2.4 Interpretação vetorial do Teorema de Green

2.4. INTERPRETAÇÃO VETORIAL DO TEOREMA DE GREEN
2.4
55
Interpretação vetorial do Teorema de Green
Para vermos a interpretação vetorial do Teorema de Green e algumas aplicações, precisamos definir os operadores gradiente, divergente e rotacional e estabelecer algumas de
suas propriedades.
2.4.1
Gradiente de um campo escalar
Definição 2.31 Se o campo escalar f : D ⊂ Rn → R admite todas as derivadas parciais
de primeira ordem em a ∈ D0 , o vetor gradiente de f em a é definido como sendo
¶
µ
∂f
∂f
∂f
(a) ,
(a) , ...,
(a) .
grad f (a) = ∇f (a) =
∂x1
∂x2
∂xn
Exemplo 2.32 Se f (x, y, z) = x2 + arctan zy, temos
¶
µ
z
y
.
∇f (x, y, z) = 2x,
,
1 + z2y2 1 + z 2y2
Nota 2.33 Foi visto em MAT − 21, que se f : D ⊂ Rn → R é diferenciável em a ∈ D0 ,
então
df (a) (v) = h∇f (a) , vi .
2.4.2
Divergente de um campo vetorial
Definição 2.34 Se o campo vetorial F : D ⊂ Rn → Rn , F = (F1 , F2 , ..., Fn ) , admite
derivadas parciais de primeira ordem em a ∈ D0 , definimos o divergente de F em a
como sendo o escalar
∂F1
∂F2
∂Fn
div F (a) = ∇.F (a) =
(a) +
(a) + ... +
(a) .
∂x1
∂x2
∂xn
A notação ∇.F (a) µ
é usada para indicar
¶ que o divergente de F é o “produto escalar ”
∂
∂
∂
e o vetor (F1 (a) , F2 (a) , ..., Fn (a)) .
,
, ...,
entre o “ vetor ” ∇ =
∂x1 ∂x2
∂xn
Exemplo 2.35 Seja
Temos
Como
³
´
p
√
F (x, y, z) = x2 + arctan yz, y x2 + z 2 , z + ln x2 + y 2 .
2
+ arctan yz,
P (x, y, z) = x√
2
Q (x, y, z) = y x2 +
pz ,
R (x, y, z) = z + ln x2 + y 2 .
∂Q
∂R
∂P
(x, y, z) +
(x, y, z) +
(x, y, z) ,
∂x
∂y
∂z
√
∇.F (x, y, z) = 2x + x2 + z 2 + 1.
∇.F (x, y, z) =
segue
56
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
Exemplo 2.36 Seja f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , temos
∇f (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) , e ∇.∇f (x, y, z) = 6.
Exemplo 2.37 Interpretação física para o divergente: Seja Ω ⊂ R3 e I ⊂ R,
conjuntos abertos. Consideremos um fluido em escoamento em Ω com campo de velocidade
v (x, y, z, t) = (v1 (x, y, z, t) , v2 (x, y, z, t) , v3 (x, y, z, t)) ,
e densidade ρ (x, y, z, t) . Suponhamos que v, ρ ∈ C 1 (Ω × I) . Em Ω imaginemos um
paralelepípedo ABCDEF GH, com faces paralelas aos planos coordenados e centrado em
(x, y, z) com arestas 4x, 4y e 4z suficientemente pequenas.
Estamos interessados em determinar o fluxo através desse paralelepípedo, ou seja, a
diferença entre a massa que sai e a massa que entra, por unidade de tempo.
Vejamos o que acontece na face AHGD suponhamos que v2 e ρ são constantes, isto
é, que ∀ (x, y, z) ∈ AHGD temos
¶
µ
¶
µ
4y
4y
, z, t e ρ (x, y, z, t) = ρ x, y −
, z, t .
v2 (x, y, z, t) = v2 x, y −
2
2
Pela primeira fórmula de Taylor segue que
µ
¶
¶
µ
4y
∂
4y
, z, t =
e v2 (x, y, z, t) + v2 (x, y, z, t) −
,
v2 x, y −
2
∂y
2
e também
¶
µ
¶
µ
∂
4y
4y
, z, t =
e ρ (x, y, z, t) + ρ (x, y, z, t) −
.
ρ x, y −
2
∂y
2
Assim, o volume de fluido que passa através de AHGD, no intervalo de tempo 4t, por
unidade de tempo, é
·
¸
1 ∂
4V (AHGD) =
e v2 (x, y, z, t) −
v2 (x, y, z, t) 4y 4x4z,
2 ∂y
2.4. INTERPRETAÇÃO VETORIAL DO TEOREMA DE GREEN
57
e a massa, por unidade de tempo, através de AHGD, é
¸
·
1 ∂
(ρv2 ) (x, y, z, t) 4y 4x4z.
4m (AHGD) =
e (ρv2 ) (x, y, z, t) −
2 ∂y
De modo análogo obtemos que a massa, por unidade de tempo, através de BCEF é
¸
·
1 ∂
(ρv2 ) (x, y, z, t) 4y 4x4z.
4m (BCEF ) =
e (ρv2 ) (x, y, z, t) +
2 ∂y
Concluimos que o fluxo na direção y (a massa que sai menos a que entra) é
∂
(ρv2 ) (x, y, z, t) 4y4x4z.
∂y
O fluxo nas outras direções é obtido do mesmo modo. A conclusão é que o fluxo através
do paralelepípedo é
fl =
e ∇. (ρv) (x, y, z, t) 4x4y4z.
e
fly =
Exemplo 2.38 A equação da continuidade: Consideremos as hipóteses do Exemplo
2.37, e suponhamos que em Ω não haja fontes nem sorvedouros de massa. Sabemos que
no ponto (x, y, z) e no instante t, a taxa de variação da densidade é dada por
∂
ρ (x, y, z, t) ,
∂t
e que
∂
ρ (x, y, z, t) > 0 ⇒ aumento de massa,
∂t
∂
ρ (x, y, z, t) < 0 ⇒ diminuição de massa.
∂t
Pelo Princípio de conservação de massa, devemos ter
∂
ρ (x, y, z, t) 4x4y4z.
(2.12)
∂t
O sinal em (2.12) aparece porque se ∇. (ρv) (x, y, z, t) > 0, então a massa que sai é maior
do que a que entra, ou seja, a massa dentro do volume está diminuindo. Neste caso
∂
devemos ter ρ (x, y, z, t) < 0. De (2.12) obtemos
∂t
∂
(2.13)
∇. (ρv) (x, y, z, t) + ρ (x, y, z, t) = 0.
∂t
A equação em (2.13) é a equação da continuidade.
Quando ρ independe do tempo t, isto é, ρ = ρ (x, y, z) , temos
∇. (ρv) (x, y, z, t) 4x4y4z = −
∇. (ρv) (x, y, z, t) = 0,
neste caso a massa que sai é igual à massa que entra.
Quando ρ é constante temos
∇.v (x, y, z, t) = 0,
neste caso dizemos que o fluido é incompressível.
58
2.4.3
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
Rotacional de um campo vetorial
Definição 2.39 Seja F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial admitindo derivadas parciais
de primeira ordem. Se
F (x, y, z) = (P (x, y, z) , Q (x, y, z) , R (x, y, z)) ,
definimos o rotacional de F em (x, y, z) como sendo o vetor
rot F (x, y, z) =
µ
∂R ∂Q ∂P
∂R ∂Q ∂P
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
¶
(x, y, z) ,
ou usando a notação de “ determinante ”


i
j
k
rot F (x, y, z) = ∇ × F (x, y, z) = det  ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z  (x, y, z) .
P
Q
R
Exemplo 2.40 Se F (x, y, z) = (xyz, x2 + y 2 , z 2 ) temos

i
j
k
∂/∂z  = (0, xy, 2x − xz) .
∇ × F (x, y, z) = det  ∂/∂x ∂/∂y
2
2
xyz x + y z 2

Exemplo 2.41 Interpretação física para o rotacional: O nome “rotacional” foi
adotado porque num certo sentido, ∇ × F (x, y, z) descreve a rotação do campo F no
ponto (x, y, z) . Pode ser interpretado como uma medida do movimento angular de um
fluido. Quando ∇ × F = 0, dizemos que F é irrotacional. O rotacional é importante
na mecânica dos fluidos e na análise de campos de forças eletromagnéticas.
Vejamos o caso particular de um fluido em escoamento bidimensional com campo de
velocidade
v (x, y) = (P (x, y) , Q (x, y)) ,
onde P, Q são de classe C 1 num aberto D ⊂ R2 . Sejam A (t0 ) e B (t0 ) duas partículas do
fluido que no instante t0 ocupam as posições
A (t0 ) = (x0 , y0 ) e B (t0 ) = (x0 + h, y0 ) .
Sejam A (t) e B (t) as posições ocupadas no instante t, dadas por
A (t) = (x1 (t) , y1 (t)) e B (t) = (x2 (t) , y2 (t)) .
2.4. INTERPRETAÇÃO VETORIAL DO TEOREMA DE GREEN
59
Temos
δ (t) = d (A (t) , B (t)) e θh (t) =≺ (A (t) B (t) , A (t0 ) B (t0 )) ,
logo
y2 (t) − y1 (t) = δ (t) sin θh (t) .
Derivando esta equação segue
y20 (t) − y10 (t) = δ 0 (t) sin θh (t) + δ (t) θ0h (t) cos θh (t) .
Mas δ (t0 ) = h e θh (t0 ) = 0, então
y20 (t0 ) − y10 (t0 )
= θ0h (t0 ) ,
h
ou seja
θ0h (t0 ) =
Q (x0 + h, y0 ) − Q (x0 , y0 )
.
h
Assim para h suficientemente pequeno, a velocidade angular do segmento A (t) B (t) em
t0 , satisfaz
∂Q
(x0 , y0 ) .
θ0h (t0 ) =
e
(2.14)
∂x
Consideremos uma outra partícula tal que
C (t0 ) = (x0 , y0 + k) e C (t) = (x3 (t) , y3 (t)) .
60
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
Temos
δ 1 (t) sin ϕk (t) = x1 (t) − x3 (t) ,
e com isso provamos que, para k suficientemente pequeno, a velocidade angular do segmento A (t) C (t) em t0 , satisfaz
e −
ϕ0k (t0 ) =
∂P
(x0 , y0 )
∂y
(2.15)
De (2.14) e (2.15), concluimos que a soma das velocidades angulares, no instante t0 , dos
segmentos A (t) B (t) e A (t) C (t) é aproximadamente igual à
∂Q
∂P
(x0 , y0 ) −
(x0 , y0 ) = rotz v (x0 , y0 ) .
∂x
∂y
Se o movimento for rígido, a distância entre as partículas se mantém e a velocidade
angular é denotada por ω, temos
∂Q
∂P
2ω =
(x0 , y0 ) −
(x0 , y0 ) .
∂x
∂y
2.4. INTERPRETAÇÃO VETORIAL DO TEOREMA DE GREEN
61
Exemplo 2.42 Suponhamos que a representação geométrica do campo F (x, y) tenha o
seguinte aspecto
Observe que as trajetórias descritas pelas partículas são retas. O segmento AC se
desloca com velocidade angular nula, enquanto que a velocidade angular do segmento AB
é não nula. Devemos esperar que ∇ × F 6= 0.
Exemplo 2.43 Dado o campo de velocidade v (x, y) = (−y, x) de um fluido em escoamento bidimensional, temos


i
j
k
∇ × v (x, y) = det  ∂/∂xz ∂/∂y ∂/∂z  = (0, 0, 2) .
−y
x
0
Trata-se de um movimento rígido com velocidade angular ω = 1. Observamos que as
partículas descrevem circunferências centradas na origem.
2.4.4
Propriedades dos operadores gradiente, divergente e rotacional
Consideremos os campos F, G : D ⊂ R3 → R3 e o campo ϕ : D ⊂ R3 → R, todos
admitindo derivadas parciais de primeira ordem, sendo
F (x, y, z) = (F1 (x, y, z) , F2 (x, y, z) , F3 (x, y, z)) ,
G (x, y, z) = (G1 (x, y, z) , G2 (x, y, z) , G3 (x, y, z)) .
P1- Gradiente de um produto escalar: Se denotarmos
¸
·
∂F
∂F
∂F
+ G2
+ G3
(x, y, z) ,
(G.∇) F (x, y, z) = G1
∂x
∂y
∂z
temos
∇ (F.G) (x, y, z) = [(G.∇) F + (F.∇) G + G × ∇ × F + F × ∇ × G] (x, y, z) .
62
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
P2- Divergente de um produto vetorial:
∇. (F × G) (x, y, z) = [G.∇ × F − F.∇ × G] (x, y, z)
P3- Rotacional de um produto vetorial: Se denotarmos
∇.∇F (x, y, z) = (∇.∇F1 (x, y, z) , ∇.∇F2 (x, y, z) , ∇.∇F3 (x, y, z)) ,
temos
∇ × (∇ × F ) (x, y, z) = [∇ (∇.F ) − ∇.∇F ] (x, y, z) .
P4- Divergente de um gradiente:
¸
· 2
∂ ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
+ 2 + 2 (x, y, z) ,
∇.∇ϕ (x, y, z) =
∂x2
∂y
∂z
que também é denotado por ∇2 ϕ ou 4ϕ e é denominado o laplaciano de ϕ. A equação
4ϕ = 0 é chamada equação de Laplace e as funções que a satisfazem são chamadas
funções harmônicas.
P5- Rotacional de um gradiente:


i
j
k
∇ × ∇ϕ (x, y, z) = det  ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z  (x, y, z)
∂ϕ/∂z
¶
µ 2 ∂ϕ/∂x2 ∂ϕ/∂y
∂ ϕ ∂ 2ϕ
∂2ϕ ∂2ϕ
∂2ϕ
∂ ϕ
−
,
−
,
−
(x, y, z) ,
=
∂y∂z ∂z∂y ∂z∂x ∂x∂z ∂x∂y ∂y∂x
logo, se ϕ ∈ C 2 (D) temos ∇ × ∇ϕ (x, y, z) = (0, 0, 0) .
P6- Divergente de um rotacional:
µ
¶
∂F3 ∂F2 ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F1
∇.∇ × F (x, y, z) = ∇.
−
,
−
,
−
(x, y, z)
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
· 2 ∂y
¸
∂ F3
∂ 2 F2
∂ 2 F1
∂ 2 F3
∂ 2 F2
∂ 2 F1
=
−
+
−
+
−
(x, y, z)
∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y
logo, se F ∈ C 2 (D) temos ∇.∇F (x, y, z) = 0.
2.4.5
O Teorema de Stokes no plano
Consideremos o campo vetorial contínuo F : D ⊂ R2 → R2 , com
F (x, y) = (P (x, y) , Q (x, y)) .
Seja γ : [a, b] → D uma curva regular com
γ (s) = (x (s) , y (s)) ,
2.4. INTERPRETAÇÃO VETORIAL DO TEOREMA DE GREEN
63
onde s é o parâmetro comprimento de arco. O vetor tangente unitário a γ em s é o vetor
T (s) = (x0 (s) , y 0 (s)) .
Se por FT denotamos a componente tangencial de F, então
Z
Z
FT ds = P dx + Qdy,
γ
pois:
Z
FT ds =
γ
=
Z
(2.16)
γ
b
Zs=a
b
hF (γ (s)) , T (s)i ds
[P (γ (s)) x0 (s) + Q (γ (s)) y 0 (s)] ds
Zs=a
= P dx + Qdy.
γ
Teorema 2.44 Teorema de Stokes no plano: Consideremos um domínio D ⊂ R2 e
γ uma curva fechada, simples e regular (ou regular por partes) tal que a região R limitada
por γ está inteiramente contida em D. Seja F : D ⊂ R2 → R2 um campo vetorial de
classe C 1 em D, com
F (x, y) = (P (x, y) , Q (x, y)) .
Seja T o vetor tangente unitário a γdeterminando o sentido anti-horário. Temos
ZZ
Z
FT ds =
(rotz F ) (x, y) dxdy.
(2.17)
γ
R
Prova.
R O resultado (2.17) é obtido aplicando (2.16) e o Teorema de Green . A integral
de linha γ FT ds é conhecida como a circulação do campo vetorial F sobre γ, ela
mede a extensão em que o movimento do fluido é angular em γ. ¤
Exemplo 2.45 Consideremos as condições do Teorema 2.44. Se por a (R) denotamos a
área da região R, o Teorema do Valor Médio para integrais duplas afirma a existência de
um ponto (ξ, η) ∈ R satisfazendo
ZZ
(rotz F ) (x, y) dxdy = (rotz F ) (ξ, η) a (R) ,
R
assim de (2.17) obtemos
1
∃ (ξ, η) ∈ R : (rotz F ) (ξ, η) =
a (R)
I
γ
FT ds.
(2.18)
64
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
Seja (x0 , y0 ) um ponto fixado em R e deformemos, continuamente, a curva γ até ela se
reduzir ao ponto (x0 , y0 ) . Obtemos de (2.18) e da continuidade do rotacional que
I
1
(rotz F ) (x0 , y0 ) = lim
FT ds,
diamR→0 a (R) γ
e concluimos que (rotz F ) (x0 , y0 ) é o limite da circulação do campo F por unidade de
área.
Exemplo 2.46 Seja
F (x, y) =
Ã
y
x
−p
,p
x2 + y 2
x2 + y 2
!
.
Vemos que F (x, y) é paralelo à (−y, x) e portanto é tangente à circunferência centrada
na origem e que passa por esse ponto. A intensidade do campo é constante igual a 1, pois
kF (x, y)k = 1, ∀ (x, y) 6= (0, 0) .
O trabalho realizado por F sobre os segmentos BC e DA são nulos, uma vez que F
é normal a eles. Assim o trabalho total realizado por F é estritamente positivo. Isto nos
leva a concluir por (2.17) que F não é irrotacional.
2.4.6
O Teorema da divergência no plano
Consideremos o campo vetorial contínuo F : D ⊂ R2 → R2 , com
F (x, y) = (P (x, y) , Q (x, y)) .
Seja γ : [a, b] → D uma curva regular com
γ (s) = (x (s) , y (s)) ,
onde s é o parâmetro comprimento de arco. Sabemos que o vetor tangente unitário a γ
em s é o vetor
T (s) = (x0 (s) , y 0 (s)) ,
2.4. INTERPRETAÇÃO VETORIAL DO TEOREMA DE GREEN
65
logo os vetores
N1 (s) = (y 0 (s) , −x0 (s)) e N2 (s) = (−y 0 (s) , x0 (s)) ,
são vetores unitários normais a γ em s. Identificando os vetores N1 (s) e T (s) com os
vetores (y 0 (s) , −x0 (s) , 0) e (x0 (s) , y 0 (s) , 0) e observando que


i
j
k
det  y 0 (s) −x0 (s) 0  = (0, 0, 1) ,
x0 (s) y 0 (s) 0
podemos concluir que N1 (s) está sempre 90◦ ”atrás” de T (s) .
Seja N (s) um dos vetores N1 (s) ou N2 (s) , por FN denotamos a componente de F na
direção de N (s). Definimos o fluxo de F através de γ na direção de N como sendo
a integral
Z
FN ds.
γ
Teorema 2.47 Teorema da divergência no plano: Consideremos um domínio D
no R2 e γ uma curva fechada, simples e regular (ou regular por partes) tal que a região
R limitada por γ está inteiramente contida em D. Seja F : D ⊂ R2 → R2 um campo
vetorial de casse C 1 em D, com
F (x, y) = (P (x, y) , Q (x, y)) .
Seja N (s) = N1 (s) o vetor normal unitário a γ (o vetor normal unitário exterior a R).
66
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
Temos
Z
FN ds =
γ
ZZ
R
∇.F (x, y) dxdy.
(2.19)
Prova. Temos
R
F ds =
γ N
=
=
Z
b
Za b
Ia
γ
hF (γ (s)) , N (s)i ds
[P (γ (s)) y 0 (s) − Q (γ (s)) x0 (s)] ds
− Q dx + P dy,
logo, pelo Teorema de Green segue
¸
ZZ
ZZ ·
Z
∂P
∂Q
+
(x, y) dxdy =
FN ds =
∇.F (x, y) dxdy.
∂y
γ
R ∂x
R
¤
Exemplo 2.48 Consideremos as condições do Teorema 2.47. Pelo Teorema do Valor
Médio para integrais duplas, existe (ξ, η) ∈ R tal que
ZZ
∇.F (x, y) dxdy = ∇.F (ξ, η) a (R) .
R
De (2.19) segue
1
∇.F (ξ, η) =
a (R)
Z
FN ds.
γ
Da continuidade de ∇.F (x, y) , obtemos para (x0 , y0 ) ∈ R fixado
Z
1
∇.F (x0 , y0 ) = lim
FN ds.
diamR→0 a (R) γ
Exemplo 2.49 Seja
µ
F (x, y) = −
y
x
,
2
(x2 + y 2 ) (x2 + y 2 )2
¶
,
temos F (x, y) tangente à circunferência centrada na origem que passa por (x, y) . Também
temos
p
kF (x, y)k = ρ−3 , onde ρ = x2 + y 2
2.4. INTERPRETAÇÃO VETORIAL DO TEOREMA DE GREEN
67
Seja K, como na figura, ∂K sua fronteira.
Vemos que o fluxo de F através de ∂K na direção da normal unitária exterior N é
nulo, pois F (x, y) é ortogonal ao vetor N. Por (2.19) natural esperar que ∇.F = 0 em
K.