Lista prova parcial 4º bimestre. 1. (Upf 2012) Num laboratório está

Lista prova parcial 4º bimestre.
1. (Upf 2012) Num laboratório está sendo realizado um estudo sobre a evolução de uma
população de vírus. A seguinte sequência de figuras representa os três primeiros minutos
da reprodução do vírus (representado por um triângulo).
Supondo que se mantém constante o ritmo de desenvolvimento da população de vírus,
qual o número de vírus após uma hora?
a) 140
b) 180
c) 178
d) 240
e) 537
2. (Ufrgs 2012) A sequência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., a12) forma uma progressão aritmética.
Sabendo-se que a3 + a10 = 32, o valor da expressão log2 (a1 + a12)3 é
a) 10.
b) 15.
c) 21.
d) 26.
e) 32.
3. (Ufjf 2012) Seja f : ℝ → ℝ uma função definida por f ( x ) = 2x . Na figura abaixo está
representado, no plano cartesiano, o gráfico de f e um trapézio ABCD, retângulo nos
vértices A e D e cujos vértices B e C estão sobre o gráfico de f.
A medida da área do trapézio ABCD é igual a:
a) 2
b)
8
3
c) 3
d) 4
e) 6
4. (Uern 2012) O produto entre o maior número inteiro negativo e o menor número inteiro
positivo que pertence ao domínio da função f(x) = log3 (x 2 − 2x − 15) é
a) – 24.
b) – 15.
c) – 10.
d) – 8.
5. (Upe 2012) Terremotos são eventos naturais que não têm relação com eventos
climáticos extremos, mas podem ter consequências ambientais devastadoras,
especialmente quando seu epicentro ocorre no mar, provocando tsunamis. Uma das
expressões para se calcular a violência de um terremoto na escala Richter é
M=
 E 
2
⋅ log10 
 onde M é a magnitude do terremoto, E é a energia liberada (em joules) e
3
 E0 
E0 = 10 4,5 joules é a energia liberada por um pequeno terremoto usado como referência.
Qual foi a ordem de grandeza da energia liberada pelo terremoto do Japão de 11 de março
de 2011, que atingiu magnitude 9 na escala Richter?
a) 1014 joules
b) 1016 joules
c) 1017 joules
d) 1018 joules
e) 1019 joules
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Dado um número real positivo x, define-se a sequência: (log 4, log 8, log x) .
6. (Insper 2012) A sequência dada é uma progressão aritmética se, e somente se, o valor
de x for igual a
a) 8 2
b) 12
c) 12 2
d) 16
e) 20
7. (Mackenzie 2011) O lado, a altura e a área de um triângulo equilátero inscrito em um
círculo formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. A área do círculo é igual a
a) 2π
b) 3 3π
c) π
d) 3 π
e)
3π
8. (Uff 2010) O gráfico da função exponencial f, definida por f (x) = k ⋅ ax, foi construído
utilizando-se
o
programa
de
geometria
dinâmica
gratuito
GeoGebra
(http://www.geogebra.org), conforme mostra a figura a seguir:
Sabe-se que os pontos A e B, indicados na figura, pertencem ao gráfico de f. Determine:
a) os valores das constantes a e k;
b) f (0) e f (3).
9. (Fuvest 2010) Os números α1 , α 2 , α 3 formam uma progressão aritmética de razão r, de
tal modo que α 1 + 3, α 2 - 3, α 3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que
α 1 > 0 e α 2 = 2, conclui-se que r é igual a
a) 3 + 3
3
2
3
c) 3 +
4
3
d) 3 2
e) 3 - 3
b) 3 +
10. (Unemat 2010) Lança-se uma bola, verticalmente de cima para baixo, da altura de 4
metros. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas ½ da altura anterior.
A soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola até o
momento de repouso é:
a) 12 m
b) 6 m
c) 8 m
d) 4 m
e) 16 m
11. (Fgv 2009) Carlos tem oito anos de idade. É um aluno brilhante, porém comportou-se
mal na aula, e a professora mandou-o calcular a soma dos mil primeiros números ímpares.
Carlos resolveu o problema em dois minutos, deixando a professora impressionada. A
resposta correta encontrada por Carlos foi:
a) 512.000
b) 780.324
c) 1.000.000
d) 1.210.020
e) 2.048.000
12. (Fgv 2009) Seja a sequência 3, 2 3, 4 3, 8 3, …, cujos termos são radicais de radicando
3, e o índice de cada termo é o dobro do índice do termo anterior. Calcule o produto:
a) dos 10 primeiros termos dessa sequência.
b) dos infinitos termos dessa sequência.
 1
13. (Mackenzie 2009) O pH do sangue humano é calculado por pH = log   , sendo X a
X
molaridade dos íons H3O+. Se essa molaridade for dada por 4,0 × 10-8 e, adotando-se log 2
= 0,30, o valor desse pH será:
a) 7,20
b) 4,60
c) 6,80
d) 4,80
e) 7,40
14. (Uel 2008) Seja a equação exponencial: 9x + 3 = (1/27)x
Assinale a alternativa que contém a solução da equação exponencial dada.
a) x = - 6
b) x = - 6/5
c) x = 5/6
d) x = 5/2
e) x = 6
15. (Fuvest 2007) Sejam a1, a2, a3, a4, a5 números estritamente positivos tais que log2 a1,
log2 a2, log2 a3, log2 a4, log2 a5 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão
1
. Se a1 = 4, então o valor da soma a1 + a2 + a3 + a4 + a5 é igual a
2
a) 24 +
2
b) 24 + 2 2
c) 24 + 12 2
d) 28 + 12 2
e) 28 + 18 2
16. (Ufal 2006) Determine o valor do 458o termo da sequência
(cos 30°, cos 60°, cos 90°, cos 120°, ...).
17. (Pucmg 2006) O valor de x na igualdade x + (x/3) + (x/9) + ... = 12, na qual o primeiro
membro é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, é igual a:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
18. (Pucmg 2004) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três
horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função
Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de:
a) 1 dia e 3 horas.
b) 1 dia e 9 horas.
c) 1 dia e 14 horas.
d) 1 dia e 19 horas.
19. (Unesp 2003) Sabendo-se que (X , 3 , Y , Z , 24), nesta ordem, constituem uma P.A.
de razão r,
a) escreva X, Y e Z em função de r;
b) calcule a razão r da P.A. e os valores de X, Y e Z.
20. (Uerj 2003) Dois corredores vão se preparar para participar de uma maratona. Um
deles começará correndo 8 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distância em
2 km; o outro correrá 17 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distância em 1
km. A preparação será encerrada no dia em que eles percorrerem, em quilômetros, a
mesma distância.
Calcule a soma, em quilômetros, das distâncias que serão percorridas pelos dois
corredores durante todos os dias do período de preparação.
21. (Ufrj 2003) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$ 300,00 por
mês. Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de R$ 300,00,
gostaria de receber um pouquinho a cada dia: R$ 1,00 no primeiro dia de cada mês e, a
cada dia, R$ 1,00 a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, ao final do
primeiro mês, logo percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com
30 dias, Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de R$ 300,00.
Justifique.
22. (Pucrs 2003) O valor de x na equação x + (x/2) + (x/4) + (x/8) + ... = 10 é
a) 5
b) 10
c) 20
d) 1/2
e) 1/4
23. (Fuvest 2002) Seja f(x) = 22x+1. Se a e b são tais que f(a) = 4f(b), pode-se afirmar que:
a) a + b = 2
b) a + b = 1
c) a - b = 3
d) a - b = 2
e) a - b = 1
24. (Unicamp 2000) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população
seja dado pela função: F(t)=a.2-bt, onde a variável t é dada em anos e a e b são
constantes.
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024
indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial?
25. (Fuvest-gv 1991) Dado um quadrado Q1 cujo lado tem comprimento ℓ=1, considere a
sequência infinita de quadrados {Q1,Q2,Q3,...} onde cada quadrado é obtido unindo-se os
pontos médios dos lados do quadrado anterior. A soma das áreas de todos os quadrados
da sequência é:
a) 4
b)
4 2
2 −1
4
c)
3
d) 2
e)
2
2 −1
Gabarito:
1: [C]
2: [B]
Propriedade de Progressão Aritmética:
a1 + a12 = a2 + a11 = a3 + a10 .
Portanto:
( )
log2 (a1 + a12 )3 = log(a2 + a10 )3 = log2 25
3
= 15.
3: [C]
4: [A]
A função f está definida para os valores reais de x, tais que
x2 − 2x − 15 > 0 ⇔ (x − 1)2 > 16
⇔ | x − 1| > 4
⇔ x < −3 ou x > 5.
Portanto, como −4 é o maior número inteiro negativo e 6 é o menor número inteiro positivo que
pertencem ao domínio de f, segue que o produto pedido é igual a −4 ⋅ 6 = −24.
5: [D]
M=
 E 
 E 
 E  3×9
2
2
E
⋅ log10 
⇒ 1013,5 =
⇒ E = 1018
 ⇒ ⋅ log10  4,5  = 9 ⇒ log10  4,5  =
4,5
3
2
3
E
10
 10 
 10 
 0
6: [D]
Considerando a sequência como P.A, temos:
log 4 + log x
log8=
2
2.log8 = log(4.x)
log82 = log(4x)
64 = 4x
x = 16
7: [C]
ℓ,
ℓ 3 ℓ2 3
,
formam uma P.G
2
4
Logo,
ℓ 3

 2
2

ℓ2 3
⇔ ℓ3 . 3 − 3.ℓ2 = 0 ⇔ ℓ2 (ℓ. 3 − 3) = 0 ⇔ ℓ = 0 (não convém) ou ℓ= 3
 = ℓ.
4

Portanto:
2
2 3⋅ 3
R = ⋅h ⇔ R = ⋅
⇔R =1
3
3
3
A = π .12 = π
8:
 3 = a.k 1 ( I )
3

a)  9
dividindo (II) por (I) temos: a = 3/2 e 3 = k. ⇔ k = 2
2
=
k
.
a
(
II
)
2
 2
3
b) f ( x) = 2. 
2
x
0
3
f (0) = 2.  = 2
2
3
27
3
f (3) = 2.  =
4
2
9: [E]
P.A.(2 – r, 2, 2 + r) 2 – r > 0 ⇔ r < 2
P.G.(5 – r, -1 , -1 + r )
Aplicando a propriedade da P.G. Temos:
(-1) = (5 – r).(r – 1) ⇔ r – 6r + 6 = 0 ⇔ r = 3 + 3 (não convém, maior que 2) ou r = 3 − 3
(convém)
2
2
10: [A]
S = 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + ½ +1/2 + ...
S = 4 + 4 + 2 + 1 + ½ + ...( P.G. infinita de razão ½)
4
S=4+
(soma dos termos da P.G. Infinita)
1
1−
2
S=4+8
S = 12m
11: [C]
512
12:a)
31023 .
b) 9.
13: [E]
14: [B]
15: [D]
°
°
16: cos 13.740 = cos 60 = 1/2
17: [A]
18: [A]
19: a) X = 3 - r; Y = 3 + r e Z = 3 + 2r.
b) r = 7, X = - 4 , Y = 10 e Z = 17.
20: 385 km
21:
Em 30 dias, Riquinho receberá 1 + 2 + 3 + ... + 30 reais. Como 1 + 30 = 2 + 29 = ... = 15 + 16,
temos 1 + 2 + 3 + ... + 30 = 15 × 31 = 465. Logo, Riquinho receberá R$165,00 a mais.
R.: R$165,00
22: [A]
23: [E]
24:
a) a = 1024 e b = 1/10
b) t(min) = 30 anos
25: [D]