ficha 12

Análise Complexa e Equações Diferenciais
2 Semestre 2015/2016
o
¯
Curso: MEAmbi, MEBiol, MEQ
Ficha de Problemas no¯ 12
Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais
1. Calcule a série de Fourier da função f : [−1, 1] → R definida por
−1 se −1 6 x 6 0,
f (x) =
+1 se
0 < x 6 1.
2. Determine a série de Fourier da função g(x) = L − |x|, no intervalo [−L, L]. Utilizando a
série obtida num ponto adequado, aproveite para mostrar que
+∞
X
n=1
1
1
1
π2
=
1
+
+
+
·
·
·
=
.
(2n − 1)2
32 52
8
3. Determine a série de Fourier da função h(x) = x2 , no intervalo x ∈ [−L, L]. Utilizando a
série obtida em pontos adequados, aproveite para mostrar que
+∞
X
1
1
π2
1
=
1
+
+
+
·
·
·
=
n2
22 32
6
n=1
e
+∞
X
(−1)n+1
n=1
n2
= 1−
1
1
1
π2
+
−
+
·
·
·
=
22 32 42
12
4. Determine a série de Fourier da função definida no intervalo [−π, π] por
0 se −π ≤ x < 0
j(x) =
x se 0 ≤ x ≤ π
Indique a soma da série para x ∈ [−π, π].
5. Determine a série de Fourier da função definida no intervalo [−2, 2] por

 0 se −2 ≤ x < 0
l(x) =
1 se 0 ≤ x ≤ 1

0 se 1 ≤ x ≤ 2
Indique a soma da série para x ∈ [−2, 2].
6. Calcule a série de Fourier da onda sinusoidal rectificada, isto é, de
sen x se sen x > 0
f (x) =
0
se sen x 6 0
7. Desenvolva a função definida no intervalo [0, 1] por f (x) = 1 numa série de senos e indique
para que valores converge (pontualmente) a série obtida.
8. Determine a série de cosenos da função r(x) = x no intervalo [0, π], indicando a soma da
série em R.
9. Considere a função f : [0, 2] → R definida por
1 − x se 0 < x ≤ 1
f (x) =
1
se 1 < x ≤ 2
(a) Esboçe o gráfico da extensão par de f ao intervalo [−2, 2] e obtenha o desenvolvimento
em série de cosenos de f nesse intervalo, indicando a respectiva soma da série.
(b) Esboçe o gráfico da extensão ı́mpar de f ao intervalo [−2, 2] e obtenha o desenvolvimento em série de senos de f nesse intervalo, indicando a respectiva soma da série.
10. Considere a função f : [0, 1] → R definida por f (x) = x. Determine:
(i) a série de Fourier associada a f ;
(ii) a série de senos associada a f ;
(iii) a série de cosenos associada a f .
11. Determine a solução do seguinte problema de valor inicial e condição na fronteira:
2
ut = α uxx , x ∈ (0, π), com
u(0, t) = u(π, t) = 0
u(x, 0) = sen (x) − 2 sen (5x).
12. Determine a solução do seguinte problema de valor inicial e condição na fronteira:
ux (0, t) = ux (L, t) = 0
ut = uxx − u, x ∈ (0, L), com
u(x, 0) = cos (3πx/L).
13. Resolva o seguinte problema de valores de fronteira e inicial para 0 < x < π e t > 0
u(0, t) = u(π, t) = 0
utt (x, t) = uxx (x, t) com
u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = sen (x) + 3sen (3x)
14.
a) Recorrendo ao método de separação de variáveis, determine as soluções para t > 0 e
para x ∈ [0, π] de

∂2u
 ∂u
= 2 −u
∂t
∂x
u(0, t) = u(π, t) = 0
(satisfazendo a equação diferencial para x ∈]0, π[).
b) Determine a solução que satisfaz a condição inicial
u(x, 0) = (π − x)x .
15. Seja f a função definida no intervalo ]0, 2π[ por f (x) = x.
(a) Determine a série de cosenos da função f .
(b) Resolva a equação
16.

 ut = uxx − tu, x ∈ (0, 2π)
ux (0, t) = ux (2π, t) = 0

u(x, 0) = f (x)
a) Recorrendo ao método de separação de variáveis, determine as soluções para t > 0 e
para x ∈ [0, 1] de

∂2u
∂u


=
+ u se x ∈]0, 1[

∂t
∂x2
u(0, t) = 0
se t > 0



u(1, t) = sen 1 se t > 0
b) Determine a solução que satisfaz a condição inicial
u(x, 0) = 3sen (2πx) − 7sen (4πx) + sen (x) .
17. Considere a equação de propagação do calor
∂2u
∂u
= α 2.
∂t
∂x
(∗)
(a) Mostre que esta equação possui uma solução estacionária (isto é que não depende do
tempo) da forma u(x) = Ax + B.
(b) Determine a solução estacionária para o problema correspondente a uma barra situada entre os pontos x = 0 e x = L, em que se fixam as temperaturas u(0, t) =
T1 , u(L, t) = T2 .
(c) Resolva
a equação (∗) para 0 6 x 6 1 e para as condições iniciais e de fronteira

 u(0, t) = 20
u(1, t) = 60

u(x, 0) = 75.
18. Considere a seguinte equação diferencial parcial
∂u
∂2u
− (cos t) 2 = 0.
∂t
∂x
Recorrendo ao método de separação de variáveis, resolva o problema de valor inicial e
fronteira, para a equação dada, com as condições

t > 0,
 u(t, 0) = 0
u(t, π) = 0
t > 0,

u(0, x) = sen x + 2 sen x cos x 0 ≤ x ≤ π
19. Seja a função f definida no intervalo (0, π) por f (x) = sen (x).
(a) Determine a série de Fourier de cosenos da função f .
(b) Diga, justificando, qual o valor da soma da série de Fourier da alÃnea anterior para
cada x no intervalo [−π, π].
(c) Resolva a equação

 ut = uxx + 2u, x ∈ ]0, π[
ux (0, t) = ux (π, t) = 0

u(x, 0) = f (x).
20. Recorrendo ao método de separação de variáveis, resolva o seguinte problema para a equação
das ondas
 2
2
∂ u

2∂ u


 ∂t2 = c ∂x2
u(t, 0) = u(t, 1) = 0



u(0, x) = 0 , ∂u (0, x) = 1
∂t
para t > 0 e para x ∈ [0, 1], (satisfazendo a equação diferencial para x ∈]0, 1[) e onde c é
uma constante real positiva.
21. Considere o seguinte problema de valores na fronteira, para (x, y) ∈]0, 1[×]0, 1[
∂u
∂2u ∂2u
(0, y) = ∂u
(1, y) = 0
∂x
∂x
+
=
0
com
2
2
u(x, 0) = 0 , u(x, 1) = f (x)
∂x
∂y
sendo
f (x) =
1
−1
(1)
se 0 ≤ x ≤ 1/2,
se 1/2 < x ≤ 1.
(a) Determine a série de cosenos da função f no intervalo [0, 1] e indique para que valores
converge a série.
(b) Resolva o problema (1).
22. Recorrendo ao método de separação de variáveis, resolva o seguinte problema para a equação
de Laplace
∂2u ∂2u
+
= 0 , x, y ∈ [0, 1]
∂x2 ∂y 2
∂u
(x, 0) = 0 ,
∂y
∂u
(x, 1) = cos (2πx)
∂y
∂u
(0, y) = 0 ,
∂x
∂u
(1, y) = cos (2πy)
∂x
23. Recorrendo ao método de separação de variáveis, resolva o seguinte problema para a equação
das ondas
 2
∂2u
∂ u ∂2u


+
=


∂x2 ∂y 2
∂t2




u(x, 0, t) = x , u(x, 1, t) = x
u(0, y, t) = 0 , u(1, y, t) = 1




u(x, y, 0) = x




 ∂u (x, y, 0) = cos (2π (x − y)) − cos (2π (x + y))
∂t
para x, y ∈ [0, 1] e t ∈ R.
Soluções
1.
4
π
P∞
2.
L
2
+
n=0
4L
π2
sen ((2n+1)πx)
2n+1
1
n=1 (2n−1)2
P∞
cos
(2n−1)πx
L
. Fazendo x = 0 obtém-se
1
n=1 (2n−1)2
P∞
=
π2
.
8
P
2 P∞
(−1)n
1
nπx
π2
+ 4L
cos
. Fazendo x = L obtém-se ∞
2
2
n=1 n
n=1 n2 = 6 ;
π
L
P
2
(−1)n+1
fazendo x = 0, obtém-se ∞
= π12
n=1
n2
i j(x) se −π < x < π
P∞ h 1
(−1)n+1
π
n
4. 4 + n=1 n2 π (−1) − 1 cos (nx) + n sen (nx) =
π
se x = ±π
2

 0 se −2 ≤ x < 0

h
i 
P
1 se 0 ≤ x < 1
nπ
1
nπx
nπ
nπx
sen
=
cos
+
1
−
cos
sen
5. 14 + ∞
n=1 nπ
2
2
2
2
0 se 1 < x ≤ 2


 1
se x = 0 ou x = 1
2
P
1
6. π1 + 12 sen x + π2 ∞
n=1 1−4n2 cos (2nx)
3.
L2
3
∞
4X 1
7.
sen (2n − 1)πx =
π n=1 2n − 1
1 se
0<x<1
0 se x = 0 ou x = 1
P
P∞
2
4
π
n
8. SFcos r(x) = π2 + ∞
n=1 n2 π ((−1) − 1)cos (nx) = 2 −
n=1 (2n−1)2 π cos (2n − 1)x =
x − 2kπ se 2kπ ≤ x ≤ (2k + 1)π
=
para k ∈ Z.
2kπ − x se (2k − 1)π < x < 2kπ
i
P∞ h 4 3
2
nπ
nπ
9. (a) SFcos f (x) = 4 + n=1 n2 π2 (1 − cos 2 + nπ sen 2 cos nπx
=
2

 1 − x se 0 ≤ x < 1
1
se 1 < x ≤ 2 .
=
 1
se x = 1 h 2
i
P
2
nπ
4
nπ
n
(b) SFsen f (x) = ∞
(1
−
(−1)
+
cos
−
sen
sen nπx
=
n=1 nπ
2
n2 π 2
2
2

1 − x se 0 < x < 1



1
se 1 < x < 2
.
=
1
se
x=1


 2
0
se x = 0 ou x = 2
10. (i)
1
2
−
1
2
(iii)
−
2
sen (2nπx)
n=1
nπ
P∞
1
4 n=1 (2n−1)
2
P∞
2
(ii)
2
π
12. e
L
cos 3πx
L
n=1
(−1)n+1
n
cos (2n − 1)πx
11. e−α t sen (x) − 2e−25α t sen (5x)
2
− 1− 9π2 t
P∞
sen (nπx)
13. u(x, t) = sen (t)sen (x) + sen (3t)sen (3x)
P
−(1+n2 )t
sen (nx)
14. (a) ∞
n=1 Bn e
(b)
4(1−(−1)n )
n=1
n3 π
P∞
15. (a) π +
−(1+n2 )t
e
4((−1)n −1)
cos
n=1
n2 π
P∞
sen (nx) =
8
π
n
x
2
8
π
=π−
P∞
n=0
e
(
)
− 1+(2n+1)2 t
(2n+1)3
1
n=0 (2n+1)2
P∞
cos
sen ((2n + 1)x)
n+
1
2
x
2
2
P
t2
(−1)n −1 − n t+2t
4
(b) πe− 2 + π4 ∞
e
cos n2 x
n=1
n2
P
(1−n2 π 2 ) t
sen (nπx), onde An ∈ R para qualquer n ∈ N.
16. (a) sen x + ∞
n=1 An e
2
(b) sen x + 3e(1−4π )t sen (2πx) − 7e(1−16π
2) t
sen (4πx)
1
x
17. (b) u(x) = T1 + T2 −T
L
2 2
P∞ 10
(c) 20 + 40x + n=1 nπ 11 − 3(−1)n e−n π αt sen (nπx)
18. u(t, x) = e−sen t sen (x) + e−4sen t sen (2x)
P
P∞
1+(−1)n
2
2
19. (a) π2 − π2 ∞
cos
(nx)
=
1
−
cos
(2nx)
2
2
n=2 n −1
n=1 4n −1
π
2 )t
P
(2−n
2e
(b) |sen x| (c) π2 e2t − π2 ∞
n=1 4n2 −1 cos (2nx)
20.
P∞
n=1
2(1−(−1)n )
sen (nπct)sen (nπx)
n2 π 2 c

+∞
 1
X
nπ
4
0
cos (nπx) =
21. (a) SFcos f (x) =
sen

nπ
2
n=1
−1
P
4
nπ
(b) u(x, y) = +∞
cos (nπx)sh (nπy)
n=1 nπ sen
2
22. C +
ch (2πx) cos (2πy) + ch (2πy) cos (2πx)
,
2π sh (2π)
t2
(b) πe− 2 +
4
π
(−1)n −1
n=1
n2
P∞
23. u(x, y, t) = x +
1
√
π 2
e−
C∈R
n2 t+2t2
4
cos
n
x
2
√
sen (2πx) sen (2πy) sen (2 2πt)
se 0 ≤ x < 1/2,
se x = 1/2
se 1/2 < x ≤ 1