Solução

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Um corpo de massa m cai de uma altura H a partir do repouso, um outro corpo, de
massa desconhecida, também cai a partir do repouso, de uma altura h. Calcule a massa do
corpo desconhecido de modo que ambos atinjam o solo com o mesmo impulso. Adote g para a
aceleração da gravidade local.
Dados do problema
•
•
•
•
•
•
massa do corpo A:
altura de queda do corpo A:
velocidade inicial do corpo A:
altura de queda do corpo B:
velocidade inicial do corpo B:
aceleração da gravidade:
m;
H;
v 0A = 0 m/s;
h;
v 0B = 0 m/s;
g.
Esquema do problema
Adotamos que Mm e que Hh e ambas as alturas
são medidas a partir do solo, adotado como Nível de Referência
(N.R.), como mostrado na figura 1.
Solução
Usando o Teorema do Impulso
I = Δ Q = Q f −Q i
(I)
A quantidade de movimento (Q) é dada por
Q = mv
(II)
figura 1
substituindo (II) em (I), temos
I = m v f −m v i
(III)
A velocidade final pode ser encontrada usando o Princípio da Conservação da Energia
Mecânica, a energia mecânica inicial, no ponto em que o corpo é liberado deve ser igual a
energia mecânica final, no solo
i
f
EM =EM
i
E PE iC = E Pf E fC
2
2
mvi
mv f
m g h i
= m g h f
2
2
simplificando a massa m de ambos os lados da igualdade, temos
2
g h i
2
vi
vf
= g h f
2
2
(IV)
Para o corpo de massa m, temos sua altura inicial igual a H ( h i = H ), a velocidade
inicial é nula ( v i = v 0 A = 0 ), como o corpo chega ao solo, que é o Nível de Referência, sua
altura final é nula ( h f = 0 ), então sua velocidade final ( v f = v A ) será
2
2
g H
vA
0
= g . 0
2
2
1
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2
vA
2
2
v A = 2g H
v A =  2g H
gH =
(V)
substituindo a expressão (V) e a velocidade inicial em (III) o impulso do corpo A ( I A ) ao chegar
no solo será
I A = m v A −m v 0 A
I A = m  2 g H −m .0
I A = m 2g H
(VI)
Para o corpo de massa desconhecida (M), temos sua altura inicial igual a h ( h i = h ), a
velocidade inicial é nula ( v i = v 0 B = 0 ), como o corpo chega ao solo, que é o Nível de
Referência, sua altura final é nula ( h f = 0 ), então sua velocidade final ( v f = v B ) será pela
expressão (IV)
2
2
vB
0
g h = g . 0
2
2
2
vB
gh =
2
2
v B = 2g h
v B =  2gh
(VII)
substituindo a expressão (VII) e a velocidade inicial em (III) o impulso do corpo B ( I B ) ao
chegar no solo será
I B = M v B −M v 0 B
I B = M  2 g h −M . 0
I B = M  2g h
(VIII)
Igualando as expressões (VI) e (VIII), temos
I A= IB
m 2g H = M 2 gh
usando a propriedade da radiciação que nos diz que  a .b =  a .  b , podemos re-escrever
as raízes da expressão nas seguintes formas  2 g H =  2 g .  H e  2 g h =  2 g .  h
m 2g
simplificando o termo
 2g
 H = M  2g  h
de ambos os lados da igualdade, obtemos
m H = M  h
H
M=m
h
usando a propriedade da radiciação que nos diz que
M=m
2

H
h
a
b
=

a
, temos finalmente
b
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Observação: vamos supor que m = 1 kg,
H = 80 m e h = 0,2 m, então M vale

80
0,2
M = 400
M = 20 kg
M = 1.
isto quer dizer que um tijolo de 1
quilograma caindo de um prédio de 80
metros de altura faz o mesmo “estrago“ que
uma pedra de 20 quilogramas caindo de
uma altura de 20 centímetros.
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