Resoluções

Treinamento para
Olimpíadas de
2009
Resoluções
Matemática
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NÍVEL 2
Aula 1
Em Classe
1. Observe que:
141 = 14
142 = 196
143 = 2.744
144 = 38.416
......................
⇒
14par termina em 6 e 14ímpar termina em 4
Assim, 1415 termina em 4 e 14...4 termina em 6.
Resposta: 6
2. O período da sequência (ABAABBAAABBB ABAABBAAABBB...) tem doze elementos e a letra B aparece 6 vezes
em cada um.
Veja que 2009 = 6 × 334 + 5. Portanto, o 2009º- B ocupa a décima primeira posição no período.
Assim, a posição do 2009º- B na sequência é igual a 334 × 12 + 11 = 4019.
Resposta: Ocupa a posição 4019º-.
3. A sequência é igual a (77493618864 24832612 24832612 24832612...). Os primeiros 11 elementos não são
periódicos. A partir do décimo segundo termo inicia-se a parte periódica, cujo período é 24832612 e que tem 8
elementos.
Veja que 2009 – 11 = 1998 e que 1998 = 8 × 249 + 6. Portanto, o 2009º- ocupa a sexta posição do período, ou seja,
é igual a 6.
Alternativa D.
Em Casa
1.
O algarismo da unidade de 422009 é o mesmo de 22009 e o de 532009 é o mesmo de 32009. Veja que:
21 = 2
25 = 32 .........
31 = 3
35 = 243
2
6
2
2 =4
2 = 64
3 =9
36 = 729
3
7
3
2 =8
2 = 128
3 = 27
..........
24 = 16
28 = 256
34 = 81
Se considerarmos as sequências das unidades dos números acima, vemos que ambas tem período com 4
elementos.
2009 = 4 × 502 + 1. Assim, 422009 e 532009 terminam, respectivamente, em 2 e 3. Logo 422009 + 532009 termina
em 5, pois 2 + 3 = 5.
Resposta: A soma tem unidade 5.
2.
Observe que são 8 fios de apoio que a aranha utiliza, numerados a partir do fio A iniciando com 0.
Logo:
• sobre o fio A aparecem os múltiplos de 8
• sobre o fio B aparecem os (múltiplos de 8) + 1
• sobre o fio C aparecem os (múltiplos de 8) + 2
• sobre o fio D aparecem os (múltiplos de 8) + 3
• sobre o fio E aparecem os (múltiplos de 8) + 4
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2009
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• sobre o fio F aparecem os (múltiplos de 8) + 5
• sobre o fio G aparecem os (múltiplos de 8) + 6
• sobre o fio H aparecem os (múltiplos de 8) + 7
Na divisão de 118 por 8 encontramos resto 6 , o que significa que 118 = (múltiplo de 8) + 6.
Portanto, 118 está sobre o fio G.
Alternativa D
3.
O período da sequência é igual a ABCDEDCBA, tem 9 elementos.
2009 = 9 × 223 + 2, temos que a 2009º- letra é B.
Alternativa B
4.
Todos os números da primeira coluna deixam resto 1, quando divididos por 4. Como 2200 = 4 × 500, temos que
subtraindo 3 unidades de 2200, teremos um número que dividido por 4 deixa resto 1, de fato, 2197 = 4 × 549 + 1.
Assim, podemos concluir que 2197 é um elemento da primeira coluna e daí, escrevendo os demais elementos da
linha em que se encontra esse elemento, temos:
1ª- col. 2ª- col. 3ª- col. 4ª- col. 5ª- col.
2197 2198 2199 2200
E daí concluímos que 2200 está na quarta coluna.
Resposta: Quarta coluna.
5.
Inicialmente observe que para sair do canal 2 e ir para o canal 42 avançamos 41 posições, ou seja, o período
2,3,4,5, ...,42 tem 41 elementos.
Como 2009 = 41 × 49, concluímos que a televisão continuará sintonizada no canal 15.
Resposta: canal 15.
obs: se houvesse avançado 2010 vezes, então a televisão estaria sintonizada no canal 16, pois 2010 = 41 × 49 + 1.
6.
A sequência gerada é (5; – 0,25; 0,8; 5; – 0,25; 0,8; 5; ...), cujo tem período contém três elementos.
Como 2009 = 3 × 669 + 2, o número que aparece no visor é – 0,25.
Alternativa A
7.
Os primeiros termos dessa seqüência são: 1, 3, 7, 15, 13, 9, 19, 21, 7, 15, ..., de onde vemos que seu período
começa do terceiro termo e contém 6 elementos. Assim, a31 = a25 = a19 = a13 = a7 = 19 e então a32 = 21, a33 = 7,
a34 = 15 e a35 = 13. A soma tem valor 19 + 21 + 7 + 15 + 13 = 75.
Alternativa D
8.
Vamos observar o comportamento dos primeiros saltos da pulga:
2 4 1 2 4 1 ......
Observe que o movimento é periódico:
primeiro salto: vai até o número 2
segundo salto: vai até o número 4
terceiro salto: vai até o número 1
quarto salto: retorna ao número 2
e o processo se repete.
1
5
2
Podemos concluir que:
saltos
posição número 2 : 1º- 4º- 7º- 10º- ...
posição número 4 : 2º- 5º- 8º- 11º- ...
posição número 1 : 3º- 6º- 9º- 12º- ...
4
3
2009 = 3 × 669 + 2. Portanto, a pulga estará no ponto 2.
Resposta: ponto 2.
9.
A sequência é (98, 49, 45, 40, 20, 10, 5, 45, 40, 20, 10, 5, 45, ...) e a partir do terceiro elemento é periódica. Seu
período é (45, 40, 20, 10, 5), formado por 5 elementos.
Assim, 2009 – 2 = 2007 e 2007 = 5 × 401 + 2. Logo, o 2009º- termo da sequência é o 40.
Resposta: 40
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10. Na primeira linha estão os números inteiros que divididos por 8 tem resto 3; na segunda linha os de resto 2 ou 6; na
terceira, os de resto 1 ou 5; na quarta, os de resto 0 ou 4 e na quinta, os de resto 7.
Como 2009 = 7 × 287, isto é, tem resto 0 quando dividido por 8, o número 2009 ocupa a linha 4.
Resposta: linha 4.
Raciocício lógico:
a) Falsa (há 16 do lado direito e 20 do esquerdo)
b) Verdadeira (há 9 do lado direito e 6 do esquerdo)
c) Falsa (há 45)
d) Falsa (há 5 do lado direito e 4 do esquerdo)
e) Falsa (há 15).
Alternativa B
Aula 2
Em Classe
1. Um número divisível por 198 é divisível por 2, 9 e por 11. Logo,
(I) 2/N, N é par e b ∈ {0, 2, 4, 6, 8}.
(II) Se a539984b é divisível por 9, então a + 5 + 3 + 9 + 9 + 8 + 4 + b = a + b + 38 é múltiplo de 9. Sendo 1 ⭐ a ⭐ 9
e 0 ⭐ b ⭐ 9, temos que 39 ⭐ a + b + 38 ⭐ 56. Os possíveis valores para a + b são 7 e 16.
(III) Se a539984b é divisível por 11, então (b + 8 + 9 + 5) – (4 + 9 + 3 + a) = b – a + 6 é múltiplo de 11. Sendo 1 ⭐ a ⭐ 9
e 0 ⭐ b ⭐ 9, temos que – 3 ⭐ b – a + 6 ⭐ 14. Os possíveis valores para b – a são – 6 e 5.
Portanto, de (I), (II) e (III), a + b = 7 e b – a = 5, que resulta em a = 1 e b = 6. Observe que, se a + b = 16 e b – a = – 6
teremos b = 5 que não convém por (I).
Assim, N = 15399846 e a soma de seus algarismos 1 + 5 + 3 + 9 + 8 + 4 + 6 = 45.
Alternativa A
Observação: Lembre-se de que (a + b) e (b – a) tem mesma paridade. Desta forma, as opções do sistema nesse
exercício são apenas as duas apresentadas.
2. Dado que o produto (2A5) ⋅ (13B) é divisível por 36, então é divisível por 4 e 9. Como 2A5 é ímpar, 4 tem de ser
divisor de 13B. Logo, 3B tem que ser múltiplo de 4, então B = 2 ou B = 6.
• Se B = 2, 132 é divisível por 3, porém não é por 9. Logo, para que o produto (2A5) ⋅ (13B) seja divisível por 9, é
necessário que 2A5 seja divisível por 3. Assim, 2 + A + 5 é múltiplo de 3, de onde tiramos que A = 2, ou A = 5
ou A = 8.
• Se B = 6, temos que 3 não divide 136. Logo, para que o produto (2A5) ⋅ (13B) seja divisível por 9, é necessário
que 2A5 seja divisível por 9. Assim, a soma 2 + A + 5 é múltiplo de 9, de onde obtemos que A = 2.
Dessa forma, os quatro pares são (2,2), (5,2), (8,2) e (2,6).
Alternativa C
Em Casa
1.
O número 6a78b é divisível por 5 e 9.
Todo número divisível por 5 termina em 0 ou 5. Assim, b = 0 ou b = 5.
Todo número divisível por 9 tem como a soma dos seus algarismos um número múltiplo de 9. Logo, temos que
6 + a + 7 + 8 + 0 = 21 + a ou 6 + a + 7 + 8 + 5 = 26 + a são múltiplos de 9. Donde, a = 6 ou a = 1,
respectivamente. Daí temos: a + b = 6 + 0 ou a + b = 1 + 5 = 6.
Alternativa B
2.
Para ser divisível por 6, o número deve ser par. Logo, devemos ocupar o último quadrado com o número 8. Se o
número deve ser divisível por 6, então ele também é divisível por 3, assim como a soma de seus digítos. Dessa
forma, o próximo número a ser colocado só pode ser o 5, pois 9 + 4 + 1 + 6 + 3 + 8 = 31 não é divisível por 3,
enquanto que 5 + 4 + 1 + 6 + 3 + 8 = 27 é. Para formar o maior número possível, o 5 deve ser colocado no
primeiro quadrado, obtendo-se assim o número 541638.
Resposta: 541638
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3.
O número é da forma N = abcd. Pela observação do primeiro estudante, a = c. De acordo com o segundo, o
algarismo a (que é igual a c) só pode ser 3 ou 8. Mas, como N ⬎ 4000, temos que a = 8. Como N é divisível por
2 e 5, temos que d = 0. Sendo o número divisível por 3, temos as três possibilidades:
N = 8280 ou N = 8580 ou N = 8880. Logo, o menor é 8280, e a soma dos algarismos desse número é 18.
Alternativa A
4.
Os algarismos apagados serão representados por a e b, assim o número é igual a 273a49b5.
Um número divisível por 99 é divisível por 9 e por 11. Logo,
(I) Se 273a49b5 é divisível por 9, então 2 + 7 + 3 + a + 4 + 9 + b + 5 = a + b + 30 é múltiplo de 9. Sendo 0 ⭐ a ⭐ 9
e 0 ⭐ b ⭐ 9, temos que 30 ⭐ a + b + 30 ⭐ 48. Os possiveis valores para a + b são 6 e 15.
(II) Se 273a49b5 é divisível por 11, então (5 + 9 + a + 7) – (b + 4 + 3 + 2) = a – b + 12 é múltiplo de 11. Sendo 0
⭐ a ⭐ 9 e 0 ⭐ b ⭐ 9, temos que 3 ⭐ a – b + 12 ⭐ 21. O único valor que a – b pode assumir é – 1.
Portanto, de (I) e (II) temos que a + b = 15 e a – b = – 1, logo a = 7 e b = 8.
Resposta: a = 7 e b = 8
Observação: como a – b = – 1 é ímpar, obrigatoriamente a + b também é ímpar.
5.
A idade de um deles é dada por um número de dois dígitos ab tal que ab = 3 ⋅ (a + b) + 1, de onde obtemos
10a + b = 3a + 3b + 1, ou seja, 7a = 2b + 1. Como a e b são algarismos, então 2b + 1 ⭐ 19 é ímpar e múltiplo de 7.
Daí, segue que 7a = 2b + 1 = 7, e então que a = 1 e b = 3. Logo, a idade de um dos filhos é 13 anos. A idade de
cada um dos outros é dada por um número cd tal que cd = 3 ⋅ (c + d) + 3, ou seja, 10c + d = 3c + 3d+ 3, o que
nos dá 7c = 2d + 3. As únicas soluções desta equação para os dígitos c e d são c = 1, d = 2 ou c = 3 e d = 9.
Supondo que o homem não tem filhos gêmeos, ele terá três filhos, com 13, 12 e 29 anos, cada um.
6.
(Solução oficial) Temos que 10x + 25y = 1000 ⇒ x = (1000 – 25y)/10, onde x e y são, respectivamente, as quantidade de moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Para que x seja um valor inteiro positivo basta que y seja
qualquer numero par entre 2 e 38. Logo, temos 19 maneiras diferentes.
Alternativa E
7.
Veja que a67,9b reais é o mesmo que a679b centavos, que é um número inteiro. Sendo x o preço unitário do
caderno, temos que a679b = 72 ⋅ x = 8 ⋅ 9 ⋅ x. Logo:
(I) 8/a679b, então 8/79b e 790 = 8 ⋅ 98 + 6, assim b = 2.
(II) 9/a679b, então a + 6 + 7 + 9 + 2 = a + 24 é múltiplo de 9 e 1 ⭐ a ⭐ 9 é múltiplo de 9, assim a = 3.
Portanto de (I) e (II), 72 ⋅ x = 36792. Logo, x = 511 centavos.
Resposta: 511 centavos ou 5 reais e 11 centavos.
8.
Seja N = abcabc, podemos escrever N = 1000 ⋅ abc + abc = abc ⋅ (1000 + 1) = 1001 ⋅ abc. Mas, 1001 = 7 ⋅ 143.
Logo, N = 7 ⋅ 143 ⋅ abc e 143/N.
9.
Inicialmente observe que 126 = 9 ⋅ 14 e que 1988 = 142 ⋅ 14, ou seja, 1988 e, portanto, todos os números da
sequência são múltiplos de 14. Logo, para aparecer um múltiplo de 126, basta que apareça um múltiplo de 9.
Como 1 + 9 + 8 + 8 = 26 deixa resto 8 quando dividido por 9, pelo critério de divisibilidade por 9, o número que
possui o 1988 repetido k vezes, deixará resto 8 ⋅ k quando dividido por 9. O menor valor de k tal que 8 ⋅ k seja
divisível por 9 é k = 9. Logo, só após o nono passo aparecerá um múltiplo de 9 e, portanto, de 126 na sequência.
10. a) Temos 2 ⋅ 4 + 1408200 = 1408208; 2 ⋅ 8 + 140836 = 140836; 2 ⋅ 6 + 14083 = 14095; 2 ⋅ 5 + 1409 = 1419;
2 ⋅ 9 + 141 = 159; 2 ⋅ 9 + 15 = 33, que não é divisível por 19. Logo, 14082004 não é divisível por 19.
b) Utilizando o critério de divisibilidade por 19, 8444...44455 (o algarismo 4 se repete 2004 vezes) é divisível por
19 se, e somente se, 2 ⋅ 5 + 8444...4445 = 8444...4455 (o algarismo 4 se repete 2003 vezes) é divisível por 19.
Repetindo esse procedimento mais 2003 vezes, temos que 8444...44455 é divisível por 19 se,e somente se,
85 = 5 ⋅ 19 é divisível por 19, o que é verdade. Assim 8444...44455 é divisível por 19.
Raciocício lógico:
A face 1 estará, no início, voltada para Leste e, a seguir, voltada para baixo. Quando o 2 estiver para baixo, 1 estará a
Oeste. Quando o 3 estiver para baixo, 1 continua a Oeste. Quando o 5 estiver para baixo (face oposta ao 2), o 1
permanece a Oeste e assim termina após os movimentos.
Alternativa A
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Aula 3
Em Classe
1. a) Um número natural possui um número ímpar de divisores se, e somente se, é um quadrado perfeito. Temos 44
quadrados perfeitos menores do que 2009, 442 = 1936 e 452 = 2025 ⬎ 2009.
b) Fatorando em primos 2009, obtemos 72 ⋅ 41. Logo, 2009 tem (2 + 1) ⋅ (1 + 1) = 6 divisores naturais. Os números
que têm 6 divisores naturais podem ter as seguintes fatorações em primos:
p5 ou p2 ⋅ q , sendo p e q primos distintos.
Os menores números de cada uma destas formas são os seguintes: 25 = 32 e 22 . 3 = 12. Portanto, o número
procurado é o 12.
Resposta: a) 44 números
b) o número 12
2. Fatorando em primos 90.000 obtemos 24 ⋅ 32 ⋅ 54. Para obter um par que cumpra a condição basta repartir os
fatores primos de 90.000 em dois números de tal maneira que o 2 e o 5 não fiquem juntos, pois do contrário o
produto terminará em zero.
Assim um número terá todos os 2 e o outro, todos os 5. A quantidade de pares depende unicamente das formas
distintas de repartir o número 3. Há três maneiras de fazer essa repartição, observe:
24 ⋅ 32 e 54 ou 24 ⋅ 3 e 54 ⋅ 3 ou 24 e 54 ⋅ 32.
Os pares são: (144,625), (625,144), (48,1875), (1875,48), (16,5625) e (5625,16)
Alternativa B
3. Como a + f + d é par e b + f + d também é par, temos que a e b têm mesma paridade, ou seja, ambos são pares
ou ímpares. Usando o mesmo argumento, concluímos que a, b, c, d e e têm mesma paridade. Assim, f é par, pois
a + f + d é par e a + d é par (eles têm a mesma paridade). Logo, a, b, c, d e e têm que ser ímpares porque a soma
das áreas é 31. Então, a, b, c, d e e têm os números de 1 a 9 em alguma ordem e f = 31 – 1 – 3 – 5 – 7 – 9 = 6.
Alternativa D
Em Casa
1.
Sabe-se que p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, etc. Assim, temos que:
N = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ... p2009
Observe que 2 e 5 são fatores de N, o que torna N um múltiplo de10 e, portanto, tenha algarismo das unidades
igual a zero.
2.
Temos que a + b é par, portanto a e b têm mesma paridade. Mas não existem dois números naturais que são
pares e primos, logo a e b são ímpares. Sabemos que a + c é ímpar, logo um deles é par. Como a é ímpar, c é par
e primo, portanto c = 2. Dessa forma, a + b + c = 34 + 2 = 36
Solução oficial: a + b = 34 e a + c = 33, logo b – c = 1. Como b e c são primos, concluímos que b = 3 e c = 2.
Dessa forma a = 34 – b = 34 – 3 = 31, de onde vem a + b + c = 31 + 2 + 3 = 36 .
3.
Os primos entre 10 e 20 são 11, 13, 17 e 19. Somando 18 a cada um deles obtemos os respectivos valores 29,
31, 35 e 37. Eliminamos 17, pois 17 + 18 = 35 que não é primo. A idade do irmão mais velho é um número primo
uma unidade superior a soma das idades dos outros dois irmãos, assim as possibilidade são:
11 + 13 + 1 = 25 (não é primo)
11 + 19 + 1 = 31 (é primo)
13 + 19 + 1 = 33 (não é primo)
Portanto, a idade procurada é 19 anos.
Resposta: 19 anos
4.
Um número natural possui 3 divisores naturais se, e somente se, é o quadrado de um número primo. De fato,
seja p um número primo, então os divisores de p2 são 1, p e p2. Veja que, os primos, cujos quadrados são menores do que 100 são: 3, 5, 7 e 9.
Alternativa C
SISTEMA ANGLO DE ENSINO
•
5•
2009
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5.
Ao substituir duas parcelas pela sua soma, estamos efetuando somas parciais que, ao serem somadas resultarão
na soma total: 1 + 2 + 3 + .... + 2009 (composta por 1004 parcelas pares e 1005 ímpares). Portanto, o número da
ficha final será ímpar, já que a soma total é ímpar. Assim, o vencedor será Zé da Álgebra.
Resposta: Zé da Álgebra.
6.
Solução oficial: Sejam p,q números primos. Então para que o número de divisores inteiros e positivos seja
exatamente 15, os número precisam ser da seguinte forma: p 14 e p 2 ⋅ q 4 . Assim teremos as seguintes
possibilidades: 22 ⋅ 34 = 324, 32 ⋅ 24 = 144 e 52 ⋅ 24 = 400.
Alternativa D
7.
Solução oficial: Entre os números 1 e 100 o algarismo 2 aparece dez vezes como dígito das dezenas e dez
vezes como dígito das unidades. O mesmo ocorre com os algarismos 4, 6 e 8. Portanto, a soma pedida é
20 ⋅ (2 + 4 + 6 + 8) = 400.
Alternativa C
8.
Solução oficial: O único número primo de dois algarismos iguais é 11. Neste caso, a = 1. Usando agora a
definicão do sistema decimal: 11 + 10b + c + 10c + b = 121 ⇒ 11(b + c) = 110 ⇒ b + c = 10. Como os numeros
citados são primos, temos que b e c devem ser ímpares e diferentes de 5. Além disso, 91 é multiplo de 7.
Portanto, os valores para b e c são 3 e 7 respectivamente.
Alternativa C
9.
Solução oficial: Se a, b, c, d, e são cinco inteiros maiores que um, então a, b, c, d, e ⭓ 2 , e com isso, a soma
de quaisquer quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação b(a + c + d + e) = 155 = 5 ⋅ 31, onde 5 e 31
são primos, temos que b = 5 e a + c + d + e = 31. Da mesma maneira, c(a + b + d + e) = 203, então c = 7 e
a + b + d + e = 29. Baseado nos resultados encontrados, concluímos que a + d + e = 24, a + b + c + d + e = 36 e
da equação a(b + c + d + e) = 128, obtemos que a (36 – a) = 128, ou seja, a = 4 ou a = 32. Porém, a = 32 não
poderá ser solução pois, caso fosse, teríamos a + b + c + d + e ⭓ 40. Portanto, a + b + c = 16 e a equação
e(a + b + c + d) = 275 será a mesma que e(16 + d) = 275, onde d + e = 36 – a – b – c = 20 . Como 275 = 11 ⋅ 25 e
16 + d ⭓ 18 , temos que e = 11 e d = 25 – 16 = 9. Observe que outra fatoração de 275 = 5 ⋅ 55 faria d = 39, que é
muito grande. Portanto, a + b + c + d + e = 4 + 5 + 7 + 9 +11 = 36.
Alternativa D
10. Lembre-se de que (– 1)n = 1, se n é par ou (– 1)n = – 1, se n é ímpar. Assim, podemos associar duas a duas as
parcelas consecutivas, (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + ... e obtemos uma soma de n/2 parcelas todas iguais a –1
quando n é par e (n – 1)/2 parcelas iguais a – 1 e uma parcela igual a n quando n for ímpar. Logo:
S1992 = (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + ... + (1991 – 1992) = (– 1) × 996 = – 996
S1993 = (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + ... + (1991 – 1992) + 1993 = – 996 + 1993 = 997.
Assim, S1992 + S1993 = 1.
Alternativa C
11. Solução oficial:
a) F8 = F6 + F7 = 8 + 13 = 21, F9 = F7 + F8 = 13 + 21 = 34, F10 = F8 + F9 = 21 + 34 = 55 e F11 = F9 + F10 = 34 + 55 = 89.
b) Analisando a Sequência de Fibobacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
vemos que F0 é par, F1 é ímpar, F2 = F0 + F1, ou seja, F2 é a soma de um par e um ímpar e, portanto, é ímpar.
F3 = F1 + F2, ou seja, F3 é a soma de dois ímpares e, portanto, é par. F4 = F2 + F3, ou seja, F4 é a soma de um
ímpar e um par e, portanto, é ímpar, e assim por diante.
Como a partir do segundo termo, cada termo é a soma dos dois anteriores, percebemos a existência de um
padrão com relação a paridade dos termos que é a seguinte: par, ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar, par, ímpar,
ímpar, ..., iniciando em F0.
SISTEMA ANGLO DE ENSINO
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2009
Treinamento para Olimpíadas de Matemática
Para descobrir se F2002 é par ou ímpar analisamos a Sequência de Fibonacci da seguinte forma:
par
F0
ímpar
F1
ímpar
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Como 2002 = 3 × 667 + 1, F2002 ocupa a coluna do meio da tabela e, portanto, é ímpar.
Resposta: é ímpar
Raciocício lógico:
Como cada time joga três vezes, podemos concluir que:
• Dinamarca perdeu todos os jogos.
• Camarões ganhou um jogo, empatou uma vez e perdeu o outro.
• Brasil ganhou um jogo e empatou outras duas vezes.
• Áustria ganhou dois jogos e empatou outro.
Assim, Brasil venceu a Dinamarca. Como o Brasil marcou apenas um gol, o único resultado possível para esse jogo é
1 × 0. Além disso, os outros jogos do Brasil foram empates, logo o resultado foi 0 × 0 em ambos. Da mesma forma,
podemos concluir que o Camarões venceu a Dinamarca por 1 × 0. Ou seja, o único gol que a Dinamarca marcou
deve ter sido contra a Áustria. Por outro lado, sabemos que a Áustria venceu o Camarões e que o Camarões levou
apenas um gol. Logo, o resultado desse jogo foi 1 × 0. Finalmente, como a Áustria marcou três gols, o jogo Áustria
contra Dinamarca foi 2 × 1.
Alternativa B
SISTEMA ANGLO DE ENSINO – Coordenação Geral: Nicolau Marmo; Coordenação do TOM: Marco Antônio Gabriades; Supervisão de
Convênios: Helena Serebrinic; Nível 2: CLÁUDIO de Lima VIDAL, FÁBIO Pelicano Borges Vieira, RAUL Cintra de Negreiros Ribeiro; Projeto Gráfico,
Arte e Editoração Eletrônica: Gráfica e Editora Anglo Ltda;
SISTEMA ANGLO DE ENSINO
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