AULA 19 - Problemas com sistema do 1º grau

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PROJETOS I
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA
Prof. Marcos Calil
AULA 19 - Problemas com sistema do 1º grau
1. Determine dois números, sabendo que sua soma é 43 e que sua diferença é
7.
Resolução: x é um número e y é um número
O exercício diz que: sua soma é 43, então: x + y = 43
Além disso, temos que: sua diferença é 7, então: x – y = 7
Dessa forma, temos um sistema de equação do 1º grau
⎧x + y = 43
⎨
⎩ x−y =7
Somando, temos:
50
2x + 0 = 50 ⇒ x =
⇒ x = 25
2
Substituindo x = 25, em x – y = 7 (poderia ser na outra equação), temos:
x – y = 7 ⇒ 25 − y = 7 ⇒ − y = 7 − 25 ⇒ − y = −18 .( −1) ⇒ y = 18
Sendo assim, os dois números são 25 e 18.
2. Um marceneiro recebeu 74 tábuas de compensado, algumas com 6 mm de
espessura e outras com 8 mm de espessura. Quando foram empilhadas
atingiram uma altura de 50 cm. Quantas tábuas de 8 mm ele recebeu?
x = tábuas de 0,8 cm - aqui colocamos a incógnita x, pois o texto diz “algumas”
y = tábuas de 0,6 cm - aqui colocamos a incógnita y, pois o texto diz “algumas”
Importante: no lugar de 8 mm e 6 mm, inserimos 0,8 cm e 0,6 cm. Isso porque,
a unidade de tábuas empilhadas está em cm. Ou seja, temos que converter
mm em cm para que todas as unidades fossem iguais. Assim, temos:
⎧x + y = 74 .(-0,8) ⎧− 0,8 x − 0,8y = −59,2
⇒⎨
⎨
⎩ 0,8 x + 0,6y = 50
⎩ 0,8x + 0,6 y = 50
9,2
⇒ y = 46
0,2
Substituindo y = 46, em x + y = 74 (poderia ser na outra equação), temos:
0 – 0,2y = – 9,2 ⇒ y =
x + y = 74 ⇒ x + 46 = 74 ⇒ x = 74 − 46 ⇒ x = 28
Ele recebeu 28 tábuas de 8 mm 3. Em um estacionamento havia carros e motocicletas num total de 43 veículos
e 150 rodas. Calcule o número de carros e de motocicletas estacionadas
x é carro com 4 rodas e y é moto com 2 rodas. Sendo assim, temos:
⎧ x + y = 43
⎧x + y = 43 .(-2) ⎧− 2x − 2y = −86
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎩4 x + 2y = 150 ⎩ 4 x + 2y = 150
⎩ 4 x + 2y = 150
2x + 0 = 64 ⇒ x =
64
⇒ x = 32
2
Substituindo x = 32, em x + y = 43, temos:
x + y = 43 ⇒ 32 + y = 43 ⇒ y = 43 – 32 ⇒ y = 11
O número de carros é 32 e de motos é 11. 4. Uma empresa deseja contratar técnicos e para isso aplicou um prova com 50
perguntas a todos os candidatos. Cada candidato ganhou 4 pontos para cada
resposta certa e perdeu um ponto para cada resposta errada. Se Marcelo fez
130 pontos, quantas perguntas ele acertou?
x é o número de respostas certas e y erradas. Sendo assim:
⎧ x + y = 50
⎩4x − y = 130
⎨
180
⇒ x = 36 .
5
Resposta: Ele acertou 36 questões. Mas, se desejar saber quantas ele errou...
5x + 0 = 180 ⇒ x =
Substituindo x = 36, em x + y = 50, temos:
x + y = 50 ⇒ 36 + y = 50 ⇒ y = 50 – 36 ⇒ y = 14
5. Pedro e Paulo tem juntos R$ 81,00. Se Pedro der 10% do seu dinheiro a
Paulo, eles ficarão com quantias iguais. Quanto cada um deles tem?
x é Pedro e y é Paulo.
Como Pedro deu 10% do seu dinheiro, ele ficou 90%, ou seja, 0,9x (90% do
que Pedro possui). O restante, ou seja, 10% que é o mesmo que 0,1 de Pedro
(0,1x) é igual a que Paulo possui. Assim, Paulo tem y + 0,1x. Sendo assim,
temos: 0,9 x = y + 0,1x Assim...
⎧ x + y = 81
⎧ x + y = 81
⎧ x + y = 81
⇒⎨
⇒⎨
⎩0,9 x = 0,1x + y
⎩0,9 x − 0,1x − y = 0 ⎩0,8 x − y = 0
⎨
1,8x + 0 = 81 ⇒ x =
81
⇒ x = 45
1,8
Substituindo x = 45, em x + y = 81, temos:
x + y = 81 ⇒ 45 + y = 81 ⇒ y = 81 – 45 ⇒ y = 36 Resposta: um possui R$ 36,00 e outro R$ 45,00
6. Descubra dois números inteiros que somados dão 88, sabendo que um é
igual ao triplo do outro.
⎧x + y = 88 ⎧x + y = 88
⇒⎨
⎨
3
x
=
y
⎩
⎩3 x − y = 0
4x + 0 = 88 ⇒ x =
88
⇒ x = 22
4
Substituindo x = 22, em x + y = 88, temos:
x + y = 88 ⇒ 22 + y = 88 ⇒ y = 88 – 22 ⇒ y = 66 Resposta: um número é 22 e o outro é 66.
7. Num quintal há 100 animais entre galinhas e coelhos. Sabendo que o total
de pés é 320, quantas galinhas e quantos coelhos há nesse quintal?
x é galinha com 2 pés e y é coelho com 4 patas. Sendo assim, temos:
⎧ x + y = 100
⎧ x + y = 100 .(-2)
⎧− 2x − 2y = −200
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎩2x + 4 y = 320 ⎩2x + 4y = 320
⎩ 2x + 4y = 320
0 + 2y = 120 ⇒ y =
120
⇒ y = 60
2
Substituindo y = 60, em x + y = 100, temos:
x + y = 100 ⇒ x + 60 = 100 ⇒ x = 100 – 60 ⇒ x = 40
O número de galinhas é 40 e de coelhos é 60. 8. Num estacionamento há 80 veículos, entre motos e carros. Se o total de
rodas é 190, quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?
x é carro com 4 rodas e y é moto com 2 rodas. Sendo assim, temos:
⎧ x + y = 80
⎧x + y = 80 .(-2) ⎧− 2x − 2y = −160
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎩4x + 2y = 190 ⎩ 4x + 2y = 190
⎩ 4x + 2y = 190
2x + 0 = 30 ⇒ x =
30
⇒ x = 15
2
Substituindo x = 15, em x + y = 80, temos:
x + y = 80 ⇒ 15 + y = 80 ⇒ y = 80 – 15 ⇒ y = 65
O número de carros é 15 e de motos é 65. 9. Um teste é composto de 40 questões. Para cada questão respondida certa
são atribuídos três pontos (+3) Para cada questão respondida errada são
descontados dois pontos (–2). Ilda respondeu a todas as questões desse teste
e fez um total de 75 pontos. Quantas questões foram respondidas certas?
x é o número de respostas certas e y erradas. Sendo assim:
⎧ x + y = 40 .2
⎧ x + y = 40
⇒⎨
⎩3 x − 2y = 75
⎩3 x − 2y = 75
⎨
⎧2x + 2y = 80
⇒⎨
⎩3 x − 2y = 75
5x + 0 = 155 ⇒ x =
155
⇒ x = 31 .
5
Resposta: Ela acertou 31 questões. Mas, se desejar saber quantas ela errou...
Substituindo x = 31, em x + y = 40, temos:
x + y = 40 ⇒ 31 + y = 40 ⇒ y = 40 – 31 ⇒ y = 9
10. Ache dois números cuja soma é 354 e diferença é 128.
x é um número e y é um número
⎧x + y = 354
⎨
⎩ x − y = 128
2x + 0 = 482 ⇒ x =
482
⇒ x = 241
2
Substituindo x = 241, em x + y = 354, temos:
x + y = 354 ⇒ 241 + y = 354 ⇒ y = 354 – 241 ⇒ y = 113
Sendo assim, os dois números são 241 e 113.