais o capacete seja de 6,0 kg e que
o carro esteja fazendo uma curva de raio igual a 72 m a uma velocidade de 216 km/h,
assinale a alternativa correta para a massa que, sujeita à aceleração da gravidade, dá
uma força de mesmo módulo.
a) 20 kg.
b) 30 kg.
c) 40 kg.
d) 50 kg.
e) 60 kg.
Página 18 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
29. (Ufop 2010) Uma estação espacial é projetada como sendo um cilindro de raio r,
que gira em seu eixo com velocidade angular constante ù, de modo a produzir uma
sensação de gravidade de 1g = 9,8 m/s2 nos pés de uma pessoa que está no interior da
estação.
Admitindo-se que os seus habitantes têm uma altura média de h = 2 m, qual deve ser o
raio mínimo r da estação, de modo que a variação da gravidade sentida entre os pés e a
cabeça seja inferior a 1% de g?
30. (Ufla 2010) Um corpo desliza sem atrito ao longo de uma trajetória circular no
plano vertical (looping), passando pelos pontos, 1,2,3 e 4, conforme figura a seguir.
Considerando que o corpo não perde contato com a superfície, em momento algum, é
correto afirmar que os diagramas que melhor representam as direções e sentidos das
forças que agem sobre o corpo nos pontos 1,2,3 e 4 são apresentados na alternativa:
a)
b)
c)
d)
Página 19 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
Sabendo que 27km h 
15
m s, vem
2
15
 R  10  R  5,6 m.
2
Resposta da questão 2:
a) Usando a conservação da energia mecânica entre os pontos B e C, com referencial
em B, vem:
2
m vC
m vB2
2
 m ghBC 
 vC
 vB2  2 ghBC 
2
2
C
EB
mec  Emec 
vC 
10  2 
2
 2  10  10  400 
vC  2 10 m/s.
b) Se o esquiador passar pelo ponto C na iminência de perder o contato com a pista, na
iminência de voar, a normal nesse ponto deve ser nula. Então a resultante centrípeta é
seu próprio peso.
Rcent  P 
2
m vC
 m g  vC  r g  10  10  vC  10 m/s.
r
Usando a conservação da energia mecânica entre A e C, com referencial em C, vem:
A
C
Emec
 Emec
 m g hA  hC  
2
m vC
v2
102
 hA  hC  C  hA 
 30
2
2g
20
hA  35 m.
Resposta da questão 3:
[C]
Página 20 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
Condição I - Hemisfério fixo e a descida é sem atrito.
Aplicando a conservação da energia mecânica, considerando o plano de referência
mostrado na Figura 1:
A
Emec
 EB
mec  m g R  h1  
m vB2
 vB2  2 g R  h1 
2
I.
No ponto B, onde ocorre o descolamento, a normal se anula. Assim, a resultante
centrípeta é a componente radial do peso (Py ) .
Py  Rcent  m gcos θI 
m vB2
2
 vB
 R g cos θI (II).
R
Mas
cos θI 
h1
R
(III).
Substituindo (III) em (II):
h
2
vB
 R g 1  vB2  g h1
R
(IV).
Igualando (IV) e (II):
g h1  2 g R  h1   h1  2 h1  2 R 
2
 h1  R
3
 V .
Substituindo (V) em (III):
Página 21 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
cos θI 
 23 R
R
2
 cos θI 
(VI).
3
Condição II - Hemisfério fixo e a descida é com atrito.
Como o sistema é não conservativo, a energia mecânica dissipada (Ed) entre A e C
(ponto de descolamento) é igual à diferença positiva entre energia mecânica inicial e a
final. Considerando o plano de referência indicado na Figura 2, temos:
A
C
Ed  Emec
 Emec
 Ed  m g R  h2  
vC2  2 g R  2 gh2 
2 Ed
m
2 m g R  h2  2 Ed
m vC2
 vC2 


2
m
m
 VII.
Repetindo o mesmo procedimento da condição anterior, para o novo ponto de
descolamento (C), obtemos:
Py  Rcent  m gcos θII 
m vB2
2
 vB
 R g cos θII (VIII).
R
Mas
cos θII 
h2
R
(IX).
Substituindo (IX) em (VIII):
h
2
vB
 R g 2  vB2  g h2
R
(X).
Igualando (X) e (VII):
Página 22 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
g h2  2 gR  2 gh2 
2 Ed 
2
h2   R 

3
3 m g
2 Ed
m
 3g h2  2 gR 
2 gR 2 Ed
2 Ed
 h2 


m
3 g 3mg
 XI.
 Nota: como era de se esperar, a condição I é um caso particular da condição II, para
quando não há atrito (Ed = 0).
Comparando (V) e (XI)  h2  h1  cos θII  cos θI 
θII  θ I.
Condição III - Hemisfério livre e a descida é sem atrito.
Nessa condição, na direção horizontal, o sistema é mecanicamente isolado. Assim,
durante a descida, nessa direção, o hemisfério ganha velocidade para a esquerda e a
massa ganha um adicional de velocidade para a direita. Então, ao passar por um mesmo
ponto do hemisfério, antes do descolamento, a velocidade na condição III é maior do
que na condição I.
De acordo com a equação (IV), a velocidade e a altura no ponto de descolamento
seguem a expressão:
v2  g h  h 
v2
 Quanto maior a velocidade, mais alto é o ponto de descolamento.
g
Sendo h3 a altura do ponto de descolamento na condição III, esse raciocínio nos leva a
concluir que: h3  h1  cos θIII  cos θI 
θIII  θI .
Resposta da questão 4:
[B]
A normal, que age como resultante centrípeta, no pé de uma pessoa tem a mesma
intensidade de seu peso na Terra.
N  Rcent  P  m ω2 R  m g  ω 
g
10
1



r
100
10
ω  0,3 rad/s.
Resposta da questão 5:
Página 23 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
a) Dados: P = 4 W; Δt  5 s.
E  P Δt  4  5 
E  20 J.
b) Dados: m = 0,2 kg; R  5 cm  5 102 m.
A energia cinética das duas esferas é:
m v2
2
 m  ω R   E  m ω2 R2 
2
1 E
1
20 100
ω


100 

2
R m 5  10
0,2
5
E2
ω  200 rad/s.
c) A aceleração (a) da esfera tem duas componentes: tangencial (aT ) e centrípeta (aC ).
- Componente tangencial:
v  aT t  ω R  aT t  aT 
ω R 200  5  102

t
5
 aT  0,2 m/s2.
- Componente centrípeta:

aC  ω2 R  2  102

2
 5  102  4  104  5  102  aC  2  103 m/s2.
Comparando os valores obtidos, a componente tangencial tem intensidade desprezível.
Então a intensidade da resultante é igual à da componente centrípeta.
aT  aC  a  aC  2 103 m / s2.
Aplicando o Princípio Fundamental da Dinâmica:
Fres  m a  0,2  2  103  0,4  103 
Fres  400 N.
d) α 
aT
2

 0,4  102  α  40 rad/s2.
R 5  102
Resposta da questão 6:
Página 24 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
[E]
A fita F1 impede que a garota da circunferência externa saia pela tangente, enquanto que
a fita F2 impede que as duas garotas saiam pela tangente. Sendo T1 e T2 as intensidades
das trações nas fitas F1 e F2, respectivamente, sendo T1 = 120 N, temos:
T  m ω2 2 R  T  2 m ω2 R  120
 1
1

2
T2  m ω 2 R  m ω2 R  T2  3 m ω2 R

T1 2

T2 3
 T2 
3
3
T  120  
2 1 2
T2  180 N.
Resposta da questão 7:
Nota: o termo órbita em torno do Sol é redundante, pois a órbita já é em torno de
algo.
a) a força que o satélite exerce sobre a Terra é desprezível. Então, a resultante centrípeta
sobre a Terra é a força gravitacional que o Sol exerce sobre ela, conforme indica a
figura.
Rcent  FST  MT ω2T R 
ωT 
G MS
R3
G MS MT
2
R
 ωT2 
G MS
R3

.
b) O período de translação do satélite é igual ao período de translação da Terra:
Página 25 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
TA  TT  1ano  3,14 107 s.
ωA 
2π
2  3,14

TA
3,14  107

ωA  2  107 rad/s.
c) A força resultante gravitacional sobre o satélite é a soma vetorial das forças
gravitacionais que o satélite recebe do Sol e da Terra, conforme ilustra a figura.
Fres  FS  FT 
G MS m
R  d2

G MT m
d2

 M
M 
S
Fres  G m 
 T .
 R  d2 d2 


Resposta da questão 8:
[B]
Como as velocidades escalares são iguais e constantes, de acordo com a figura e as
tabelas dadas, comparando as resultantes centrípetas temos:
Fc p 
M v2
R

M v2
1  M v2 
FK 

 FK  
2R
2  R 


 M v2 

3 M v2


F


F

3
F
F
 R 
R




 M v2 
6 M v2


 FS  2 
FS  3 R
 R 



 FK  FS  FF.
Página 26 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
Resposta da questão 9:
[B]
Observe a figura abaixo onde estão mostradas as forças que agem no piloto.
Como o movimento é circular deve haver uma força centrípeta apontando para cima.
Portanto, a força da aeronave sobre o piloto deve ser maior que o peso.
Resposta da questão 10:
[A]
Observe na ilustração abaixo as forças exercidas sobre a esfera.
senθ 
/2

1
2
 θ  30
Página 27 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
Porém, a componente Tx representa a resultante centrípeta, logo:
Ty
Tx

P  Tx
P
v 2 mg  T  cos θ
 R CP 
 m

Rcp
Ty
r
T  senθ
v2
g  cos30
v2
g  ( 3 / 2)



 cos30
sen30
(1/ 2)
 ( 3 / 2)
3
v2  g 
2
v
3
g
2
Resposta da questão 11:
[C]
A figura 1 mostra as forças (peso e normal) agindo nesse corpo. A resultante dessas
forças é a centrípeta (figura 2).
Página 28 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
Na figura 2, o triângulo é retângulo:
R
tg   C 
P
v
m v2
R
mg
 tg  
v2
 v2  R g tg  
Rg
R g tg  .
Resposta da questão 12:
[B]
No ponto considerado (B), a componente tangencial da resultante é nula, restando
apenas a componente centrípeta, radial e apontando para o centro da curva (P). Portanto,
a força resultante tem direção vertical, com sentido para cima.
Resposta da questão 13:
[A]
Para calcularmos a tração máxima no fio usaremos a dinâmica do movimento circular:
Fc  Tmáx  P
Sabendo que: Fc  m
(1)
vmáx2
e P  mg
R
2
v
Tmáx  Fc  P  Tmáx  m máx  mg
R
(2)
Da conservação de energia, tiramos o valor de vmáx
Página 29 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
EM(A)  EM(B)
mgh 
2
mvmáx
2
 vmáx
 2gh
2
(3)
Substituindo (3) em (2):
2gh
20  2  10  0,4
 mg  Tmáx 
 20  10
R
2
 280 N
Tmáx  m
Tmáx
Resposta da questão 14:
[D]
As figuras ilustram a situação descrita.
A Fig. 1 mostra as forças que atuam sobre a esfera.
Força Peso: P  m  g ;
Força Elétrica: F  q  E ;
Página 30 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
Tração no fio: T.
A Fig. 2 mostra a soma dessas forças (regra da poligonal) e a força resultante R  .
Nessa figura:
tg 
R
FP
 R  F  P  tg  R  m  g  q  E  tg.
Resposta da questão 15:
[C]
Desenhando as forças que atuam na criança, temos a força peso e a força de tração no
fio:
Verificamos que não há força tangente a trajetória, há apenas forças radiais, ou seja, não
há aceleração tangencial, mas apenas aceleração centrípeta (radial).
Como a criança está no ponto mais baixo de sua trajetória circular, a aceleração
centrípeta deve ser vertical para cima, ou seja, radial à trajetória para o centro da
mesma.
A existência da aceleração centrípeta só é possível pelo fato da força de tração no fio ser
maior que a força peso (T>P), ou seja, por existir uma força resultante (F) vertical para
cima: F  T  P
Página 31 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
Resposta da questão 16:
Dados: π  3; r  38,88 104 km  38,88 107 m; T = 27 dias = 648 h.
a) Aplicando a definição de velocidade média:

4
ΔS 2π r 2  3 38,88  10
v


Δt
T
648
v  3.600 km / h.


b) Como o movimento é considerado uniforme, a força resultante sobre a Lua é
centrípeta.
2
 1.440 
7,3  1022 

mv
 3,6 


r
38,88  107
2
Fres

Fres  3,00  1019 N.
Resposta da questão 17:
[C]
A figura mostra as forças que agem no corpo: normal N e peso P  .
Página 32 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
A componente da normal na direção horizontal tem a função de resultante centrípeta e a
componente vertical equilibra o peso.

mv
N  F  Nsenθ 
d

N  P  Ncos θ  m g

x
2
rescentrípeta
Nsenθ m v

Ncos θ m gd
2

v

gd
2
 tan θ 
y
 2π d 
v  gdtan θ  
  gdtan θ 
 T 
2
2
T  2π
4π d
4π d
 gdtan θ  T 

T
gtan θ
2
2
2
2
2
d
.
gtan θ
Resposta da questão 18:
[A]
A figura mostra a velocidade tangencial da esfera e as forças atuantes. A resultante será
para baixo e a aceleração também.
Resposta da questão 19:
[C]
Observe a figura abaixo.
Página 33 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
No triângulo sombreado podemos afirmar:
Fn
mg
v2
Rg
tg  


tg  g  v 2 
2
Fat
v
R
tg
m
R
1
1
Rg mRg
EC  .m.v 2  .m.

2
2
tg 2tg
Resposta da questão 20:
[E]
Quanto maior for o torque (momento) proporcionado pela força de frenagem, menor o
tempo para a parada total.
Mas o torque de uma força é dado pelo produto da força pelo braço (distância da linha
de ação da força até o eixo de rotação).
Na sequência apresentada, o torque é maior na primeira figura e menor na terceira.
Portanto:
T1 < T2 < T3.
Resposta da questão 21:
[B]
Página 34 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
2
4 6


2
2
mV / R V
8  15 
8
96
96x15
tgα 




 2
R 
 0,08m  8cm
mg
Rg 15
10R
15 15 x10R
80x152
tgα 
V
R
8 8

  h  15cm
h
15 h
1 2
1
πR h  π.82.15  320π cm3
3
3
Resposta da questão 22:
[C]
A figura mostra as forças que agem na pedra imediatamente antes de o fio arrebentar.
Página 35 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
No lançamento horizontal, o tempo de queda independe da velocidade inicial,
dependendo apenas da altura (h) e da intensidade do campo gravitacional local (g),
como na queda livre. Assim:
h
1
2h
g t2  t 
 t
2
g
2  2R 
g
 t
4R
.
g
No eixo x o movimento é uniforme, pois a velocidade horizontal de lançamento
permanece constante. Então:
 4R 
x  v t  4R  v 
 
 g 
v 2  4Rg.
 4R
2
 4R 
  v

g 

2
 16R2 
4R 2
v 
g
Imediatamente antes de o fio arrebentar, as forças que agem na pedra são a tração e o
peso, como mostra a figura, sendo a soma vetorial das duas a resultante centrípeta.
T  P  RC  T  mg 
mv 2
R
 T
m  4Rg
R
 mg  T  4mg  mg 
T  3mg.
Resposta da questão 23:
[B]
No ponto mais alto, a força centrípeta é a diferença entre o peso e a normal.
m
V2
V2
mg 4mg
 mg  N  m
 mg 

 V2  400  V  20m / s
R
50
5
5
Resposta da questão 24:
[D]
Página 36 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
Dados: r = 20 m; v = 72 km/h = 20 m/s; m = (800 + 60) = 860 kg e g = 10 m/s2.
Sendo FN a força de reação da pista e P o peso do conjunto, analisando a figura, temos
que a resultante centrípeta é:
RC
=
FN
–
P

FN
=
RC
+
P

FN
=
m v2
860 (20)2
 m g  FN 
 860 (10)  17.200  8.600 
r
20
FN = 25.800 N.
Resposta da questão 25:
[B]
A figura mostra as forças agindo no coelho.
A força de atrito é a componente centrípeta das forças que agem no coelho e a normal
equilibra o peso.
N  m2R
2R
2
eq 01
  mg  m R   
g
N  mg


1rot 2rad

 1,0rd / s
6s
6s
Voltando à equação 01:  
12  5
 0,5
10
Página 37 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
Resposta da questão 26:
[C]
Dados: m = 500 g = 0,5 kg; R = 80 cm = 0,8 m; g = 10 m/s2.
Para encontrar a expressão da velocidade (v) da esfera no ponto P2, apliquemos a
conservação da energia mecânica, tomando como referencial para energia potencial o
plano horizontal que passa por esse ponto:
EMec
 EMec
 m gR
P1
P2
m v2
 v2 = 2 g R. (I)
2
A resultante centrípeta no ponto P2 é:
Rc = N – P =
m v2
. (II)
R
Substituindo (I) em (II), vem:
N – mg =
m (2 g R )
 N – m g = 2 m g  N = 3 m g  N = 3 (0,5) (10) 
R
N = 15 N.
Resposta da questão 27:
[D]
Conforme o diagrama anexo, as forças que agem no carro são o peso P  e a normal N .
Como o movimento é circular e uniforme, a resultante dessas forças é centrípeta
(radial), RC 
Página 38 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
tg =
Rc m  ac

 ac  g  tg . Como  e g são constantes, a aceleração centrípeta
P
m g
(radial, dirigida para o centro) tem módulo constante.
Resposta da questão 28:
[B]
Dados: v = 216 km/h = 60 m/s; m = 6 kg; r = 72 m.
A força que o piloto deve exercer sobre o conjunto cabeça-capacete é a resultante
centrípeta.
RC =
mv 2
6(60)2 3.600
=
 RC = 300 N.

r
72
12
Para que um corpo tenha esse mesmo peso, quando sujeito à gravidade terrestre, sua
massa deve ser:
m=
P 300


g 10
m = 30 kg.
Resposta da questão 29:
Dados: h = 2 m; g = 9,8 m/s2; ac = 1% g =
g
= 0,098 m/s2.
100
Um habitante (da cabeça aos pés) gira com a mesma velocidade angular () da nave.
cab
A diferença entre as acelerações centrípetas nos pés ape
c  e na cabeça  ac  deve ser
igual a 1% da aceleração da gravidade na Terra.
Página 39 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
2
Para os pés: ape
c   r = g;
Para a cabeça: acab
 2 (r  h) .
c
Equacionando:
cab
ape

c  ac
g
100

2r  2 (r  h) 
g
100
 2r  2r  2h 
g

100
g  g  2 (2)  0,098   = 0,049.
2
Mas
2r = g  0,049 r = 9,8  r =
9,8

0,049
r = 200 m.
Resposta da questão 30:
[A]
v
Se não há atrito, as únicas forças que agem sobre o corpo são seu próprio peso (P) ,
v
vertical para baixo, e a normal (N) , perpendicular à trajetória em cada ponto.
A figura abaixo ilustra essas forças em cada um dos pontos citados.
Página 40 de 41
LISTA – 3ª SÉRIE – DINÂMICA CIRCULAR
Página 41 de 41