MMaatteemmááttiiccaa

Treinamento para
Olimpíadas de
2009
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N •Í •V •E •L 3
Matemática
AULAS 4 a 6
Ângulos (em polígonos e na circunferência)
Conceitos Relacionados
Proposição 1
Se duas retas são paralelas, cada par de ângulos alternos
e internos são congruentes e reciprocamente.
α
r
transversal
paralelas
β
s
Se r//s, então α = β
Proposição 2
B
A soma das medidas dos três ângulos internos de um triângulo é 180°.
A
∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°
Proposição 3
B
A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual a soma
das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
A
Proposição 4
A soma das medidas dos ângulos agudos de um triângulo
retângulo é 90°.
C
β
β=∠A+∠C
C
α
β
α + β = 90°
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Proposição 5
Qualquer ponto da bissetriz de um ângulo é eqüidistante dos
lados do ângulo.
d
α
α’
bissetriz
d’
α = α’ e d = d’
Proposição 6 — Triângulos isósceles
Se dois lados de um triângulo são congruentes, os ângulos opostos a estes
lados são congruentes e reciprocamente.
Proposição 7
Se uma reta é tangente a uma circunferência, então ela é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
I
raio
T
A
tangente a circunferência
ponto de tangência
AT
IT
Proposição 8 — Ângulos na circunferência (inscrito e central)
A
α
α = AB
A
α
α = 12 AB
B
B
Proposição 9
Na mesma circunferência ou em circunferências congruentes, arcos congruentes tem cordas congruentes e reciprocamente.
A
C
Se AB = CD, então AB = CD
D
B
Proposição 10
A soma dos ângulos internos de um Polígono Convexo de n lados é 180° (n – 2).
Assim uma soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°.
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Proposição 11
∠ A + ∠ C = 180°
C
Um quadrilátero cíclico(inscrito) é um quadrilátero com todos os
seus vértices pertencentes à uma mesma circunferência. Os ângulos opostos de um quadrilátero cíclico são suplementares. A recíproca também é verdadeira
B
A
D
Em Classe
1.
(Treinamento OBMEP) Na figura, os dois triângulos ABC e FDE
são eqüiláteros. Qual é o valor do ângulo x?
a) 30º
b) 40º
c) 50º
d) 60º
e) 70º
B
E
H
F
xº
C
G
75º
65º
A
2.
D
(Olimpíada Colombiana) Na figura ao lado, tem-se : AB = AC,
BC = CD = 2 cm e ∠DCB = 36º.
A medida, em cm, do segmento AD é igual a
a) 2
b) 2,5
c) 3
d) 3,5
e) 4
C
A
3.
D
(OBMEP) Na figura ∠ADC = 48º e os triângulos ACD, DBE e EAF
são isósceles de bases AD, DE e EF, respectivamente. Sabendo
que A,B e E são colineares , calcule a medida , em graus, do ângulo ∠DEF ?
a) 36º
b) 40º
c) 42º
d) 48º
e) 58º
B
D
48º C
B
A
E
F
4.
(Olimpíada Americana) Na figura ao lado temos um quadrado e
dois triângulos eqüiláteros, todos com a mesma medida de lado.
Podemos afirmar que:
a) ∠AEB + ∠BEC + ∠CEF, em graus, é igual a 140º.
b) ∠AEB + ∠BEC + ∠CEF, em graus, é igual a 150º.
c) ∠AEB + ∠BEC + ∠CEF, em graus, é igual a 160º.
d) ∠AEB + ∠BEC + ∠CEF, em grau , é igual a 170º.
e) Os pontos A, E e F são colineares.
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D
A
E
F
C
B
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5.
(OBM) Na figura abaixo temos um pentágono regular, um quadrado e um triângulo eqüilátero, todos com a
mesma medida de lado.
Q
C
E
P
R
B
S
A medida, em graus, do ângulo ∠QCE é
a) 130º
b) 136º
c) 140º
6.
T
D
A
d) 150º
e) 174º
(OLIMPIADA URUGUAIA) Na figura abaixo temos quatro circunferências de mesmo raio r, e centros A, B ,C e D.
E
G
I
80º
A
B
C
D
F
Os pontos A, B, C, D, F são colineares, tais que AB = BC = CD = DF = r. Os pontos E, G e I pertencem as
circunferências de centros D, C, e B respectivamente. Se a medida do menor arco EF da circunferência de centro
D é 80º, então a medida, em graus, do ângulo ∠BAI é
a) 5º
d) 20º
b) 10º
e) 40º
c) 15º
7.
(Olimpíada Peruana) Na figura abaixo, O é centro de uma circunferência λ de diâmetro AE. AB e CD são respectivamente as medidas dos lados de um hexágono e um eneágono regulares inscritos em λ. M é ponto médio
do arco AE. N ponto de intersecção das retas MC e AE. Q ponto de intersecção das retas AE e MD. P ponto de
intersecção das retas MC e AB.
P
B
A
C
λ
O
N
β
γ
D
Q
E
M
Sabendo que AE = 5, BC = CD = 4, α medida, em graus, do ângulo ∠BPC, β medida, em graus, do ângulo ∠CNE
e γ medida, em graus, do ângulo ∠ADC, podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
DE = 3; α = 35º, β = 55º e γ = 50º
DE = 3; α = 25º, β = 75º e γ = 60º
DE = 4; α = 25º, β = 85º e γ = 50º
DE = 4; α = 45º, β = 90º e γ = 40º
DE = 2; α = 50º, β = 95º e γ = 50º
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Em Casa
1.
(OBM) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.
x
75º
126º
30º
2.
Qual a medida do ângulo x?
a) 39º
d) 44º
b) 41º
e) 46º
c) 43º
—
—
—
—
(OBM) Na figura, o lado AB do triângulo eqüilátero ABC é paralelo ao lado DG do quadrado DEFG.
G
A
F
x
D
B
C E
Qual é o valor, em graus, do ângulo x?
a) 80°
b) 90°
c) 100°
3.
d) 110°
e) 120°
(Treinamento OBMEP) No triângulo KLM temos KL = KM, KT = KS e ∠LKS = 30°.
K
T
x
L
Qual a medida, em graus, do ângulo T ŜM?
a) 10°
b) 15°
c) 20°
4.
M
S
d) 25°
e) 30°
(OLIMPÍADA ITALIANA) Na figura abaixo ABCDE representa um pentágono regular e
ABP um triângulo eqüilátero.
Qual é a medida do ângulo BCP?
a) 45°
b) 54°
c) 60°
d) 66°
e) 72°
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D
E
P
A
C
B
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5.
(OLIMPÍADA ITALIANA) Considerando que no círculo da figura abaixo, o ângulo BÂC mede 35° e que CD é um diâmetro, podemos afirmar que o ângulo BĈD mede
B
A
C
O
D
a) 35º
b) 45º
c) 50º
6.
d) 55º
e) 60º
(OBM) A figura mostra dois quadrados sobrepostos.
x
y
Qual é o valor de x + y em graus?
a) 270
b) 300
c) 330
7.
d) 360
e) 390
(OLIMPÍADA AMERICANA) No trapézio ABCD de lados paralelos AB e CD, a diagonal BD e o lado AD tem igual
comprimento.
D
C
x
B
A
Se o ângulo DĈB mede 110° e o ângulo CB̂D mede 30°, então a medida x, em graus, do ângulo AD̂B é
a) 80
d) 110
e) 120
b) 90
c) 100
8.
(OLIMPÍADA AUSTRALIANA) Determine, em graus, o valor de S:
v
w
S=u+v+w
u
a) 90
b) 90
c) 120
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d) 150
e) 180
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9.
(Treinamento para Olimpíada Colombiana) ABC é um triângulo. D é um ponto do lado BC tal que BD = 2 e DC = 1.
Sabendo que: ∠ACD = 45º e ∠ADB = 60º. A medida, em graus, do ângulo AB̂C é
a) 55
d) 75
b) 60
e) 90
c) 70
10. (Treinamento para Olimpíada Canadense) Na figura abaixo, ∠QAB = ∠QAC = 10°, ∠QBA = 20° e ∠QBC = 100°.
B
100°
20°
Q
A
10°
10°
C
Então, a medida, em graus, do ângulo AĈQ é
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
11. (OBM) Constrói-se o quadrado ABXY sobre o lado AB do heptágono regular ABCDEFG, exteriormente ao heptágono. Determine a medida do ângulo B X̂C, em radianos. ( π radianos equivale a 180°)
a)
b)
c)
d)
e)
π
7
3π
7
π
14
3π
14
3π
28
12. (OBM) Se girarmos o pentágono regular, ao lado, de um ângulo de 252°, em torno do seu centro, no sentido horário, qual figura será obtida?
a)
d)
b)
e)
c)
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13. (OBM) Na figura, quanto vale x?
a) 6°
b) 12°
c) 18°
d) 20°
e) 24°
5x
3x
2x
6x
4x
14. (OBM) Na figura, a reta PQ toca em N o círculo que passa por L, M e N. A reta LM corta a reta PQ em R. Se LM = LN
e a medida do ângulo PNL, em graus, é α, com α . 60°, quanto mede o ângulo LRP?
L
M
α
P
N
R
a) 3α – 180°
d) 90° −
b) 180° – 2α
c) 180° – α
e) α
Q
α
2
15. (OLIMPÍADA AMERICANA) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono
regular. P é um ponto interno a este pentágono de modo que ∠PAE = 48° e
∠PCD = 42°, nestas condições a medida do ângulo CPE, em graus, é
a) 132
b) 148
c) 150
d) 160
e) 168
B
A
C
48°
P
E
42°
D
16. (OLIMPÍADA ARGENTINA) Seja ABC um triângulo tal que AB = AC. Seja ADC um triângulo tal que AC = CD.
Seja AB perpendicular a CD. Nestas condições, sendo x e y medidas, em graus, dos ângulos ADC e ABC respectivamente (figura), podemos afirmar que x + y =
B
D
y
x
A
a) 130°
b) 135°
c) 145°
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C
d) 150°
e) 155°
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8•
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17. (OLIMPÍADA ITALIANA) Um triângulo eqüilátero DEF é construído por pontos (vértices) D, E e F pertencentes aos
lados AB, BC e CA, respectivamente, de um triângulo ABC. Se β e α são medidas, em graus, dos ângulos BDE e
DFA respectivamente, determinados por esta construção conforme figura abaixo, e ∠BAC = 46°, então α – β =
A
46°
α
D
β
B
a)
b)
c)
d)
e)
F
E
C
13°
14°
15°
16°
17°
18. (OLIMPÍADA ITALIANA) Dado os ângulos Â, B̂, Ĉ e D̂ , quanto vale a soma Ê + F̂?
B
A
E
F
D
C
a) Â + B̂ + Ĉ + D̂
Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ
b)
2
c) 360° – Â – B̂ – Ĉ – D̂
d) 360° + Â + B̂ – Ĉ – D̂
e) nenhuma das alternativas.
19. (OLIMPÍADA ITALIANA) ABC é um triângulo retângulo em B, não isósceles e D é o ponto de interseção da circunferência de diâmetro BC com a hipotenusa. Qual das afirmações abaixo é falsa?
C
D
B
a)
b)
c)
d)
e)
∠BFD = 2 ⋅ ∠BAC
DF = FA
DF divide o ângulo BDA ao meio.
DF divide o segmento BA ao meio.
FD = FB
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F
A
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20. (OLIMPÍADA ITALIANA) Em um triângulo ABC, retângulo em B, traçam-se as bissetrizes internas CE e AD, conforme figura abaixo. Sendo F e G projeções ortogonais de E e D sobre a hipotenusa AC, respectivamente, podemos
afirmar que a medida, em graus, do ângulo FBG, é
A
F
G
E
B
D
C
a) 20°
b) 30°
c) 45°
d) 50°
e) 16°
21. (OLIMPÍADA CANADENSE) ABCD é um quadrilátero convexo tais que AB = AD = 1, ∠BAD = 80° e ∠BCD = 140°,
então AC =
A
1
2
b) 1
a)
80°
1
3
2
d) 2
e) 3
1
c)
B
140°
D
C
22. (OLIMPIADA ARGENTINA) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em C. ADE é um triângulo retângulo em A.
ED = 2. AB e ∠EBC = 18º, podemos afirmar que a medida, em graus, do ângulo ABE é
A
D
E
B
a)
b)
c)
d)
e)
C
30º
36º
40º
54º
60º
SISTEMA ANGLO DE ENSINO – Coordenação Geral: Nicolau Marmo; Coordenação do TOM: Marco Antônio Gabriades; Supervisão de
Convênios: Helena Serebrinic; Nível 3: Antonio Carlos ROSSO Junior, GLENN Albert Jacques Van Amson, Luís Antonio PONCE Alonso, ROBERTO
Miguel El Jamal; Projeto Gráfico, Arte e Editoração Eletrônica: Gráfica e Editora Anglo Ltda;
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