Função de 2º Grau

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Função de 2º Grau
Parábola: formas geométricas no cotidiano
Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números
reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos:
As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em
situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado,
lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas;
na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na
Engenharia Civil presente nas diversas construções.
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de
acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para
baixo.
As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² +
bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ? (delta), podemos ter as seguintes
situações gráficas:
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? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em
dois pontos distintos.
? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um
único ponto.
? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.
Raízes da Função de 2º Grau
Determinar a raiz de uma função é calcular os valores de x que satisfazem a equação do
2º grau ax² + bx + c = 0, que podem ser encontradas através do Teorema de Bháskara:
Número de raízes reais da função do 2º grau
Dada a função f(x) = ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a
obtenção do número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ.
1º caso → Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.
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2º caso → Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a
função possui uma única raiz.
3º caso → Δ < 0: A função não possui raízes reais.
Soma e produto das raízes
Seja a equação, ax² + bx + c = 0, temos que:
Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por
e o produto das raízes por
. De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação, por isso temos:
Soma das raízes
Produto das raízes
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Efetuando a multiplicação, temos:
Substituindo Δ por b² – 4ac, temos:
Após a simplificação, temos:
Gráfico da Função de 2º Grau
Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y
= ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Sua representação no plano
cartesiano é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui
concavidade voltada para cima ou para baixo. A função do 2º grau assume três
possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou y
igual a zero, transformando a função numa equação do 2º grau, que pode vir a ser
resolvida por Bháskara.
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Gráfico da função
Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo
? > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau
terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois
pontos.
? = 0 – A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá
apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um
ponto.
? < 0 – A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau
não intersectará o eixo das abscissas (x).
Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau
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O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de
valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os
pontos serão definidos, observe:
Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo.
Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.
Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y.
Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao
valor do eixo y onde a parábola o intersecta.
Sinais da Função de 2º Grau
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Como determinar o sinal da função?
Estudar o sinal de uma função, é determinar para quais valores reais de x a função é
positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é através
do gráfico, pois permite-nos uma avaliação mais ampla da situação. Vamos analisar os
gráficos das funções a seguir, de acordo com a sua lei de formação.
Observação: para construirmos o gráfico de uma função do 2º grau precisamos
determinar o número de raízes da função, e se a parábola possui concavidade voltada
para cima ou para baixo.
∆ = 0, uma raiz real.
∆ > 0, duas raízes reais e distintas
∆ < 0, nenhuma raiz real.
Para determinar o valor de ∆ e os valores das raízes, utilize o método de Bháskara.
Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo
Exemplo 1
y = x² – 3x + 2
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x² – 3x + 2 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2
∆=9–8
∆=1
A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e duas raízes reais
e distintas.
Análise do gráfico
 x < 1 ou x > 2, y > 0
 Valores entre 1 e 2, y < 0
 x = 1 e x = 2, y = 0
Exemplo 2
y = x² + 8x + 16
x² + 8x + 16 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆=0
A parábola possui concavidade voltada para cima, em virtude de a > 0 e uma única raiz
real.
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Análise do gráfico
 x = –4, y = 0
 x ≠ –4, y > 0
Exemplo 3
y = 3x² – 2x + 1
3x² – 2x + 1 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (–2)² – 4 * 3 * 1
∆ = 4 – 12
∆=–8
A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não
possui raízes reais, pois ∆ < 0.
Análise do gráfico
 A função será positiva para qualquer valor real de x.
Exemplo 4
y = – 2x² – 5x + 3
– 2x² – 5x + 3 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (–5)² – 4 * (–2) * 3
∆ = 25 + 24
∆ = 49
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A parábola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 e duas raízes reais e
distintas.
Análise do gráfico
 x < –3 ou x > 1/2, y < 0
 Valores entre – 3 e 1/2, y > 0
 x = –3 e x = 1/2, y = 0
Exemplo 5
y = –x² + 12x – 36
–x² + 12x – 36 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = 12² – 4 * (–1) * (–36)
∆ = 144 – 144
∆=0
A parábola possui concavidade voltada para baixo em decorrência de a < 0 e uma única
raiz real.
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Análise do gráfico
 x = 6, y = 0
 x ≠ 6, y < 0
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Fonte:
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-segundo-grau.htm