exercícios resolvidos – triângulos

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Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre
TRIÂNGULOS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n10c. 2006
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – TRIÂNGULOS
1.
CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO DE BASE 10 CM E
ÂNGULOS ADJASCENTES À BASE DE 75° E 45°.
Sejam dados a base AB e os ângulos adjacentes à base.
Primeiro transporte o ângulo de 75° para o vértice A.
Em seguida, transporte o ângulo de 45° para o vértice B, encontrando assim o
vértice C do triângulo.
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Temos então o triângulo ABC.
2. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO RETÂNGULO EQÜIVALENTE AO
TRIÂNGULO DO EX. 1.
Seja a base AB a altura H do triângulo do exercício 1. Levante por A uma
perpendicular r à base AB.
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Depois a partir de A, marque a altura H na reta r encontrando assim o vértice
C.
Ligue B a C formando assim o triângulo ABC.
O triângulo ABC possui a mesma área que o triângulo do exercício 1. Ele
possui a mesma área porque as bases e as alturas são iguais e é um triângulo
retângulo porque possui um ângulo reto CÂB.
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3. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO EQÜIVALENTE
AO TRIÂNGULO DO EX. 2.
Seja a base AB e a altura do triângulo do exercício 2. Levante por A uma reta
r perpendicular à base AB.
Marque na reta r a altura H encontrando assim o ponto C.
Em seguida, trace por C uma reta s paralela à base do triângulo.
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Marque um ponto C' qualquer na reta s e ligue-o ao vértice A.
Depois ligue C' ao vértice B.
O triângulo ABC' possui a mesma área que o triângulo do exercício 2 porque
possui a mesma base e a mesma altura. O triângulo ABC' é obtusângulo porque
possui um ângulo obtuso.
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4. ENCONTRAR O BARICENTRO, ORTOCENTRO, INCENTRO E
CIRCUNCENTRRO DO TRIÂNGULO DO EX. 3.
Seja o triângulo ABC.
BARICENTRO
Ligue o vértice C ao ponto médio do lado oposto. Depois ligue os outros dois
vértices aos pontos médios do lado oposto. Na interseção estará o baricentro
O1.
ORTOCENTRO
Levante por A uma perpendicular ao lado BC. Levante pelos outros vértices
perpendiculares a cada lado. Na interseção das perpendiculares marque o
ortocentro O.
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INCENTRO
Trace a bissetriz do ângulo CÂB (u). Depois trace as bissetrizes dos outros
dois ângulos. Na interseção encontrarás o Incentro O2.
CIRCUNCENTRO
Trace a mediatriz do lado BC. Depois trace as mediatrizes dos outros lados.
Na interseção das mediatrizes estará o circuncentro O3.
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5. CIRCUNSCREVER E INSCREVER UMA CIRCUNFERÊNCIA NO
TRIÂNGULO O EX. 3.
Seja o triângulo ABC. Trace as bissetrizes x, v e u. Coloque o compasso na
intersecção das bissetrizes (O2) e trace a circunferência inscrita.
Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque aponta
seca do compasso na interseção das mediatrizes O3 e com abertura até um
dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita. Depois trace as
mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque a ponta seca do
compasso na interseção das mediatrizes O3 e com abertura até um dos
vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita.
Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque aponta
seca do compasso na interseção das mediatrizes O3 e com abertura até um
dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita.
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6. ENCONTRAR A RETA DE "EULER" DO TRIÂNGULO DO EX. 3.
Seja o triângulo ABC. Encontre o ortocentro, o baricentro e o circuncentro do
triângulo. Note que esses três centros do triângulo ficam alinhados.
Então trace agora uma reta que passe por esses três centros.
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7. ENCONTRAR O TRIÂNGULO "ÓRTICO" DO TRIÂNGULO DO
EX. 3.
Seja o triângulo ABC. Trace as alturas s, r e t, encontrando assim o
ortocentro. Marque os pontos P, N, M na interseção das alturas com os lados.
O triângulo órtico é formado pelos pontos PMN.
8. CONSTRUIR O ARCO CAPAZ DE UM SEGMENTO E UM
ÂNGULO DADOS.
Trace o segmento AB. Construa o ângulo (65°, por exemplo) com vértice no
ponto A ou B. Trace a mediatriz do segmento AB. Agora, trace o ângulo dado
na extremidade e para o lado de baixo do segmento AB. Trace uma reta
perpendicular ao lado do ângulo em B, encontrando o ponto O onde a
perpendicular corta a mediatriz.
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Centre o compasso em O e com abertura OB ou OA trace o arco capaz do
ângulo de 65°. Veja na figura abaixo que foi escolhido aleatoriamente um
ponto C do arco e dele partiram duas retas que passam por A e por B
formando assim um ângulo ACB igual a 65°. Veja na figura abaixo que o
ponto C do arco que é o vértice do ângulo ACB foi deslocado para a esquerda.
Verifique que o ângulo permanece de igual valor (65°).
Conclui-se então, que este arco capaz é o lugar geométrico dos pontos que
enxergam o segmento AB sob um ângulo de 65°.
9. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO SENDO DADOS a,
Â, b (3,0; 30 °; 4,5).
São dados o ângulo de 30°, o lado b e o lado a. Desenhe o lado AB. Depois,
coloque a ponta seca do compasso no vértice A, e com qualquer abertura
trace um arco que corte AB no ponto F. Coloque a ponta seca do compasso
em F e com a mesma abertura corte o arco dado construindo assim o ângulo
de 60°. Construa a bissetriz do ângulo de 60° encontrando assim a reta r que
passa pelo lado do triângulo.
Depois, como a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a 3 cm
trace um arco que corte a reta r no ponto C.
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Depois, como a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a 3 cm
trace um arco que corte a reta r no ponto C.
Ligue C com B.
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10. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO (RETÂNGULO E ISÓSCELES)
SENDO DADO A ALTURA 3 CM.
Seja h a altura do triângulo retângulo isósceles. Construa uma semi-reta Ar
horizontal e na sua extremidade A levante uma perpendicular s.
Coloque a ponta seca do compasso no vértice A e com abertura igual a 3 cm
trace um arco que corte as duas semi-retas As e Ar. Marque o vértice B em
As.
Marque o vértice C em Ar.
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Temos então o triângulo ABC.
O triângulo ABC é retângulo isósceles.
11. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO SENDO DADA
A ALTURA 3 CM.
Seja a altura h do triângulo eqüilátero. Inicie traçando uma semi-reta vertical
Mr. Em seguida, marque na semi-reta Mr a partir de M a altura h dada,
encontrando assim o vértice A do triângulo.
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Depois, coloque a ponta seca do compasso no vértice A e com uma abertura
qualquer trace um arco que corte a semi-reta Mr. Depois, com a mesma
abertura no compasso, coloque a ponta seca onde o primeiro arco cortar a
semi-reta Mr e corte o arco anterior em dois pontos.
Em seguida, trace as bissetrizes dos ângulos, obtendo assim dois ângulos de
30°.
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Agora, trace por M uma perpendicular à semi-reta Mr, encontrando assim os
pontos B e C.
Temos então, o triângulo eqüilátero ABC.
12. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ISÓSCELES SENDO DADOS
a, Â (3,0 ; 45°).
Seja o lado a e o seu ângulo oposto.
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Desenhe o lado a encontrando assim os vértices B e C do triângulo. Centre o
compasso no vértice do ângulo de 45° e com abertura qualquer trace um arco
que corte os dois lados do ângulo. Depois, com a mesma abertura, coloque a
ponta seca do compasso no vértice B e trace um arco que corte o segmento
BC. Depois coloque a ponta seca do compasso onde o arco cortou o ângulo e
com abertura igual á corda trace um arco. Em seguida, com a mesma
abertura, coloque aponta seca do compasso onde o arco cortou o segmento
BC e corte o arco. Ligue o ponto B ao cruzamento dos arcos, transportando
assim o ângulo de 45°. Levante uma perpendicular ao lado do ângulo por B.
Construa a mediatriz do segmento BC, encontrando assim o centro do arco
capaz.
Coloque a ponta seca no ponto O e com abertura OB ou OC trace o arco
capaz.
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Prolongue a mediatriz até o arco encontrando o vértice “A” do triângulo
isósceles.
Temos então, o triângulo isósceles de lado a e ângulo oposto ao lado a igual a
45°.
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13. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO SENDO DADOS
a, Â, b (3,0; 45°; 3,5).
Seja o ângulo de 45°, o lado b e o lado a do triângulo.
Desenhe o segmento BC (lado a). Construa um arco (qualquer raio) com
centro no vértice do ângulo dado e outro de mesmo raio com centro no ponto
B.
Construa outro arco no ângulo dado, com raio igual à corda do arco. Em
seguida, construa novamente o mesmo arco no arco feito em B. Desta forma
o ângulo de 45° foi transportado para o segmento AB.
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Levante uma perpendicular ao lado do ângulo por B.
Trace a mediatriz do segmento BC.
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Marque o centro O onde a mediatriz intersecta a perpendicular.
Com centro em C e abertura igual ao lado b, trace um arco que corte o arco
de centro O nos pontos A e A'.
Temos então, dois triângulos ABC e A'BC de lados b, a e ângulo oposto ao
lado a igual a 45°.
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14. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, b, ma
(7,0 ; 5,0 ; 3,5).
Seja o lado a, lado b e mediana do lado a do triângulo ABC. Trace o
segmento BC (lado a).
Trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o ponto Médio M. Em
seguida, trace um arco com centro em C e raio igual ao lado b do triângulo.
Depois, coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC (M) e com
abertura igual à medida da mediana do lado a, trace um arco que corta o
primeiro, encontrando assim o vértice A do triângulo.
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Ligue o vértice C ao vértice A.
Depois ligue o vértice A ao vértice B. Temos então o triângulo ABC de lados a
e b e mediana ma.
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15. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, ma, Â
(6,5 ; 6,0 ; 45°).
Seja o segmento a, a mediana do lado a e o ângulo de 45°. Desenhe o
segmento BC igual ao lado a. Trace a mediatriz do segmento AB
encontrando assim o seu ponto médio.
Em seguida, trace um arco que corte o ângulo e depois trace o mesmo arco
colocando a ponta seca do compasso no ponto B. Em seguida, transporte o
ângulo de 45° para o ponto B.
Em seguida, levante uma perpendicular ao lado do ângulo pelo ponto B. Onde
a perpendicular intersectar a mediatriz será o centro O.
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Agora, coloque a ponta seca do compasso no centro O e com raio OA ou OB
trace arco capaz do ângulo dado.
Em seguida, coloque a ponta seca do compasso no ponto médio do segmento
AB e com abertura igual à mediana trace um arco que corte o arco capaz nos
pontos A e A'.
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Ligue os vértices A e A' aos vértices B e C obtendo assim os triângulos ABC e
A'BC. Temos então os triângulos ABC e A',B,C.
16. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, hb,
ma (7,0 ; 5,0 ; 6,0).
Seja o lado a, a altura do lado b e a mediana do lado a. Desenhe segmento
BC (lado a).
Em seguida, trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o ponto médio
de BC. Coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC e com
abertura igual à metade de BC trace um arco de 180° (arco capaz do ângulo
de 90°). Depois coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura igual
à hb trace um arco que corte o arco anterior.
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Ligue os pontos B e C ao ponto onde o arco corta o anterior.
Depois, prolongue o cateto menor do triângulo. Coloque a ponta seca do
compasso no ponto médio de BC e com abertura igual à Ma trace um arco que
corta a reta que passa por C no ponto A.
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Em seguida, ligue o ponto B ao ponto A.
Temos então, o triângulo ABC.
17. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, ha,
ma (6,0; 3,0; 5,0).
Seja o lado a, altura e medianas do lado a. Desenhe o lado a. Seja BC o lado
a.
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Trace a mediatriz de BC encontrando assim o seu ponto médio Ma.
Trace uma paralela ao segmento BC a uma distância ha de BC. Coloque a
ponta seca do compasso no vértice B e com abertura igual à mediana ma
trace um arco que corte a paralela nos pontos A e A'.
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Ligue os vértices B e C aos pontos A e A' obtendo assim os triângulos ABC e
A',B,C.
18. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, mb,
mc (7,0 ; 6,0 ; 7,0).
Seja o lado a, a mediana do lado b e a mediana do lado c. Desenhe o
segmento BC (lado a) e depois divida a mediana do lado b e a mediana do
lado e em três partes iguais.
Coloque a ponta seca do compasso no vértice B e com abertura igual à 2/3 de
mb trace um arco. Depois, coloque a pontas eca no vértice C e com abertura
igual à 2/3 de mc trace outro arco.
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Ligue os vértices B e C à interseção dos arcos e prolongue. Marque no
prolongamento de cada reta, a partir da interseção 1/3 de mb e 1/3 de mc..
Ligue os vértices B e C à extremidades das medianas dos lados e prolongue,
encontrando assim o vértice A. A interseção das medianas é o baricentro do
triângulo.
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BIBLIOGRAFIA
BRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p.
MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo:
Livraria Francisco Alves, 460p, 1951.
RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho
Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.