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EDGAR TITO - INFORMÁTICA 2014 – Prof. Ranildo Lopes
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U.E PROF EDGAR TITO - NOITE
PROF. RANILDO LOPES
DISCIPLINA: Lógica de Programação
APOSTILA 01
LÓGICA MATEMÁTICA
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de sala de aula”
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LÓGICA FILOSÓFICA
Ciência que estuda os argumentos, é um instrumento usado para validar a forma de pensamento
racional e escrita.
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também
conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:
* Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra
alternativa.
* Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
ARGUMENTO
Argumento, a grosso modo, é uma conclusão que mantém certas relações com as provas que a
confiam e evidenciam.
Exemplo: Sherlok Holmes encontra um velho chapéu de feltro. Embora desconheça quem é o dono,
Holmes descreve ao Dr. Watson muitas coisas a respeito do homem, entre elas que ele era intelectual. A
afirmação, assim como foi feita, não dispunha de nenhum apoio, porém Holmes poderia ter provas que
apoiavam essa afirmação, mas não as deu. Dr. Watson, como de costume, não consegue perceber qualquer
base para afirmação de Holmes, logo pede esclarecimentos e Holmes vem com esta: O chapéu demasiado
grande, logo é uma questão de capacidade cúbica, ou seja, um homem com cabeça deste tamanho deve ter
alguma coisa dentro dela. A afirmação de que o dono do chapéu é intelectual agora tem um apoio. Holmes
ofereceu uma evidência e a afirmação assim apoiada transformou-se num ARGUMENTO.
Eis um grande chapéu.
Alguém é dono desse chapéu.
Os donos de grandes chapéus tem grandes cabeças.
Pessoas de grandes cabeças têm cérebros grandes.
Pessoas com cérebros grandes são intelectuais.
O dono deste chapéu é um intelectual.
Premissas:
Asserções feitas sobre o mundo e as coisas, idéias e pensamento, que comparam as realidade e o
pensamento relacionando quantidade e qualidade, tendo como objetivo chegar a uma conclusão.
Conclusão:
Juízo final que se chega através da reta colocação e estruturação das premissas, podem ser dedutivos ou
indutivos.
Premissas:
Todos mamíferos são mortais.
Todos os cães são mamíferos.
Conclusão:
Todos os cães são mortais.
Um argumento logicamente incorreto ou falacioso pode ter premissas verdadeiras e pode ter, também
,uma conclusão verdadeira, como:
Premissas:
Todos os mamíferos são mortais.
Todos os cães são mortais.
Conclusão:
Todos os cães são mamíferos.
Para fins de análise lógica, é conveniente apresentar os argumentos numa forma padronizada.
Adotaremos a prática de escrever em primeiro lugar as premissas e identificar a conclusão com um travessão:
Todos os que serviam no júri eram eleitores cadastrados.
João serviu no júri.
- João era um eleitor cadastrado.
A analise lógica do discurso abrange três etapas preliminares, a saber:
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1. Os argumentos devem ser reconhecidos como tais; em particular, os enunciados destituídos de
apoio devem distinguir-se de conclusões de argumentos.
2. Quando encontrarmos um argumento é preciso identificar as premissas e as conclusões.
3. Se o argumento é incompleto, as premissas omitidas devem ser fornecidas.
INFERÊNCIA
No conceito anterior entende-se que a lógica pode ser usada para analisar e avaliar os argumentos.
Porém a maioria das pessoas associa a lógica a uma outra função, que é base deste curso: Ela tem a ver com o
raciocínio e com o pensamento. Pensar e raciocinar consiste, pelo menos em parte, em realizar inferências.
O exemplo de Sherlok Holmes ilustra que grande parte das nossas crenças e opiniões, bem como
nosso conhecimento, são resultados de inferências. Holmes não viu que o dono do chapéu era intelectual. Ele
viu o chapéu era grande e inferiu que o dono era intelectual.
A principal diferença entre um argumento e uma inferência é que o argumento é concluído por uma
sentença e uma inferência por uma crença ou algo parecido.
Numa inferência a pessoa que infere deve ter a prova. Dizer que uma pessoa tem provas é o mesmo
que dizer que ela possui conhecimentos, crenças ou opiniões respeito da prova,Holmes sabia que o chapéu
era grande. Além disso acreditava na existência da relação entre o tamanho da cabeça e da capacidade
intelectual. Isso fazia parte da sua evidência.
Realizar uma inferência é uma atividade psicológica; consiste em aduzir uma conclusão a partir de
provas, em chegar a certas crenças e opiniões com base em outras.
ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS
1. dedutivo:
- Todo mamífero tem um coração
- Todos os cavalos são mamíferos
- Todos os cavalos têm um coração
2. indutivo:
- Todos os cavalos até hoje observados tinham um coração
- Todos os cavalos têm um coração
Dedutivos:
a) Se todas as premissas são verdadeiras; a conclusão deve ser verdadeira.
b) Toda a informação ou conteúdo contida na conclusão já estava contida nas premissas, mesmo
implicitamente.
Indutivos:
a) Se todas as premissas são verdadeiras, a conclusão é provavelmente verdadeira, mas não
necessariamente.
b) A conclusão contém informação não presente, mesmo implicitamente nas premissas.
Dedução:
Os argumentos dedutivos devem ter sua validade testada para que possam ser utilizados em processos
de análise lógica. Cada uma das três combinações seguintes é possível nos argumentos dedutivos validos.
1 Premissas verdadeiras e uma conclusão verdadeira.
2 Alguma ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira.
3 Alguma ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa.
Por exemplo:
1Todos os diamantes são duros
Verdadeiro
Alguns diamantes são jóias
Verdadeiro
Algumas jóias são diamantes
Verdadeiro
2Todos os gatos têm asas.
Falso
Todos os pássaros são gatos
Falso
Todos os pássaros têm asas
Verdadeiro
3Todos os gatos têm asas
Falso
Todos os cães são gatos
Falso
Todos os cães têm asas
Falso
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Comentários:
A dedução é uma forma segura de se poder extrair conclusões das premissas, através dela podemos
ter certeza de estarmos corretos em nosso raciocínio. A dedução é o mesmo princípio utilizado nas ciências,
naturais, no direito e na administração
A Indução é uma tipo de argumento que não dá base segura para afirmações sobre o mundo ela serve
como inspiração inicial, mas não possui validade científica. A indução é utilizada no censo comum, e é
conhecida geralmente como uma generalização de casos
PROPOSIÇÃO
Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos ao qual se possa atribuir
dentro de .certo contexto somente um de dois valores ou verdadeiro ou falso.
Somente as sentenças declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso o que ocorre
quando a sentença é respectivamenre confirmada ou negada. De fato, não se pode atribuir um valor de
verdadeiro ou falso às. demais formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e outras, embora
elas também expressem juízos.
São exemplos de Proposições as seguintes sentenças declarativas:
O número 6 é par.
O número 1 não é primo.
Todos os homens são mortais.
Nenhum porco espinho sabe ler.
Alguns canários não sabem cantar.
Se você estudar bastante, então aprenderá tudo.
Eu falo inglês e espanhol.
Não são proposições:
Qual é o seu nome?
Preste atenção ao sinal.
Caramba!
Proposição Simples
Uma proposição é dita proposição simples ou proposição atômica quando não contém qualquer outra
proposição como sua componente. Isso significa que não é possível encontrar como parte de uma proposição
simples alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-Ia em partes menores tais que alguma
delas seja uma nova proposição.
Exemplo:
A sentença "Cínthia é irmã de Maurício " é uma proposição simples pois é possível retirar-se dela
apenas uma proposição:
"Cílnthia é irmã de Maurício".
Proposição Composta
Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita proposição composta
ou proposição molecular. Isso quer dizer que uma proposição é composta quando se pode extrair como parte
dela, uma nova proposição.
Exemplo:
A sentença "Cínthia é irmã de Maurício e de Júlio" é uma proposição composta pois é possível retirarse dela duas outras proposições:
"Cílnthia é irmã de Maurício" e "Cínthia é irmã de Júlio".
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
Proposições categóricas é o nome dado a parte formal da lógica onde as argumentos são desmembrados
e colocados de forma ordenada a fim de facilitar a analise do argumento.
As proposição categóricas envolvem os conceitos de quantidade e qualidade:
Quantidade:
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Conceito que refere-se ao todo ou a parte do todo.
Ex.:
Todo
Algum
Nenhum
Qualidade:
Conceito que refere-se a característica da quantidade.
Ex.:
É
Não é
Tipo de proposições
Com base nos conceitos anteriores podemos dizer que as proposições categóricas se agrupam em
quatro tipos:
Todo Homem é mortal
Universal Afirmativa
(Todo; é)
A
Nenhum Homem é morta;
Universal Negativa
(Nenhum; é)
E
Algum Homem é mortal
Particular Afirmativa
(Algum; é)
I
Algum Homem não é mortal
Particular Negativa
(Algum; não é)
O
ESTRUTURAS
Estrutura das proposições
Estes quatro tipo de proposições são utilizados na lógica como elementos constituintes da relações
entre os argumentos, eles abrangem as quatro possibilidades de argumentos. Embora as forma na aparência
varie seu conteúdo sintático é o mesmo, podendo ser resumido:
A
Todo S é P
E
Nenhum S é P
I
Algum S é P
O
Algum S não é P
Nesta relação S = Sujeito e P = Predicado. Ex.: Todo homem é mortal
Observação:
O mesmo vale para os argumentos do tipo E, I, O
Qualidade, quantidade e distribuição nas proposições
Como vimos anteriormente os conceitos de qualidade e quantidade, bem como a distribuição nas
premissas pode ser entendido de forma gráfica o que ajuda a facilitar a as compreensão.
Proposições tipo “A”
O Sujeito está distribuído em todo o predicado
S
P
Ex.: Todo Analista é inteligente
Proposições tipo “E”
O Sujeito não se encontra distribuído dentro do predicado
S
Ex.: Nenhum analista é inteligente
P
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Proposições tipo “I”
O sujeito se encontra parcialmente distribuído dentro do predicado
S
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P
Ex.: Alguns analistas são Inteligentes
Proposições tipo “O”
O Sujeito se encontra parcialmente não distribuído dentro de predicado
S
P
S
Ex.: Alguns analista não são inteligentes
Comentários:
Por quantidade e entendemos quando nos referimos a uma classe que está contida dentro de outra. Ex.:
O Homem, está contido na classe dos animas, que está contido na classe dos mamíferos, que está
contido na classe dos vertebrados, etc.
Quanto uma classe está contida dentro de outra firmamos que ela está distribuída ou totalmente ou
parcialmente ou não está distribuída totalmente, ou parcialmente.
QUADRO DE OPOSIÇÃO E INFERÊNCIAS IMEDIATAS
O quadro de oposição surge com a lógica aristotélica a fim de poder validar alguns tipos de
proposições, relacionando sua quantidade e qualidade.
O quadro de oposição relaciona as proposições do seguinte modo:
(Todo S é P) A
Superalterno
Contrários
E (Nenhum S é P)
Superalterno
Contraditórios
Subalternação
Subalternação
Contraditórios
(Algum S é P) I
Subcontrários
O
(Algum S não é P)
Subalterno
Subalterno
O quadro de oposição mostra como é a relação de verdade e falsidade quando comparamos as
proposições entre si.
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Contraditórias
As proposições contraditórias entre si mantém o termo sujeito e predicado inalterados mas se opõe em
quantidade e qualidade. Assim as duas proposições são contraditórias se uma delas for a negação da outra.
Regra: Assim ambas não podem ser verdadeiras nem falsas ao mesmo tempo.
Ex.:
A
O
Todos os juizes são advogados
Alguns juizes não são advogados
ou
E
Nenhum político é idealista
I
Alguns idealistas são políticos
Contrárias
As proposições contrárias mantém entre si mantém o termo sujeito e predicado inalterados mas mantém
a mesma quantidade divergindo na qualidade.
Regra: Assim ambas não podem ser verdadeiras mas ambas podem ser falsas ao mesmo tempo.
Ex.:
A
Todos os poetas são preguiçosos
E
Nenhum poeta é preguiçoso
Subcontrárias
As proposições subcontrárias mantém entre si mantém o termo sujeito e predicado inalterados mas
mantém a mesma quantidade divergindo na qualidade.
Regra: Assim ambas podem ser verdadeiras mas ambas não podem ser falsas ao mesmo tempo.
Ex.:
I
Alguns diamantes são pedras preciosas
O
Alguns diamantes não são pedras preciosas
Subalternação
A subalternação mantém entre si mantém o termo sujeito e predicado inalterados mas mantém a mesma
qualidade divergindo na quantidade.
Regra: Assim a superalterna acarreta a subalterna, mas não o contrário. Ex.:
I
Alguns animais são gatos
O
Alguns animais não são gatos
Obs.: Segundo a regra das subcontrárias ambas podem ser verdadeiras mas ambas não podem ser
falsas, acarreta que suas superalternas não podem ser verdadeiras.
Relações do Quadro de Verdade
Proposição Universal Afirmativa Tipo A
Falso
Proposição Verdadeiro
A
V
F
E
F
I
I
V
I
O
F
V
Primeiro valor de Verdade
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Proposição Universal Negativa Tipo E
Proposição Verdadeiro
Falso
E
V
F
A
F
I
I
F
V
O
V
I
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Primeiro valor de Verdade
Proposição Particular Afirmativa Tipo I
Proposição Verdadeiro
Falso
I
V
F
E
F
V
A
I
F
O
I
V
Primeiro valor de Verdade
Proposição Particular Negativa Tipo O
Proposição Verdadeiro
Falso
O
V
F
A
F
V
E
I
F
I
I
V
Primeiro valor de Verdade
CONVERSÃO, OBVERSÃO E CONTRAPOSIÇÃO
Para se entender outras formas de se validar um argumento devemos entender o conceito de classe
complementar.
Neste conceito se trabalha com a questão das classes que compõe a realidade e das classes eu não
compõe. Ex.:
Classe – Humanos; Classe Complementar – Não Humanos.
Classe – Racionais; Classe Complementar – Irracionais.
Comentários:
Portanto, eqüivale dizer que se nenhum humano é racional, nenhum racional é humano, ambas
possuem o mesmo significado, querem dizer a mesma coisa.
Para isto existem três tipos de inferência que se poder fazer, validamente lógicas a partir da permuta
entre os termos do sujeito e predicado. Estas inferências servem par poder validar um argumento e verificar
sua autenticidade no que diz respeito a forma como ele está estruturado. Ou seja, se busca verificar se dois
enunciados dizem o mesmo ou não. Para isto existem três tipos de inferência que se poder fazer.
Conversão
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Converter um argumento eqüivale a inverter os termos do sujeito e predicado, mantendo nos casos (E)
e (I) a mesma quantidade e quantidade.
Ex.:
(E)
Nenhum homem é mortal, é o mesmo que, (E) Nenhum mortal é homem.
ou
(I)
Algum homem é mortal, é o mesmo que, (I) Algum mortal é homem.
No caso da proposição (A) a conversão ocorre por limitação, mantém-se a qualidade e não a
quantidade.
Ex.:
(A)
Todo homem é mortal, é o mesmo que, (I) Algum mortal é homem.
No caso da proposição (O) não existe equivalência.
Observação:
A afirmação do tipo (A) Todo homem é mortal, não é a mesma coisa que (A) Todo mortal é homem,
pois se o fizermos estaremos querendo incluir dentro da classe primeira a sua classe complementar, deixando
assim de ser classe complementar, devido a isto a conversão ocorre por limitação. Diferentemente a
proposição do tipo (O) Alguns animais não são cães, não é a mesma coisa que, (O) Alguns cães não são
animais, são duas premissas diferentes que não querem dizer a mesma coisa.
Desta forma temos o quadro:\
A
Todo S é P
I
Algum P é S (por limitação)
E
Nenhum S é P
E
Nenhum P é S
I
Algum S é P
I
Algum P é S
O
Algum S não é P
(Não tem equivalentes)
Obversão
Obverter um argumento eqüivale a substituir o termo predicado pelo seu complemento de classe,
mantém-se a mesma quantidade e altera-se sua qualidade.
Ex.
(A)
Todo homem é mortal, é o mesmo que, (E) Nenhum homem é não-mortal.
(E)
Nenhum homem é mortal, é o mesmo que, (A) Todo homem é não-mortal.
(I)
Algum homem é mortal, é o mesmo, que (O) Algum homem não é não-mortal.
(O)
Algum homem não é mortal, é o mesmo, que (I) Algum homem é não-mortal.
ou
ou
ou
Desta forma temos o quadro:
A
Todo S é P
E
Nenhum S é não-P
E
Nenhum S é P
A
Todo S é não-P
I
Algum S é P
O
Algum S não é não-P
O
Algum S não é P
I
Alguns S é não-P
Contraposição
Contrapor um argumento eqüivale a substituir o termo sujeito pelo complemento do predicado e o
termo predicado complemento do sujeito, mantendo nos casos (A) e (O) a mesma quantidade e qualidade.
Ex.
(A)
Todo homem é mortal, é o mesmo que, (A) Todo não-mortal é não-homem.
ou
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(O)
Algum homem não é mortal, é o mesmo que, (O) Algum não-mortal não é nãohomem.
No caso da proposição (E) conversão ocorre por limitação, mantém-se a qualidade e não a
quantidade.
Ex.:
(E)
Nenhum homem é mortal é o mesmo que, (I) Algum não-mortal não é não-homem.
No caso da proposição (I) não existe equivalência.
Observação:
A afirmação do tipo (E) Nenhum homem não é mortal, não é a mesma coisa que (E) Nenhum nãomortal não é não-homem, pois se o fizermos estaremos querendo incluir dentro da classe primeira a sua
classe complementar, deixando assim de ser classe complementar, devido a isto a conversão ocorre por
limitação. Diferentemente a proposição do tipo (O) Alguns animais não são cães, não é a mesma coisa que,
(O) Alguns cães não são animais, são duas premissas diferentes que não querem dizer a mesma coisa.
Desta forma temos o quadro:
A
Todo S é P
A
Todo não não-P é não-S
E
Nenhum S é P
O
Algum não-P não é não-S (por limitação)
I
Algum S é P
(Não tem equivalentes)
O
Algum S não é P
O
Algum não-P não é não-S
LÓGICA MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO:
Devemos a Aristóteles (384-322 A.C.) o desenvolvimento da Lógica, na qual se utilizaram os antigos
filósofos gregos para simplificar e obter maior clareza em sua ciência.
Contribuíram também para o desenvolvimento da lógica, Euler, Augustus De Morgan, George Soole,
Lewis Carrol, John Venn e Bertrand Russel.
Atualmente a aplicação mais popular da lógica algébrica ou álgebra lógica está na ciência da
computação.
PROPOSIÇÃO OU SENTENÇA:
Consideramos proposições ou sentenças, conceitos primitivos, sendo que podemos decidir se são
falsas ou verdadeiras.
As proposições são denotadas pelas letras minúsculas: p, q, r...
VALOR VERDADE:
Chamamos de Valor Verdade a validade ou a falsidade de uma proposição ou sentença. Exemplos de
proposições:
p: O céu é azul
q: Letícia esta feliz
r: x+y = 4
MODIFICADOR DE CONCEITOS:
Usamos o modificador de conceitos para formar novas proposições a partir da proposições dadas.
Conectivos
Modificador
Expressão
Símb
Expressã
Sím
olo
o
bolo
E
/\
Não
~
Ou
V
é falso
~
Que
se, o" então
-->
não é
se, e somente se
<--> Verdade Que
~
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Observamos um exemplo em que os conectivos e o modificador são usados e quais as alterações que
eles operam sobre as proposições.
Consideramos duas proposições:
p: Pérsio é inteligente
q: 1 é menor que 2
a) Pérsio é inteligente e 1 é menor que 2: p /\ q
Operação: Conjunção
b) Pérsio é inteligente ou 1 é maior que 2: p v q
Operação: Disjunção.
c) Se Pérsio é inteligente, então 1 é menor que 2: p --> q
Operação: Condicional.
d) Pérsio é inteligente se, e somente se 1 é menor que 2: p <--> q
Operação: Bicondicional.
e) Não é verdade que Pérsio é inteligente: ~ p
Operação: Negação
f) É falso que 1 é menor que 2: ~ q
Operação: Negação
p --> q
p implica q
p somente se q
p é condição
suficiente para q
q é condição
necessária para p
p <--> q
p é condição
necessária e suficiente para
q
q é condição
necessária e suficiente para
p
OPERANDO COM A NEGAÇÃO
Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de proposições equivalentes à
negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto, podem surgir algumas dificuldades quando procuramos identificar a negação de uma
proposição composta.
Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da
proposição dada. Desse modo, sempre que uma proposição A for verdadeira sua negação não A. deve ser
falsa e sempre que uma proposição A for falsa, não A deve ser verdadeira.
Em outras palavras, a negação e uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada.
A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições
compostas:
Negação direta
Equivalente da Negação
Proposição
AeB
Não (A e B)
Não A ou não B
A ou B
Não (A ou B)
Não A e não B
Se A então B Não (se A então B)
A e não B
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A se e
Não (A se e
[(A e não B) ou (B e não
somente se B
somente se B)
A)]
Todo A é B
Não (todo A é B)
Algum A não é B
Algum A é B Não (algum A é B)
Nenhum A é B
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a) Negação de proposições compostas com ( v ) e ( /\ )
Consideremos as seguintes proposições:
p: Elisabete gosta de viajar.
q: Eunice gosta de fazer compras.
E a proposição composta:
Elisabete gosta de viajar e Eunice gosta de fazer compras.
Em linguagem da Lógica, podemos escrever:
p /\ q (Negação) = ~ ( p /\ q )
Eliminando-se os parênteses, o sinal /\ é trocado por v (trocamos "e" por "ou"), assim:
~ (p /\ q) = ~ p v ~ q
Desta forma a nova proposição seria:
Elisabete não gosta de viajar ou Eunice não gosta de fazer compras.
b) Negação de proposições com ( /\ ) ou ( v )
Consideramos as seguintes proposições:
p: Santina é uma fada-madrinha.
q: José é um padrinho mágico.
E a proposição composta:
Santina é uma Fada-madrinha ou José é um padrinho mágico.
Temos a proposição:
pvq
e a negação: ~ (p v q)
Trocando-se os sinais e eliminando-se os parênteses, devemos trocar o sinal v por /\ (trocamos "ou"
por "e").
~ (p v q) = ~ p /\ ~ q
A nova proposição:
Santina não é uma fada-madrinha e José não é um padrinho mágico.
c) Negação de uma proposição negativa:
Consideremos a proposição:
p: Débora é inteligente.
A negativa:
~ p: Débora não é inteligente
A negação da proposição negativa:
~ (~ p): Não é verdade que Débora não é inteligente.
Ou seja Débora é inteligente.
Neste caso, temos:
~ (~ p) = p
Consideremos outro exemplo:
É falso que x não seja igual a 4
Chamemos de:
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q: x é igual a 4
~ q: x não é igual a 4
(~ q): é falso que x não seja igual a 4
Logo: ~ (~ q) = q
ou seja:
"x é igual a 4".
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TABELAS VERDADE:
Para cada proposição ou sentença, é associado apenas um dos valores Falso / Verdadeiro
Negação
Não, Nem
~ ou Conjunção
E
^ ou .
Disjunção
E / ou
V
Condicional
Se ... então...
ou )
Equivalência
Se e somente se...
Negação
A negação consiste em negar o que esta sendo afirmado, modificando a qualidade do que esta se
afirmando e não sua quantidade. O símbolo utilizado na negação é o “til” (~) ou o ”traço” (–). Ex.:
Pedro é homem.
Pedro não é homem.
Observação:
A negação de um enunciado dado como verdadeiro é falsa e a negação de uma enunciado falso é
verdadeira.
Ex.:
B ~B
V
F
F
V
Conjunção
Uma conjunção é um enunciado composto que tem uma função de verdade de modo que o conectivo
utilizado é o “e”.
Ex.:
João é belo e carinhoso.
Observação:
Uma conjunção de enunciado somente é verdadeira, se e somente se, cada um dos seus enunciados
componentes é verdadeira; contrariamente, se pelo menos um dos enunciados componentes é falso então a
conjunção é falsa.
Ex.:
P
Q P^Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Disjunção
A disjunção de é um enunciado composto que possui o conectivo ou e pode ser de duas formas, ou
inclusiva ou exclusiva.
Dependendo da precisão que se pretende dar a um enunciado é a disjunção quem vai o definir de
acordo com as premissas anteriores. O conectivo utilizado na disjunção pode ser o “ou” que em alguns casos
irá variar para o “e”.
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Disjunção Inclusiva
Ex.:
Não se paga o prêmio nos casos de doença ou desemprego.
Comentários:
Neste caso a disjunção é inclusiva pois apresenta duas possibilidades como abrangidas pela premissa
primeira.
Disjunção Exclusiva
Ex.:
A mãe do menino poderia escolher salada ou sobremesa.
Comentários:
Neste caso a disjunção é exclusiva pois apresenta duas possibilidades, e apenas uma irá estar abrangida
ma premissa primeira.
Observação:
Uma disjunção de enunciados é verdadeira se, e somente se um dos seus enunciados componentes é
verdadeiro e falsa se cada um dos seus enunciados é falsa.
Ex.:
P
Q PvQ
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Condicional
O enunciado condicional é um tipo de enunciado que combina como conectivos o “se... e então....”
colocando a relação de antecedente e conseqüente como sendo derivada de verdade ou falsidade dos
condicionante exposto.
Ex.:
Se Paulo vai a festa então sua namorada vai com ele.
Observação:
Rege o condiciona que de um enunciado falso se pode concluir outro enunciado falso ou verdadeiro.
Deste modo um enunciado é falso se e somente se seu antecedente for verdadeiro e seu conseqüente for
falso.
Ex.:
Q
P
Q
P
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Equivalente
O enunciado bicondicional ou de equivalência é um tipo de enunciado que exclui a possibilidade de
outra alternativa que não a dada anteriormente.
Ex.:
João é eleitor, se e somente se, vota.
Observação:
Se ambos possuírem o mesmo valor de verdade ambos serão verdadeiros, se possuírem valor de
verdade diferente serão falsos.
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Ex.:
P
Q
P
Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Vamos lembrar que:
a) Uma proposição composta pelo conectivo e ( /\ ) é verdadeira se, e somente se as proposições
simples componentes são verdadeiras.
b) Uma proposição composta pelo conectivo ou (v ) é falsa se, e somente se, as proposições simples
componentes são falsas.
c) Uma proposição composta pelo conectivo se, ... , então ( ~ ) é falsa se, e somente se, a proposição
antecedente é verdadeira e a conseqüente é falsa.
d) Uma proposição composta pelo se, e somente se, é falsa se uma das proposições simples
componentes são falsas.
EXERCÍCIOS
1- Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto,
necessariamente que
a)
todo C é B
b)
todo C é A
c)
algum A é C
d)
nada que não seja C é A
d)
algum A não é C
Resposta
Se pelo menos um A é B, e todo B é C. portanto podemos dizer que pelo menos um A é C.
Alternativa C
2- Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios):
Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P"
Premissa 2: "X não está contido em P"
Pode-se, então, concluir que, necessariamente
a)
Y está contido em Z
b)
X está contido em Z
c)
Y está contido em Z ou em P
d)
X não está contido nem em P nem em Y
d)
X não está contido nem em Y e nem em Z
Resposta
Existem duas possibilidade: X está contido em Y e em Z ou está contido em P
Temos como complemento que X não está contido em P.
Portanto X está contido em Y e em Z. e não em P
Alternativa B
3- Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila.
O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem
juntas, uma ao lado da outra, é igual a
a)
2
b)
4
c)
24
16
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d)
48
d)
120
Resposta
Neste teste existem duas possibilidades, uma não descrita e outra descrita, a primeira se baseia no
raciocínio estatístico, pois se analisarmos que as duas moças devem sentar-se sempre juntas temos que elas
podem ocupar quatro posições na cadeira, enquanto que os rapazes podem ocupar seis modos diferentes entre
si, assim temos que 6 X 4 = 24, contudo se as moças se revezarem entre si teremos mais duas possibilidades
ass, temos 24 X 2 = 48
Alternativa D
Por outro lado temos o raciocínio lógico que não nos coloca a possibilidade de que elas podem alternase entre si, apenas que devem permanecer juntas assim a possibilidade mínima de posições que elas podem
ocupar somente pode ser 24, pois não podemos inferir quer elas podem alternar-se entre si.
Alternativa C
4- De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão
matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A
probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto
é, em Inglês ou em Francês) é igual a
a)
30/200
b)
130/200
c)
150/200
d)
160/200
d)
190/200
Resposta
No assunto em questão estamos trabalhando com grupos de estudantes, podem existir duas
interpretações para o caso a interpretação de grupo e a interpretação lógica de necessidade.
Segundo a interpretação de estatística de grupo se leva em consideração o grupo inicialmente proposto,
ou seja, 200. neste grupo, sabe-se que 110 estão matriculados em Inglês e 80 Estão matriculados em Francês
e, 40 não estão matriculados. Assim de avaliarmos o grupo tendo como referencia inicial os que não estão
matriculados veremos que apenas 160 estão matriculados em alguma ou duas disciplinas, 200 – 40 = 160.
Portanto temos a conclusão de que a possibilidade de se tirar um aluno que esteja matriculado em pelo
menos uma das disciplinas é de 160 para 200
Alternativa D
Já segundo a interpretação de lógica de necessidade entende-se que a pergunta se refere aos alunos
matriculados independente de o grupo em que estão situados ou não. Assim se vermos que existem alunos
que estão matriculados em Francês (80) e alunos que estão matriculados em Inglês (110), temos um universo
apenas dos alunos que estão matriculados ou seja,, estamos vendo a possibilidade de que de estes em grupo
de 200 alunos, qual a possibilidade de que um elemento deste grupo de 200 onde existem os 190
matriculados estejam matriculados ou não assim a possibilidade é de 190 para 200
Alternativa E
5- Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e
Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter
recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da
herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi:
a)
1
b)
2
c)
3
d)
4
e)
5
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Resposta
Considerando que Ana recebeu metade das barras mais ½ barra, Beatriz recebeu metade do que Ana
recebeu mais ½ barra e Camile recebeu uma barra e ½, temos num primeiro momento que a soma das
metades das barras mais a parte de Camile fazem 2 e ½, o que invalida a alternativa A e B.
Seguindo o raciocínio temos a Alternativa C que apresenta 3 barras como sendo o que Ana Recebeu, se
ela foi a que recebeu a maior parte então a parte que Beatriz recebeu será a metade de Ana mais ½ barra, e
Camile a metade de Beatriz = a uma e ½ barra, portanto se dividirmos 3 pela metade teremos 1 e ½ , que
deve ser dividido pela metade para dar o que Camile recebeu. Seguindo este raciocínio, 3 dividido por 2 seria
1 e ½ que dividido por 2 mais ½ barra daria 0,75 barra de ouro o que não faria a parte de Camile, portanto a
alternativa C esta eliminada.
A alternativa D sendo 4 barras o que Ana recebeu não estaria correta pois seguindo o raciocínio lógico
se Ana recebeu metade das barras mais ½ barra o total de barras seria 4 Beatriz deveria ter recebido
1 e ½ barra, o que não é verdade pois foi Camile quem recebeu esta parte, portanto a única resposta
correta é a alternativa E 5 barras, pois se Beatriz recebeu a metade recebeu 2 e ½ barra mais ½ barra o que
equivalem a - barras, e Camile recebeu metade do que Beatriz recebeu o que equivale a 1 e ½ barra.
Alternativa E
6- Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos
termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:
a)
se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b)
se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c)
se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d)
se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
e)
se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
Resposta
Estamos trabalhando com uma proposição que sempre implicas em um condição descrita mas
premissas sem acrescentar nada de novo a ela, assim quando a posição descrita na conclusão não acrescenta
nada de novo no argumento ela é uma tautologia, pois afirma que uma premissa justifica a outra em uma
circulo vicioso.
Neste caso quando dizemos que João é alto, não podemos para que seja uma tautologia mudar a
quantidade descrita na premissa, apenas se afirma a premissa justificando-se na própria premissa a conclusão
sem acrescer nada de novo.
Portanto se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo, isto que dizer que qualquer que seja a
escolha ou João é alto, ou Guilherme é gordo ela sempre justifica que João é alto.
Diferente do caso onde existe a proposição “e”, pois neste caso não há uma opção para que uma
invalide a outra apenas as duas juntas podem satisfazer o antecedente.
Alternativa A
7- Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente
para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a
ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,
a)
D ocorre e B não ocorre
b)
D não ocorre ou A não ocorre
c)
B e A ocorrem
d)
nem B nem D ocorrem
e)
B não ocorre ou A não ocorre
Resposta
Estamos trabalhando nesta proposição com dois tipos de enunciados no enunciado equivalente e no
enunciado condicional. No enunciado equivalente o antecedente implica o conseqüente e vice e versa, um
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depende exclusivamente do outro. No enunciado condicional o antecedente implica no conseqüente apenas.
Um não depende exclusivamente do outro.
Assim temos que
B equivale a C, e C implica D, e D equivale a A .
Se ocorre C, temos que: B irá ocorrer pois equivale a C, e temos que C irá implicar em D, que por sua
vez equivale a A.
Portanto quando C ocorre, B e A ocorrem.
Alternativa C
8- De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais
moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o
mais moço dos três irmãos são, respectivamente:
a)
Caio e José
b)
Caio e Adriano
c)
Adriano e Caio
d)
Adriano e José
e)
José e Adriano
Resposta
Neste caso estamos trabalhando com uma disjunção que é um argumento que apresenta possibilidades
exclusivas, ou seja, se uma for uma coisa ela não é outra e vice e versa.
Assim quando dizemos que se João é o mais velho ou Adriano é o mais moço, isto quer dizer que caso
Adriano seja o mais moço, Adriano não é o mais velho, e diz que caso João seja o mais velho ele não pode
ser o mais moço. Assim para comlementar temos que ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho.
Portanto podemos considerar inicialmente que
Se Adriano for o mais moço, então ou Caio ou João será o mais velho, isto deverá ser conformado com
a outra premissa. Segundo outra premissa diz que ou o Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho.
Portanto Adriano não pode ser o mais Velho pois o consideramos como mais moço, se ele não é o mais
velho somente nos resta colocar que Caio é o mais velho, pois lembramos que uma possibilidade exclui
outra.
Adriano mais moço excluiu a possibilidade de João ser o mais velho e Caio mais velho excluiu a
possibilidade de Adriano ser o mais velho.
Assim Adriano é o mais velho e Caio e o mais moço.
Alternativa B
9- Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora,
o passarinho canta. Logo:
a)
o jardim é florido e o gato mia
b)
o jardim é florido e o gato não mia
c)
o jardim não é florido e o gato mia
d)
o jardim não é florido e o gato não mia
e)
se o passarinho canta, então o gato não mia
Resposta
Estamos trabalhando com uma proposição condicional. As proposições condicionais trabalham de
forma que o antecedente implica no conseqüente. Desta forma a negação do conseqüente tem-se a negação
do antecedente.
Portanto: Se o jardim não é florido, implica que o gato mia. Se o jardim é florido, implica que o
passarinho não canta. Se o passarinho canta vai implicar que o jardim não é florido. E se o jardim não é
florido implica que o gato mia.
Desta forma temos que O Jardim não é florido e o gato mia.
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Alternativa C.
EXERCÍCIOS
1 - Se é verdade que “Alguns a são r” e que 4 - Um uma comunidade, Todo trabalhador é
“Nenhum g é r”, então é necessariamente verdadeiro responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é
trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há
que:
poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se
A)
Algum a não é g.
que, necessariamente:
B)
Algum a é g.
A)
Todo responsável é artista.
C)
Nenhum a é g.
B)
Todo responsável é filósofo ou poeta.
D)
Algum g é a.
C)
Todo artista é responsável.
E)
Nenhum g é a.
D)
Algum filósofo é poeta.
2 - Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, E)
Algum trabalhador é filósofo.
obtiveram os quatro primeiros lugares em um
concurso de oratória julgado por uma comissão de 5 - Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e
três juízes. Ao comunicarem a classificação final, que "Nenhum músico é poeta", então, também é
cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma necessariamente verdade que:
A)
Nenhum músico é escritor.
delas verdadeira e a outra falsa:
B)
Algum escritor é músico.
juiz 1: André foi o primeiro; Beto foi o segundo.
C)
Algum músico é escritor.
juiz 2: André foi o segundo; Dênis foi o terceiro.
D)
Algum escritor não é músico.
juiz 3: Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto.
Nenhum escritor é músico.
sabendo que não houve empates, o primeiro, o E)
segundo, o terceiro e o quarto colocados foram,
6 - Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz
respectivamente:
briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia
A)
André, Caio, Beto, Denis.
vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com
B)
André, Caio, Dênis, Beto.
Bia. ora, Beto não briga com Bia. Logo:
C)
Beto, André, Dênis, Caio.
A)
Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia.
D)
Beto, André, Caio, Denis.
B)
Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia.
E)
Caio, Beto, Dênis, André.
C)
Beatriz não briga com Bia e Beraldo não
3 - Uma pesquisa entre 800 consumidores - sendo briga com Beatriz.
Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com
400 homens e 400 mulheres - mostrou os seguintes D)
Beatriz.
resultados:
E)
Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga
do total de pessoas entrevistadas:
com Beatriz.
500 assinam o jornal x.
350 têm curso superior.
7 - Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é
250 assinam o jornal x e têm curso superior.
filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é
do total de mulheres entrevistadas:
filha de Elisa. 6- Se Paula não é filha de Paulete,
200 assinam o jornal x.
então Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia é
150 têm curso superior.
filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.
50 assinam o jornal x e têm curso superior.
Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de
O número de homens entrevistados que não assinam A)
o jornal x e não têm curso superior é, portanto, igual Fernanda.
B)
Paula é filha de Paulete e Ana é filha de
a
Alice.
a)
50
C)
Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de
b)
200
Alice.
c)
0
D)
Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de
d)
100
Fernanda.
e)
25
E)
Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de
20
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11 - Dois hotéis: A e B de uma cidade apresentam
Fernanda.
num mês (30 dias) as seguintes ocupações:
Hotel A com 60 leitos - hospedou 120 pessoas;
8 - Considere as seguintes afirmativas:
Hotel B com 100 leitos - hospedou 180 pessoas.
Todos que gostam de administração são inteligentes.
Com estes dados, pode-se afirmar que:
Existem pessoas inteligentes que são simpáticas.
A)
Os hotéis apresentam o mesmo grau de
Das afirmações acima, conclui-se que:
A)
Nenhuma pessoa que gosta de administração ocupação.
B)
O grau de ocupação do hotel A é de 2/3 do
é simpática.
B)
Toda pessoa que gosta de administração é grau de ocupação do hotel B.
C)
O grau de ocupação do hotel B é menor do
simpática.
C)
Existem
pessoas
que
gostam
de que o do hotel A.
administração e são simpáticas.
D)
O grau de ocupação do hotel A é o dobro do
D)
Toda
pessoa
simpática
gosta
de que o do hotel B.
E)
Os hotéis A e B estiveram sempre com a
administração.
E)
Podem existir pessoas que gostam de ocupação completa.
administração e são simpáticas.
12 - Um estudante novato de pós-graduação disse o
seguinte:
9 - Considere as afirmativas abaixo:
“Se eu obtiver A em matemática, então irei cursar
Algumas empresas brasileiras de aviação civil mal
uma nova disciplina”.
administradas estão em crise.
Todas as empresas brasileiras de aviação civil em Agora, considere as seguintes hipóteses:
I) É verdade que ele obteve A em matemática; é
crise têm baixo nível de ocupação de aeronaves.
verdade que ele cursará uma nova disciplina.
Com base nas afirmativas, é correto afirmar que:
A)
As empresas brasileiras de aviação civil estão II) É verdade que ele obteve A em matemática; é
em crise devido a sua má administração e baixo falso que ele cursará uma nova disciplina.
III) É falso que ele obteve A em matemática; é
nível de ocupação de aeronaves.
B)
Se uma empresa brasileira de aviação civil verdade que ele cursará uma nova disciplina.
tem baixo nível de ocupação de aeronaves, então ela IV) É falso que ele obteve A em matemática; é falso
que ele cursará uma nova disciplina.
é mal administrada.
C)
O baixo nível de ocupação de aeronaves das Assim sendo, pode-se afirmar que o valor lógico da
empresas brasileiras de aviação civil se deve às sentença dita é Verdade nas hipóteses:
A)
I, II e III.
elevadas tarifas por ela praticadas.
I, III e IV.
D)
Algumas empresas brasileiras de aviação B)
civil mal administradas não estão em crise e têm C)
II, III e IV.
D)
I, II e IV.
elevado nível de ocupação de aeronaves.
I, II, III e IV.
E)
Todas as empresas brasileiras de aviação civil E)
que têm elevado nível de ocupação de aeronaves são
13 - Considere as seguintes sentenças:
bem administradas.
I Não é verdade que ela é alta e elegante.
10 - Um casal pretende ter três filhos. As II Não é verdade que ela é alta ou elegante.
possibilidades quanto à seqüência de sexo dos filhos III Ela não é alta e ela não é elegante.
IV Ela não é alta ou ela não é elegante.
são em número de:
Então pode-se afirmar que:
A)
3
B)
4
A)
I é equivalente a II e III é equivalente a IV.
B)
II, III, IV são equivalentes.
C)
6
C)
I é equivalente a III e II é equivalente a IV.
D)
7
D)
I é equivalente a IV e II é equivalente a III.
E)
8
E)
I, III, IV são equivalentes.
21
EDGAR TITO - INFORMÁTICA 2014 – Prof. Ranildo Lopes
A)
Hoje não chove e aumentará o preço das
14 - Considere os seguintes argumentos:
hortaliças.
S1: Nenhum professor é temperamental.
B)
Hoje chove e aumentará o preço das
S2: Pedro é um artista.
hortaliças.
S3: Todos os artistas são temperamentais.
Hoje chove ou aumentará o preço das
Então, uma conclusão tal que o argumento seja C)
válido e tal que cada premissa seja necessária à hortaliças.
D)
Hoje não chove e não aumentará o preço das
conclusão é:
hortaliças.
A)
Pedro é artista e professor.
E)
Hoje não chove ou não aumentará o preço das
B)
Pedro é um professor temperamental.
hortaliças.
C)
Pedro não é temperamental.
D)
Artistas são temperamentais.
18 - Dada a sentença:
E)
Pedro não é professor.
“É dia de avaliação escolar e todos os alunos estão
preparados.”
15 - Considere os seguintes argumentos:
I. Todos os administradores são pessoas Uma forma de negá-la é:
A)
Não é dia de avaliação escolar e todos os
interessantes.
alunos estão preparados.
II. Raquel é uma pessoa interessante.
B)
É dia de avaliação escolar e algum aluno não
E as seguintes conclusões:
esta preparado.
I. Raquel é administradora.
C)
Não é dia de avaliação escolar ou algum
II. Raquel não é administradora.
III. Raquel é administradora, mas não é uma pessoa aluno não esta preparado.
D)
Não é dia de avaliação escolar e algum aluno
interessante.
Então a validade dos argumentos para cada uma não esta preparado.
E)
Não é verdade que não é dia de avaliação
desta conclusões é, respectivamente:
escolar e todos os alunos estão preparados.
A)
inválido, inválido e inválido.
B)
inválido, válido e inválido.
19 - Qual das frases a seguir representa a negação de
C)
válido, inválido e inválido.
A (~A), se A é a sentença:
D)
válido, válido e válido.
“Maria adora velejar, mas detesta voar”.
E)
válido, inválido e válido.
A)
Maria detesta velejar e voar.
B)
Maria não gosta de velejar ou de voar.
16 - Considere as seguintes sentenças:
Maria não gosta de velejar mas adora voar.
“Não é verdade que a empresa não obteve lucro e C)
D)
Maria detesta velejar ou adora voar.
distribuiu bonificações.”
E)
Maria adora velejar e detesta voar.
Ela é logicamente equivalente a:
A)
A empresa teve prejuízo e distribuiu
20 - Considere a seguinte proposição:
bonificações.
B)
A empresa obteve lucro ou não distribuiu “Ela não é nem bonita , nem rica”.
Então sua negação simples é:
bonificações.
Ela é rica, mas não é bonita.
C)
A empresa teve prejuízo ou distribuiu A)
B)
Ela é bonita ou rica.
bonificações.
Ela é bonita e rica.
D)
A empresa obteve lucro e distribuiu C)
D)
Ela não é bonita nem rica.
bonificações.
Ela é bonita, mas não é rica.
E)
A empresa não teve lucro e não distribuiu E)
bonificações.
21 - Qual(is) argumento(s) abaixo é(são) dedutivos?
I Todo mamífero têm coração.
17 - Considere a seguinte sentença:
“Não é verdade que se não chover hoje então Todos os gatos são mamíferos.
-Todos os gatos têm coração.
aumentará o preço das hortaliças.”
Ela é logicamente equivalente a:
22
EDGAR TITO - INFORMÁTICA 2014 – Prof. Ranildo Lopes
II Todos os gatos que foram observados tinham 25 - Seja:
Todos os diplomatas são gordos.
coração.
Nenhum gordo sabe nadar.
-Todos os gatos têm coração.
Segue-se que:
III Todos os cães tem penas.
A)
algum diplomata não é gordo.
Todos os pássaros são cães.
B)
algum, diplomata sabe nadar.
-Todos os pássaros tem penas.
nenhum diplomata sabe nadar.
IV A grande maioria dos brasileiros de trinta e cinco C)
nenhum diplomata é gordo.
anos, atacados por câncer pulmonar, não vive por D)
E)
algum gordo saber nadar.
mais de três anos.
João Pedro é um brasileiro de tinta e cinco anos,
26 - Seja:
atacado por câncer pulmonar.
- João Pedro não viverá por mais de trinta e cinco Meu salário cobrirá as despesas somente se eu
economizar.
anos.
Segue-se que:
A)
I, III e IV.
A)
Meu salário não cobrirá as despesas somente
B)
I e IV.
se eu não economizar.
C)
II e IV.
B)
Meu salário não cobrirá as despesas somente
D)
I e III.
se eu economizar.
E)
somente I.
C)
Meu salário cobrirá as despesas se eu não
22 - Considere a sentença:
economizar.
“Alguns alunos são estudiosos”.
D)
Se eu economizar, meu salário cobrirá as
A negação deste sentença é:
despesas.
A)
Existe, alunos estudiosos.
E)
Se eu não economizar, meu salário não
B)
Alguns alunos não são estudiosos.
cobrirá as despesas.
C)
Todos os alunos não são estudiosos.
D)
Todos os alunos são estudiosos.
28 - Considere três pares de bolas: duas brancas (B1
E)
Há alunos que não são estudiosos.
e B2), duas pretas (P1 e P2) e duas vermelhas (V1 e
V2). Em cada par, uma bola é mais pesada que a
23 - Seja a proposição condicional:
outra. Alem disso, as bolas mais pesadas têm o
“Se Carlos é administrador, então é pobre”.
A contrapositiva (ou recíproca contrária) da mesmo peso e as mais leves também. Você dispõe
de uma balança de pratos e pode realizar apenas
proposição condicional dada é:
duas pesagens para identificar qual é a bola mais
A) Se Carlos é administrador, então é rico.
pesada e qual a mais leve em cada um dos três pares.
B) Se Carlos é pobre, então é administrador.
C) Se Carlos não é pobre, então não é Suponha que, na primeira pesagem, as bolas B1 e P1
sejam colocadas em um dos pratos da balança e as
administrador.
bolas B2 e V1 em outro. Suponha que haja
D) Se Carlos é pobre, então não é administrador.
equilíbrio, ou seja, que o peso das bolas B1 e P1
E) Se Carlos não é administrador, então é pobre.
juntas sejam iguais ao das bolas B2 e V1 juntas. Na
24 - Seja: p a proposição “Carla é rica” e q a segunda pesagem, foram comparados os pesos das
bolas P1 e V1, se contatou que P1 é mais pesada que
proposição “Carla é feliz”.
Traduzindo para a linguagem simbólica a V1. Pode se concluir que:
A)
B1 é mais pesada que B2, P1 é mais pesada
proposição:
que P2 e Vi é mais leve que V2.
“Carla é pobre ou é infeliz”,
B)
B1 é mais leve que B2, P1 é mais pesada que
Tem-se que:
P2 e Vi é mais leve que V2.
A)
~p V ~q.
C)
B1 é mais leve que B2, P1 é mais pesada que
B)
~(~p ^ ~q).
P2 e Vi é mais pesada que V2.
C)
~p V(p ^ ~q).
D)
B1 é mais pesada que B2, P1 é mais pesada
D)
~p ^ (~p ^ ~q).
que P2 e Vi é mais pesada que V2.
E)
~p ^ ~q.
23
EDGAR TITO - INFORMÁTICA 2014 – Prof. Ranildo Lopes
os filhos de não loiros nunca são loiros.
E)
B1 é mais pesada que B2, P1 é mais leve que A)
B)
os filhos de não loiros sempre são loiros.
P2 e Vi é mais leve que V2.
C)
os filhos de loiros sempre são loiros.
os filhos de loiros nunca são loiros.
29 - Armando, Bruno, Cristóvão e Diogo são quatro D)
os pais de filhos loiros nem sempre são
artistas talentosos. Um deles é pintor, outro é E)
dançarino, outro é cantor e outro é escritor, não loiros.
necessariamente nessa ordem. Sabe-se que:
35 - O rei ir à caça é condição necessária para o
Armando e Cristóvão assistiram ao show do cantor.
Quando jovens Bruno e o escritor foram retratados duque sair do castelo, e é condição suficiente para a
duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde
pelo pintor.
O escritor escreveu uma biografia de Diogo e encontrar a princesa é condição necessária e
suficiente para o barão sorrir e é condição necessária
planeja escrever uma biografia de Armando.
para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu.
Armando nunca conheceu Cristóvão.
Logo:
A)
Armando é o pintor.
A)
A duquesa foi ao jardim ou o conde
B)
Bruno é o pintor.
encontrou a princesa.
C)
Cristóvão é o pintor.
B)
Se o duque não saiu do castelo, então o conde
D)
Diogo é o pintor.
encontrou a princesa.
E)
Armando é escritor.
C)
O rei não foi à caça e o conde não encontrou
a princesa.
30 - Pode-se ainda concluir que:
D)
O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.
A)
Armando é o cantor.
E)
O duque saiu do castelo e o rei não foi a caça.
B)
Bruno é o cantor.
C)
Cristóvão é o cantor.
36 - Todos os jornalistas defendem a liberdade de
D)
Diogo é o cantor.
expressão. Cristina não é jornalista.
E)
Armando é pintor.
Logo:
A)
Nem todos os jornalistas defendem a
31 - Pode-se também inferir que:
liberdade de expressão.
A)
Armando é o escritor.
B)
Existem jornalistas que talvez não defendam
B)
Bruno é o escritor.
a .liberdade de expressão.
C)
Cristóvão é o escritor.
C)
Existem jornalistas que não defendem a
D)
Diogo é o escritor.
liberdade de expressão.
E)
Armando é pintor.
D)
Cristina não defende a liberdade de
32 - E ainda pode-se extrair a conclusão de que:
expressão.
A)
Armando é o dançarino.
E)
Cristina defende a liberdade de expressão.
B)
Bruno é o dançarino.
C)
Cristóvão é o dançarino.
37 - Para escrever uma proposição numa linguagem
D)
Diogo é o dançarino.
simbólica, são utilizados os seguintes símbolos cujos
E)
Armando é cantor.
33 - Cinco pessoas estão ordenadas de forma que significados estão ao lado de cada um deles: ~(não).
Maria está antes de Paula; Cláudia está entre João e v (ou); ^ (e); -----) (implicação); (---------) (dupla
Sérgio; João está depois de Maria. Assinale a ordem implicação). Assim sendo, seja a proposição p “João
é alto” e a proposição q “João é elegante”, então a
que é impossível.
proposição “Não é verdade que João é baixo ou que
A)
MJCPS.
ele não é elegante”, em linguagem simbólica é:
B)
MPJCS.
A)
~(~p v q).
C)
SCMPJ.
B)
p v (~p v q).
D)
MJSCP.
C)
~(~p v ~q).
E)
SCMJP.
~(p v q).
34 - Se os pais de filhos loiros sempre são loiros, D)
E)
p v ~q.
então:
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Algumas pessoas lentas em aprender
39 - Uma autoridade da área econômica disse o C)
freqüentam esta escola.
seguinte:
Algumas pessoas lentas em aprender não
“Não é verdade que se os índices das bolsas de D)
valores baixarem então haverá desvalorização freqüentam esta escola.
E)
Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta
cambial”
Com base nesse pronunciamento, pode-se concluir esta escola.
que:
A)
Os índices das bolsas podem baixar e não 43 - A negação da proposição:
Todos os homens são bons motoristas, é:
haverá desvalorização cambial.
Todas as mulheres são boas motoristas.
B)
Haverá desvalorização cambial se os índices A)
B)
Algumas mulheres são boas motoristas.
das bolsas baixarem.
Nenhum homem é bom motoristas.
C)
Se os índices das bolsas baixarem não haverá C)
D)
Todos os homens são maus motoristas.
desvalorização cambial.
Ao menos um homem não é bom motorista.
D)
Se os índices das bolsas não caírem não E)
haverá desvalorização cambial.
E)
Os índices das bolsas podem baixar e pode 44 - Considere a seguinte sentença:
Não é verdade que, se os impostos baixarem, então
haver desvalorização cambial.
haverá mais oferta de emprego.
40 - Após uma manifestação popular de rua foi Pode-se concluir que:
A)
Haverá mais oferta de emprego se os
afirmado por um manifestante o seguinte:
impostos baixarem
“Se existe um tumulto, alguém é morto.”
Se os impostos baixarem, não haverá mais
I - É falso que, se existir um tumulto, alguém é B)
oferta de emprego
morto.
C)
Os impostos baixam e não haverá mais oferta
II - Existe um tumulto e é falso que alguém é morto.
de emprego
III - Existe um tumulto e todos estão vivos.
Os impostos baixam e haverá mais oferta de
Com relação aos pronunciamentos, pode-se dizer D)
emprego
que:
E)
Se os impostos não baixarem não haverá mais
A)
Somente I é um desmentido.
oferta de emprego
B)
I, II, III são desmentidos.
C)
III não é um desmentido.
45 - O melhor relógio, é o que mostra a hora correta
D)
II e III, não são desmentidos.
com freqüência. Uma pessoa tem dois relógios,
E)
Somente II é um desmentido.
sendo que um deles funciona e o outro atrasa um
41 - Na linguagem corrente a representação para da minuto por dia. Então podemos dizer em relação aos
dois relógios desta pessoas, que:
proposição
A)
O relógio que não funciona é o melhor
“(p ^~q) ---) p” pode ser:
relógio.
a) Está chovendo se, e somente se, está frio.
B)
O relógio que atrasa um minuto por dia é o
b) Está frio se, e somente se, não está chovendo.
melhor relógio.
c) Se está frio, então não está chovendo.
C)
Nenhum dos dois é o melhor relógio.
d) Se está frio e não está chovendo, então está frio.
D)
Qualquer um dos dois é o melhor relógio.
e) Se está frio e chovendo, então está frio.
E)
É preciso definir de quanto tempo estamos
falando.
42 - A negação da sentença:
Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta
46 - São verdadeiras as afirmações:
escola é:
A)
Todas as pessoas lentas em aprender I - Todos os calouros são humanos.
II - Todos os estudantes são humanos.
freqüentam esta escola.
B)
Todas as pessoas lentas em aprender não III - Alguns estudantes pensam.
freqüentam esta escola.
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Assim, a sentença que é conseqüência lógica de I, II Nenhum jogado é honesto.
Então é correto afirmar que:
e III é:
A)
Algum político é jogador.
A)
Alguns calouros pensam.
B)
Algum político não é jogador.
B)
Alguns humanos que pensam são estudantes.
Algum jogador é honesto.
C)
Alguns humanos pensam e nenhum calouro C)
D)
Todo político é jogador.
pensa.
Todo jogador é político.
D)
Alguns humanos pensam e alguns humanos E)
que pensam são estudantes.
E)
Todos os calouros são estudantes e alguns 51 - Marcos e Lucas apostaram uma corrida. Marcos
corre a metade do tempo e anda a outra metade.
humanos pensam.
Lucas corre a metade da distância e anda a outra
47 - Para fazer uma viagem Rio de Janeiro - São metade. Se ambos correm e anda com as mesmas
Paulo - Rio de janeiro, é possível usar como meio de velocidades, então é correto afirmar que:
Marcos chegará primeiro ao final do
transporte trem, ônibus ou avião. De quantos modos A)
diferentes é possível escolher os meios de transporte percurso.
Lucas chegará primeiro ao final do percurso.
se não se deseja usar na volta o meio de transporte B)
C)
Marcos e Lucas chegarão juntos ao final do
utilizado na ida?
percurso.
A)
3
D)
Marcos e Lucas chegarão juntos ‘a metade do
B)
4
percurso.
C)
6
E)
Na metade de percurso Lucas estará frente de
D)
9
Marcos.
E)
24
48 - Um quadro retangular cobre exatamente 25% da
área de uma parede, também retangular, que mede 3
metros de altura por 2 metros de largura. Saber-se
que as dimensões do quadro estão na mesma razão
que as da parede, isto é , que sua altura está para sua
largura assim como 3 esta para 2. Assim se
quiséssemos que o quadro cobrisse exatamente todo
a superfície da parede, deveríamos multiplicar sua
altura e sua largura por:
A)
2
B)
3
C)
4
D)
5
E)
6
49- Ou A igual a B, ou B igual a C, mão não ambos.
Se B igual a D, então A igual a D. Ora B igual a D.
Logo:
A)
B diferente de C.
B)
B diferente de A.
C)
C igual a A.
D)
C igual a D.
E)
D diferente de A.
50 - Considere a seguinte afirmação:
Algum político é honesto.
52 - Considere as sentenças:
I - As rosas são vermelhas e as violetas são azuis.
II - Quando é a decisão do campeonato?
III - A prova é difícil ou longa.
Do ponto de vista lógico, pode-se dizer que:
A)
I, II e III são proposições.
B)
I e III são proposições compostas.
C)
I, II e III são proposições simples.
D)
I, II e III são proposições compostas.
E)
O valor de verdade de II é falso.
53 - Um caixa eletrônico trabalha apenas com notas
de R$ 5.00 e R$ 10.00. Se uma pessoa retirou trinta
e cinco notas totalizando R$ 250.00, então pode-se
dizer que a pessoa recebeu:
A)
25 notas de R$ 5.00 e 10 notas de R$ 10.00.
B)
15 notas de R$ 5.00 e 20 notas de R$ 10.00.
C)
10 notas de R$ 5.00 e 15 notas de R$ 10.00.
D)
20 notas de R$ 10.00 e 10 notas de R$ 5.00.
E)
15 notas de R$ 10.00 e 20 notas de R$ 5.00.
54 - Numa cidade ocorreram 480 acidentes
envolvendo automóveis. Em 160 deles os carros
eram dirigidos por mulheres. Com estes dados ao se
comparar o desempenho de homens e mulheres
como motoristas, pode-se dizer que:
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A)
As mulheres são três vezes mais cuidadosas e 59 - Suponha falsa a proposição: I - Nenhum homem
é vegetariano, o que se pode inserir acerca dos
seguras ao volante do que os homens.
B)
Os homens são mais cuidadosos e seguros ao valores das seguintes proposições:
II - Algum homem é vegetariano.
volante do que as mulheres.
III - Todo homem é vegetariano.
C)
Nada se pode concluir sobre tal desempenho.
D)
Há três vezes mais homens dirigindo nessa IV - Algum homem não é vegetariano.
Assim, I, II, III, IV são:
cidade do que mulheres.
F, V ,F ,V.
E)
Homens e mulheres nesta cidade tem o A)
B)
F, I, V ,I.
mesmo desempenho ao volante.
C)
V, I ,F ,I.
I, I ,F ,V.
55 - Assinale a frase que contradiz a seguinte D)
sentença: Nenhum pescador é mentiroso:
E)
F, V, I, I.
A)
Algum pescador é mentiroso.
60 – A conversão da proposição: Todo homem é
B)
Nenhum mentiroso é pescador.
racional, é:
C)
Todo pescador é mentiroso.
D)
Algum mentiroso não é pescador.
A)
Todo racional é homem.
B)
Todo não racional é não homem.
E)
Algum pescador não é mentiroso.
C)
Todo homem é não racional.
Algum não homem não é não racional.
56 - Quem não fuma economiza dinheiro. Nenhum D)
Algum racional é homem.
vegetariano fuma. Do ponto de vista lógico pode-se E)
dizer que:
61 - Se um proposição X é subalterna de uma
A)
Quem fuma não economiza dinheiro.
proposição Y, e se Y é a contraditória de uma
B)
Quem economiza dinheiro é vegetariano.
proposição Z, a relação entre X e Z é de:
C)
Todo vegetariano economiza dinheiro.
A)
Contraditórias.
D)
Nenhum vegetariano economiza dinheiro.
B)
Subalternas.
E)
Algum vegetariano não economiza dinheiro.
C)
Subcontrárias.
Contrárias.
57 - Suponha que não é obrigatório que Maria pague D)
E)
Subalternantes
as contas de seu irmão. Segue-se que:
A)
Não é permitido que Maria pague as contas
62 - Nas proposição:
de seu irmão.
B)
É permitido que Maria não pague as contas I - Nenhum animal é carnívoro.
II - Algum homem é vegetariano.
de seu irmão.
C)
Não é permitido que Maria não pague as Os termos sujeito e predicados estão:
A)
I e II sujeito e predicado distribuídos.
contas de seu irmão.
I e II sujeito e predicados não distribuídos.
D)
É obrigatório que Maria não pague as contas B)
C)
I sujeito não distribuído e predicado
de seu irmão.
E)
É obrigatório que Maria pague as contas de distribuído e II sujeito e predicado não distribuídos.
D)
I sujeito e predicado distribuídos e II sujeito e
seu irmão.
predicado não distribuídos.
I sujeito distribuído e predicado não
58 - Somente os transgressores são punidos. Algum E)
distribuído e II sujeito e predicado não distribuídos.
motorista é transgressor. Logo:
A)
Nenhum motorista é punido.
B)
Somente os motoristas são punidos.
63 - A obversão da proposição: Todos os leões são
não carnívoros é:
C)
Algum transgressor é punido.
A)
Algum leão é carnívoro.
D)
Todos os punidos são transgressores.
B)
Nenhum leão é carnívoro.
E)
Algum motorista é punido.
C)
Nenhum leão é não carnívoro.
D)
Todo não leão é não carnívoro.
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69 - Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair
E)
Todo leão é carnívoro.
que jogar. Logo:
Jair não está machucado nem quer jogar.
64- Todos os sócios são legíveis. Alguns professores A)
B)
Jair não quer jogar nem está machucado.
não são elegíveis, logo:
C)
Jair não está machucado e quer jogar.
A)
Alguns professores são sócios.
D)
Jair está machucado e não quer jogar.
B)
Alguns professores não são sócios.
E)
Jair está machucado e quer jogar.
C)
Todos os sócios não são professores.
D)
Alguns sócios não são professores.
70 - José quer ir ao cinema assisti ao filme “fogo
E)
Nenhum professor é elegível.
conta fogo”, mas não tem certeza se o mesmo será
65 - A contraposição da proposição : Algum exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm
perdigueiro é gato, é:
opiniões discordantes sobre se o filme está ou não
em cartaz. Se Maria estiver certa, estão Júlio está
A)
Não tem equivalente.
enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está
B)
Algum não perdigueiro e não gato.
enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme
C)
Algum não gato não é não perdigueiro.
D)
Todo não gato é não perdigueiro.
não está sendo exibido. Ora, o filme está sendo
exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que
E)
Nenhum não perdigueiro é não gato.
Maria estava certa. Logo:
O filme está sendo exibido.
66- No quadro de oposição considerando num A)
Luís e Júlio não estão enganados.
primeiro momento A é F e num segundo momento A B)
C)
Júlio está enganado, mas não Luís.
é V, a proposição E será:
D)
Luís está enganado, mas não Júlio.
A)
V e V.
E)
José não irá ao cinema.
B)
F e F.
C)
F e V.
71 - Se Nestor disser a verdade, Júlio e Raul
D)
I e V.
mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade.
E)
I e F.
Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta
67 - Alfredo é pelo menos tão alto quanto João. sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:
Nestor e Júlia disseram a verdade.
Pedro é no máximo tão alto quanto Marcelo. Alfredo A)
B)
Nestor e Lauro mentiram.
não é tão alto quanto Marcelo, Portanto:
C)
Raul e Lauro mentiram.
A)
João não é tão alto quanto Alfredo.
D)
Raul mentiu ou Lauro disse a verdade.
B)
Marcelo é pelo menos tão alto quanto João.
E)
Raul e Júlia mentiram.
C)
Marcelo não é tão alto quanto Alfredo.
D)
Alfredo é pelo menos tão alto quanto Pedro.
72 - Os carros de Artur Bernado e César são, não
E)
João é pelo menos tão alto quanto Pedro.
necessariamente nesta mesma ordem, uma brasília,
68 - Se Pedro gosta de Pimenta, então ele é falante. uma parati e um santana. Um dos carros é cinza, o
outro verde e o outro azul. O carro de Artur é cinza;
Portanto:
A)
Se Pedro não é falante, então ele gosta de o carro de César é o santana; o carro de Bernardo
não é verde e não é a brasília. As cores da brasília,
pimenta.
parati e santana são respectivamente:
B)
Se Pedro é falante, então ele gosta e pimenta.
cinza, verde e azul.
C)
Se Pedro é falante, então ele não gosta de A)
B)
azul, cinza e verde.
pimenta.
D)
Se Pedro não gosta de pimenta, então ele não C)
azul, verde e cinza.
D)
cinza, azul e verde.
é falante.
verde, azul e cinza.
E)
Se Pedro gosta de pimenta, então ele não é E)
falante.
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73 - Para colocar azulejos em um edifício, 10 C)
27%
pedreiros levam trinta dias (um mês). Se utilizarmos D)
73%
4 pedreiros o mesmo trabalho será feito em:
E)
78%
A)
Um mês e meio.
B)
O dobro do tempo.
78 - A proposição não é verdade que se não, não
C)
O triplo do tempo.
desejo partir de carro para minha casa então não,
D)
Dois meses e meio.
não vou de ônibus, significa:
E)
Três meses e quinze dias.
A)
Não desejo partir de carro para casa e não
vou de ônibus.
74 - Um navio possui reservas para alimentar 20 B)
Não desejo partir de carro para casa e vou de
homens em 60 dias, mas recebe 10 sobreviventes de ônibus.
um naufrágio. Neste caso, as reservas de alimento C)
Desejo partir de carro para casa e não vou de
darão para no máximo:
ônibus.
A)
12 dias.
D)
Desejo partir de ônibus para casa e não vou
B)
40 dias.
de carro.
C)
10 dias.
E)
Não desejo partir de ônibus para casa e vou
D)
50 dias.
de carro.
E)
30 dias.
79 - A simbolização simples correta da proposição
75 - Um torneiro enche um balde de 20 litros em 33 do exercício anterior é
segundos. O tempo, em segundos necessário para A)
~~~p ---) ~~q.
encher uma caixa d'água de 1240 litros será de:
B)
~(p ---) ~q).
A)
754
C)
~(~p ---) ~~q).
B)
1.320
D)
~(~~p ---) ~~q).
C)
2.046
E)
~(~~p ---) ~q).
D)
1.960
E)
2.145
80 - A simbolização decomposta da proposição
anterior é:
76 - Um avô e seu neto fazem aniversário no mesmo A)
p ---) ~~q.
dia. Em seis aniversários consecutivos a idade do B)
~(p ---) ~q).
avô era um múltiplo inteiro da idade no neto. Então, C)
~p ---) ~q.
as idades do neto e do avô no sexto desses D)
p ---) q.
aniversários são respectivamente, iguais a:
E)
p ---) ~q.
A)
6 e 42 anos.
81 - Em uma escola de música, exatamente 1/4 do
B)
6 e 48 anos.
número total de vagas é destinado para cursos de
C)
6 e 60 anos.
violino, e exatamente 1/8 das vagas para o curso de
D)
6 e 54 anos.
violino são destinadas para o turno diurno. Assim
E)
6 e 66 anos.
um possível valor para o número total de vagas na
escola é:
77 - Uma prestação cujo valor nominal é de R$ A)
160
900.00 foi paga com atraso no valor de R$ 1.143.00. B)
164
Então a taxa percentual do acréscimo é:
C)
168
A)
12 %
D)
172
B)
22%
E)
185