COB 781 - Capacitores e Indutores

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Princípios de Instrumentação Biomédica
Módulo 4
Faraday
Lenz
Henry
Weber
Maxwell
Oersted
Conteúdo
4 - Capacitores e Indutores..........................................................................................................1
4.1 - Capacitores.....................................................................................................................1
4.2 - Capacitor linear e invariante com o tempo....................................................................2
4.2.1 - Modelo Thévenin e Norton....................................................................................4
4.3 - Energia acumulada no capacitor....................................................................................5
4.4 - Associação de capacitores..............................................................................................6
4.4.1 - Associação Série.....................................................................................................7
4.4.2 - Associação Paralela................................................................................................7
4.5 - Indutores.........................................................................................................................8
4.6 - Indutor linear e invariante..............................................................................................9
4.6.1 - Modelo de Thévenin e Norton..............................................................................11
4.7 - Indutor não linear.........................................................................................................12
4.8 - Energia armazenada no indutor....................................................................................12
4.9 - Associação de indutores...............................................................................................13
4.9.1 - Associação Série...................................................................................................14
4.9.2 - Associação Paralela..............................................................................................14
4.10 - Lei dos nós e das malhas para equacionar circuitos RLC..........................................15
4.11 - Exercícios...................................................................................................................18
4 Capacitores e Indutores
Capacitores e indutores são elementos passivos, como os resistores, porém ao invés de
dissipar energia estes elementos são capazes de absorver e fornecer energia. Isto ocorre porque
a energia absorvida fica armazenada na forma de campo elétrico ou magnético. Capacitores e
indutores podem ser lineares ou não lineares, variantes ou invariantes e também podem ser
associados como as resistências. A eles também se estendem todos os conceitos de análise
considerados anteriormente.
4.1 Capacitores
Capacitores são elementos capazes de armazenar energia sob a forma de campo
elétrico. O símbolo do capacitor pode ser visto na figura abaixo. Alguns capacitores, por
motivos meramente construtivos, podem ser polarizados e, nestes casos, utiliza-se um símbolo
ligeiramente diferente onde uma das barras aparece curva ou na forma de um retângulo que
pode estar pintado.
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1
Os capacitores são formados por duas superfícies condutoras separadas por um
isolante de tal forma que não há contato elétrico entre os dois terminais do capacitor. Estas
superfícies, entretanto ficam muito próximas uma da outra de forma que cargas elétricas que
se deslocam para uma das superfícies repelem cargas da outra superfície permitindo a
circulação de corrente. Observe que a resistência entre os dois terminais do capacitor é infinita
porém há circulação de corrente e ela respeita a lei das correntes de Kirchhoff, mesmo assim
há uma diferença líquida de cargas entre os dois terminais do capacitor de forma que surge
sobre seus terminais uma diferença de tensão que permanece no capacitor depois que ele é
desconectado do circuito. Esta característica definida pela razão entre cargas no capacitor e
tensão sobre seus terminais chama-se capacitância:
C=
q t
, onde C é a capacitância (Farad – F)
v t
4.2 Capacitor linear e invariante com o tempo
Um capacitor linear e invariante no tempo é definido como
q t=c⋅v t
de tal forma que
dq t 
dv t
=C⋅
dt
dt
e
i=C⋅
dv
, (uma relação linear)
dt
ou
t
1
v= ⋅∫ it ' ⋅dt ' v 0 , (uma relação linear apenas se v 0=0 )
C 0
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2
Observa-se que a equação de v só pode ser obtida se for conhecido o valor de v 0 ,
ou seja, a condição inicial da integral e do capacitor. Por esta razão todas as equações que
envolvam capacitor só podem ser resolvidas se, tanto o valor de C como de v 0 forem
conhecidos (mesmo que se utilize a equação com diferencial, como veremos mais a frente).
Além disto para que os circuitos envolvendo capacitores sejam lineares é necessário
que v 0 seja nulo ou seja as condições iniciais sejam nulas. Esta situação é chamada de
estado zero. Se v 0 não for nulo podemos representar o capacitor não linear por um modelo
que emprega um capacitor descarregado em série com uma fonte de tensão conforme indicado
na figura abaixo. Observe que esta associação (capacitor-fonte) é um equivalente ao capacitor
carregado.
Adicionalmente observa-se que a corrente no capacitor depende de uma derivada ao
passo que a tensão depende de uma integral. Isto significa que a corrente no capacitor pode
variar instantaneamente. Já a tensão sobre o capacitor só pode variar instantaneamente se i(t)
for infinita como uma função impulso. Alguns autores utilizam o termo inércia de tensão para
indicar que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente. Destas observações
decorre que, em circuitos de corrente contínua (CC) e chaveados (com ondas de tensão ou
corrente pulsadas), o capacitor irá se comportar como um curto circuito para transições
rápidas (como degraus e impulsos) e como circuito aberto para corrente contínua. Entre o
chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contínua constante há um período
transitório onde o capacitor se carrega e não pode ser considerado como nenhuma das duas
situações acima.
Exemplo: No circuito abaixo a chave ch1 fecha em t=0. Calcular a corrente e a tensão
no capacitor para t=0 + e t=∞ .
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3
t=0 + , (capacitor é um curto circuito)
v C1 =0
i C1 =
v1
=10A
R1
t=∞ , (capacitor é um circuito aberto)
i C1 =0
v C1 =
v1
⋅R =7,5V
R1 R2 2
4.2.1 Modelo Thévenin e Norton
Conforme apresentado na secção anterior um modelo para capacitor carregado é obtido
pela associação série de um capacitor descarregado com uma fonte de tensão formando um
equivalente Thévenin. Naturalmente este modelo Thévenin pode ser transformado em um
modelo Norton equivalente como apresentado na figura abaixo
Para o equivalente Thévenin
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4
1
v= ⋅∫ i⋅dtvs
C
i=C⋅
d v−vs
dv
dvs
=C⋅ – C⋅
dt
dt
dt
Para o equivalente Norton
1
1
1
v= ⋅∫ i is⋅dt= ⋅∫ i⋅dt ⋅∫ is⋅dt
C
C
C
dv
i=C⋅ −is
dt
Desta forma, para que as equações de v e i sejam iguais nos dois modelos temos que
t
1
vs t = ⋅∫ ist ' ⋅dt e
C 0
dvs
ist =C⋅
dt
4.3 Energia acumulada no capacitor
A energia pode ser obtida pela integral da potência ao longo do tempo. Num capacitor
a energia não é dissipada mas sim armazenada na forma de campo elétrico. Assim sendo a
energia armazenada em um capacitor é igual a energia fornecida a ele por uma fonte.
t
w t 0, t=∫ v t ' ⋅i t ' ⋅dt '
t0
q t 
w t 0, t= ∫ v q 1⋅dq 1 (área entre o eixo q e a curva)
q t 0
q t 
w t= ∫ v  q1⋅dq1 .
0
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Para um capacitor linear invariante
q t 
w t= ∫
0
q1
⋅dq 1
C
2
1 q t 
w t= ⋅
2 C
1
w t = ⋅C⋅v 2
2
Um capacitor passivo é aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a
zero. Assim um capacitor linear invariante é passivo se sua capacitância é não negativa e ativo
se sua capacitância é negativa.
4.4 Associação de capacitores
Capacitores ligados em série ou paralelo podem ser substituídos por um capacitor
equivalente tal que a relação entre v e i nos terminais da associação seja igual a relação entre v
e i no equivalente.
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6
4.4.1 Associação Série
Pela LTK e LCK
v=v C1vC2
v=
1
1
⋅∫ it⋅dt ⋅∫ i t⋅dt
C1
C2
v=

v=
1
⋅∫ it ⋅dt
C EQ
onde

1
1

⋅∫ it⋅dt
C1 C2


1
1
1
=

.
C EQ
C1 C2
Genericamente
 
1
1
=∑
C EQ
Cn
4.4.2 Associação Paralela
Utilizando a LTK e a LCK
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7
i=i C1 i C2
i=C 1⋅
dv
dv
C 2⋅
dt
dt
dv
i=C 1C 2 ⋅
dt
i=C EQ⋅
dv
dt
onde C EQ=C 1C 2 
Genericamente C EQ=∑ C n
4.5 Indutores
Indutores são elementos armazenadores de energia na forma de campo magnético. O
símbolo do indutor é apresentado na figura abaixo. Algumas vezes o símbolo do indutor
apresenta alguma marcação como um circulo próximo a um de seus terminais ou vem
acompanhado de outro indutor. Estes símbolos pertencem a indutores acoplados que serão
estudados separadamente em outros capítulos.
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O indutor é formado por um fio enrolado de tal forma a concentrar o campo magnético
produzido quando o condutor é percorrido por corrente elétrica. O resultado é que a corrente
que percorre o indutor torna-se dependente do fluxo magnético gerado. A característica de
indutância é dada pela razão entre fluxo magnético e corrente
L=
t
i t
onde  é fluxo magnético (weber – W) e L é indutância (Henry – H).
4.6 Indutor linear e invariante
O indutor linear e invariante apresenta a seguinte característica
t=L⋅i t .
Pela lei da indução de Faraday temos que
v t =
d
.
dt
Esta lei, associada aos sentidos estabelecidos para corrente e tensão estão em acordo
com a lei de Lenz que estabelece que a força eletromotriz induzida por uma variação de fluxo
tem polaridade tal que se opõe à causa desta variação. Supondo que a corrente aumente, a
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derivada do fluxo e a tensão sobre o indutor também aumentarão. Neste caso a polaridade da
tensão é tal que tende a impedir novos aumentos da corrente.
Utilizando as duas relações acima é possível determinar uma forma mais útil para
caracterizar o indutor em termos de tensão e corrente em seus terminais.
di t
v t =L⋅
(uma relação linear)
dt
ou
t
1
it = ⋅∫ v t ' ⋅dt ' i 0 (uma relação linear apenas se i 0=0 )
L 0
Assim como ocorre com o capacitor o indutor também só pode ser perfeitamente
caracterizado se conhecermos sua indutância L e a condição inicial i 0 , ou seja, a corrente
que circulava por ele antes da análise começar. O indutor também só pode ser considerado
linear se a sua condição inicial for nula e caso não seja, pode ser modelado por um indutor
descarregado em paralelo com uma fonte de corrente, como mostrado na figura abaixo.
Observa-se que a corrente no indutor é obtida por uma integral e que a tensão é obtida
por uma derivada. Isto significa que a tensão no indutor pode mudar instantaneamente ao
passo que a corrente só pode mudar instantaneamente se a tensão sobre o indutor assumir
valores infinitos (função impulso). Alguns autores denominam este efeito de inércia de
corrente. Também resulta, desta observação, que em circuitos de corrente contínua ou
pulsados o indutor se comporta como um circuito aberto para transições rápidas (degraus e
impulsos) e como um curto circuito para corrente contínua (quando não há mais variações de
tensão ou corrente). Entre o chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contínua
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10
constante há um período transitório onde o indutor se carrega e não pode ser considerado
como nenhuma das situações acima.
Exemplo: Calcular as tensões e correntes no indutor para t=0 + e t=∞ .
Para t=0 +
v L1=v 1=10V
i L1=0A
Para t=∞
v L1=0V
i L1=
v1
=10A
R1
4.6.1 Modelo de Thévenin e Norton
O modelo que representa o indutor carregado, apresentado acima, é semelhante ao
modelo de Norton o que significa que ele também poderia ser representado por um modelo
Thévenin equivalente. Os dois modelos estão apresentados na figura abaixo
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Para que ambos os modelos sejam equivalentes é necessário que
vst =L⋅
dist
e
dt
t
1
ist = ⋅∫ vs t ' ⋅dt '
L 0
4.7 Indutor não linear
Muitos indutores físicos têm característica não linear. Somente para uma faixa de
valores de corrente em torno da origem o indutor é linear, para correntes de valor mais
elevado o fluxo satura (apresenta pouca variação para uma mesma variação de corrente).
Biologicamente este efeito também pode ocorrer com elementos que se comportam como
resistência ou capacitância. Um dos efeitos não lineares mais comuns se chama histerese e é
apresentada no gráfico da figura abaixo. Quando a corrente aumenta o fluxo aumenta por uma
curva 1 porém quando a corrente diminui o fluxo diminui por uma curva  2 diferente da
primeira. Este comportamento é ilustrado na figura abaixo.
4.8 Energia armazenada no indutor
A energia pode ser obtida pela integral da potência ao longo do tempo. O indutor, da
mesma forma que o capacitor é capaz de armazenar energia ao invés de dissipá-la. Esta
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12
energia fica armazenada no campo magnético criado entorno do indutor. Assim sendo a
energia armazenada em um indutor é igual a energia fornecida a ele por uma fonte.
t
w t 0, t=∫ v t ' ⋅it ' ⋅dt '
t0
 t 
w t 0, t= ∫ i 1⋅d 1 (área entre o eixo  e a curva)
 t 0 
 t 
w t= ∫ i 1 ⋅d  1
0
A área entre as duas curvas 1 e 2 no gráfico da histerese representa perda de
energia gasta para magnetizar o indutor. Quando maior a curva de histerese maior as perdas
no indutor.
Para um indutor linear e invariante
 t 
w t= ∫
0
1
⋅d 1
L
1  2 t
w t= ⋅
2 L
1
w t= ⋅L⋅i 2 t 
2
Um indutor passivo é aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a zero.
Assim um indutor linear invariante é passivo se sua indutância é não negativa e ativo se sua
indutância é negativa.
4.9 Associação de indutores
Indutores ligados em série ou em paralelo também podem ser substituídos por um
indutor equivalente do ponto de vista da tensão e da corrente nos terminais da associação.
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4.9.1 Associação Série
Usando a LTK e LCK
v=v L1 v L2
di
di
v L =L1⋅ L2⋅
dt
dt
v= L1 L2 ⋅
di
dt
di
v= LEQ⋅
dt
onde
L EQ =L1L 2 .
Genericamente L EQ =∑ Ln
4.9.2 Associação Paralela
Usando a LCK e a LTK
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i=i L1 i L2
i=
1
1
⋅∫ v t ⋅dt ⋅∫ v t⋅dt
L1
L2

i=
i=

1
1
 ⋅∫ v t ⋅dt
L1 L 2
1
⋅∫ v t ⋅dt
L EQ
onde
1
1 1
= 
L EQ L1 L 2
Genericamente
 
1
1
=∑
L EQ
Ln
4.10 Lei dos nós e das malhas para equacionar circuitos RLC
As leis de Kirchhoff são válidas para circuitos com capacitores, indutores e resistores
que incluam fontes dependentes ou não. Por esta razão as sistematizações apresentadas para a
LCK e LTK também são válidas.
No circuito abaixo iremos equacionar as tensões nós.
para o nó A (na fonte de corrente)
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dv
v
1
C 1⋅ A  A  ⋅∫ v A−v B ⋅dtI 0=I1
dt R1 L1
para o nó B (no resistor R2)
v
1
⋅∫ v B−v A⋅dt−I 0 B =0
L1
R2
a condição inicial do problema é
v A 0=V 0
Com estas equações já temos o sistema de equações diferenciais que resolvem o
problema. Se a solução particular é a tensão sobre o resistor R 2 então podemos obter esta
equação somando as duas equações
dv
v
v
C 1⋅ A  A  B =I1
dt R 1 R2
e a tensão vA pode ser obtida derivando a segunda equação duas vezes
1
1
1 dv
⋅v B− ⋅v A ⋅ B =0
L1
L1
R2 dt
assim
v A=v B 
L1 dv B
⋅
R 2 dt
dv A dv B L1 d 2 v B
=
 ⋅
dt
dt R2 dt2
substituindo vA temos
2
L1⋅C 1⋅
d vB
dt
2

 R 2⋅C 1
  
L1 dv B
R
⋅
 1 1 ⋅v B=R 2⋅I1
R1 dt
R2
as condições iniciais são
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v A 0=V 0 =R2⋅I1
e
dv B 0 R2
R
= ⋅[ v A 0−v B 0 ] = 2⋅[ V 0−R2⋅I1 ]
dt
L1
L1
O método de análise de malhas também pode ser utilizado. Neste caso a fonte de
corrente em paralela com um resistor pode ser substituída pelo seu equivalente Thevenin.
para a primeira malha
t
1
R1⋅i 1V 0 ⋅∫ i 1−i 2⋅dt ' =V1
C1 0
para a segunda malha
t
di L2
1
L1⋅
R2⋅i 2−V 0  ⋅∫ i 2−i 1 ⋅dt '=0
dt
C1 0
a condição inicial do problema é
i 2 0=I 0
As equações acima garantem o sistema capaz de resolver o problema. Se estivermos
interessados em uma resposta particular como a tensão sobre R2 então podemos manipular as
equações para obter a resposta desejada. Para isso podemos somar as duas equações acima
di
R1⋅i 1 L1⋅ 2 R 2⋅i 2=V1
dt
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17
i 1=
−L1 di2 R2
V1
⋅ − ⋅i 
R1 dt R1 2 R1
Derivando a segunda equação obtemos
L1⋅
d 2i2
di
i
i
R2⋅ 2  2 − 1 =0
dt C 1 C 1
dt
2
e substituindo i1
2
L1⋅C 1⋅
d i2
dt
2

 R 2⋅C 1
  
L 1 di 2
R
V1
⋅  1 2 ⋅i 2=
R1 dt
R1
R1
i 2 0=I 0
di 2 0 1
= ⋅V 0−R2⋅I 0 
dt
L1
2
L1⋅C 1⋅
d v2
dt
2

 R2⋅C 1
  
L 1 dv 2
R
⋅  1 2 ⋅v 2=R 2⋅I1
R1 dt
R1
v 2 0=R 2⋅I 0
dv 2 0 R 2
= ⋅V 0 – R2⋅I 0
dt
L1
4.11 Exercícios
1) Os circuitos das figuras abaixo estão operando em regime permanente, quando em
t=0s, a chave S1 fecha. Determinar as correntes e tensões nos capacitores e indutores para os
instantes imediatamente antes e depois do fechamento da chave e para tempo infinito: i L(0–),
iL(0+), iC(0–), iC(0+), iL(∞), iC(∞), vC(0–), vC(0+), vC(∞), vL(0–), vL(0+), vL(∞), diL(0–)/dt, diL(0+)/dt,
dvC(0–)/dt, dvC(0+)/dt.
a) Considere Is1(t) uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado.
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Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita:
+
+
dv C1 0  i C1 0 
v C1 0 =0V , i C1 0 =0A ,
=
dt
C1
-
-
+
v C1 0 =v C1 0  , i C1 0 =
+
-
Is1
dv C1 0 +  i C1 0 + 
⋅G 1 ,
=
G1G 1
dt
C1
v C1 ∞=Is1⋅R1 , i C1 ∞=0A
b)
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita:
di L1 0 -  v L1 0- 
i L1 0 =0A , v L1 0 =0V ,
=
dt
L1
-
-
di L1 0 +  v L1 0+ 
i L1 0 =0A , v L1 0 = I1⋅R1 ,
=
dt
L1
+
+
i L1 ∞=I1 , v L1 ∞=0V .
c) Considere V1(t) uma fonte constante e o capacitor descarregado.
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19
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita:
i L1 0- =
V1
di L1 0 -  v L1 0- 
, v L1 0 =0V ,
=
R1
dt
L1
i L1 0 + =
i L1 ∞=
V1
di L1 0 +  v L1 0+ 
+
, v L1 0 =V1 ,
=
R1
dt
L1
V1
, v L1 ∞=0V .
R1
dv C1 0 +  i C1 0 + 
v C1 0 =0V , i C1  0 =0A ,
=
dt
C1
-
-
+
v C1 0 =0V , i C1  0 =
+
V1 dv C1 0 +  i C1 0 + 
,
=
R1
dt
C1
v C1 ∞=V1 , i C1 ∞=0A .
d) V1(t) é uma fonte constante e independente.
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo:
i L1 0- =
V1
di 0 -  v L1 0- 
, v L1 0 -=0V , L1
=
R1
dt
L1
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i L1 0 + =
i L1 ∞=
+
+
V1
di L1 0  v L1 0 
+
, v L1 0 =0V ,
=
R1
dt
L1
V1
, v L1 ∞=0V .
R1
dv C1 0 +  i C1 0 + 
v C1 0 =V1 , i C1 0 =0A ,
=
dt
C1
-
-
+
v C1 0 =V1 , i C1  0 =−
+
V1 dv C1 0 +  i C1 0 + 
,
=
R2
dt
C1
v C1 ∞=0V , i C1 ∞=0A .
e) V1(t) é uma fonte constante e independente
Fazendo um Thévenin sem incluir C1 nem o ramo de R2.
V1−2⋅v 2
R3⋅V1
Em circuito aberto: v CA =v 2=−R3⋅i 1 =−R3⋅
, logo v CA =−
R12⋅R3
R1
Em curto circuito: i CC =I =i 1=
V TH =v CA , RTH =−
V1−V B1 V1
=
.
R11
R1
v CA
I CC
dv C1 0 +  i C1 0 + 
v C1 0 =V TH , i C1 0 =0A ,
=
dt
C1
-
-
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V TH dv C1 0 +  i C1 0 + 
v C1 0 =V TH , i C1  0 =−
,
=
R2
dt
C1
+
+
v C1 ∞=
V TH
⋅R , i ∞=0A .
RTH R2 2 C1
f) V1t=ut 
Como Vot=v C1 t , i C1 será determinado da direita para a esquerda.
dv C1 0 +  i C1 0 + 
v C1 0 =0V , i C1  0 =0A ,
=
dt
C1
-
-
+
v C1 0 =0V , i C1 0 =−i R2=−
+
v C1 ∞=−
V1 dv C1 0 +  i C1 0 + 
,
=
R2
dt
C1
V1
⋅R , i ∞=0A .
R 2 1 C1
g) V1t=ut 
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22
+
+
dv C1 0  i C1 0 
v C1 0 =0V , i C1  0 =0A ,
=
dt
C1
-
-
+
v C1 0 =0V , i C1  0 =
+
V1 dv C1 0 +  i C1 0 + 
,
=
R1
dt
C1
v C1 ∞=V1 , i C1 ∞=0A .
2) Determine iL1(∞), iL1(0+), vC1(∞), vC1(0+)
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo:
+
i L1 0 =0A , i L1 ∞=I1
v C2 0+ =0V , v C2 ∞= I1⋅R 2 .
3) Para o circuito abaixo determine vC(0–), vC(0+), iC(0–), iC(0+), vC(∞), iC(∞).
Calculando o Thévenin do circuito sem o capacitor:
RTH = R1R2  // R 3 onde // indica “em paralelo com”
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB 781
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V TH t=
I1− I2
⋅G
⋅R
G1G SERIE SERIE 3
onde G SERIE=
G 2⋅G 3
G 2G 3
v C 0- =V TH 0-  , i C  0- =0A
+
-
V 0 −V TH 0 
v C 0 =V TH 0  , i C  0 = TH
RTH
+
-
+
v C ∞=V TH 0 +  , i C ∞=0A .
4) Supondo v1(t) e i1(t) fontes independentes e iguais a um degrau unitário de tensão e
corrente respectivamente, determine a tensão sobre a fonte i1(t) e as expressões para vL2(t) e
iv(t).
v L2= L2⋅ t
v i1 −v 1v L2 v R2=0
v i1 =u t −L2⋅ t – i1⋅R2
i v – i1 – i L1−i C1 =0
1
i v =i1 ⋅∫ u t ⋅dt C⋅ t 
L
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5) Na figura abaixo o circuito se apresenta em regime permanente (todas as tensões e
correntes são constantes) quando, em t=0 a chave S1 troca de posição. Calcule iL1(0–), iL1(0+),
iC1(0–), iC1(0+), iL1(∞), iC1(∞), vC1(0–), vC1(0+), vC1(∞), vL1(0–), vL1(0+), vL1(∞), diL1(0–)/dt,
diL1(0+)/dt, dvC1(0–)/dt, dvC1(0+)/dt.
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo:
i L1 0- =
V2
di L1 0 -  v L1 0- 
, v L1 0 =0V ,
=
R1R 2
dt
L1
i L1 0 + =
+
+
V2
di L1 0  v L1 0 
+
, v L1 0 =0V ,
=
R1R 2
dt
L1
i L1 ∞=
V1
, v L1 ∞=0V .
R1R2
v C1 0- =
V2
dv C1 0 +  i C1 0 + 
⋅R2 , i C1 0 - =0A ,
=
R1R2
dt
C1
v C1 0+ =
V2
V1−vC1 0+ 
dv C1 0 +  i C1 0 + 
+
⋅R2 , i C1  0+ =
,
−i L1 0 
=
R1 R2
R1
dt
C1
v C1 ∞=
V1
⋅R , i ∞=0A .
R1R 2 2 C1
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