µ = Vα2 κT R 2 3ln(vu+ a)lnv + c v0θ F(T,V,N) = NRT ln V Nb

1a Lista de Termodinâmica da Matéria Condensada – NMA-216
01 - Um certo sistema tem as seguintes equações de estado : U=PV e P=BT2 (B>0). Obtenha a relação
fundamental para esse sistema ( na representação entrópica ). Explique todos os seus passos claramente, de acordo
com a teoria.
Qual o significado de uma equação fundamental ?
02 – Considere a relação fundamental para um gás ideal diatômico :
5
7
)
,
" U % 2 " N %( 2 " V %.
+
S = NRln $ ' $ ' $ ' , e obtenha a energia livre de Helmholtz. Obtenha a partir de F(T,V,N) a
+# U 0 & # N 0 & # V0 &.
.*+
expressão conhecida para a pressão e mostre que o potencial químico é dado por:
5
)
,
# T & 2 # N &"1# V &.
7
+
µ = RT " RT ln % ( % ( % ( .
+$ T0 ' $ N 0 ' $ V0 '.
2
+*
.2
# "S &
V"
03 – Mostre que C p = Cv + T
onde : Cv = T%
( (calor especifico a volume constante);
$ "T 'V
#T
# "S &
1 $ #V '
CP = T% ( (calor especifico a pressão constante); " = & ) (expansão térmica);
$ "T ' P
V % #T ( P
%
(
1 $V
! isotérmica).
" T != # ' * (compressibilidade
V & $P )T
# "S & !
# "S &
Sugestão : use o fato de que dS = %
( dT + % ( dV .
$ "T 'V
$ "V 'T
!
!
!
!
R
[3ln(vu + a) " lnv + c ] , onde c é uma constante. (a)
2
!
Determine as equações
de estado; (b) Determine o calor específico a volume constante Cv .
04 – A entropia molar de um gás é dada por
s=
05 – A partir das equações para um gás ideal : PV=NRT e U=NCRT. Determine a relação fundamental molar
s(u,v).
!
!
06 – Encontre a relação entre T, P e
v 0" S 4
.
µ para um sistema com a equação fundamental: U = 3
R NV 2
07 – Encontre as três equações de estado na representação entrópica com a equação fundamental:
v2
#" & ) 2
u = % (s2e v 0 .
$ R'
!
!
s
"2 R
08 – Um sistema particular obedece a relação u = Av e . N moles desta substância, inicialmente a
temperatura T0 e pressão P0 são expandidos isotropicamente (s=cte) até que a pressão seja a metade da pressão
inicial. Qual a temperatura final ?
09 – Um determinado potencial termodinâmico, "(T, µ,V ) = F # µN , pode ser obtido através da energia
livre de Helmholtz F(T,V,N)!por uma transformação de Legendre. Determine "(T, µ,V ) dado :
!
) #V & ,
!
!
F(T,V,N) = "NRT+ln% ( + 1., onde b só depende da temperatura. A partir das equações de estado
* $ Nb '! obtidas!de "(T, µ,V ) mostre que PV=NRT.
!
10 – Obtenha a energia livre de Gibbs por meio de uma transformada de Legendre da energia livre de Helmholtz,
F(T,V,N) para um gás que tem :
!
!
!
) #V & ,
F(T,V,N) = "NRT+ln% ( + 1., onde b é um parâmetro dependente da temperatura.
* $ Nb ' 11 – Considere um gás que obedece a equação de van der Walls:
!
"
a%
$ P + 2 '(v ( b) = RT , onde a e b são
#
v &
constantes positivas.
# "T &
% ( para este gás em função de Cv e das variáveis e constantes compreendidas na equação dada.
$ "V ' u
! A temperatura do gás deve aumentar, diminuir ou
(b) Suponha que o gás sofra uma expansão livre (U=cte).
(a) Calcule
permanecer constante ?
3
!
!12 – Encontre as equações de estado para um sistema com a equação fundamental: U = #% v 0" &( S
$ R 2 ' NV
13 - Para o sistema do problema anterior encontre
µ como função de T, V e N.
!
14 - Encontre as equações de estado para um sistema com a equação fundamental
mostre que
!
µ = "u .
.
# R" &
#"&
u = % (s2 ) % 2 (v 2 , e
$ R'
$ v0 '
15 – Encontre as três equações de estado na representação da entropia para um sistema com a equação
!fundamental
# v 1 2" & s 5 6
u = % 0 32 ( 12
$ R 'v
!
.
3
!
1
16 – Um sistema particular obedece as equações: U = PV
2
Encontre, na representação da entropia,
!
1
T
e
e
T2 =
AU 2
VN
1
2
, onde A é uma constante positiva.
P
.
T
!
17 – Encontre uma expressão para a variação da energia interna se
P=
#a&
RT
" % 2 ( e Cv = A + BT .
(v " b) $ v '
! um!gás ideal com calor específico constante.
Simplifique a expressão para
18 – Encontre uma expressão para
RT
a
C p " Cv se a equação de estado é : v = ! "
+ b.
!
P RT
19 – Utilizando a energia livre de Helmholtz (F) e a energia livre de Gibbs (G), encontre :
!
(a)
# "U &
# "P &
% ( + P = T!% (
$ "V 'T
$ "T 'V
(b)
# "H &
# "V &
% ( ) V = )T% (
$ "P 'T
$ "T ' P
!
20 – Dois sistemas particulares tem as seguintes equações de estado:
!
1 3R N1 1 5R N 2
=
=
e
, onde R é a constante dos gases. O número de moles do primeiro sistema é
T1 2 U1 T2
2 U2
N1 = 2 e do segundo é N 2 = 3 . Os dois sistemas são separados por uma parede diatérmica, e a energia total do
sistema composto é 25000 J. Qual é a energia interna de cada sistema em equilíbrio ?
!
!
!
!