gabarito - Walter Tadeu

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COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
Exercícios de Polinômios – Conceito e operações - GABARITO
1. Determine o quociente da divisão de (15a2b + 20ab2 + 30a2b2) por (5ab).
Solução. Na divisão de polinômio por monômio basta colocar este em evidência.
D  15a 2 b  20ab 2  30a 2 b 2
 15a 2 b  20ab 2  30a 2 b 2  5ab(3a  4b  6ab)

d  5ab
Logo : Q  3a  4b  6ab
2. Sabendo-se que o número complexo z = 1 + i é raiz do polinômio P(x) = 2x4 + 2x2 + x + a, calcule o valor de a.
Solução. Se z = 1 + i é raiz de P(x), então P(1 + i) = 0. Substituindo, vem:
(1  i) 2  1  2i  i 2  1  2i  1  2i
OBS : 
2
(1  i) 4  (1  i ) 2  2i 2  4i 2  4


P(1  i )  2(1  i) 4  2(1  i ) 2  (1  i )  a
 2(4)  2(2i)  1  i  a  0  8  4i  1  i  a  0

P
(
1

i
)

0

 7  5i  a  0  a  7  5i
3. Calcule o resto da divisão do polinômio x4 + x3 - 7x2 + x + 9 por x2 + 2x + 1.
Solução. Utilizando a divisão pelo método da chave, vem:
 D( x)  x 4  3x 3  7 x 2  x  9

2
d ( x )  x  2 x  1

2
Q( x)  x  x  6
r ( x)  14 x  15  resto

4. Dividindo (x3 − 4x2 + 7x − 3) por um certo P(x), obtém-se o quociente (x − 1) e resto (2x − 1). Determine P(x).
Solução. Identificando P(x) como o divisor e aplicando na expressão da divisão entre polinômios, vem:
D( x)  P( x).Q( x)  r ( x)  x 3  4 x 2  7 x  3  P( x).( x  1)  (2 x  1) 
 x 3  4 x 2  7 x  3  P( x).x  1  (2 x  1)  x 3  4 x 2  7 x  3  2 x  1  P( x). x  1 


P( x)  x 3  4 x 2  5 x  2  x  1
Dividindo encontra-se P( x)  x  3x  2 .
2
5. Determinar m, n e p de modo que P(x) = px4 + (n – p – 1)x2 + (2m – n – p)x seja um polinômio nulo.
Solução. Para que o polinômio seja nulo, todos os coeficientes e o termo independente devem ser nulos:
p  0
n  1  0  n  1
 P( x)  px 4  (n  p  1) x 2  (2m  n  p) x 

 n  p  1  0  

1
 P( x)  0  polinômio (nulo )
2m  n  p  0 2m  (1)  0  0  m  2

1


m

2

Logo : n  1
p  0


6. (PUC-SP) Calcule o número de raízes reais do polinômio p(x) = (x2 + 1) (x – 1) (x +1).
Solução. As raízes de P(x) são os valores que anulam P(x). Como P(x) está da forma fatorada, temos:
 2
x  i
2
x  1  0  x   1  
 x  i

P( x)  ( x 2  1)( x  1)( x  1)

 ( x 2  1)( x  1)( x  1)  0   x  1  0  x  1

 P( x)  0
 x  1  0  x  1


reais : {1,1}  total  2
Raízes : 
complexas : {i,1}
7. Se P(x) = 2x3 + ax + b, P(2) = 12 e P(–2) = 8, calcule P(1).
Solução. Substituindo os valores indicados, temos:
P( x)  2 x 3  ax  b
 P(2)  2(2) 3  a(2)  b
2a  b  16  12
b  10


2
b

20




 P(2)  2(2) 3  a(2)  b  2a  b  16  8
2a  4  10  a  7
Logo : P( x)  2 x 3  7 x  10  P(1)  2(1) 3  7(1)  10  2  7  10  5
8. (Mack) Calcule m para que o polinômio P(x) = (m – 4)x3 + (m2 – 16)x2 + (m + 4)x + 4 seja de grau 2.
Solução. Para que o polinômio seja de grau 2, o coeficiente do termo de maior grau deverá ser diferente de
zero e o expoente da variável deste termo deverá ser igual a 2.
m  4  0  m  4
P( x)  (m  4) x 3  (m 2  16) x 2  (m  4) x  4 
 2
m  4

m

16

0



gr
P
(
x
)

2



m  4

Pelas condições encontradas, não há valor possível de “m” que permita que P(x) possua grau 2.
9. (UFRS) Se P(x) é um polinômio de grau 5, então, calcule o grau de [P(x)]3+ [P(x)]2 + 2P(x).
Solução. Lembrando que elevar uma potência a outra representa o produto delas, temos:
 gr P( x)3  3  5  15

 gr P( x)  5
2


 gr P( x)  2  5  10
3
2
P( x)  P( x)  2 P( x)  gr P( x)  5





gr P( x)  P( x)  2 P( x)  maior gr P( x) ; gr P( x) ; gr P( x)  15
3
2
3
2
10. Sejam os polinômios A(x) = x3 – x2 + x – 1 e B(x) = -3x2 + x + 2, Calcule:
a)
1
A   B 1
2
b)
A0  B1
Solução. Calculando o valor numérico em cada caso, temos:
  1   1 3  1  2  1 
1 1 1
1 2  4  8
5

 A            1     1 
8 4 2
8
8
 2 2 2 2

2
a)  B 1  3 1   1  2  3  1  2  2
5
 5  16 11
1
 A   B 1    (2) 

8
8
8
2
 A0  03  02  0  1  1
 A0  B1  1  0  1
b) 
B1  312  1  2  3  1  2  0
11. Determine m,n,p de modo que (mx2 + nx + p).(x + 1) = 2x3 + 3x2 – 2x – 3.
Solução. Efetuando o produto e igualando os coeficientes de mesmo grau, temos:


 P( x)  mx 2  nx  p .x  1  mx 3  mx 2  nx 2  nx  px  1  mx 3  (m  n) x 2  (n  p) x  p


 P( x)  2 x 3  3x 2  2 x  3
m  2
m  2


 m  n  3   2  n  3  n  1
n  p  2 1  p  2  p  3


12. Considere os polinômios A(x) = x2 – 3x + 1, B(x)=(x + 4).(2 – 5x) e C(x) = mx2 + (n + 4)x – 2p. Determine
m,n,p de modo que A(x) + B(x) = C(x).
Solução. Efetuando a adição e igualando os coeficientes, temos:
 A( x)  x 2  3x  1

2
2
B( x)  ( x  4).( 2  5 x)  5 x  18 x  8  A( x)  B( x)  4 x  21x  9 
C ( x)  mx 2  (n  4) x  2 p


m  4

 A( x)  B( x)  C ( x)  n  4  21  n  25

9
 2 p  9  p  
2

13. Determine o valor de m para que o polinômio M(x) = (m2 – m – 30)x3 – (5 + m)x2 + 2x – 3 tenha grau 1.
Solução. Para que a condição seja satisfeita, os coeficientes de graus 3 e 2 devem ser nulos. O coeficiente de
grau 1 já é diferente de zero.
 2
m  6
m  m  30  0  (m  6)( m  5)  0  

m  5 . Logo, o valor m = – 5 anula os termos de grau 2 e 3.
5  m  0  m  5

14. (UnB) Seja f(x) = ax5 + bx3 + cx + 10. Calcule f(–2) sabendo que f(2) = 2.
Solução. Substituindo os valores, temos:
 f 2  a25  b23  c2  10
 32a  8b  2c  10  2  32a  8b  2c  8



f
2

2

f (2)  a 2  b 2  c 2  10  32a  8b  2c  10  (32a  8b  2c)  10 
5
3
 f (2)  (8)  10  18
15. Determinar o polinômio f(x) do segundo grau tal que f(1) = f(– 2) = 9 e f(– 1) = 1
Solução. Um polinômio do 2º grau é da forma f(x) = ax2 + bx + c. Substituindo os valores indicados, temos:
 f (1)  a(1) 2  b(1)  c
a  b  c  9
a  b  c  9

2b  10  b  5


2
 f (1)  a(1)  b(1)  c  a  b  c  1  (  1)   a  b  c  1  
4a  2b  c  9
 f (2)  a(2) 2  b(2)  c 4a  2b  c  9
4a  2b  c  9



a  5  c  9
a  c  4  (  1)  a  c  4
a  5



 3a  15  
4a  2(5)  c  9 4a  c  19
4a  c  19
c  4  5  1
f ( x)  5 x 2  5 x  1
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