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RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA 3
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
DEFINICAO:
Analise Combinatória é a parte da Matemática que estuda o número de possibilidades de
ocorrência de um determinado acontecimento (evento) sem, necessariamente, descrever todas
as possibilidades.
1 - FATORIAL
Seja umnúmero n∈ , n>1, define-se fatorial de n, e indica-se n! (lê-se: n fatorial ou fatorial de n), a expressão:
n! = n (n-1) (n-2) (n-3)..... .3 ⋅ 2 ⋅ 1
⎧0!=1
DEFINIÇÕES ESPECIAIS: ⎨
⎩1!=1
Exemplos:
3! = 3. 2 . 1 = 6
7! =7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040
10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 .3 . 2 . 1 = 3628800
Vejamos alguns exemplos de aplicação do fatorial.
1º exemplo:
7!
4!+3!
7!
7.6.5.4.3! 7.6.5.4.3! 7.6.5.4
Re solução :
=
=
=
= 7.6.4 = 168
4!+3! 4.3!+ 3!
3!(4 +1)
5
Calcular
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2º exemplo:
3º exemplo:
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n!
( n − 1) !
n!
n .( n − 1) !
=
= n
R e s o lu ç ã o :
( n − 1) !
( n − 1) !
S im p lifiq u e a e x p r e s s ã o :
Re solva a equação : x! = 15(x-1)!
Resolução:x.(x-1)! = 15(x-1)! [ : (x-1)!]
x = 15
Resposta: x = 15
2 – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
Resolveremos um problema, descrevendo todos os resultados possíveis de um
acontecimento.
Quatro carros (C1, C2, C3 e C4) disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de
chegada para os três primeiros lugares?
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DEMONSTRAÇÃO
3º lugar = 2
possibilidades
⎧C 3
⎨
⎩C 4
2º lugar = 3
possibilidade
C1
1º lugar = 4
possibilida
d
C2
C3
C4
⎧C 2
⎪
⎨C3
⎪C
⎩ 4
⎧C1
⎪
⎨C3
⎪C
⎩ 4
⎧C1
⎪
⎨C 2
⎪C
⎩ 4
⎧C1
⎪
⎨C 2
⎪C
⎩ 3
⎧C 4
⎨
⎩C 2
⎧C 2
⎨
⎩C 3
⎧C 3
⎨
⎩C 4
⎧C1
⎨
⎩C 4
Total de possibilidades
4 . 3 . 2 = 24
⎧C1
⎨
⎩C 3
⎧C 2
⎨
⎩C 4
⎧C1
⎨
⎩C 4
⎧C1
⎨
⎩C 2
⎧C 2
⎨
⎩C 3
⎧C1
⎨
⎩C 3
⎧C1
⎨
⎩C 2
Podemos observar que: o número de possibilidades para o 1º lugar é 4.
o número de possibilidades para o 2º lugar é 3.
o número de possibilidades para o 3º lugar é 2.
o número total de possibilidades é:
4. 3. 2 = 24
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O dispositivo desenvolvido no exemplo é chamado árvore das possibilidades e facilita a
resolução dos problemas de contagem.
A partir do exemplo podemos enunciar o princípio fundamental da contagem, que nos
mostra um método algébrico para determinar o número possibilidades de ocorrer um evento,
sem precisarmos descrever todas essas possibilidades.
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes,
de tal modo que:
p1 e o número de possibilidades da 1ª etapa
p2 e o número de possibilidades da 2ª etapa.
.
.
pn o número de possibilidades da n-ésima etapa,
então: p1 p2 ...pn e o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer.
EXERCICIOS RESOLVIDOS
1 - O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3
letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser
licenciado?
SOLUÇÃO:
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9),
podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição,
para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos
facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o
número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que
resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de
códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes
para codificar todos os veículos.
2 - Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?
SOLUÇÃO:
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.
Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:
N = 2.2.2.2.2.2 = 64
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Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos
então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63.
Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.
EXERCICIOS DE FIXACAO
1 - Num hospital, existem 3 portas de entrada que dão para um amplo saguão no qual existem 5
elevadores. Um visitante deve se se dirigir ao 6º andar utilizando-se de um dos elevadores. De
quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?
R. 15
2 - Uma companhia de móveis tem dez desenhos para mesas e quatro desenhos paro cadeiras.
Quantos pares de desenhos de mesa e cadeira pode a companhia formar?
R. 40
3 - Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos
1, 2, 3, 4 e 5?
R. 60
4 - Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne 5
variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes Uma pessoa deseja uma salada, um prato de
carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?
R. 120
5 - Quatro times de futebol FLUMINENSE, VASCO, CORINTHIANS E SÃO PAULO disputam
um torneio. Quantas são as possibilidades de classificação para os três primeiros lugares?
R. 24
6 - Numa eleição de uma escola há três candidatos a presidente, cinco a vice-presidente, seis a
secretário e sete a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição?
R. 630
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3 – ARRANJO SIMPLES
Arranjo simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de
outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.
Exemplo:
Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados usando-se os
algarismos 2, 3, 4 e 5?
SOLUÇÃO:
1o algarismo
numeros formados
2
⎧3
⎪
⎨4
⎪5
⎩
3
⎧2
⎪
⎨4
⎪5
⎩
⎧32
⎪
⎨34
⎪35
⎩
4
⎧2
⎪
⎨3
⎪5
⎩
⎧ 42
⎪
⎨43
⎪ 45
⎩
5
⎧2
⎪
⎨3
⎪4
⎩
⎧52
⎪
⎨53
⎪54
⎩
4 possibilidades
Resposta:
2o algarismo
3 possibilidades
⎧ 23
⎪
⎨24
⎪ 25
⎩
12 numeros
12 números.
Observe no exemplo dado que os grupos (números ou elementos) obtidos diferem entre si:
Obs.: 1 - pela ordem dos elementos (34 e 43, por exemplo):
2 - pelos elementos componentes (natureza): (23 e 35, por exemplo).
Os grupos assim obtidos são denominados arranjos simples dos 4 elementos tomados
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2 a 2, e são indicados por:
A4,2 (le-se: arranjo simples de quatro elementos tomados dois a dois)
DEFINIÇÃO
Arranjo simples de n elementos tomados p a p são todos os agrupamentos sem repetição que é
is possível formar com p ( n ≥ p ) elementos diferentes escolhidos entre os n elementos de um
o dado: Indica − se por : An , p .
FÓRMULA DE ARRANJO SIMPLES
n!
An, p =
(n − p)!
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 – Calcule:
a) A5,2
Resolução: A5,2 =
b)
A5,2 − A4,2
A3,1 + A6,2
5!
5! 5.4.3!
= =
= 5.4 = 20
(5 − 2)! 3!
3!
=
5 .4 .3 !
−
(5 − 2 ) !
R e s o lu c a o :
3 .2 !
+
( 3 − 1) !
4 .3 .2 !
5 .4 − 4 . 3
20 − 12
8
(4 − 2)!
=
=
=
6 . 5 .4 !
3 + 6 .5
3 + 30
33
(6 − 2 )!
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3 - Numa reunião de sete pessoas há nove cadeiras. De quantos modos se podem sentar as
pessoas?
SOLUÇÃO:
Trata-se de um problema de arranjos simples, cuja solução é encontrada calculando-se:
A9,7 = 9.8.7.6.5.4.3 = 181.440
Nota: observe que An,k contém k fatores decrescentes a partir de n. Exemplo: A10,2 = 10.9
= 90, A9,3 = 9.8.7 = 504, etc.
Poderíamos também resolver aplicando a regra do produto, com o seguinte raciocínio:
a primeira pessoa tinha 9 opções para sentar-se, a segunda, 8 , a terceira,7 , a quarta,6 , a
quinta,5 , a sexta, 4 e finalmente a sétima, 3. Logo, o número total de possibilidades será igual a
9.8.7.6.5.4.3 = 181.440
4 – PERMUTACAO SIMPLES
Permutação simples é o tipo de agrupamento ordenado, sem repetição, em que entram todos
os elementos em cada grupo.
Exemplo:
Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando-se os
algarismos 2. 4 e 5?
1o algarismo
3o algarismo
2
⎧4
⎨
⎩5
⎧5
⎨
⎩4
4
⎧2
⎨
⎩5
⎧5
⎨
⎩2
5
3 possibilidades
Resposta:
2o algarismo
⎧2
⎧4
⎨
⎨
⎩4
⎩2
2 possibilidades 1 possibilidade
numeros formados
⎧245
⎨
⎩254
⎧425
⎨
⎩452
⎧524
⎨
⎩542
6 numeros
Podem ser formados seis números de três algarismos distintos.
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FÓRMULA DAS PERMUTACÕES SIMPLES
Pn = n(n − 1).(n − 2)...1 = n !
Obs.:
1 – As permutações simples e um caso de arranjo simples com n =p.
Exemplo:
A4,4 =
4!
4!
= = 4! = 4.3.2.1 = 24
(4 − 4)! 0!
P4 = 4.3.2.1 = 24
4.1 - PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS
Se entre os n elementos de um conjunto, existem x elementos repetidos, y elementos
repetidos, z elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que
podemos formar é dado por:
Pn( x , y , z ,...) =
n!
x ! y ! z !...
Exemplo:
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.
SOLUÇÃO:
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A
três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n = 10, x =2, y = 3 e z = 2. Sendo k o
número procurado, podemos escrever:
k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200
Resp: 151200 anagramas.
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EXERCICIOS RESOLVIDOS
1 - Ordenando de modo crescente as permutações dos algarismos 2, 5, 6, 7 e 8, qual o lugar
que ocupará a permutação 68275?
SOLUÇÃO:
O número 68275 será precedido pelos números das formas:
a) 2xxxx, 5xxxx que dão um total de 4! + 4! = 48 permutações
b) 62xxx, 65xxx, 67xxx que dão um total de 3.3! = 18 permutações
c) 6825x que dá um total de 1! = 1 permutação.
Logo o número 68275 será precedido por 48+18+1 = 67 números. Logo, sua posição será a de
número 68.
2 - Quantos são os anagramas da palavra UNIVERSAL que começam por consoante e
terminam por vogal?
SOLUÇÃO:
Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter
ou não significado na linguagem comum..
A palavra dada possui 5 consoantes e 4 vogais. Colocando uma das consoantes, por
exemplo, N, no início da palavra, podemos dispor em correspondência, cada uma das 4 vogais
no final. Eis o esquema correspondente:
(N...U) (N...I) (N...E) (N....A)
Podemos fazer o mesmo raciocínio para as demais consoantes. Resultam 5.4=20 esquemas do
tipo acima. Permutando-se as 7 letras restantes situadas entre a consoante e a vogal, de todos
os modos possíveis, obteremos em cada esquema 7! anagramas. O número pedido será, pois,
igual a
20.7! = 20.7.6.5.4.3.2.1 = 100.800.
3 – De quantos modos podemos dispor 5 livros de Matemática, 3 de Física e 2 de Química em
uma prateleira, de modo que os livros do mesmo assunto fiquem sempre juntos?
SOLUÇÃO:
Dentre os 5 livros de Matemática, podemos realizar 5! permutações distintas entre eles.
Analogamente, 3! para os livros de Física e 2! para os livros de Química.
Observe que estes 3 conjuntos de livros podem ainda ser permutados de 3! maneiras distintas
entre si. Logo, pela regra do produto, o número total de possibilidades será:
N = [(5!).(3!).(2!)].(3!) = 120.6.2.6 = 8640 modos distintos.
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5 – COMBINAÇÕES SIMPLES
E o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo e diferente de outro apenas
pela natureza dos elementos componentes.
EXEMPLO
Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas com 5 alunos de uma classe?
RESOLUCAO:
1O ALUNO
5 possibilidades
2O ALUNO
4 possibilidades
N O DE COMISSOES
10 comissoes
A
⎧B
⎪C
⎪
⎨
⎪D
⎪⎩E
⎧AB
⎪AC
⎪
⎨
⎪AD
⎪⎩AE
B
⎧A
⎪C
⎪
⎨
⎪D
⎪⎩E
⎧BA
⎪BC
⎪
⎨
⎪BD
⎪⎩BE
C
⎧A
⎪B
⎪
⎨
⎪D
⎪⎩ E
⎧ CA
⎪ CB
⎪
⎨
⎪CD
⎪⎩CE
D
⎧A
⎪B
⎪
⎨
⎪C
⎪⎩E
⎧DA
⎪DB
⎪
⎨
⎪DC
⎪⎩DE
E
⎧A
⎪B
⎪
⎨
⎪C
⎪⎩ D
⎧EA
⎪EB
⎪
⎨
⎪EC
⎪⎩ED
Observemos que retiramos os
grupos em vermelho, pois
representam as mesmas
comissões: AB e BA, AC e
CA, BC e CB, AD e DA, BD
e DB, CD e DC, AE e EA,
BE e EB, CE e EC, DE e ED.
Porque não importa a ordem,
isto significa que não podem
ser contadas duas vezes.
Os grupos encontrados
diferem entre si pelos
elementos (natureza), não
importando a ordem em que
aparecem.
Por isso o total e 10
comissões.
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Os grupos obtidos são denominados por:
C5,2 ⇒
Le − se : combinacoes simples dos 5 elementos tomados dois a dois.
Definição:
Combinações simples de n elementos distintos tomados p a p (n ≥ p) são todos os subconjuntos de p elementos que é possível formar a partir de um conjunto com n elementos.
Indica-se: Cn , p ⇒le − se : combinacoes simples de n elementos tomados p a p.
FÓRMULA DAS COMBINAÇÕES SIMPLES
Cn, p =
n!
p !(n − p)!
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1 - - A Diretoria de uma Empresa tem seis membros. Quantas comissões de quatro membros
podem ser formadas, com a condição de que em cada comissão figurem sempre o Presidente e
o Vice-Presidente?
SOLUÇÃO:
Os agrupamentos são do tipo combinações, já que a ordem dos elementos não muda o
agrupamento.
O número procurado é igual a:
C6-2,4-2 = C 4,2 = (4.3)/(2.1) = 6.
Observe que raciocinamos com a formação das comissões de 2 membros escolhidos entre 4, já
que duas posições na comissão são fixas: a do Presidente e do Vice.
2 - Numa assembléia há cinqüenta e sete deputados sendo trinta e um governistas e os demais,
oposicionistas. Quantas comissões de sete deputados podem ser formadas com quatro
membros do governo e três da oposição?
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SOLUÇÃO:
Escolhidos três deputados oposicionistas, com eles podemos formar tantas comissões
quantas são as combinações dos 31 deputados do governo tomados 4 a 4 (taxa 4), isto é: C31,4
. Podemos escolher 3 oposicionistas, entre os 26 existentes, de C26,3 maneiras distintas;
portanto o número total de comissões é igual a C26,3 . C31,4 = 81.809.000, ou seja, quase
oitenta e dois milhões de comissões distintas!.
EXERCICIOS PROPOSTOS
1 - Com 10 espécies frutas quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes, podem ser
feitos ?
R. 210
2 - Qual o número de diagonais de um hexágono?
R. 9
3
- Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moças Quantos grupos podemos formar de 2 rapazes
e 3 moças?
R. 200
4 - Seja A um conjunto de 10 pessoas, dessas. apenas 4 têm maioridade. Calcule o número
de comissões de 3 elementos que podemos formar com elementos de A, tendo cada
comissão pelo menos uma pessoa com maioridade.
R. 100
5 Uma empresa e formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos
podemos formar uma diretoria de 5 sócios sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?
R. 120
6
- De quantos modos podemos guardar 12 bolas distintas em 4 caixas, se a primeira
caixa deve conter 3 bolas, a 2a caixa, 5 bolas, a 3a caixa, 3 bolas e a 4a caixa, 1 bola?
R. 110880
6 - Em um congresso há 30 físicos e 20 matemáticos. Quantas comissões podemos formar,
contendo 3 físicos e 4 matemáticos ?
R. C 30,3 .C 20, 4
7 - (FEI-SP) Resolva a equação
R. {3}
A5, x = 6.C5, 5− x .
9
- Calcule o número de diagonais do dodecágono.
R. 54
10 - Num plano temos 16 pontos; 9 deles pertencem a uma reta. Quantas circunferências
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podem passar por 3 quaisquer daqueles pontos?
R. 476
11 - De quantas maneiras podemos escolher 5 cartas de um baralho de 52 cartas:
a) indistintamente? R. 2598960
b) as 5 do mesmo naipe? R. 1287
12
- (ENE-RJ) Numa embaixada trabalham 8 brasileiros e 6 estrangeiros. Quantas
comissões de 5 funcionários podem ser formadas, devendo cada comissão ser constituída de 3
brasileiros e 2 estrangeiros?
R. 840
13
- Uma urna contém 12 bolas aos quais 7 são pretas e 5 brancas. De quantos modos
podemos tirar 6 bolas da urna, aos quais duas sejam brancas?
R. 350
14
Um examinador dispõe de 6 questões de Álgebra e 4 de Geometria para montar uma
prova de 4 questões. Quantas provas diferentes ele pode montar usando 2 questões de Álgebra
e 2 de Geometria?
R. 90
15
São dados 12 pontos em um plano dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos
triângulos podem ser formados com vértices em 3 dos 12 pontos?
R. 210
16
Numa cidade, os números dos telefones têm a 7 algarismos e não podem começar por
0. Os três primeiros constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro
últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, determine o número de telefones
que podem ser instalados nas farmácias.
R. 648
17
Calcule o número de placas de carros que se pode formar com 3 letras e quatro
algarismos. Considere o alfabeto com 23 letras.
R. 121 670 000
18
Entre os 20 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de
diretor. vice-diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser feita?
R. 6840
19
R. {5}
20
Resolva a equação Am, 3 = Cm, m-2 + 10m.
⎧⎪Cm, n = 78
⎪⎩ Am, n = 156
Calcule m e n no sistema ⎨
R. m = 13 e n=2
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21
(FUVEST-SP) Num carro com 5 lugares e mais o lugar do motorista viajam 6 pessoas,
dos quais 3 sabem dirigir. De quantas maneiras se podem dispor essas 6 pessoas em viagem?
R.360
22
(EEM-SP) Reunindo-se os objetos de uma certa coleção (todos diferentes entre si 4 a 4)
o numero total de grupamentos coincide com o total de grupamentos desses mesmos objetos
reunidos 6 a 6. Sabendo que os grupamentos se distinguem peia presença de ao menos um
objeto diferente em cada um deles. Determine o número de objetos da coleção.
R. 10
23
(Faap-SP) Em um campeonato ao dois turnos, em que devem jogar 12 equipes de
futebol, qual o número total de jogos a serem realizados?
R. 132
24
Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se
ilumina-la se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?
R. 63
25
(FGV-SP) Quantos são os números maiores que 400, pares de três algarismos, que
podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7 e 8?
a) 620
b)640
x c) 160
d)2520
e)2048
26
(UEMT) Sobre uma circunferência marcam-se 7 pontos, distintos 2 a 2. Calcule o número
de triângulos que podemos formar com vértices nos pontos marcados.
a)3
b)7
c)30
x d)35
e)210
27 (ITA-SP) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 (cinco) algarismos
distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do numero 61.473 será:
x a) 76o
b) 78o
c) 80o
d) 82o
e) n.d.a
28 (FGV-SP) Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam com S e terminam com O?
a) 7!
b) 5!
c) 30
x d) 60
e) 90
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