COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
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Exercícios de Polinômios – Conceito e operações - GABARITO
1. Determine o quociente da divisão de (15a2b + 20ab2 + 30a2b2) por (5ab).
Solução. Na divisão de polinômio por monômio basta colocar este em evidência.
D 15a 2 b 20ab 2 30a 2 b 2
15a 2 b 20ab 2 30a 2 b 2 5ab(3a 4b 6ab)
d 5ab
Logo : Q 3a 4b 6ab
2. Sabendo-se que o número complexo z = 1 + i é raiz do polinômio P(x) = 2x4 + 2x2 + x + a, calcule o valor de a.
Solução. Se z = 1 + i é raiz de P(x), então P(1 + i) = 0. Substituindo, vem:
(1 i) 2 1 2i i 2 1 2i 1 2i
OBS :
2
(1 i) 4 (1 i ) 2 2i 2 4i 2 4
P(1 i ) 2(1 i) 4 2(1 i ) 2 (1 i ) a
2(4) 2(2i) 1 i a 0 8 4i 1 i a 0
P
(
1
i
)
0
7 5i a 0 a 7 5i
3. Calcule o resto da divisão do polinômio x4 + x3 - 7x2 + x + 9 por x2 + 2x + 1.
Solução. Utilizando a divisão pelo método da chave, vem:
D( x) x 4 3x 3 7 x 2 x 9
2
d ( x ) x 2 x 1
2
Q( x) x x 6
r ( x) 14 x 15 resto
4. Dividindo (x3 − 4x2 + 7x − 3) por um certo P(x), obtém-se o quociente (x − 1) e resto (2x − 1). Determine P(x).
Solução. Identificando P(x) como o divisor e aplicando na expressão da divisão entre polinômios, vem:
D( x) P( x).Q( x) r ( x) x 3 4 x 2 7 x 3 P( x).( x 1) (2 x 1)
x 3 4 x 2 7 x 3 P( x).x 1 (2 x 1) x 3 4 x 2 7 x 3 2 x 1 P( x). x 1
P( x) x 3 4 x 2 5 x 2 x 1
Dividindo encontra-se P( x) x 3x 2 .
2
5. Determinar m, n e p de modo que P(x) = px4 + (n – p – 1)x2 + (2m – n – p)x seja um polinômio nulo.
Solução. Para que o polinômio seja nulo, todos os coeficientes e o termo independente devem ser nulos:
p 0
n 1 0 n 1
P( x) px 4 (n p 1) x 2 (2m n p) x
n p 1 0
1
P( x) 0 polinômio (nulo )
2m n p 0 2m (1) 0 0 m 2
1
m
2
Logo : n 1
p 0
6. (PUC-SP) Calcule o número de raízes reais do polinômio p(x) = (x2 + 1) (x – 1) (x +1).
Solução. As raízes de P(x) são os valores que anulam P(x). Como P(x) está da forma fatorada, temos:
2
x i
2
x 1 0 x 1
x i
P( x) ( x 2 1)( x 1)( x 1)
( x 2 1)( x 1)( x 1) 0 x 1 0 x 1
P( x) 0
x 1 0 x 1
reais : {1,1} total 2
Raízes :
complexas : {i,1}
7. Se P(x) = 2x3 + ax + b, P(2) = 12 e P(–2) = 8, calcule P(1).
Solução. Substituindo os valores indicados, temos:
P( x) 2 x 3 ax b
P(2) 2(2) 3 a(2) b
2a b 16 12
b 10
2
b
20
P(2) 2(2) 3 a(2) b 2a b 16 8
2a 4 10 a 7
Logo : P( x) 2 x 3 7 x 10 P(1) 2(1) 3 7(1) 10 2 7 10 5
8. (Mack) Calcule m para que o polinômio P(x) = (m – 4)x3 + (m2 – 16)x2 + (m + 4)x + 4 seja de grau 2.
Solução. Para que o polinômio seja de grau 2, o coeficiente do termo de maior grau deverá ser diferente de
zero e o expoente da variável deste termo deverá ser igual a 2.
m 4 0 m 4
P( x) (m 4) x 3 (m 2 16) x 2 (m 4) x 4
2
m 4
m
16
0
gr
P
(
x
)
2
m 4
Pelas condições encontradas, não há valor possível de “m” que permita que P(x) possua grau 2.
9. (UFRS) Se P(x) é um polinômio de grau 5, então, calcule o grau de [P(x)]3+ [P(x)]2 + 2P(x).
Solução. Lembrando que elevar uma potência a outra representa o produto delas, temos:
gr P( x)3 3 5 15
gr P( x) 5
2
gr P( x) 2 5 10
3
2
P( x) P( x) 2 P( x) gr P( x) 5
gr P( x) P( x) 2 P( x) maior gr P( x) ; gr P( x) ; gr P( x) 15
3
2
3
2
10. Sejam os polinômios A(x) = x3 – x2 + x – 1 e B(x) = -3x2 + x + 2, Calcule:
a)
1
A B 1
2
b)
A0 B1
Solução. Calculando o valor numérico em cada caso, temos:
1 1 3 1 2 1
1 1 1
1 2 4 8
5
A 1 1
8 4 2
8
8
2 2 2 2
2
a) B 1 3 1 1 2 3 1 2 2
5
5 16 11
1
A B 1 (2)
8
8
8
2
A0 03 02 0 1 1
A0 B1 1 0 1
b)
B1 312 1 2 3 1 2 0
11. Determine m,n,p de modo que (mx2 + nx + p).(x + 1) = 2x3 + 3x2 – 2x – 3.
Solução. Efetuando o produto e igualando os coeficientes de mesmo grau, temos:
P( x) mx 2 nx p .x 1 mx 3 mx 2 nx 2 nx px 1 mx 3 (m n) x 2 (n p) x p
P( x) 2 x 3 3x 2 2 x 3
m 2
m 2
m n 3 2 n 3 n 1
n p 2 1 p 2 p 3
12. Considere os polinômios A(x) = x2 – 3x + 1, B(x)=(x + 4).(2 – 5x) e C(x) = mx2 + (n + 4)x – 2p. Determine
m,n,p de modo que A(x) + B(x) = C(x).
Solução. Efetuando a adição e igualando os coeficientes, temos:
A( x) x 2 3x 1
2
2
B( x) ( x 4).( 2 5 x) 5 x 18 x 8 A( x) B( x) 4 x 21x 9
C ( x) mx 2 (n 4) x 2 p
m 4
A( x) B( x) C ( x) n 4 21 n 25
9
2 p 9 p
2
13. Determine o valor de m para que o polinômio M(x) = (m2 – m – 30)x3 – (5 + m)x2 + 2x – 3 tenha grau 1.
Solução. Para que a condição seja satisfeita, os coeficientes de graus 3 e 2 devem ser nulos. O coeficiente de
grau 1 já é diferente de zero.
2
m 6
m m 30 0 (m 6)( m 5) 0
m 5 . Logo, o valor m = – 5 anula os termos de grau 2 e 3.
5 m 0 m 5
14. (UnB) Seja f(x) = ax5 + bx3 + cx + 10. Calcule f(–2) sabendo que f(2) = 2.
Solução. Substituindo os valores, temos:
f 2 a25 b23 c2 10
32a 8b 2c 10 2 32a 8b 2c 8
f
2
2
f (2) a 2 b 2 c 2 10 32a 8b 2c 10 (32a 8b 2c) 10
5
3
f (2) (8) 10 18
15. Determinar o polinômio f(x) do segundo grau tal que f(1) = f(– 2) = 9 e f(– 1) = 1
Solução. Um polinômio do 2º grau é da forma f(x) = ax2 + bx + c. Substituindo os valores indicados, temos:
f (1) a(1) 2 b(1) c
a b c 9
a b c 9
2b 10 b 5
2
f (1) a(1) b(1) c a b c 1 ( 1) a b c 1
4a 2b c 9
f (2) a(2) 2 b(2) c 4a 2b c 9
4a 2b c 9
a 5 c 9
a c 4 ( 1) a c 4
a 5
3a 15
4a 2(5) c 9 4a c 19
4a c 19
c 4 5 1
f ( x) 5 x 2 5 x 1
