atividade-de-matematica-gabrito

UNIDADE 08 - MATEMÁTICA PARA A BIOLOGIA
Prof. Diná da Silva Correia
RESPOSTAS COMENTADAS
Assunto: Tabelas e Gráficos
1º) Em uma sala de aula encontramos os seguintes dados para as alturas de 26
alunos, descritos na tabela pelos seus números e com suas alturas em metros.
Exemplo: Aluno 4, tem altura 1,67 m; Aluno 19 tem altura 1,88 m.
1
2
3
4
5
6
7
1,60 1,61 1,75 1,67 1,81 1,62
14
15
16
17
18
8
9
10
11
12
13
1,79 1,66 1,72 1,70 1,57 1,73 1,74
19
20
21
22
23
24
25
26
1,68 1,70 1,75 1,67 1,69 1,88 1,66 1,68 1,69 1,74 1,75 1,82 1,56
Alturas no intervalo (em m) Total de alunos com essa
altura
1,55 a 1,59
2
1,60 a 1,64
3
1,65 a 1,69
8
1,70 a 1,74
6
1,75 a 1,79
4
Acima ou igual a 1,80
3
Gráfico com
dados
agrupados:
comunicação
adequada da
informação
Gráfico de barras
Analise o gráfico e as informações acima e responda:
a) Qual a menor e maior altura encontrada e qual os alunos aos quais
correspondem essas alturas?
Resposta: A menor altura é 1,56m e corresponde ao aluno 26
A maior altura é 1,88m e corresponde ao aluno 19
b) Existe uma faixa etária que se destacou em altura. Qual? Comente
Resposta: Sim. A que se refere a 1,66m a 1,69m com 8 alunos dos 26
alunos da sala.
Possível Comentário: Trata-se de uma turma de 7ª série, onde os alunos
são em sua maioria considerados adolescentes e essa altura é comum nesta
faixa etária.
Assunto: Funções e Equações
2º Faça uma análise das funções (a) e (b) e descreva cada uma delas. Que tipo
de funções, seus coeficientes, se são crescente ou decrescente, etc. Todas as
informações registradas são importantes para o entendimento das funções.
Capriche.
(a)
Respostas comentadas:
a) São funções do 1º grau que tem como representação geométrica a reta. As
três retas passam na origem dos eixos, pois o seu coeficiente linear (b) é igual a
zero e o coeficiente angular dessas retas são diferentes em seu valor.
Reta 1: y = x , coeficiente angular igual a 1
Reta 2; y = 2x, coeficiente angular igual a 2
Reta 3; y = 3x, coeficiente angular igual a
Todas são funções crescentes, pois seu coeficiente angular é maior que zero.
(b)
Respostas:
b) São funções do 2º grau, conhecidas como quadráticas. Seu gráfico é uma
parábola. As três funções passam pela origem do plano cartesiano e tem
concavidade para cima, pois seus coeficientes da variável x são maiores que
zero.
Parábola 1 ; y = x2
Parábola 2: y = 2x2
Parábola 3: y = 3x2
3º (Adaptado) Fisher (1965,pág.131), discutindo o acasalamento de animais
com uma longa gravidez e uma única cria, considera a equação x2 – 8x + 7 = 0,
para modelar a situação. Resolver esta equação.
Resposta:
Equação: x2 – 8x + 7 = 0, onde a = 1, b= -8 e c =7
Resolvendo: Encontrar o discriminante ∆ = b2 – 4.a.c
∆ = (-8)2 – 4.1.7 = 64 – 28 = 36
E utilizando-se da fórmula de Bháskara
=
=
, temos
, encontrando x’ = 1 e x” = 7
Solução: {1,7}
Obs: Para esta equação pode ser resolvida também por Soma e Produto de dois
números, pois temos a = 1.
4º) O número de bactérias em um meio de cultura cresce aproximadamente
segundo a função n(t)=2000.30,04t, sendo t o número de dias após o início do
experimento. Calcule:
a) O número n de bactérias no início do experimento;
Resposta:
Para
encontrar
o
número
n
utilizamos
a
função
n(t)=2000.30,04t , substituindo os valores dados pelas variáveis da
função dada.
t=0 dias, pois a análise é feito no início do experimento
Temos então: n(0) = 2000.30,04.0
n(0) = 2000.30
n(0) = 2000.1 = 2.000
Portanto, o número de bactérias quando t = 0 é de 2.000
b) Em quantos dias o número inicial de bactérias irá triplicar.
Resposta: neste caso, temos que encontrar o valor de t em dias, quando
o número de bactérias for de 3x2000 = 6.000 bactérias.
Temos então que substituir em n(t)=2000.30,04t os valores dados,
Onde encontramos 6000 = 2000.30,04t
Resolvendo, portanto encontramos


3 = 30,04t  1 = 0,04t 
t = 25
Então, para triplicar as bactérias do início do experimento serão necessários 25
dias.
5º) Uma população de mosquitos desenvolve-se segundo o modelo dado pela
função P(t) = P(0).e0,01t, onde a variável t indica o tempo dado em dias. Qual é
a
população
inicial,
sabendo
que
após
40
dias
a
população
é
de,
aproximadamente, 400 000 indivíduos?
Resposta:
Desejamos encontrar P(0), ou seja, a população inicial.
Como é dado que, quando t = 40 dias, P(40)=400 000, temos, ao utilizar a função
P(t) = P(0).e0,01t P(40) = P(0).e
(0,01)(40)
40.000 = P(0).e0,4  4 x 105 = P(0). e 0,4
Considerando e = 2,7182818284590452353602874, conhecido como número de
Neper e, portanto, P(0). (2,71)0,4 = 4 x 105 ou ainda,
P(0) =
6º)
obtemos aproximadamente 268.000 indivíduos.
(a)
(b)
Responda:
6.1) Que tipo de função se apresenta em (a) e em (b)?
Resposta: função logarítmica
6.2) Qual das funções é função crescente? O que define isso?
Resposta: a letra a é função crescente. O que define isto é o seu formato
y=
e seu valor de a (base) é maior que 1
6.3) Qual das funções é função decrescente? O que define isso?
Resposta: a letra a é função decrescente. O que define isto é o seu formato
y=
e seu valor de a (base) está entre 0 e 1.
6.4) Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
a) O seu domínio (valores de x) vai de 0 até Infinito, ou seja, ]0,∞[
A sua imagem são todos valores de y real, ou seja Im = R
b) O seu domínio (valores de x) vai de 0 até Infinito, ou seja, ]0,∞[
A sua imagem são todos valores de y real, ou seja Im = R
ASSUNTO: CÁLCULO COM DERIVADAS
7º) A partir da tabela dada , ache a derivada das funções abaixo aplicando as
regras de derivação
Tabela de derivadas
FUNÇÃO
y  c, c=constante
y  xn
y  f ( x )  g( x )
y  f ( x )g ( x )
DERIVADA
y  0
y   nx n 1
y   f ( x )  g ( x )
y   f ( x )g( x )  f ( x )g ( x )
a)
b)
c)
d)
e)
f)
f(x) = 2x
f(x) = -7x + 2
f(x) = x4 – 3x2 + 5
f(t) = 4t⅔
f(t) = 1 – 2t – t2
g(t) = (2t4 – 1)(5t3 + 6t)
g)f(x) =
y
f (x)
g( x )
y 
f ( x )g( x )  f ( x )g ( x )
g(x )2
Respostas:
a) Se f(x)=x, sua derivada é 1 e a derivada de c.f(x) é c.f’(x), logo
Sendo f(x) = 2x, sua derivada é f’(x) = 2.1 = 2
b) Se f(x) = -7x + 2, sua derivada é f’(x) = (-7x)’ + (2)’, resultando em
f’(x) = -7 + 0 = -7
c) Se f(x) = x4 – 3x2 + 5, da mesma forma da questão b, faremos a derivada
em todas as funções em separado, ou seja,
n-1
y’ =n x
f’(x) = (x4)’ + (-3x2)’ + 5. Teremos então f’(x) = 4.x4-1 + (-3).2x2-1 + 0
Resolvendo temos: f’(x) = 4x2 – 6x
d)
f(t) = 4t⅔, usando
Resolvendo, temos
y’ =n xn-1
f’(t) = 4.
e) f(t) = 1 – 2t – t2
f’(t) = 0 – 2 – 2t = -2 – 2t
f) g(t) = (2t4 – 1)(5t3 + 6t), usando para g’(t) a derivada do produto, temos
g’(t) = (8t3)(5t3 + 6t) + (2t4 – 1)(15t2 + 6) =
= 40t6 +48t4 + 30t6 + 12t4 - 15t2 – 6 = 70t6 + 60t4 – 15t2 - 6
g) f(x) =
 f(x) = 3.x-2
 f’(x) = - 6x-2-1  f’(x) = -6x-3 ou f’(x)=