Modos Normais de Vibração. Ressonância em uma Corda

Niels Fontes Lima
Modos Normais de Vibração. Ressonância em uma Corda
Esticada.
Prof. Niels Fontes Lima
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia
Observação dos modos normais de vibração de um elástico esticado por um
peso e excitado pela vibração de um alto-falante com freqüência variável.
Determinação experimental das freqüências próprias e da velocidade de
propagação da onda no elástico. Comparação com valor esperado, conhecidas
a tração e a densidade linear do fio. Usa recursos muito simples de
equipamento e material (alto-falante, pino excitador, elástico, massas
conhecidas, suportes, régua milimetrada) e um programa editor de áudio que
permita aplicar ao alto-falante sinais senoidais de freqüência constante ou
variável (rampa de freqüência).
Ressonância em uma corda: determinação da velocidade da onda.
Figura 1: Os três primeiros modos normais de vibração de uma corda esticada fixa nas duas
extremidades. Os comprimentos de onda de ressonância são aqueles que têm nós nos dois
extremos da corda, portanto cuja metade cabe um número n inteiro de vezes no comprimento
da corda.
Excitando-se uma corda fixa em ambas as extremidades por uma pequena
vibração, a amplitude da vibração resultante será máxima para as freqüências
que correspondem aos comprimentos de ressonância (vide hipertexto "Modos
Modos normais de uma corda esticada
Normais", em particular a atividade on-line "Ressonância numa corda").
A ressonância ocorre numa corda com comprimento L fixa em ambas as
extremidades para os comprimentos de onda λn tais que (n é um número
inteiro maior que zero):
As freqüências de ressonância dependem da velocidade de propagação da
onda c:
Essas freqüências são múltiplas inteiras da freqüência fundamental:
A velocidade da onda no elástico c pode ser determinada experimentalmente
medindo-se a freqüência fundamental:
Por outro lado, a velocidade de propagação da onda numa corda esticada é
dada por:
onde T é a tração e µ é a densidade linear da corda. O valor obtido
experimentalmente para a velocidade de propagação deve ser comparado com
essa predição teórica, cujo valor esperado é calculado conhecendo-se a tração
e a densidade do elástico.
Neste experimento (Figura 2), a vibração do cone de um alto-falante, com
sinal sonoro de freqüência variável, é transmitida por um pino a um elástico
esticado por um peso, e se propaga como uma onda no pedaço de elástico de
comprimento L. Essas ondas ficam refletindo-se entre o suporte inferior e o
pino, interferindo de forma construtiva ou destrutiva de acordo com a relação
entre o comprimento da onda e o da corda vibrante, o que permite a
verificação experimental do fenômeno de ressonância nos modos normais da
vibração da corda (para n não muito grande).
Niels Fontes Lima
Material utilizado
Computador multimídia padrão.
Programa “CoolEdit” ou outro editor de som.
Alto-falante fora da caixa de som, pino excitador, elástico, massas conhecidas,
suportes, régua ou fita métrica, balança.
Procedimento
Medir a massa M que será pendurada no
elástico.
Instalar o alto-falante e o elástico da forma
mostrada na Figura 2. O elástico está preso
ao suporte superior e passa por um orifício
de diâmetro pouco superior ao seu no
suporte inferior, sustentando o peso de
massa conhecida M. Após o elástico
esticado estar em equilíbrio, coloque o pino
excitador sobre o centro do cone do altofalante, esticando ligeiramente o elástico
para fora da vertical. O alto-falante é
conectado normalmente à caixa
amplificadora padrão, e esta à placa de
som do computador.
Para melhorar a observação, coloque um
fundo preto de cartolina ou outro material
escuro e observe a vibração da corda no
plano mostrado na figura 2.
Medir os comprimentos L (porção vibrante
da corda, entre o pino excitador e a fixação
inferior) e Ltotal (comprimento total do
Figura 2. Esquema da montagem
experimental.
elástico esticado).
Para medir a densidade da corda, meça inicialmente a densidade de um
pedaço de corda idêntico ao utilizado no experimento. Conhecidos a densidade
µ0 e o comprimento da corda sem tensão L0, a densidade da corda
esticada será obtida por µ = µ0L0/Ltotal.
a) Observar os modos normais de vibração, identificando a freqüência
fundamental e as harmônicas.
Gerar ou abrir uma rampa de freqüência com inclinação de 2 Hz/s e duração
de 100 s no programa “CoolEdit” ou equivalente.
Modos normais de uma corda esticada
Reproduzir a rampa de freqüência no alto-falante, observando as vibrações do
elástico e notando a existência de freqüências para as quais a amplitude da
vibração é máxima, correspondentes aos modos normais previstos pela teoria.
Identificar a freqüência fundamental e as harmônicas e determinar o valor
aproximado da fundamental, conhecendo-se o instante de tempo no qual a
ressonância de cada modo ocorre e assim determinando-se as freqüências de
ressonância de forma aproximada.
b) Determinar a freqüência fundamental f1 de forma mais precisa.
A partir da freqüência fundamental determinada no item anterior, estabeleça
"janelas" de freqüência mais estreitas, com a freqüência variando mais
lentamente em torno da primeira estimativa da freqüência fundamental. Refine
a determinação, usando intervalos de variação ainda mais estreitos e sons de
freqüência contínua, para finalmente determinar a freqüência na qual a
amplitude da vibração no modo fundamental é máxima.
c) Confirmar a ocorrência da ressonância nas freqüências múltiplas inteiras da
fundamental.
Multiplicando o valor de f1 determinado no item anterior pelos sucessivos n
inteiros, procure a ressonância nos modos normais correspondentes. Produza
janelas de freqüência centradas em nf1 e confirme a ressonância. Meça de
forma mais precisa, como no item b), a freqüência que corresponde à
amplitude máxima para cada modo normal, fn. Para cada modo verificado,
calcule uma estimativa de freqüência fundamental dada por fn/n.
Análise dos resultados
A partir dos resultados obtidos nos itens b) e c) do procedimento, determinar o
valor médio e o desvio padrão da freqüência fundamental f1. Usando esse
valor e o valor medido do comprimento L da corda vibrante, calcular o valor
experimental da velocidade da propagação da onda c e respectiva imprecisão.
Calcular o valor teoricamente esperado da velocidade de propagação da onda c
em função da tração T aplicada ao elástico e da sua densidade linear µ. A
tração é obtida dos valores conhecidos da massa M pendurada no elástico e da
aceleração da gravidade, e a densidade do elástico a partir do valor conhecido
da sua massa µ0L0 e do valor medido do seu comprimento total Ltotal esticado.
Compare esses dois valores. O que se pode concluir?
Agradeço a Kleber Carvalho Ferreira pela idéia da montagem vertical.