Estudo da Densidade de Corrente Crítica para Reversão da

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL
PROGRAMA DE PÓS - GRADUAÇÃO EM FÍSICA
E STUDO DA D ENSIDADE DE C ORRENTE C RÍTICA
PARA R EVERSÃO DA M AGNETIZAÇÃO DE
NANOELEMENTOS F ERROMAGNÉTICOS
R AFAELA M EDEIROS DE S OUZA
NATAL - RN
M ARÇO / 2015
R AFAELA M EDEIROS DE S OUZA
E STUDO DA D ENSIDADE DE C ORRENTE C RÍTICA
PARA R EVERSÃO DA M AGNETIZAÇÃO DE
NANOELEMENTOS F ERROMAGNÉTICOS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial
para a obtenção do grau de Mestre em Física.
Orientador: Artur da Silva Carriço, UFRN
Co-orientador: Gustavo de Oliveira Gurgel Rebouças, UFERSA
NATAL - RN
M ARÇO / 2015
AGRADECIMENTOS
A Deus.
Ao meu orientador, Artur da Silva Carriço, por confiar em meu potencial e transmitir
toda a sua sabedoria, experiência e amor pela ciência.
Ao meu co-orientador, Gustavo de Oliveira Gurgel Rebouças, pela disponibilidade,
pelas valiosas discussões e por todo auxílio prestado durante o desenvolvimento desse trabalho.
À minha família pelo apoio e incentivo durante toda minha vida. Sobretudo aos meus
pais, Ayla Moema Ribeiro de Medeiros e Eraldo Câmara de Souza, pelo exemplo de vida, por
me ensinarem o certo e o errado e a valorizar o trabalho. Sem vocês nada disso seria possível.
Obrigada, amo vocês!
Às minhas irmãs, Larissa Medeiros de Souza e Diana Zimmermann, por estarem sempre ao meu lado. E às minhas sobrinhas, Sara e Helena Zimmermann, por todo amor que renova
as energias e é capaz de transformar dias cansativos em momentos de alegria.
A Lud, pelo incentivo, pela compreensão e companhia durante os finais de semana de
trabalho.
Aos amigos de longas datas, Aline Bragança, Diana Coelho, Juliana Araújo, Vanessa
Milena, Marcela Bulhões e João Aureliano por toda torcida e pelos momentos de lazer. É muito
bom poder acompanhar as conquistas de cada um de vocês ao longo desses 10 anos!
Aos amigos do Grupo de Magnetismo e Materiais Magnéticos, em especial a Gustavo,
Ana Karollina, Silas, Juliana, Jadson, Gracinha e Nathan, pelo apoio, pelas discussões e pelo
ótimo ambiente de trabalho.
Aos professores do DFTE que contribuíram direta ou indiretamente pra a minha formação acadêmica.
1
A todos os funcionários do DFTE.
Ao CNPq pelo auxílio financeiro.
2
RESUMO
A descoberta de que uma corrente elétrica é capaz de exercer um torque em um material ferromagnético, através da transferência de momento angular de spin, pode proporcionar
o desenvolvimento de novos dispositivos tecnológicos que armazenam informação a partir da
direção da magnetização. A redução da densidade de corrente para reversão da magnetização
é primordial para potenciais aplicações em células de memórias magnéticas de acesso aleatório não voláteis (MRAM). Apresentamos uma investigação teórica dos efeitos de forma e do
campo de dipolar na densidade de corrente crítica para reversão da magnetização, via torque
por transferência de spin (STT), em nanoelementos ferromagnéticos. O sistema nanoestruturado consiste em uma camada de referência, na qual a corrente será polarizada em spin, e uma
camada livre de reversão da magnetização. Observamos consideráveis variações na densidade
de corrente crítica em função da espessura da camada de reversÃčo (t = 1.0 nm, 1.5 nm, 2.0 nm
e 2.5 nm) e da geometria do nanoelemento (circular e elíptico), do tipo de material que compõe
a camada livre do sistema (Ferro e Permalloy) e de acordo com a orientação da magnetização
e da polarização em spin com o eixo maior. Mostramos que a densidade de corrente crítica
pode ser reduzida em cerca de 50% diminuindo a espessura da camada livre de Fe e em 75% ao
modificar a magnetização de saturação de nanoelementos circulares com 2.5 nm de espessura.
Observamos, ainda, uma redução de até 90% na densidade de corrente de reversão para nanoelementos ultrafinos magnetizados ao longo da direção do eixo menor, usando a polarização no
plano paralela à magnetização.
3
ABSTRACT
The discovery that a spin-polarized current is capable of exerting a torque in a ferromagnetic material, through spin transfer, might provide the development of new technological
devices that store information via the direction of magnetization. The reduction of current
density to revert the magnetization is a primary issue to potential applications on non volatile
random access memories (MRAM). We report a theorical study of the dipolar and shape effects
on the critical current density for reversal of magnetization, via spin transfer torque (STT), on
ferromagnetic nanoelements. The nanostructured system consists on a reference layer, in which
the current will be spin-polarized, and a free layer of magnetization reversal. We observed considerable changes on the critical current density as a function of the element’s reversion layer
thickness (t = 1.0 nm, 1.5 nm, 2.0 nm e 2.5 nm) and geometry (circular and elliptical), the
material kind of the system free layer (Iron and Permalloy) and according to the orientation
of the magnetization and the spin polarization with the major axis. We show that the critical
current density may be reduced about 50% by reducing the Fe free layer thickness and around
75% when we change the saturation magnetization of circular nanoelements with 2.5 nm of
thickness. We still observed a reduction as much as 90% on the current density of reversion for
thin nanoelements magnetized along the minor axis direction, using in-plane spin polarization
parallel to the magnetization.
4
ÍNDICE
1
Introdução
14
2
Dinâmica da Magnetização
17
2.1
Equação de Landau-Lifshitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2
Equação de Landau-Lifshitz-Gilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3
Equação de Landau-Lifshitz-Gilbert-Slonczewski . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3
Simulação Micromagnética
27
3.1
Energias Magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2
A Célula de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.3
Energias Magnéticas por Célula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3.1
Energia de Troca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3.2
Energia Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.3.3
Energia de Anisotropia Uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.3.4
Energia Magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.3.5
Energia Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Campo Médio Local sobre Célula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.4.1
Campo de Troca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.4.2
Campo Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.4.3
Campo de Anisotropia Uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.4
5
3.4.4
4
Campo Dipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.5
Campo de Slonczewski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.6
Cálculo Autoconsistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
45
4.1
Processo de Reversão da Magnetização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.2
O Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.3
Efeitos de Espessura em Nanoelementos Circulares . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.3.1
Ferro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.3.2
Permalloy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Efeitos de Forma em Nanoelementos Elípticos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.4
5
Conclusões e Perspectivas
66
6
LISTA DE FIGURAS
1.1
Arquitetura de uma célula de memória magnética. a) MRAM convencional
(reversão por campo) e b) STT-MRAM (reversão por corrente). Figura retirada
de Huai (2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
15
Ilustração da equação de Landau-Lifshitz-Gilbert. Precessão da magnetização
na presença de um campo magnético a) sem amortecimento e b) quando o amortecimento de Gilbert é introduzido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
22
Ilustração da equação de Landau-Lifshitz-Gilbert-Slonczewski. Precessão da
magnetização na presença de um campo magnético (azul), com o efeito de
amortecimento de Gilbert (amarelo) e o torque (no plano) por transferência de
spin de Slonczewski (vermelho). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
23
Representação da estrutura atômica, da célula de simulação e do sistema magnético de interesse. O índice i representa a célula sobre a qual os campos atuam,
j indica os vizinhos responsáveis pelo campo de troca sobre i, enquanto k representa os vizinhos dipolares da célula i. Figura adaptada de Rebouças (2010).
3.2
Esquema ilustrativo do sistema magnético, destacando-se a variação das coordenadas x, y e z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
29
33
Representação do vetor momento magnético e do ângulo θ no espaço dos momentos, onde mx = m sen θ cos φ, my = m sen θ sen φ, mz = m cos θ e |m̂| = 1. 36
7
3.4
Representação esquemática de cada termo do campo magnético local atuante
em cada célula de simulação. O índice i representa a célula sobre a qual os
campos atuam, j indica os vizinhos responsáveis pelo campo de troca sobre i,
enquanto k representa os vizinhos dipolares da célula i. Figura adaptada de
Rebouças (2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
40
Gráfico β(θ) versus θ para diferentes valores de P. Note que o P y, por ser
um polarizador mais eficaz, apresenta maior eficiência de torque. E 180◦ é o
ângulo de interesse por representar a completa reversão da magnetização, com
aplicabilidade na nova geração de memórias magnéticas . . . . . . . . . . . .
42
3.6
Gráfico campo STT versus J para diferentes valores de α, com β = 0.7. . . . .
42
3.7
Fluxograma das etapas do Método Autoconsistente para cada intensidade de
corrente elétrica polarizada em spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Representação de uma célula de MRAM, destacando-se a estrutura de nanopilar
onde ocorre o processo de reversão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
46
Figura esquemática do efeito de torque por transferência de spin na magnetização da camada livre do nanopilar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
46
Variação da resistência para os dois estados da orientação da magnetização da
camada livre (sistema binário) em relação à camada de referência. . . . . . . .
4.3
43
47
Figura esquemática do sistema magnético nanoestruturado de interesse. J é a
densidade de corrente aplicada ao sistema, CL é a Camada Livre de reversão
com espessura t e separada por um espaçador ultrafino da Camada Fixa (CF),
constituída pelo polarizador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5
Gráfico χ versus J para nanoelementos de Ferro (curva azul) e Permalloy (curva
preta) com espessura t = 1 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6
50
Curvas da densidade de corrente crítica (JC ) em função diâmetro (L) de um
nanoelemento circular de Ferro, para espessuras variáveis. . . . . . . . . . . .
4.7
48
52
Curva da densidade de corrente crítica limiar em função da espessura para nanoelemento circular de Ferro obtida numericamente. Destaca-se no detalhe da
figura o resultado obtido por Albert et al. (2002) para medidas realizadas com
Co, no qual as duas curvas são para tempos de aplicação do pulso de correntes
diferentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8
53
Curvas de reversão de nanoelementos circulares de Fe com dimensões aproximadas de 110 nm × t (nm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
53
4.9
Curva de reversão da magnetização do nanoelemento de Fe com dimensão
127.5 nm × 2.5 nm. A e B representam os pontos imediatamente antes e após
a reversão. C é o ponto no qual J = 0. Destaca-se dentro da figura os mapas da
magnetização (à esquerda) e do campo dipolar (à direita) do ponto C. . . . . .
54
4.10 Mapas da magnetização (à esquerda), do campo dipolar HDip (ao centro) e do
campo de torque por transferência de spin HST T (à direita) nos pontos A e B
para o nanoelemento de Fe com dimensão 127.5 nm × 2.5 nm. As barras de
cores indica a intensidade dos campos e estão nas mesma escala para o campo
dipolar e na mesma escala de cores para o campo de torque de spin. . . . . . .
55
4.11 Relação entre a corrente aplicada ao nanoelemento circular de Ferro e a área
superficial da camada livre do sistema, onde L assume valores entre 34 nm e
107 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.12 Gráfico da densidade de corrente crítica (J) versus diâmetro (L) de um nanoelemento circular de Permalloy, para espessuras variáveis. . . . . . . . . . . . .
57
4.13 Dependência da densidade de corrente crítica limiar em função da espessura
para nanoelemento circular de Py. Destaca-se dentro da figura o resultado obtido por Rahman et al. (2012) para medidas realizadas com CoFeB com 60 nm
de diâmetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.14 Curvas de reversão da magnetização para nanoelementos circulares de Py com
diâmetro da ordem de 110 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.15 Curva de reversão da magnetização do nanoelemento de Py com dimensão
127.5 nm ×2.5 nm. A e B representam os pontos imediatamente antes e após a
reversão. C é o ponto no qual J = 0. Destaca-se dentro da figura os mapas da
magnetização (à esquerda) e do campo dipolar (à direita) do ponto C. . . . . .
59
4.16 Mapas da magnetização (à esquerda), do campo dipolar HDip (ao centro) e do
campo de torque por transferência de spin HST T (à direita) nos pontos A e B
para o nanoelemento de Py com dimensão 127.5 nm × 2.5 nm. As barras de
cores indica a intensidade dos campos e estão nas mesma escala para o campo
dipolar e na mesma escala de cores para o campo de torque de spin. . . . . . .
60
4.17 Relação entre a corrente aplicada ao nanoelemento circular de Permalloy e a
área superficial da camada livre do sistema, onde L assume valores entre 15 nm
e 112 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
60
4.18 Comparação da densidade de corrente crítica limiar em função da espessura
para nanoelementos circulares de Fe e Py, com dimensões aproximadas de 110
nm × t (nm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.19 Curvas de densidade de corrente de reversão para nanoelementos elípticos de
Fe (eixo esquerdo) e Py (eixo direito). Curvas com símbolos quadrados para
magnetização ao longo do eixo maior e curvas com símbolo circular para magnetização ao longo do eixo menor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.20 Curvas de reversão de nanoelementos elípticos de Fe com dimensões L (nm)
×70 nm ×2 nm. Os painéis (A) e (B) mostram a estrutura magnética dos pontos
selecionados nas curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.21 Curvas de reversão de nanoelementos elípticos de Py com dimensões L (nm)
×70 nm ×2 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.22 Mapas do campo efetivo de corrente polarizada em spin (HJ ) e do campo dipolar (Hd ) no ponto de reversão para nanoelemento de Fe com dimensões de a) e
b) 46 nm ×70 nm ×2 nm, e c) e d) 42 nm ×70 nm ×2 nm. A barra de cores
indica a intensidade do campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
65
LISTA DE TABELAS
3.1
Fator de Polarização (P) para diversos materiais (Meservey & Tedrow (1994),
Reilly et al. (1999), Fert & Piraux (1999), Oshima et al. (2002)). . . . . . . . .
4.1
41
Parâmetros magnéticos do Ferro e do Permalloy (Nakarania, Thiavilleb & Miltat (2005), McMichael & Donahue (1997), Porrati & Huth (2004),Grimsditch
et al. (2004)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
49
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
A spintrônica é uma área que unifica os fundamentos do magnetismo com a eletrônica
e apresenta enorme potencial para aplicações tecnológicas, tais como unidades de disco rígido
(HD) e memórias magnéticas de acesso aleatório (MRAM) (Prejbeanu et al. (2012)). Dispositivos de armazenamento de dados, como o HD de computadores, apresentam pelo menos uma
cabeça de leitura, que consiste em uma camada ferromagnética, na qual a magnetização pode
mudar de direção em relação a uma segunda camada ferromagnética acoplada a um substrato
anti-ferromagnético.
Os HD’s utilizam o sistema binário, no qual toda a informação é armazenada ou transmitida através dos números "0"e "1", que representam a menor unidade de informação, ou seja,
um bit. Durante o processo de leitura de um bit, a direção da magnetização da camada livre pode
se alinhar paralelamente ao ferromagneto acoplado, representando um estado de baixa resistência, "0", ou ter uma orientação antiparalela ao outro ferromagneto, representando um estado
de alta resistência, "1". Esse fenômeno de variação da resistência, dependendo dos estados
magnéticos do sistema, é conhecido como magnetorresistência.
Em 1988, a descoberta do efeito da magnetorresistência gigante (GMR) (Baibich et al.
(1988)) e, posteriormente, da magnetorresistência de tunelamento (TMR) em 1995 (Moodera
et al. (1995)) impulsionou o desenvolvimento da spintrônica e revolucionou a indústria de dispositivos de armazenamento de dados. Até então, a reversão da magnetização em dispositivos
do tipo válvula de spin (VS), Dieny et al. (1991), com camada espaçadora condutora, e junções
túnel magnéticas (MTJ), com espaçador isolante, era obtida através aplicação de campos magnéticos externos. Entretanto, memórias magnéticas controladas por campo externo apresentam
uma complexa arquitetura (figura 1.1 a)), alta corrente de escrita e problemas relacionados à
escalabilidade (Huai (2008)).
14
Capítulo 1. Introdução
15
Slonczewski (1996) e Berger (1996) descobriram que a magnetização de nanoestruturas magnéticas multicamadas poderia ser revertida via corrente elétrica polarizada em spin,
através da transferência de momento angular. Esse novo fenômeno, chamado de torque por
transferência de spin (STT), é um caminho promissor para o desenvolvimento de novas memórias, mais rápidas e eficientes. Memórias magnéticas baseadas no efeito STT possibilitam
superar os problemas de escalabilidade, apresentando arquiteturas muito mais simples (figura
1.1 b)) e reduzindo o custo de produção em relação às memórias tradicionais.
Figura 1.1: Arquitetura de uma célula de memória magnética. a) MRAM convencional (reversão por campo) e b) STT-MRAM (reversão por corrente). Figura retirada de Huai (2008).
A tecnologia de torque por transferência de spin é, portanto, um caminho promissor
para produção de uma memória universal com baixo consumo, alta densidade, rápida velocidade
de escrita e leitura, resistência ilimitada e excelente escalabilidade (Huai (2008)). Sob esta
perspectiva, a fabricação de estruturas em escalas nanométricas de dimensões bem definidas é
de extrema importância, assim como o estudo teórico das propriedades das nanoestruturas de
interesse para otimizar o controle dos processos de reversão da magnetização, que é a base do
funcionamento das memórias magnéticas.
O principal desafio para implementação da STT-MRAM é a redução da densidade de
corrente necessária para reversão da magnetização e a manutenção da estabilidade térmica da
unidade básica de memória. Estudos recentes buscam mecanismos para reduzir a densidade de
corrente crítica, seja através do controle da espessura da camada espaçadora e da camada livre
do sistema (Rahman et al. (2012), Hayakawa et al. (206), Lee et al. (2009)), pela redução da
magnetização de saturação das células magnéticas (Yagami et al. (2004)) ou diminuindo-se o
volume da célula (Myers et al. (2002)).
Este trabalho realiza um estudo teórico dos efeitos de forma de estruturas ferromagnética com o intuito de reduzir a densidade de corrente crítica necessária para reversão da magnetização em estruturas ferromagnéticas, com particular interesse na aplicação em MRAM. Para
Capítulo 1. Introdução
16
tanto, analisaremos o impacto da espessura da camada de reversão do sistema, de sua composição (Ferro e Permalloy), geometria (circular e elíptica) e da orientação da magnetização e da
polarização em spin em relação ao eixo maior. A estabilidade térmica não é discutida.
Sendo assim, no capítulo 2 apresentamos um modelo da dinâmica da magnetização,
através do desenvolvimento da equação de Landau-Lifshtz-Gilbert-Slonczewski. Essa equação
descreve o comportamento dos momentos magnéticos na presença de um campo magnético e/ou
de uma corrente elétrica polarizada em spin. Discutimos detalhadamente os termos da equação,
assim como a influência de cada um no movimento dos momentos magnéticos.
No capítulo 3 mostramos as energias e os campos magnéticos que descrevem as interações magnéticas na nanoestrutura. Utilizamos o conceito de células de simulação para facilitar
o cálculo da configuração magnética de uma nanoestrutura. Por fim, explicamos a técnica
utilizada para determinar a configuração de equilíbrio do sistema, chamada de método autoconsistente
No capítulo 4 expomos como ocorre o processo de reversão da magnetização em uma
estrutura de MRAM, apresentamos o sistema magnético de interesse e os parâmetros utilizados.
Através de simulações computacionais, mostramos que a densidade de corrente crítica pode ser
consideravelmente reduzida em nanoelementos ferromagnéticos ultrafinos.
Por fim, o último capítulo expõe as conclusões e principais discussões do trabalho e
delineia perspectivas para o desenvolvimento de trabalhos futuros.
CAPÍTULO 2
DINÂMICA DA MAGNETIZAÇÃO
Recentes demandas de maior velocidade e densidade de armazenamento em memórias
magnéticas têm aumentado os esforços de pesquisadores em investigar a dinâmica da magnetização destas estruturas sob corrente elétrica polarizada em spin. A fim de compreender os
fenômenos básicos de reversão da magnetização em um sistema magnético nanoestruturado,
devemos estudar como se dá o comportamento magnético de estruturas de interesse sob efeito
de corrente elétrica polarizada. O modelo mais utilizado para a dinâmica da magnetização é
descrito pela equação de Landau-Lifshitz-Gilbert-Slonczewski, discutida a seguir.
2.1
Equação de Landau-Lifshitz
O movimento dependente do tempo dos momentos magnéticos, desacoplados e não
amortecidos, foi descrito pela primeira vez por Bloch (1932) (Kronmüller (2007)). Em 1935,
Landau & Lifshitz (1935) propuseram uma equação mais geral, que considerou o movimento
amortecido da magnetização, ou seja, a evolução temporal dos momentos magnéticos.
A dinâmica da magnetização, modelada pela equação de Landau-Lifshitz, pode ser
derivada fenomenologicamente a partir da equação do movimento de um vetor magnetização
na presença de um campo magnético aplicado, utilizando o operador momento angular e suas
relações de comutação (Hillebrands & Ounadjela (2002), Lakshmanan (2011)), ou a partir do
análogo magnético das equações de movimento de um corpo rígido (Aquino (2004), Keller
(2007)). A derivação da equação de Landau-Lifshitz será desenvolvida a seguir, utilizando o
segundo método.
De acordo com a mecânica clássica, o movimento rotacional de um corpo rígido é
17
Capítulo 2. Dinâmica da Magnetização
18
representado pela equação
~
dL
~
=N
d~t
(2.1)
~ é o momento angular e N
~ é o torque que atua no corpo.
onde L
A relação entre a taxa de variação do momento angular e o torque exercido na partícula
por um campo magnético externo H é dada por:
~
dL
~
= µ0 µ
~ ×H
d~t
(2.2)
com a permeabilidade magnética no vácuo µ0 = 4π × 10−7 H/m.
Mas, é conhecida da mecânica quântica a relação entre o momento magnético µ e o
~ dada por:
momento angular L,
~
µ
~ = −γe L
(2.3)
onde γe é a razão giromagnética do elétron:
γe =
g|e|
2me
(2.4)
sendo e a carga do elétron, g o fator de Landè e me a massa eletrônica.
Portanto, temos um modelo que descreve a precessão do momento magnético de spin
ao redor do campo externo aplicado:
d~µ
~
= −γ~µ × H
dt
(2.5)
~ espacialmente uniforme, a equação acima pode
Considerando o campo magnético H
ser escrita para cada momento magnético contido dentro do volume elementar:
dµ~i
~
= −γ µ~i × H
dt
(2.6)
Tomando a média de todos os momentos magnéticos do material e dividindo ambos os
lados da equação 2.6 pelo volume considerado obtemos:
P
P
1 d µ~i
µ~i
~
= −γ
×H
V dt
V
(2.7)
Capítulo 2. Dinâmica da Magnetização
19
~ é definido como a densidade de momentos magnéticos por
O vetor magnetização M
volume:
~ =
M
P
µ~i
V
(2.8)
Portanto, a precessão giromagnética é dada por:
~
dM
~ ×H
~
= −γ M
dt
(2.9)
A aplicabilidade da equação (2.9) pode ser estendida para qualquer torque exercido
sobre um momento magnético, não sendo limitada apenas ao torque exercido por um campo
~ (Gilbert (2004)).
magnético externo H
Landau e Lifishtz propuseram um modelo dinâmico para o movimento precessional da
~ ef , que
magnetização utilizando a equação da precessão (2.9) e definindo um campo efetivo H
leva em consideração todos os efeitos quânticos e de anisotropia. Dessa forma, a equação de
Landau-Lifishtz é definida como:
~
dM
~ ×H
~ ef
= −γ M
dt
(2.10)
A equação acima descreveria os processos de dinâmica da magnetização caso não houvessem processos dissipativos. Para considerar esses efeitos, Landau e Lifshitz introduziram um
novo termo de torque à sua equação:
~
dM
λ ~ ~
~
~
~
= −γ M × Hef −
M × M × Hef
dt
MS
(2.11)
onde λ é uma constante característica do material.
O segundo termo, com o duplo produto vetorial, foi adicionado considerando que a
magnitude da magnetização deveria permanecer constante e que o processo de amortecimento
deveria conduzir a magnetização na direção do campo efetivo, ou seja, levá-la ao estado de
mínima energia (paralela ao campo efetivo) (Makarov (2014)).
2.2
Equação de Landau-Lifshitz-Gilbert
A equação de dinâmica da magnetização proposta por Landau de Lifshitz mostrou-se
válida apenas para pequenos amortecimentos, apresentando limitações para materiais ferromagnéticos com elevado amortecimento intrínseco. O problema foi resolvido em 1955, quando Gil-
Capítulo 2. Dinâmica da Magnetização
20
bert & Kelley (1955) propôs um novo termo de torque capaz de descrever o forte amortecimento
em filmes finos:
α
MS
~
~ × ∂M
M
∂t
!
(2.12)
onde α é o parâmetro de amortecimento de Gilbert.
Assim, a equação de Landau-Lifshitz com a correção de Gilbert torna-se:
~
dM
~ × H~ef + α
= −γ M
dt
MS
~
~ × ∂M
M
∂t
!
(2.13)
~ , a equação acima é
Por envolver duas derivadas temporais do vetor magnetização M
de difícil manipulação. Contudo, é possível obter uma forma mais usual da equação de LandauLifshitz-Gilbert através de pequenos artifícios matemáticos, realizados a seguir.
~ em ambos os lados da equação 2.13, obtemos:
Multiplicando escalarmente M
"
~
α
d
M
~ · M
~ ×H
~ ef +
~ ·
~ ·
= −γ M
M
M
dt
MS
~
~ × dM
M
dt
!#
(2.14)
Usando o triplo produto escalar:
~ · (B
~ × C)
~ =C
~ · (A
~ × B)
~ =B
~ · (C
~ × A)
~
A
(2.15)
Podemos reescrever 2.14 como:
~
dM
α
~
~
~
~
M·
= −γ Hef · M × M +
dt
MS
"
#
~ dM
~ ×M
~
· M
dt
(2.16)
Dessa forma, temos que:
~
~ · dM = 0
M
dt
(2.17)
~ em ambos os lados da equação 2.13, obteAgora, se multiplicarmos vetorialmente M
mos:
"
~
α
d
M
~ ×
~ × M
~ ×H
~ ef +
~ ×
M
= −γ M
M
dt
MS
~
~ × dM
M
dt
!#
(2.18)
Capítulo 2. Dinâmica da Magnetização
21
Usando a relação vetorial:
~ × (B
~ × C)
~ = B(
~ A
~ · C)
~ − C(
~ A
~ · B)
~
A
~=B
~ =M
~ eC
~ =
E fazendo A
~ ×
M
~
~ × dM
M
dt
~
dM
,
dt
!
~
=M
(2.19)
temos:
~
~ · dM
M
dt
!
~ dM
~
~
−
M ·M
dt
(2.20)
Portanto, a equação 2.18 torna-se:
"
~
α
d
M
~ × M
~ ×H
~ ef +
~
~ ×
= −γ M
M
M
dt
MS
~ ·
Mas, de acordo com 2.17, M
~
dM
dt
~
~ · dM
M
dt
!
#
~ dM
~ ·M
~
−
M
dt
(2.21)
= 0. Portanto:
~
~
dM
dM
~
~
~
~
M×
= −γ M × M × Hef − αMS
dt
dt
(2.22)
Substituindo a equação acima em 2.13:
"
#
~
~
α
d
M
dM
~ × H~ef +
~ × M
~ ×H
~ ef − αMS
= −γ M
−γ M
dt
MS
dt
(2.23)
Finalmente, reorganizando os termos, podemos escrever a equação de Landau-LifshitzGilbert em sua forma mais usual [Wei (2012), Berkov & Miltat (2008), Kirschner (2003), Massoud (2011)]:
~
dM
γ
γ
α ~ ~
~ × H~ef −
~ ef
=−
M
M
×
M
×
H
dt
(1 + α2 )
(1 + α2 ) MS
Dividindo todos os termos por MS e sabendo que m
~ =
~
M
,
MS
(2.24)
temos a forma reduzida da
equação:
h
i
dm
~
γ
~ ef + α m
~ ef )
=−
m
~
×
H
~
×
(
m
~
×
H
dt
(1 + α2 )
(2.25)
A dinâmica da magnetização, modelada pela equação de Landau-Lifshitz-Gilbert, é
representada esquematicamente na figura 2.1.
Capítulo 2. Dinâmica da Magnetização
22
Figura 2.1: Ilustração da equação de Landau-Lifshitz-Gilbert. Precessão da magnetização na
presença de um campo magnético a) sem amortecimento e b) quando o amortecimento de Gilbert é introduzido.
Na ausência do termo de amortecimento, o momento magnético sofrerá a influência
apenas do termo precessional. Dessa forma, o torque será responsável pela rotação da magnetização ao redor do campo efetivo local (figura 2.1 a)). Ao introduzirmos o torque de Gilbert, a
magnetização sofrerá influência do amortecimento, que tentará alinhá-la ao campo efetivo local
(figura 2.1 b)). Assim, o momento magnético realizará um movimento precessional em direção
ao estado de equilíbrio do sistema, ou seja, ao estado de mínima energia.
2.3
Equação de Landau-Lifshitz-Gilbert-Slonczewski
A equação de Landau-Lifshitz-Gilbert descreve a dinâmica da magnetização quando
um campo magnético é aplicado ao sistema. Entretanto, em 1996, Slonczewski (1996) e Berger
(1996) propuseram independentemente um novo efeito dinâmico, no qual uma corrente polarizada em spin seria capaz de gerar um torque, através de transferência de momento angular de
spin. Dessa forma, a equação da dinâmica da magnetização deveria ser modificada para incluir
o efeito de torque via transferência de spin (Liu & Zhang (2013)):
~
dM
~ × H~ef + α
= −γ M
dt
MS
~
~ × ∂M
M
∂t
!
+ T~ST T
(2.26)
O termo TST T representa o novo torque, que é igual a (Lindner (2010)),Zhou (2009),
Li. et al. (2009)):
|g|µB J ~
~ × P~
β
M
×
M
T~ST T = −
2etMS 3
(2.27)
Capítulo 2. Dinâmica da Magnetização
23
onde g é a razão giromagnética, µB é a permeabilidade magnética, J é a densidade de corrente,
e é a carga elétrica, MS é a magnetização de saturação, t é a espessura da camada livre, P~ é
a magnetização da camada fixa e β é o fator de eficiência do torque de spin, uma função da
orientação da magnetização em relação a direção de polarização do spin (~p), dada por:
(m
~ · p~)
β = −4 + (1 + P ) (3 +
4P 3/4
3
P indica a eficiência do polarizador, p~ =
P
MS
−1
(2.28)
é um vetor unitário que está ao longo da magne-
tização da camada fixa e m
~ · p~ = cos(θ). Assim, temos uma nova equação para a dinâmica da
magnetização, a equação de Landau-Lifshitz-Gilbert-Slonczewski (LLGS):
~
dM
~ × H~ef + α
= −γ M
dt
MS
~
~ × ∂M
M
∂t
!
−
|g|µB J ~
~ × P~
β
M
×
M
2etMS 3
(2.29)
O torque por transferência de spin, último termo da equação 2.29, pode influenciar o
movimento precessional de duas maneiras diferentes: atuando a favor do torque de amortecimento ou então contra ele (ilustrado na figura 2.2). Esse comportamento do torque se modifica
de acordo com o sinal do termo de Slonczewski, que depende da direção em que a corrente é
aplicada.
Figura 2.2: Ilustração da equação de Landau-Lifshitz-Gilbert-Slonczewski. Precessão da magnetização na presença de um campo magnético (azul), com o efeito de amortecimento de Gilbert
(amarelo) e o torque (no plano) por transferência de spin de Slonczewski (vermelho).
Capítulo 2. Dinâmica da Magnetização
24
Os efeitos do torque de transferência de spin estão intimamente relacionados à intensidade da corrente aplicada, como também à sua direção de aplicação. Sendo assim, há três
possíveis estados para o alinhamento dos momentos magnéticos com respeito à direção de polarização da corrente (Gerretsen (2008)).
1. Caso o torque de Slonczewski atue no mesmo sentido do termo de amortecimento de
Gilbert, ele agirá de forma a alinhar o momento magnético ao campo efetivo local.
2. Se o torque de Slonczewski atuar em sentido contrário ao amortecimento, mas com intensidades iguais, os torques se anularão e o momento magnético realizará movimento
precessional ao redor do campo efetivo.
3. Por fim, se o torque de Slonczewski atuar em sentido contrário ao amortecimento e for
mais intenso que este, o momento magnético se afastará do campo efetivo até que um
ângulo crítico seja alcançado. Assim, o torque agirá de forma a reverter a magnetização.
Nosso estado de interesse, com aplicações em memórias magnéticas binárias, é a reversão completa da magnetização, que será detalhado no capítulo 4.
Outra forma bastante usual da equação LLGS é obtida a partir de simples manipulações
matemáticas (Stiles & Miltat (2006)). Multiplicando vetorialmente todos os termos da equação
~ , obtemos:
por M
~
~ × dM = − γ M
~ × M
~ × H~ef + α M
~ ×
M
dt
MS
~
~ × ∂M
M
∂t
!
(2.30)
|g|µB J ~ ~
~
~
−
βM × M × M × P
2etMS 3
~ =B
~ =M
~ e
Utilizando a equação 2.19 no termo de torque de Slonczewski, com A
~ = P~ , obtemos:
C
~ ×M
~ × P~ = M
~ (M
~ · P~ ) − P~ (M
~ ·M
~)
M
(2.31)
Ou seja:
~
~ × dM = − γ M
~ × M
~ × H~ef + α M
~ ×
M
dt
MS
−
~
~ × ∂M
M
∂t
i
|g|µB J ~ h ~ ~ ~
~ (M
~ ·M
~)
β
M
×
M
(
M
·
P
)
−
P
2etMS 3
!
(2.32)
Capítulo 2. Dinâmica da Magnetização
~ ×M
~ = 0, M
~ ·M
~ = MS e M
~× M
~ ×
Como M
25
~
dM
dt
~ M
~ ·
=M
~
dM
dt
~
M
~ ·M
~
− ddt
M
(equação 2.20), é fácil ver que:
~
~
dM
|g|µB J
dM
~ × P~ )
~
~
~
~
βMS (M
M×
= −γ M × M × Hef − α
+
dt
dt
2etMS 3
(2.33)
Substituindo esse resultado na equação 2.29 obtemos:
"
#
~
~
dM
α
d
M
~ × H~ef +
~ × M
~ × H~ef − α
= − γM
−γ M
dt
MS
dt
(2.34)
|g|µ J α |g|µB J
B
~
~
~
~
~
+
βMS M × P −
β M ×M ×P
MS 2etMS 3
2etMS 3
Por fim, reorganizando os termos, a equação de Landau-Lifshitz-Gilbert-Slonczewski
(Lopez-Diaz et al. (2012)) torna-se:
~
γ
γ
α ~ ~
dM
~ × H~ef −
~ ef
= −
M
M
×
M
×
H
dt
(1 + α2 )
(1 + α2 ) MS
−
(2.35)
|g|µB Jβ
|g|µB Jβα
~ × M
~ × P~ +
~ × P~
M
M
(1 + α2 )2etMS 3
(1 + α2 )2etMS 2
Dividindo todos os termos por MS , e fazendo γ 0 =
γ
,
(1+α2 )
temos a forma reduzida da
equação:
|g|µB Jβ
dm
~
~ ef − γ 0 αm
~ ef −
= − γ0m
~ ×H
~ × m
~ ×H
m
~ × (m
~ × p~) (2.36)
dt
(1 + α2 )2etMS
|g|µB Jαβ
+
(m
~ × p~)
(1 + α2 )2etMS
Ou:
dm
~
~0
= −γ 0 m
~ ×H
dt
(2.37)
|g|µ Jβ
|g|µB Jαβ
B
0
~
~
~
H = Hef + α m
~ × Hef +
(m
~ × p~) −
p~
2etMS γ
2etMS γ
(2.38)
onde:
O termo m
~ ×m
~ × p~ é conhecido como torque no "plano", definido pelo vetor magnetização da camada livre (m)
~ e pela magnetização do polarizador (~p) (Liu & Zhang (2013)).
O segundo termo de torque por transferência de spin, m
~ × p~, é denominado "torque perpen-
Capítulo 2. Dinâmica da Magnetização
26
dicular"ou "torque fora do plano"e possui um pequeno valor. Em estruturas como válvulas de
spin e nanopilares representa apenas 1% a 3% (Urazhdin et al. (2003), Zimmler et al. (2004))
da componente no plano e, em junções túnel magnéticas, esse valor pode ser elevado para 10%
a 30% (Sankey et al. (2008), Kubota et al. (2008)).
No estudo da dinâmica da magnetização é de interesse a busca pela configuração de
equilíbrio do sistema, ou seja,
dm
~
dt
= 0. Assim, precisamos conhecer com detalhes o campo
efetivo local - campo de troca, campo de anisotropia, campo Zeeman e campo dipolar - juntamente com o campo de Slonczewski. Para calcular o campo efetivo é necessário identificar as
energias magnéticas presentes no sistema (seções 3.1 a 3.4). Já as peculiaridades do campo de
Slonczewski serão discutidas na seção 3.5.
CAPÍTULO 3
SIMULAÇÃO MICROMAGNÉTICA
O micromagnetismo descreve fenomenologicamente o comportamento magnético de
sistemas em escalas de comprimento de micro e nanometros (Brown (1963)). Em tal teoria, o
modelo micromagnético considera comprimentos muito maiores que a escala atômica e, portanto, não pretende descrever o comportamento de cada átomo isoladamente. Neste capítulo,
apresentaremos o modelo micromagnético utilizado na simulação computacional (Rebouças
(2010), Moura (2012), Oliveira (2012), Silva (2014)), além de realizar um estudo a respeito das
energias e campo magnéticos associados aos sistemas magnéticos de interesse.
3.1
Energias Magnéticas
As energias magnéticas são responsáveis por definir a configuração magnética de um
sistema. Determinado nanoelemento está vinculado a diversos tipos de energias que determinam
o estado magnético da estrutura de interesse. A configuração de equilíbrio encontra um mínimo
de energia e ocorre quando os momentos magnéticos estão alinhados paralelamente ao campo
efetivo local, denotando um menor torque entre a magnetização e o campo local sobre cada
unidade micromagnética.
−
Um sistema constituído por i átomos, com momentos magnéticos →
s i e volume V , é
caracterizado por uma energia efetiva igual a:
KV X z 2
(s )
2 i i
i
j
i
Ms2 V X X ~si · ~sk (~si · ~rik )(~sk · ~rik )
+
−
3
5
2
r
rik
ik
i
k
E =−J
XX
~ · MS V
(~si · ~sj ) − H
27
X
(~si ) −
(3.1)
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
28
A expressão acima é composta, respectivamente, pela energia de troca relacionada aos
primeiros vizinhos j, onde J é a integral de troca entre dois átomos; energia Zeeman; energia
de anisotropia, sendo K a constante de anisotropia do material; e pela energia dipolar (ou
magnetostática), onde rik é o módulo da distância entre o i-ésimo e o k-ésimo átomo.
3.2
A Célula de Simulação
Apesar da energia efetiva ser conhecida, o cálculo computacional realizado para deter-
minar a configuração magnética do sistema não é trivial, devido ao elevado número de átomos
que compõe a estrutura. No caso particular de um material do tipo bcc, o número de átomos N
contidos no volume d3 será dado por:
N =2
d3
a30
(3.2)
onde a0 é o parâmetro de rede do material magnético, o número de células unitárias é representado pela fração e o termo 2 indica que cada célula unitária bcc apresenta dois átomos.
Se considerarmos, por exemplo, um volume cúbico de ferro, com aresta d = 10nm
e parâmetro de rede a0,F e = 0, 287nm, obtemos N ' 84602 átomos. Sendo assim, a fim de
efetuar o cálculo computacional para determinar a configuração magnética de uma estrutura
desse tipo, com dimensões de centenas de nanômetros, torna-se fundamental a utilização do
conceito de célula de simulação, discutido na seção 3.2.
A célula de simulação é um conceito introduzido para facilitar o cálculo da configuração magnética de uma nanoestrutura, representando o conjunto de átomos presentes em seu
volume que não apresentam variações consideráveis da magnetização. Dessa forma, as interações no sistema não são calculadas entre os átomos, estruturas cristalinas, mas sim entre células.
Geometricamente, a célula de simulação é representada por um volume cúbico do sistema magnético, com aresta d, que engloba um grande número de átomos (células cristalinas)
- figura 3.1. O parâmetro d, que controla o tamanho da célula de simulação, é cuidadosamente
definido para que não haja mudanças significativas nos momentos magnéticos contidos no volume.
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
29
Figura 3.1: Representação da estrutura atômica, da célula de simulação e do sistema magnético
de interesse. O índice i representa a célula sobre a qual os campos atuam, j indica os vizinhos
responsáveis pelo campo de troca sobre i, enquanto k representa os vizinhos dipolares da célula
i. Figura adaptada de Rebouças (2010).
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
30
Para limitar o tamanho da célula de simulação, utiliza-se um importante parâmetro de
comprimento, conhecido como comprimento de troca (lT roca ). Esse comprimento característico a maior distância na qual não ocorrem mudanças consideráveis da magnetização (Bertotti
(1998)). Portanto, o tamanho da célula de simulação (d) é escolhido de forma a ser menor que
o comprimento de troca do material, garantindo a uniformidade da magnetização no volume.
Portanto, para garantir que o volume representado pela célula de simulação seja monodomínio, seu tamanho deve ser inferior ao comprimento de troca, ou seja, d < lT roca . Ao
utilizar uma célula de simulação “grande”, com d > lT roca , importantes características do material poderiam ser negligenciadas.
O comprimento de troca é definido por:
s
lT roca =
2A
(SI)
µ0 Ms2
(3.3)
onde A é a rigidez de troca, MS é a magnetização de saturação do material e u0 representa a
permeabilidade magnética do vácuo.
3.3
Energias Magnéticas por Célula
As energias magnéticas de um sistema de átomos, equação 3.29, serão reescritas em
termos de um sistema de células de simulação. Nesta formulação, cada célula cúbica de lado d
contém N átomos, obtidos através da equação 3.2, além de apresentar um momento magnético
efetivo e todos os quatro termos da energia magnética.
3.3.1
Energia de Troca
A interação de troca é responsável pelo alinhamento dos momentos magnéticos de um
material, ou seja, ela gera uma ordem magnética. Trata-se de um efeito puramente quântico,
que ocorre devido à interação Coulombiana entre elétrons, considerando-os como partículas
indistinguíveis que obedecem ao Princípio da Exclusão de Pauli.
~i e S
~j , e da integral de troca Jij , o hamiltoniano
Em termos dos operadores de spin, S
de troca de um átomo i com seus vizinhos vale:
Hi = −
X
j
~i · S
~j
Jij S
(3.4)
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
31
A integral de troca Jij não possui análogo clássico e, sendo V (r) o potencial Coulombiano, tem-se:
Z
Jij =
3
d ~r1
Z
d3~r2 ψi∗ (~r1 )ψj (~r2 )V (r) ψj∗ (~r1 )ψi (~r2 )
(3.5)
Considerando a integral de troca como isotrópica e igual a J, o hamiltoniano será:
Hi = −J
X
~i · S
~j
S
(3.6)
j
A equação 3.6 descreve a energia de apenas um átomo i. Para calcular a energia de
todo o sistema, realiza-se uma soma sobre todos os átomos:
H = −J
X
~i · S
~j
S
(3.7)
i,j
~i e S
~j é pequeno, considera-se a matriz do operador de
Em casos onde o ângulo entre S
spin como um vetor clássico. Portanto, a equação 3.7 pode ser escrita como:
H = −JS 2
X
cos φi,j
(3.8)
j
Tem-se:
cos φi,j = m
bi · m
b j = mx,i mx,j + my,i my,j + mz,i mz,j
(3.9)
onde cos φi,j são os cossenos diretores e mx , my e mz são as componentes do vetor unitário m̂,
que representa a direção da magnetização da célula.
Como o ângulo entre os vetores unitários m̂i e m̂j é muito pequeno, tendendo a zero,
∞ n
P
f (a)
os cossenos diretores podem ser expandidos em Série de Taylor,
an (x − a)n , tal que:
n!
n=0
mx,i mx,j
1
2
= mx,i mx,i + ~ri,j · ∇mx,i + (~ri,j · ∇mx,i ) mx,i + ...
2
my,i my,j = my,i my,i + ~ri,j
mz,i mz,j
1
2
· ∇my,i + (~ri,j · ∇my,i ) my,i + ...
2
1
2
= mz,i mz,i + ~ri,j · ∇mz,i + (~ri,j · ∇mz,i ) mz,i + ...
2
(3.10)
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
32
Somando as expressões acima sobre todos os vizinhos j, devido à simetria do cristal
P
P
cúbico, termos como j ~ri,j ·∇m(x,y,z)i e termos cruzados com j 1/2(~ri,j ·∇m(x,y,z)i )2 , como
P
o termo xi,j yi,j (∂ 2 mx,i /∂xi,j ∂yi,j ), se anulam. Portanto:
X
j
1
∂ 2 mx,i X 2
1
∂ 2 mx,i X 2
1
∂ 2 mx,i X 2
cos φi,j = m + mx,i
x
+
m
y
+
m
zi,j
x,i
x,i
i,j
2
∂x2ij j i,j 2
∂yij2
2
∂zij2
j
j
∂ 2 my,i X 2
1
∂ 2 my,i X 2
1
∂ 2 my,i X 2
1
x
+
m
y
+
m
zi,j
+ my,i
y,i
y,i
i,j
2
∂x2ij j i,j 2
∂yij2
2
∂zij2
j
j
∂ 2 mz,i X 2
1
∂ 2 mz,i X 2
1
∂ 2 mz,i X 2
1
x
+
m
y
+
m
zi,j
+ mz,i
z,i
z,i
i,j
i,j
2
∂x2ij j
2
∂yij2
2
∂zij2
j
j
onde:
|m|2 = m2x,i + m2y,i + m2z,i = 1
(3.11)
e
X
x2i,j =
j
X
2
yi,j
=
j
X
2
zi,j
=
j
1X 2
r
3 j i,j
(3.12)
Então, a expressão do cosseno diretor torna-se:
X
cos φi,j = z +
j
1X 2
ri,j m
b · ∇2 m
b
6 j
(3.13)
Considerando apenas a parte variável da equação 3.13, a energia será igual a:
ET roca
JS 2 X 2
b · ∇2 m
b
=−
ri,j m
6 j
(3.14)
Utilizando a identidade vetorial:
∇2 (m
b · m)
b = 2|∇m|
b 2 + 2(m
b · ∇2 m)
b
= (∇mx )2 + (∇my )2 + (∇mz )2 + 2(m
b · ∇2 m)
b
= 0
(3.15)
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
33
A energia é dada por:
ET roca =
JS 2 X 2
r [(∇mx )2 + (∇my )2 + (∇mz )2 ]
6 j i,j
No caso de estruturas cristalinas bcc ou fcc,
P
j
(3.16)
2
= 6a2 , onde a é o parâmetro de
ri,j
rede. Portanto, a energia de troca de uma célula unitária será:
ET roca = JS 2 a2 [(∇mx )2 + (∇my )2 + (∇mz )2 ]
(3.17)
O micromagnetismo da energia de troca, baseado em células de simulação, é calculado ao considerar uma pequena célula cúbica, com aresta d, composta por N subcélulas com
parâmetro de rede igual a a, onde N =
"
E = N JS 2 a2
X
d3
.
a3
Logo, abrindo os termos da equação 3.17:
dmx (x,y,z)
dx
2
+
+
dmy (x,y,z)
dx
2
+
+
dmz (x,y,z)
dx
2
xyz
+
+
onde A é a rigidez de troca e vale
dmx (x,y,z)
dy
dmx (x,y,z)
dz
2JS 2
a
2
2
+
dmy (x,y,z)
dy
dmy (x,y,z)
dz
2
2
+
dmz (x,y,z)
dy
dmz (x,y,z)
dz
2
2
(3.18)
#
para uma célula unitária bcc.
Figura 3.2: Esquema ilustrativo do sistema magnético, destacando-se a variação das coordenadas x, y e z.
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
34
A partir da definição formal de derivada, com distância entre células ∆x = ∆y =
∆z = d (figura 3.2), a energia pode ser escrita como:
E
AX
=
d3
2 xyz
"
m2x (x + 1, y, z) + m2x (x, y, z) − 2mx (x + 1, y, z)mx (x, y, z)
d2
m2y (x + 1, y, z) + m2y (x, y, z) − 2my (x + 1, y, z)my (x, y, z)
+
d2
2
mz (x + 1, y, z) + m2z (x, y, z) − 2mz (x + 1, y, z)mz (x, y, z)
+
d2
2
mx (x, y + 1, z) + m2x (x, y, z) − 2mx (x, y + 1, z)mx (x, y, z)
+
d2
2
my (x, y + 1, z) + m2y (x, y, z) − 2my (x, y + 1, z)my (x, y, z)
+
d2
2
mz (x, y + 1, z) + m2z (x, y, z) − 2mz (x, y + 1, z)mz (x, y, z)
+
d2
2
mx (x, y, z + 1) + m2x (x, y, z) − 2mx (x, y, z + 1)mx (x, y, z)
+
d2
2
my (x, y, z + 1) + m2y (x, y, z) − 2my (x, y, z + 1)my (x, y, z)
+
d2
#
2
mz (x, y, z + 1) + m2z (x, y, z) − 2mz (x, y, z + 1)mz (x, y, z)
d2
(3.19)
Utilizando o resultado da equação 3.11, vê-se que:
"
E
A X
= 2
6 − 2m(x
b + 1, y, z) · m(x,
b
y, z)
d3
2d xyz
−2m(x,
b
y + 1, z) · m(x,
b
y, z)
#
(3.20)
−2m(x,
b
y, z + 1) · m(x,
b
y, z)
Ou:
"
E
A X
= 2
2 − 2m(x
b + 1, y, z) · m(x,
b
y, z)
d3
2d xyz
+2 − 2m(x,
b
y + 1, z) · m(x,
b
y, z)
#
+2 − m(x,
b
y, z + 1) · m(x,
b
y, z)
(3.21)
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
35
Por fim, a densidade de energia de troca entre duas células de simulação de lado d é
igual a:
"
#
ET roca
AX
1−m
bi · m
bj
= 2
d3
d i,j
(3.22)
onde o índice i representa as células do sistema e j são os seus primeiros vizinhos.
3.3.2
Energia Zeeman
A energia Zeeman representa a interação entre os momentos de dipolo atômicos do
material e um campo magnético aplicado externamente. Tal energia é minimizada quando o
campo e o momento estão alinhados paralelamente. No contexto da célula de simulação, o
campo externo interage com o momento magnético efetivo de cada célula. Dessa forma, a
densidade de energia pode ser escrita como:
X
EZeeman
~ · Ms
=
H
m̂i
d3
i
(3.23)
onde H é o campo externo aplicado, Ms é a magnetização de saturação e mi é o momento
magnético efetivo de cada célula de simulação i.
3.3.3
Energia de Anisotropia Uniaxial
Se um material apresenta propriedades que dependem de uma direção privilegiada,
ele é dito anisotrópico. Um ferromagneto possui anisotropia magnética quando há dependência direcional de sua magnetização espontânea, ou seja, seus momentos de dipolo magnético
tendem a alinhar-se ao longo de um eixo cristalino preferencial, conhecido como eixo fácil de
magnetização, minimizando a energia do sistema.
Essa dependência direcional da magnetização resulta basicamente das interações spinórbita e é descrita pela energia de anisotropia (Hubert & Schäfer (1998)). No presente trabalho,
a energia de anisotropia é uniaxial, apresentando um único eixo privilegiado.
Seja mz o eixo fácil de magnetização, a energia de anisotropia é dada por:
Ea = KV sen 2 θ
(3.24)
onde K é a constante de anisotropia e θ é o ângulo formado entre o eixo preferencial e a magnetização, conforme figura 3.3.
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
36
Figura 3.3: Representação do vetor momento magnético e do ângulo θ no espaço dos momentos,
onde mx = m sen θ cos φ, my = m sen θ sen φ, mz = m cos θ e |m̂| = 1.
Considerando o volume da célula de simulação e a identidade trigonométrica fundamental, a densidade de energia será:
Ea
= −K cos2 θ − 1
3
d
3.3.4
(3.25)
Energia Magnetostática
A energia magnetostática, que descreve a interação entre dois dipolos magnéticos, para
cada átomo, é dada por:
EDip
Ms2 V 2 X X ~si · ~sk (~si · ~rik )(~sk · ~rik )
=
−
3
5
2
r
rik
ik
i
k
(3.26)
onde ~rik representa a distância entre os momentos magnéticos dos átomos i e k.
Ao utilizar a abordagem de células de simulação, a expressão 3.26 deve ser reescrita em
função da aresta da célula (d). Tem-se, pois, V = d3 e ~r = d~n, onde ~n é um vetor adimensional
que representa a distância, escrita em unidade de d, entre as células de simulação. Sendo assim,
a energia magnetostática em termos da interação entre células será:
EDip
Ms2 d6 X X m̂i · m̂k (m̂i · ~nik )(m̂k · ~nik )
−
=
2d3 i k
n3ik
n5ik
(3.27)
onde, agora, i é a localização das células unitárias na rede do sistema, admitindo todas as
posições, e k seus vizinhos dipolares, ou seja, todo o sistema. O fator 1/2 evita contagem dupla
das energias do sistema, corrigindo a somatória.
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
37
Por fim, a densidade de energia dipolar pode ser escrita como:
EDip
Ms2 X X m̂i · m̂k (m̂i · ~nik )(m̂k · ~nik )
−
=
d3
2 i k
n3ik
n5ik
3.3.5
(3.28)
Energia Total
Após descrever as energias magnéticas do sistema no contexto das células de simula-
ção, é possível determinar a densidade de energia total por célula somando as contribuições das
quatro energias discutidas. Portanto:
ET =
3.4
X
X
A XX
z 2
~ · MS
[1
−
m̂
·
m̂
]
−
H
(
m
~
)
−
K
(m
)
−
1
i
j
i
i
d2 i j
i
i
Ms2 X X m̂i · m̂k (m̂i · ~nik )(m̂k · ~nik )
+
−
2 i k
n3ik
n5ik
(3.29)
Campo Médio Local sobre Célula
Nesta seção, descreveremos o campo médio local sobre uma célula de simulação, que
~ S T T ), discutido posteriormente na seção 3.5.
será acrescido do campo de Slonczewski (H
O campo efetivo (He f ) pode ser determinado a partir do divergente da densidade de
energia total, descrita pela equação 3.29, em relação ao momento magnético local. Ou seja:
~ i = − 1 ∂ETp
H
Ms ∂ m̂i
(3.30)
onde i identifica a célula de simulação e p indica a direção do campo local (x, y e z).
Portanto, o campo efetivo é dado pela soma de quatro campos, representados na figura
3.4, que serão calculados a seguir através das densidades de energia obtidas na seção 3.3.
−
1 ∂ET
1 ∂ET roca
1 ∂EZeeman
1 ∂EAnis
1 ∂EDip
−
−
p = −
p
p
p −
Ms ∂ m̂i
Ms ∂ m̂i
Ms ∂ m̂i
Ms ∂ m̂i
Ms ∂ m̂pi
~ ef = H
~p
~p
~p
~p
H
T roca + HZeeman + HAnis + HDip
(3.31)
O estudo do comportamento do campo médio local sobre as células de simulação é
primordial, pois os estados magnéticos do sistema são influenciados diretamente pela competição entre esses campos. A fim de determinar o estado de mínima energia do sistema, ou seja, o
estado de equilíbrio, será utilizado o cálculo auto consistente, descrito a posteriori na seção 3.6.
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
3.4.1
38
Campo de Troca
Em cada célula i atua um campo de troca, na direção p, onde p pode representar as
direções cartesianas x, y e z. Assim, o campo de troca implica sobre seus vizinhos um campo
paralelo ao momento magnético da célula, como mostrado na figura 3.4. Utilizando a equação
3.3.1 da energia de troca na equação 3.4, vê-se que este campo é dado por:
~p
H
i T roca
"
#
1 ∂
AX
(1 − m
b pi · m
b j)
= −
Ms ∂ m̂pi d2 j
~p
H
i T roca =
A X p
m
bj
Ms d2 j
(3.32)
onde j indica os primeiros vizinhos de i. Considerando-se três dimensões, j equivale aos seis
primeiros vizinhos da célula cúbica de dimensões d × d × d.
3.4.2
Campo Zeeman
~ para todas as células de
O campo externo aplicado ao sistema é o mesmo, e igual a H,
simulação (figura 3.4), conforme cálculo abaixo.
i
1 ∂ h ~
p
~p
H
=
−
−
H
·
M
m
b
s i
i Zeeman
Ms ∂ m̂pi
(3.33)
~p
H
i Zeeman = Hp
Neste trabalho, considerou-se Hp = 0. Ou seja, não há campo externo aplicado.
3.4.3
Campo de Anisotropia Uniaxial
O campo de anisotropia sobre cada célula será:
1 ∂ 2
~p
H
p −K m̂z − 1
i Anis = −
Ms ∂ m̂i
(3.34)
2K
~z
H
m
bz
i Anis =
Ms
~x
~y
Dessa forma, H
i Anis = Hi Anis = 0, por exemplo, ou seja, a única componente não
nula do campo de anisotropia é aquela na qual a magnetização está alinhada ao longo do eixo
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
39
fácil do material (figura 3.4).
No caso de um material com alto valor de K, em relação à densidade de energia magnetostática, que é proporcional a Ms2 , o campo de anisotropia é uma boa aproximação de onde
ocorre reversão da magnetização, esta aproximação é válida para o caso de filmes finos, pois
os efeitos dipolares não são predominantes. Já para materiais com baixo valor de K, como o
Permalloy (anisotropia nula), os efeitos dipolares se sobrepõe à energia de anisotropia e determinam a configuração magnética do sistema. Neste caso, despreza-se a energia de anisotropia,
considerando-a igual a zero na simulação computacional.
3.4.4
Campo Dipolar
O campo dipolar, no qual cada célula i do sistema interage com todos os seus vizinhos
k, é um campo de longo alcance. Uma vez que todas as células e, consequentemente átomos,
interagem estre si como um dipolo magnético (figura 3.4), este campo é dado por:
~p
H
i Dip
"
#
1 ∂
Ms2 X m̂i · m̂k (m̂i · ~nik )(m̂k · ~nik )
= −
−
Ms ∂ m̂pi
2 k
n3ik
n5ik
HipDip
"
#
mxi nxik + myi nyik + mzi nzik mxk nxik + myk nyik + mzk nzik
Ms2 ∂
=
3
(3.35)
2Ms ∂ m̂pi
n5ik
#
"
Ms2 ∂ mxi mxk + myi myk + mzi mzk
−
2Ms ∂ m̂pi
n3ik
onde p indica as componentes cartesianas do campo dipolar, x, y e z. Logo:
HixDip
X 3 nx (mx nx + my ny + mz nz ) mx ik
k ik
k ik
k ik
= Ms
− 3k
5
nik
nik
k
HiyDip
X 3 ny (mx nx + my ny + mz nz ) my k ik
k ik
ik
k ik
= Ms
− 3k
5
n
nik
ik
k
HizDip
X 3 nz (mx nx + my ny + mz nz ) mz ik
k ik
k ik
k ik
= Ms
− 3k
5
n
nik
ik
k
(3.36)
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
40
Figura 3.4: Representação esquemática de cada termo do campo magnético local atuante em
cada célula de simulação. O índice i representa a célula sobre a qual os campos atuam, j
indica os vizinhos responsáveis pelo campo de troca sobre i, enquanto k representa os vizinhos
dipolares da célula i. Figura adaptada de Rebouças (2010).
3.5
Campo de Slonczewski
A expressão que descreve o campo de torque por corrente polarizada em spin (equação
3.37) apresenta termos que devem ser discutidos detalhadamente, como a constante de amortecimento de Gilbert (α), o fator de polarização (P) e, consequentemente, o termo de eficiência
de Slonczewski, ou eficiência de torque de spin, (β).
~ ST T = |g|µB J β [(m̂ × p̂) − α p̂ ]
H
2etMS γ
(3.37)
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
41
O fator de polarização (P), presente no termo de Slonczewski, caracteriza a eficiência
do polarizador que constitui a camada fixa do sistema. Dessa forma, um polarizador com eficiência P = 1 significa que 100% da corrente será polarizada, ou seja, só passará corrente elétrica
com spin predeterminado. A tabela abaixo indica o valor de P para diferentes materiais.
Tabela 3.1: Fator de Polarização (P) para diversos materiais (Meservey & Tedrow (1994), Reilly
et al. (1999), Fert & Piraux (1999), Oshima et al. (2002)).
Material
P
Py
0.73
Co90 F e10
0.65
CoF eB
0.56
Fe
0.40
Co
0.35
Ni
0.23
Gd
0.14
Observamos que, dentre os materiais apresentados na tabela 4.1, o Permalloy (N i80 F e20 )
é o polarizador mais eficiente, enquanto o Gadolínio (Gd) apresenta a menor eficiência, representando apenas 19% do fator de polarização do Py.
Ao analisarmos o termo de eficiência de torque de spin (β), equação 2.3, observa-se
que β é uma função periódica do ângulo entre a direção de magnetização do polarizador e
os momentos magnéticos do nanolemento (θ), com valor mínimo para θ = 0 e máximo para
θ = ±π. As curvas da função β versus θ para sete diferentes valores de P, representados pelos
materiais descritos na tabela acima, são mostradas na figura 3.5.
Se utilizarmos como valor de P aquele indicado para o Ferro, temos que β assume seu
valor mínimo, que representa a configuração paralela entre a camada livre e a camada fixa, em
β(0) ≈ 0.15. Já para a configuração antiparalela entre as camadas, β atinge seu valor máximo,
β(π) ≈ 0.7.
Por fim, o campo de torque de spin também é diretamente influenciado pela constante
de amortecimento de Gilbert. A magnitude de α é da ordem de 10−3 a 10−1 (Serrano-Guisan
et al. (2008), Devolder et al. (2013), Tserkovnyak, Brataas & Bauer (2002),Smith, Carey &
Childress (2010)) depende de alguns fatores, tais como a espessura do filme (Liu et al. (2011),
Chen et al. (2007)) e a temperatura (Gao et al. (2014)), por exemplo. O comportamento do
campo de Slonczewski para α = 0.04 e α = 0.40 é descrito na figura 3.6.
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
42
Figura 3.5: Gráfico β(θ) versus θ para diferentes valores de P. Note que o P y, por ser um
polarizador mais eficaz, apresenta maior eficiência de torque. E 180◦ é o ângulo de interesse
por representar a completa reversão da magnetização, com aplicabilidade na nova geração de
memórias magnéticas
Podemos observar claramente a relação de proporcionalidade entre a constante de
amortecimento e o campo de Slonczewski. Quando α for da ordem de 10−1 (curva preta) há
uma maior influência do torque por transferência de spin, quando comparado à curva vermelha,
que representa um valor de α uma ordem de grandeza menor.
Figura 3.6: Gráfico campo STT versus J para diferentes valores de α, com β = 0.7.
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
3.6
43
Cálculo Autoconsistente
O campo efetivo total (eq. 2.38) atuante sobre cada célula de simulação é obtido através
da soma vetorial dos campos discutidos previamente, seções 3.4 e 3.5. Pretende-se desvendar
a configuração de equilíbrio desta estrutura, que é atingida quando o momento magnético de
cada célula alinha-se com o campo total para cada densidade de corrente polarizada em spin.
À medida em que a corrente aumenta, pretende-se encontrar a densidade de corrente crítica
mínima para proporcionar a reversão da magnetização. Sendo assim, devemos encontrar a
configuração que minimize o torque entre o momento magnético de cada célula e o campo que
atua sobre ela.
A fim de obter a configuração do sistema em equilíbrio para cada densidade de corrente
polarizada, utilizou-se o cálculo autoconsistente (Silva et al. (2011)). Tal método permite encontrar a configuração de equilíbrio para um corpo magnetizado sem necessariamente descrever
como a magnetização atinge o equilíbrio ao longo do tempo.
O cálculo baseia-se nos seguintes passos:
Figura 3.7: Fluxograma das etapas do Método Autoconsistente para cada intensidade de corrente elétrica polarizada em spin.
Capítulo 3. Simulação Micromagnética
44
1. Inicializar o sistema com uma configuração magnética.
2. Calcular o campo médio local e o campo de Slonczewski sobre cada célula.
3. Comparar o valor calculado com a configuração magnética, através do torque entre as
~ 0 ).
direções dos momentos magnéticos de cada célula e de seu campo total (H
4. Se o torque for menor que o valor de tolerância, pequeno valor previamente estabelecido
de modo a garantir que o torque entre o momento magnético local de cada célula seja
mínimo, aceita-se que esta é a configuração de equilíbrio do sistema.
5. Caso contrário, os momentos são alinhados com o campo médio calculado, então, retornase para o passo 2 para calcular novamente o campo médio sobre cada célula.
6. A configuração de equilíbrio é encontrada quando o teste do torque dos momentos magnéticos for obedecido.
O procedimento é repetido até obter-se um torque menor que o valor de tolerância ou
até que o número máximo de interações seja extrapolado. Assim, ele garante que os momentos
magnéticos locais apontem na mesma direção do campo efetivo.
CAPÍTULO 4
REVERSÃO DA MAGNETIZAÇÃO POR DENSIDADE DE
CORRENTE POLARIZADA EM SPIN
O entendimento e controle da reversão da magnetização por densidade de corrente
polarizada em spin possui elevado potencial para o desenvolvimento de novos dispositivos tecnológicos, como as células de MRAM. A estabilidade magnética de nanoelementos ferromagnéticos, com dimensão submicrométrica, se deve amplamente à anisotropia de forma. A geometria do sistema magnético pode ser convenientemente manipulada a fim de alterar a ordem
magnética de células de MRAM. Portanto, desde que a estabilidade térmica não seja comprometida, pode-se buscar sistemas de baixa densidade de corrente de reversão para aplicações em
dispositivos nessa configuração.
4.1
Processo de Reversão da Magnetização
O efeito de torque por transferência de spin, capaz de reverter a orientação da mag-
netização de um ferromagneto, ocorre quando uma corrente elétrica polarizada flui através de
um nanopilar, tipicamente composto por duas camadas ferromagnéticas separadas por uma fina
camada espaçadora não magnética (figura 4.1), e seu torque magnético é suficiente para mudar
o sentido da magnetização do sistema magnético de interesse.
A camada fixa de referência, com magnetização "fixa", é composta pelo material polarizador e é construída de modo a ser estável magneticamente, enquanto a camada livre é aquela
na qual a magnetização pode ser revertida. O material não magnético é inserido no meio da estrutura para evitar o acoplamento de troca das camadas ferromagnéticas, tal que a magnetização
da camada de reversão possa ser alterada pela corrente elétrica polarizada de forma a armazenar
a informação (Benetti (2012)). Sendo assim, sua espessura deve ser controlada de acordo com
45
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
46
o comprimento de difusão, distância que o elétron percorre sem que a informação do spin seja
perdida (Shinjo (2009)).
Figura 4.1: Representação de uma célula de MRAM, destacando-se a estrutura de nanopilar
onde ocorre o processo de reversão.
Memórias tipo MRAM convencionais utilizam uma estrutura de nanopilar conhecida
como Válvula de Spin (SV), na qual as camadas ferromagnéticas são separadas por uma camada condutora. Baseada no efeito de Magnetorresistência Gigante (GMR), as SV modificaram a tecnologia das cabeçotes de leitura na década de 90 (Freitas et al. (2007)). A GMR é um
fenômeno quântico que surge devido à assimetria no espalhamento de elétrons e é obtida pelo
alinhamento da magnetização das camadas ferromagnéticas (Baibich et al. (1988)). Quando a
magnetização das camadas se orientam em direções paralelas, observa-se um estado de baixa
resistência. Já para um alinhamento antiparalelo, há um considerável aumento da resistência
(figura 4.2). A redução da resistência do sistema magnético, devido ao alinhamento da magnetização das camadas ferromagnéticas, é medida pela razão GMR, que atinge valores da ordem
de 18% (Hasegawa et al. (2002)).
Figura 4.2: Variação da resistência para os dois estados da orientação da magnetização da camada livre (sistema binário) em relação à camada de referência.
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
47
Quando o espaçador não magnético é um material isolante, atuando como uma barreira de potencial (barreira túnel), a nanoestrutura é conhecida como Junção Túnel Magnética
(MTJ). Analogamente à Válvula de Spin, o estado de baixa resistência é obtido quando as magnetizações das camadas estão em um estado paralelo, enquanto o estado antiparalelo apresenta
uma alta resistência. Entretanto, a variação da resistência devido ao efeito de Magnetorresistência de Tunelamento (TMR) pode alcançar valores muito elevados. O estudo realizado por
Ikeda et al. (2008) com MTJ de CoFeB/MgO/CoFeB aponta uma razão TMR acima de 600%,
à temperatura ambiente.
O processo de reversão utilizado neste estudo, representado na figura 4.3, ocorre devido
à transmissão de elétrons. A corrente elétrica injetada flui no sentido da camada de referência
para a camada de reversão. Os elétrons passam pela camada fixa, onde a corrente é polarizada
em spin e se encaminham para a camada não magnética, onde sua polarização é mantida. A
corrente então flui para a camada livre do nanopilar, transferindo momento angular dos elétrons
para os momentos magnéticos locais, ou seja, exercendo um torque na magnetização da camada
livre a fim de alinhá-la com a magnetização do polarizador.
Figura 4.3: Figura esquemática do efeito de torque por transferência de spin na magnetização
da camada livre do nanopilar.
Destaca-se que a reversão da magnetização devido ao efeito STT ocorre apenas quando
a densidade de corrente polarizada em spin atinge um valor mínimo. Essa densidade de corrente
crítica pode variar de acordo com as características da nanoestrutura magnética de interesse.
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
4.2
48
O Sistema
No presente estudo, estamos interessados em compreender as nuances da reversão da
magnetização através do torque por corrente polarizada em spin. Assim, o modelo de sistema
magnético nanoestruturado utilizado é constituído por uma camada fixa e uma camada livre
(figura 4.4), separadas por uma fina camada espaçadora. A camada fixa, ou "camada de referência", é responsável pela polarização da corrente aplicada ao pilar e é representada pelo
versor p~ na equação de LLGS. Enquanto a reversão da magnetização (m),
~ devido ao torque gerado pela corrente polarizada em spin, ocorrerá na camada livre do sistema, também conhecida
como "camada de armazenamento"ou "camada de reversão", terá sua magnetização revertida
através do torque.
Figura 4.4: Figura esquemática do sistema magnético nanoestruturado de interesse. J é a densidade de corrente aplicada ao sistema, CL é a Camada Livre de reversão com espessura t e
separada por um espaçador ultrafino da Camada Fixa (CF), constituída pelo polarizador.
A densidade de corrente é aplicada perpendicularmente à superfície do nanoelemento
e a polarização em spin ocorre no plano xy. Utilizamos tanto a anisotropia uniaxial, quanto a
corrente polarizada em spin paralelas à magnetização.
O cálculo realizado através do método autoconsistente (seção 3.6) permite representar
os campo médios locais sobre o nanoelemento de interesse, bem como o campo de Slonczewski.
A corrente elétrica polarizada, capaz de reverter a magnetização de sistemas magnéticos nanoestruturados, é função dos parâmetros intrínsecos do material e de suas dimensões.
Neste estudo, utilizamos o Ferro e o Permalloy para compor a camada ferromagnética
livre do sistema. Os parâmetros micromagnéticos considerados na simulação computacional
para obtenção dos campos são descritos na tabela a seguir.
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
49
Tabela 4.1: Parâmetros magnéticos do Ferro e do Permalloy (Nakarania, Thiavilleb & Miltat
(2005), McMichael & Donahue (1997), Porrati & Huth (2004),Grimsditch et al. (2004)).
Parâmetros
Fe
Py
MS [A/m]
1, 7 × 106
0, 8 × 106
2, 5 × 10−11
1, 3 × 10−11
HT roca [T ] = A/MS d2
14, 7/d2nm
16, 25/d2nm
K [J/m3 ]
4, 7 × 104
zero
0, 055
zero
11, 65 nm
17, 86 nm
A [J/m]
HAnis = 2K/MS [104 G]
q
lT roca = π µ02A
M2
S
Valores típicos do campo de torque por transferência de spin da equação LLGS podem
ser determinados a partir de uma análise dimensional, realizada a seguir. Para tanto, adotou-se
o Sistema Internacional de unidades (SI).
χ=
|g|µB J
β
2etMS γ
(4.1)
O termo de Slonczewski (4.1) apresenta algumas constantes fundamentais, como o
fator de Landè |g| ' 2 (Frait & Gemperle (1971), Lindenfels et al. (2011)) e o magneton de
Bohr (µB ), que é dado por:
µB =
e~
= 9.274 × 10−24 [A.m2 ]
2me
(4.2)
onde e = 1.6 × 10−19 [A.s] e me = 9.1 × 10−31 Kg são a carga e massa eletrônica, respectivamente, ~ =
h
2π
e h é a constante de Planck.
Outra constante de interesse é a razão giromagnética (γ), obtida através do produto
entre a permeabilidade magnética do vácuo, µ0 = 4π × 10−7 [T.m/A]), e a razão giromagnética
e
eletrônica, γe =
, (Aquino (2004)). Logo:
me
5
γ = γe µ0 = 2.21 × 10 [s.A/m]
−1
(4.3)
Além disso, os demais parâmetros utilizados –– densidade de corrente(J), espessura do
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
50
nanoelemento (t) e magnetização de saturação do material (MS ) –– são da ordem de:
J
= J × 1011 [A/m2 ]
t
= t × 10−9 [m]
(4.4)
MS = MS [KOe]
Substituindo os valores encontrados na equação 4.1, temos:
χ =
9.27 × 10−24 [A.m2 ] · J × 1011 [A/m2 ]
·β
MS [KOe] · 1.6 × 10−19 [A.s] · t × 10−9 [m] · 2.21 × 105 [s.A/m]−1
9.27 × 1010 J
χ =
·β
1.6 × 2.21MS t
χ =
A2
m2 .KOe
9.27 × 1010 J
· β 4π 2 × 10−12 [KOe]
1.6 × 2.21MS t
χ ≈ 4.1
J
· β [KOe]
MS t
(4.5)
Portanto, o termo de torque por corrente polarizada em spin dependerá apenas do material que compõe a camada livre (MS ) e a camada fixa (P ) do sistema, de sua espessura (t) e
do termo de amortecimento de Gilbert (α). A figura 4.1 apresenta valores típicos do torque por
transferência de spin para um ferromagneto de espessura igual a 1 nm, para os materiais Fe e
Py.
Figura 4.5: Gráfico χ versus J para nanoelementos de Ferro (curva azul) e Permalloy (curva
preta) com espessura t = 1 nm.
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
51
Esta pesquisa realiza um estudo teórico dos efeitos dipolares na densidade de corrente
crítica para reversão de nanoelementos ultrafinos de Ferro e Permalloy. Para tanto, investigamos
como a densidade de corrente crítica é influenciada pela espessura do material, seu formato e
sua dimensão, além da direção de aplicação da corrente em relação ao eixo (maior ou menor)
de nanoelementos elípticos, considerando uma eficiência do polarizador (P ) de 40% e que o
amortecimento de Gilbert seja α = 0.4.
4.3
Efeitos de Espessura em Nanoelementos Circulares
A otimização do processo de reversão da magnetização via torque de corrente polari-
zada em spin pode ser obtida através do controle da espessura da estrutura de interesse. Estudos
relatam que a densidade de corrente crítica em nanoelementos elípticos de CoFeB, de dimensões
da ordem de 100 × 200 nm2 (Hayakawa et al. (2008)), diminui linearmente com a espessura. Já
para nanoelementos circulares de CoFeB, com diâmetro de 60 nm, Rahman et al. (2012) observou uma redução na densidade de corrente com o aumento moderado da espessura da camada
livre (1 a 1.25 nm).
Outra maneira efetiva de diminuir a corrente crítica seria reduzir a magnetização de
saturação das células magnéticas (Yagami et al. (2004)). Ou seja, a escolha do material que irá
compor a camada livre do sistema afeta diretamente a eficiência da reversão da magnetização,
mesmo que não haja alteração na célula e/ou na estrutura do filme.
Portanto, avaliaremos a seguir a influência da espessura de nanoelementos circulares,
como também o efeito da magnetização de saturação na densidade de corrente crítica. Verificaremos o comportamento dos nanoelementos com área crescente enquanto a espessura varia
entre 1.0 nm e 2.5 nm. Além disso, utilizaremos os ferromagnetos Ferro e Permalloy em nosso
estudo com os parâmetros da tabela 4.1.
4.3.1
Ferro
Inicialmente, estudamos a densidade de corrente crítica para reversão da magnetização
em nanoelementos ultrafinos de Ferro, que apresentam maiores valores de magnetização de
saturação e energia de anisotropia uniaxial, conforme tabela 4.1.
A figura 4.6 mostra o comportamento da densidade de corrente crítica em relação à
espessura do filme (t) para nanoelementos circulares de diâmetro L (nm) e espessura t (nm),
onde t = 1.0 nm, 1.5 nm, 2.0 nm e 2.5 nm e L assume valores entre 34 nm e 107 nm.
Observa-se uma relação de proporcionalidade direta entre a densidade de corrente crí-
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
52
tica (JC ) e a espessura da camada livre do sistema (t). Quanto maior a espessura do nanoelemento, menor o torque por transferência de spin e, portanto, a reversão da magnetização
ocorrerá para uma densidade de corrente elevada. Para o nanoelemento de Fe com dimensão de
35 nm ×1 nm a densidade de corrente de reversão é igual a 11, 2 × 107 A/cm2 , o que representa
uma redução de 46% em relação ao nanoelemento com o dobro da espessura (34 nm × 2 nm),
no qual JC = 20, 8 × 107 A/cm2 .
Figura 4.6: Curvas da densidade de corrente crítica (JC ) em função diâmetro (L) de um nanoelemento circular de Ferro, para espessuras variáveis.
Além disso, a figura 4.6 revela uma certa estabilização de JC com o aumento das
dimensões da estrutura. Essa densidade de corrente crítica limiar (JC∗ ) é aproximadamente
igual a 12, 8 × 107 A/cm2 para nanoelementos de espessura igual a 2.5 nm e assume a metade
do valor (JC∗ = 6, 4 × 107 A/cm2 ) quando t = 1.0 nm.
Assim, considerando a densidade de corrente crítica limiar para nanoelementos circulares de Fe com diâmetros da ordem de 100 nm, a figura 4.7 mostra um aumento aproximadamente linear da densidade de corrente com a espessura do material. Resultado este corroborado
pelo estudo experimental de Albert et al. (2002) (detalhe da figura 4.7) para elementos com
dimensões laterais de mesma ordem de grandeza do presente estudo e material de Cobalto (Co),
que apresenta magnetização de saturação e rigidez de troca similares ao Fe (MS,Co = 1, 4 × 106
A/m e ACo = 3, 0 × 10−11 J/m, Heyderman et al. (2006)).
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
53
Figura 4.7: Curva da densidade de corrente crítica limiar em função da espessura para nanoelemento circular de Ferro obtida numericamente. Destaca-se no detalhe da figura o resultado
obtido por Albert et al. (2002) para medidas realizadas com Co, no qual as duas curvas são para
tempos de aplicação do pulso de correntes diferentes.
As curvas de reversão de nanoelementos circulares de Fe com diâmetros da ordem de
110 nm para espessuras entre 1.0 nm e 2.5 nm são mostradas na figura 4.8. A completa reversão
da magnetização ocorre de forma direta, apresentando potencial para aplicações em MRAM.
Figura 4.8: Curvas de reversão de nanoelementos circulares de Fe com dimensões aproximadas
de 110 nm × t (nm).
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
54
A figura 4.9 exibe a curva de reversão da magnetização para o nanoelemento de Fe
127.5 nm × 2.5 nm em função da corrente polarizada negativamente. Pretendemos identificar o
comportamento da reversão da magnetização do nanoelemento, destaca-se, portanto, os pontos
A, B e C. Os dois primeiros evidenciam os momentos anterior e posterior à reversão, respectivamente. Os mapas dentro da figura mostram, à esquerda, a direção da magnetização no ponto
C, no qual a densidade de corrente é nula, e o campo dipolar nessa região (à direta). Neste
ponto, como a corrente é nula não há torque de corrente e o nanoelemento se mantém estável
neste estado até atingir uma corrente de aproximadamente 12, 6 × 107 A/cm2 , na qual o torque
do campo devido à corrente passa a competir com os campos que estabilizam o elemento.
Figura 4.9: Curva de reversão da magnetização do nanoelemento de Fe com dimensão
127.5 nm × 2.5 nm. A e B representam os pontos imediatamente antes e após a reversão.
C é o ponto no qual J = 0. Destaca-se dentro da figura os mapas da magnetização (à esquerda)
e do campo dipolar (à direita) do ponto C.
Os mapas da magnetização, do campo dipolar (HDip ) e do campo de corrente polarizada em spin (HST T ) detalham suas direções e as intensidades dos campos no ponto anterior à
reversão (A) e no ponto de reversão (B), figura 4.10, para o nanoelemento de Fe com dimensão
127.5 nm × 2.5 nm.
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
55
Figura 4.10: Mapas da magnetização (à esquerda), do campo dipolar HDip (ao centro) e do
campo de torque por transferência de spin HST T (à direita) nos pontos A e B para o nanoelemento de Fe com dimensão 127.5 nm × 2.5 nm. As barras de cores indica a intensidade dos
campos e estão nas mesma escala para o campo dipolar e na mesma escala de cores para o
campo de torque de spin.
Em A, corrente imediatamente antes da reversão, temos que os momentos magnéticos
nas bordas do elemento se curvam saindo do eixo x (A1 figura 4.10). A2 indica o mapa do campo
dipolar que apresenta módulo máximo para os momentos fora do eixo de anisotropia. Em A3 ,
temos que o torque de spin é totalmente contrário à magnetização de intensidade média local de
1.5 kOe. A próxima corrente, 12, 8 × 107 A/cm2 , reverte completamente a magnetização. Esta é
a correte de reversão de interesse, JC , que indica a corrente mínima para o qual a magnetização
reverte completamente. B1 , B2 e B3 , indicam o mapa dos momentos magnéticos, do campo
dipolar e do campo de torque de spin para a corrente de reverão, respectivamente. Pontos
onde estes campos favorecem a magnetização negativa de todo o elemento. Assim, observase que os momentos magnéticos se realinharam antiparalelamente ao seu estado inicial, ou
seja, houve uma completa reversão da magnetização. O campo dipolar apresenta praticamente
a mesma intensidade em ambas as situações (HDip ≈ 7 kOe), mas, devido à reversão, seu
sentido também é alterado. Já o campo de torque por corrente, responsável pela reversão da
magnetização, torna-se mais intenso nos pontos B (HST T ≈ 3.6 kOe), onde a densidade de
corrente aplicada é maior.
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
56
Apesar da não variação de JC após determinada dimensão em todas as espessuras,
tanto para a geometria circular, quanto para a elíptica, a corrente injetada continua crescendo
linearmente (figura 4.11), pois JC é uma densidade e a área superficial da camada livre continua
aumentando.
Figura 4.11: Relação entre a corrente aplicada ao nanoelemento circular de Ferro e a área
superficial da camada livre do sistema, onde L assume valores entre 34 nm e 107 nm.
4.3.2
Permalloy
Avaliaremos a densidade de corrente crítica para reversão da magnetização em nanoe-
lementos ultrafinos de Py, que tem uma menor magnetização de saturação e é um material isotrópico, ou seja, não apresenta energia de anisotropia uniaxial. O comportamento da densidade
de corrente crítica em função da espessura da camada livre (t) para nanoelementos circulares
de diâmetro L (nm), onde t = 1.0 nm, 1.5 nm, 2.0 nm e 2.5 nm e L assume valores entre 15 nm
e 112 nm, é mostrado na figura 4.12.
Observa-se que quanto maior a espessura do nanoelemento, maior também será o torque por transferência de spin e, portanto, a reversão da magnetização ocorrerá para uma densidade de corrente reduzida. Para o nanoelemento de Py com dimensão de 33 nm × 1 nm a
densidade de corrente de reversão é igual a 33 × 107 A/cm2 , o que representa um aumento de
66% em relação ao nanoelemento com as mesmas dimensões e espessura de 2.5 nm, no qual
J = 11 × 107 A/cm2 .
A densidade de corrente crítica limiar é igual a 8, 3 × 107 A/cm2 para t = 2.5 nm e
é reduzida para um valor 61% menor (3, 2 × 107 A/cm2 ) quando consideramos uma espessura
de 1.0 nm. A figura 4.13 revela esse comportamento decrescente da densidade de corrente
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
57
Figura 4.12: Gráfico da densidade de corrente crítica (J) versus diâmetro (L) de um nanoelemento circular de Permalloy, para espessuras variáveis.
crítica em função de t. Resultado similar ao obtido por Rahman et al. (2012) em seu estudo
experimental para o CoFeB com anisotropia perpendicular (no detalhe da figura 4.13), que
possui magnetização de saturação e rigidez de troca da ordem de grandeza do Py (MS,CoF eB =
0, 89 × 106 A/m e ACoF eB = 1, 0 × 10−11 J/m, (Makarov (2014)).
Figura 4.13: Dependência da densidade de corrente crítica limiar em função da espessura para
nanoelemento circular de Py. Destaca-se dentro da figura o resultado obtido por Rahman et al.
(2012) para medidas realizadas com CoFeB com 60 nm de diâmetro.
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
58
A figura 4.14 mostra a reversão de nanoelementos circulares de espessuras variáveis e
com diâmetros da ordem de 110 nm e espessuras variáveis. Todas as curvas apresentam uma
queda da magnetização no instante em que a densidade de corrente é nula. Ao aumentar J a
magnetização volta a crescer, se estabiliza e, então, ocorre a reversão quando a densidade de
corrente atinge seu valor crítico.
Figura 4.14: Curvas de reversão da magnetização para nanoelementos circulares de Py com
diâmetro da ordem de 110 nm.
O comportamento da magnetização do nanoelemento e do campo dipolar para J = 0 é
ilustrado na figura 4.15 com a curva de reversão do nanoelemento de 2.5 nm de espessura. Por
não ter anisotropia, os momentos magnéticos não se alinham ao longo do eixo, ou seja, o estado
magnético preferencial do Py quando não está sob a influência de um agente externo aponta na
direção mostrada na figura.
À medida em que injetamos a corrente que atravessa a camada, os momentos magnéticos se alinham ao longo do eixo e o campo dipolar também muda de direção, conforme os
painéis A da figura 4.16, que indicam os mapas da magnetização, do campo dipolar e do campo
de torque por spin no ponto imediatamente anterior à reversão. Ao aumentarmos a densidade
de corrente, a magnetização se mantem até J = 2, 8 × 107 A/cm2 , ponto A.
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
59
Figura 4.15: Curva de reversão da magnetização do nanoelemento de Py com dimensão
127.5 nm ×2.5 nm. A e B representam os pontos imediatamente antes e após a reversão. C
é o ponto no qual J = 0. Destaca-se dentro da figura os mapas da magnetização (à esquerda) e
do campo dipolar (à direita) do ponto C.
Na figura 4.16 temos o mapa dos momentos magnéticos A1 , o campo dipolar que
mantém a magnetização na direção positiva de x começa a perder a estabilidade e o torque
devido a corrente é na direção negativa de x, com intensidade em torno de 1.7 kOe. Para a
próxima densidade de corrente alcançamos JC = 3.0 × 107 A/cm2 e os mapas B1 , B2 e B3
indicam que os campos locais dipolar e de torque de spin estão favorecendo o alinhamento da
magnetização já revertida.
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
60
Figura 4.16: Mapas da magnetização (à esquerda), do campo dipolar HDip (ao centro) e do
campo de torque por transferência de spin HST T (à direita) nos pontos A e B para o nanoelemento de Py com dimensão 127.5 nm × 2.5 nm. As barras de cores indica a intensidade dos
campos e estão nas mesma escala para o campo dipolar e na mesma escala de cores para o
campo de torque de spin.
Assim como o Fe, a corrente total injetada (IC ) deve elevar-se com o aumento das
dimensões do nanoelemento, mesmo que a densidade de corrente crítica atinja um valor limite
(figura 4.11).
Figura 4.17: Relação entre a corrente aplicada ao nanoelemento circular de Permalloy e a área
superficial da camada livre do sistema, onde L assume valores entre 15 nm e 112 nm.
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
61
Ao comparar os efeitos de espessura na densidade de corrente crítica da reversão, JC ,
para nanoelementos circulares de Fe e Py, observa-se um comportamento inverso entre eles. A
figura 4.18 mostra claramente que a densidade de corrente crítica limiar é diretamente proporcional à espessura da camada livre para o Ferro, enquanto há um comportamento oposto para o
Permalloy.
Figura 4.18: Comparação da densidade de corrente crítica limiar em função da espessura para
nanoelementos circulares de Fe e Py, com dimensões aproximadas de 110 nm × t (nm).
Sabe-se, de acordo com a tabela 4.1, que o Py é isotrópico e sua magnetização de
saturação é quase metade da MS do Ferro. Isso implica que os efeitos dipolares, juntamente
com o campo local de troca, que mantém os momentos alinhados, estabiliza Py. Enquanto que,
para o Fe, a anisotropia uniaxial está presente e atua em conjunto tanto com o campo dipolar,
que é o dobro em relação ao Py, quanto com o campo de troca, determinando a configuração do
sistema. Observa-se que o Ferro tem sua estabilidade acrescida com a espessura, figura 4.18.
Isto pode ser devido aos efeitos do campo dipolar que aumenta com a espessura, destacamos que
o MS,F e ∼ 2.1MS,P y , então, para este intervalo de espessura e para estas dimensões, temos que
o Ferro resiste mais que o Permalloy para a reversão por corrente elétrica polarizada. Assim,
para uma espessura de 1 nm a densidade de corrente crítica limiar do Py é 23% maior que a
do Fe. Enquanto que para t = 2.5 nm, há uma redução de 75% na corrente de reversão do
nanoelemento de Py em relação ao Fe.
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
4.4
62
Efeitos de Forma em Nanoelementos Elípticos
Além de controlar a espessura da estrutura de interesse a fim de reduzir a densidade de
corrente de reversão da magnetização, recentes estudos têm focado na otimização das propriedades magnéticas da camada de reversão (Oguz et al. (2012)), no uso de complexas estruturas
na camada livre (Lee et al. (2009), Ichimura et al. (2009)) e no uso de campo externo ao longo
do eixo difícil (Devolder et al. (2006)).
A estabilidade magnética de nanoelementos ferromagnéticos deve-se, sobretudo, à anisotropia de forma. Espera-se que o estado fundamental de nanoelementos elípticos correspondessem à magnetização ao longo do eixo maior. Então, ao modificar a geometria da camada
livre para elíptica, espera-se que a densidade de corrente de reversão da magnetização ao longo
desse eixo seja maior que o valor correspondente para um nanoelemento circular. Entretanto,
se a magnetização está ao longo da direção do eixo menor, espera-se que menores efeitos externos, tanto campo externo quanto corrente elétrica polarizada em spin, sejam necessários para
reversão.
Figura 4.19: Curvas de densidade de corrente de reversão para nanoelementos elípticos de Fe
(eixo esquerdo) e Py (eixo direito). Curvas com símbolos quadrados para magnetização ao
longo do eixo maior e curvas com símbolo circular para magnetização ao longo do eixo menor.
Devido aos maiores valores da magnetização de saturação e da energia de anisotropia
uniaxial, a densidade de corrente crítica para nanoelemento de Fe com mesmas dimensões é
maior em relação ao Py. A figura 4.19 mostra que para nanoelementos circulares (90 nm ×90
nm ×2 nm) e aproximadamente circulares de Fe, a densidade de corrente de reversão é aproxi-
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
63
madamente igual a 25 × 107 A/cm2 , enquanto que para nanoelementos correspondentes de Py
os valores são reduzidos para 6 × 107 A/cm2 . Observa-se, ainda, os valores da densidade de
crítica para nanoelementos de dimensões 90 nm ×L (nm) ×2 nm, magnetizados ao longo do
eixo menor, e L (nm) ×90 nm ×2 nm, magnetizados ao longo do eixo maior.
Quando a magnetização está ao longo do eixo menor, o nanoelemento de Fe com
dimensão 90 nm ×46 nm ×2 nm apresenta densidade de corrente crítica igual a 3 × 107 A/cm2 ,
representando uma redução de 86% quando comparado ao nanoelemento circular. Já para o Py
de dimensão 90 nm ×70 nm ×2 nm, obtém-se uma densidade de corrente crítica igual a 6 × 106
A/cm2 que corresponde a uma redução de 90% em relação ao nanoelemento circular.
Para magnetização ao longo do eixo maior, um efeito inverso é observado. Nanoelementos de Fe e Py com dimensão 20 nm ×90 nm ×2 nm têm densidades de corrente crítica de
36, 6 × 107 A/cm2 e 8, 65 × 107 A/cm2 , respectivamente, representando um aumento de 44%
comparado às densidade de corrente crítica dos nanoelementos circulares correspondentes.
Figura 4.20: Curvas de reversão de nanoelementos elípticos de Fe com dimensões L (nm) ×70
nm ×2 nm. Os painéis (A) e (B) mostram a estrutura magnética dos pontos selecionados nas
curvas.
Além da necessidade de redução da densidade de corrente crítica, é primordial para
aplicações em células MRAM, por exemplo, analisar como a reversão da magnetização ocorre.
A figura 4.20 mostra as curvas de reversão de nanoelementos de Fe com dimensões L (nm)
×70 nm ×2 nm. As curvas preta e roxa representam os regimes circular e quase circular, nos
quais a densidade de corrente crítica são aproximadamente 25 × 107 A/cm2 . Enquanto que
para nanoelementos de Fe com baixa taxa de proporção (razão entre os diâmetros da elipse),
curvas azul e vermelha, as densidades de corrente de reversão são inferiores a 5 × 107 A/cm2 .
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
64
Apesar dessa redução da densidade de corrente crítica, observamos a existência de estados
intermediários, nos quais os momentos magnéticos alinham-se perpendicularmente ao estado
desejado e permanecem nesta configuração até que a densidade de corrente crítica seja atingida.
Estes estados devem ser evitados para uma melhor aplicação em MRAM, onde temos o interesse
da completa e direta reversão da magnetização.
Para o Permalloy, as curvas de reversão (figura 4.21) mostram que para os regimes
circular e quase circular (L (nm) ×70 nm ×2 nm), as densidades de corrente crítica são aproximadamente 6 × 107 A/cm2 . Quando o nanoelemento apresenta baixa taxa de proporção, esse
valor é inferior a 0, 6 × 107 A/cm2 .
Figura 4.21: Curvas de reversão de nanoelementos elípticos de Py com dimensões L (nm) ×70
nm ×2 nm.
Em ambos os casos, as menores densidades de corrente crítica correspondem a nanoelementos elípticos com comprimento do eixo menor abaixo de um valor limite, levando a
uma redução na estabilidade do estado com magnetização perpendicular ao eixo fácil do campo
dipolar. Assim, o processo de reversão ocorreu em duas etapas, apresentando estados intermediários da magnetização. Para o nanoelemento de Ferro (42 nm ×70 nm ×2 nm) a uma
densidade de corrente aproximadamente igual a 2 × 107 A/cm2 , a magnetização é revertida
para um estado intermediário na direção do eixo fácil do campo dipolar. Ao elevar a densidade de corrente, a magnetização é revertida na direção determinada pela polarização para o
estado de completa reversão. O mesmo comportamento é observado para o nanoelemento correspondente de Permalloy, entretanto, por ser isotrópico e apresentar menor magnetização de
saturação, a densidade de corrente de reversão é menor para o Py em relação ao Fe, sendo igual
a JC = 0.6 × 107 A/cm2 .
Capítulo 4. Reversão da Magnetização por Densidade de Corrente Polarizada em Spin
65
Os mapas do campo efetivo de corrente polarizada em spin (HJ ) e do campo dipolar
(Hd ) detalham a direção e intensidade desses campos nos pontos de reversão (figura 4.22). As
figuras 4.22a) e 4.22b) se referem à reversão do nanoelemento de Fe, com dimensão 46 (nm)
×70 nm ×2 nm, a uma densidade de corrente de 23 × 107 A/cm2 . Já as figuras 4.22c) e 4.22d)
estão relacionadas à reversão do nanoelemento de Fe, com dimensão 42 nm ×70 nm ×2 nm, a
uma menor densidade de corrente (1.4 × 107 A/cm2 ).
Figura 4.22: Mapas do campo efetivo de corrente polarizada em spin (HJ ) e do campo dipolar
(Hd ) no ponto de reversão para nanoelemento de Fe com dimensões de a) e b) 46 nm ×70 nm
×2 nm, e c) e d) 42 nm ×70 nm ×2 nm. A barra de cores indica a intensidade do campo.
Observa-se que, apesar das intensidades do campo dipolar terem valores quase iguais
nos dois casos, a orientação do campo efetivo de corrente e do campo dipolar favorece a baixa
corrente de reversão no nanoelemento com baixa taxa de proporção.
O valor limite do comprimento do eixo menor para o nanoelemento de Fe corresponde
a um taxa de proporção de 0.6, enquanto que para o Py esse valor é maior (0.83). Essa estabilidade extra da fase magnética dos nanoelementos de Fe magnetizados ao longo da direção
do eixo menor deve-se à sua anisotropia uniaxial. Como Py é isotrópico, os efeitos dipolares
são predominantes e arrastam o estado uniforme do eixo menor para a direção do eixo maior, a
partir de menores taxas de proporção.
CAPÍTULO 5
CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
O processo de reversão da magnetização está relacionado ao princípio básico de funcionamento do dispositivos de gravação e armazenamento de dados, amplamente utilizados na
indústria de informática. O efeito de torque por transferência de spin possibilitou avanços nas
aplicações em memórias magnéticas não voláteis, mas ainda há um enorme desafio em reduzir
a corrente elétrica necessária para reverter a magnetização. Este trabalho mostrou que o sistema
magnético pode ser convenientemente manipulado e proporcionar consideráveis reduções na
densidade de corrente de reversão da magnetização.
Investigamos como os efeitos de espessura influenciam no valor da densidade de corrente crítica para nanoelementos circulares de Ferro e Permalloy. Consideramos sistemas com
espessuras iguais a 1.0 nm, 1.5 nm, 2.0 nm e 2.5 nm e áreas variáveis. As densidade de corrente
encontradas foram da ordem de 107 A/cm2 . Para o Fe, observamos uma redução de 50% na
densidade de corrente crítica para t = 1.0 nm em relação ao nanoelemento mais espesso. Já
para o Py, houve um acréscimo de 61% para as mesmas espessuras. Em geral, por apresentar
maior magnetização de saturação e anisotropia uniaxial, que proporciona estabilidade à magnetização, a densidade de corrente crítica do Fe é menor, assumindo valores até 75% menores,
para espessura de 2.5 nm, em relação ao Py. Assim, consideráveis reduções na densidade de
corrente quando utilizamos materiais com menor magnetização de saturação porque aumenta o
torque e diminui os efeitos dipolares.
Analisamos, também, como a anisotropia de forma de nanoelipses de Fe e Py pode ser
explorada para projetar sistemas com consideráveis reduções, até 90%, da corrente de reversão.
Se a magnetização está ao longo do eixo maior, a densidade de corrente crítica será maior para
a elipse do que para o seu correspondente nanoelemento circular, tanto para o Fe quanto para
o Py. Essa estabilidade extra adquirida deve-se à anisotropia de forma que surge na direção
66
Capítulo 5. Conclusões e Perspectivas
67
da magnetização quando o sistema é alongado. Entretanto, se a magnetização está ao longo
do eixo menor, observa-se uma redução de até 90% em relação ao nanoelemento circular. As
curvas de reversão mostraram que as menores densidades de corrente crítica correspondem a
nanoelementos elípticos com comprimento do eixo menor abaixo de um valor limite, reduzindo
a estabilidade desse estado.
A otimização da reversão da magnetização via corrente elétrica ainda pode ser amplamente explorada. Pode-se estudar a utilização novos materiais, como o Co ou CoFeB, na
camada livre do sistema, pesquisar a influência da espessura do espaçador na densidade de
corrente crítica de reversão, modificar o polarizador, utilizar outra camada magnética dois nanoelementos acoplados, dentre outras possibilidades. Podemos, ainda, aprofundar o estudo dos
efeitos de uma corrente polarizada na reversão da magnetização incluindo um campo térmico
para analisar a estabilidade térmica do sistema, essencial para retenção de dados. Além disso,
outra perspectiva seria estudar a dinâmica da magnetização em si, com os momentos magnéticos modificando-se ao longo do tempo, ou então calcular a resistência elétrica em função da
corrente, já que os efeitos do STT são observados através da GMR.
O cenário de aplicações do efeito de torque por transferência de spin não se limita a
memórias magnéticas, podendo ser aplicado no estudo de vórtices com aplicações em nanoosciladores transmissores e recptores de microondas, presentes em antenas. O uso de STT para
controlar o núcleo de vórtice é um caminho promissor para o desenvolvimento de trabalhos
futuros.
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Produção Bibliográfica
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Esta Dissertação foi escrita em LATEX 2ε .
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