Técnicas de Demonstração

Universidade Federal Rural do Semiárido
Departamento de Ciências Exatas e Naturais
Ciência da Computação
Professora: Luiza Helena
Técnicas de Demonstração
1. Escreva a recíproca e a contrapositiva de cada uma das proposições abaixo:
a)
b)
c)
d)
Se x é um número positivo, x + 1 é positivo.
Se n é inteiro ímpar, então 3n + 5 = 6k + 8, para k algum inteiro.
Se n é inteiro par, então 3n + 2 = 6k + 2, para algum inteiro k.
Se x e y números positivos, x < y , então x2 < y 2 .
2. Dado o condicional P → Q, então Q → P é sua contrapositiva e Q → P é sua recíproca. A
0
0
única variação que falta é o condicional inverso, denido como P → Q . O condicional inverso
é equivalente a quais dos outros três condicionais?
0
0
3. Prove a proposição dada ou prove que ela é falsa:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Se x é um número positivo, x + 1 é positivo.
O número n é inteiro ímpar se, e somente se 3n + 5 = 6k + 8, para k algum inteiro.
O número n é inteiro par se, e somente se 3n + 2 = 6k + 2, para algum inteiro k.
Se x e y números positivos, x < y , então x2 < y 2 .
O número n é inteiro ímpar se, e somente se 3n + 5, é um inteiro par.
Para todo inteiro n, o número 3(n2 + 2n + 3) − 2n2 é um quadrado perfeito.
O número n é inteiro par se, e somente se, 3n + 2 é um inteiro par.
Se x2 + 2x − 3 = 0, então x 6= 2 .
Se dois inteiros são divisíveis por algum inteiro n, então sua soma é divisível por n.
Se o produto de dois inteiros não é divisível por um inteiro n, então nenhum dos inteiros é
divisível por n.
k) Para um inteiro positivo n, n > 2, n2 − 1 não é primo.
l) Para todo inteiro positivo n,n2 + n + 1 é primo.
4. Prove que
√
3 não é um número racional.