análise dinâmica de uma viga “cantilever`` através do método dos

ANÁLISE DINÂMICA DE UMA VIGA “CANTILEVER’’
ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Álvaro Fernando Gonçalves Crespo1, Aldemir Aparecido Cavalini Junior2, (Prof. Dr. Gilberto Pechoto de Melo)n
1,2
Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira
[email protected] e [email protected]
1. Introdução
Os sistemas mecânicos quando sujeitos a esforços
dinâmicos, não mais apresentam o mesmo
comportamento quando carregados estaticamente,
vibrando e oscilando em torno de um estado de
equilíbrio. As vibrações com altas amplitudes podem
prejudicar o funcionamento do conjunto, até mesmo
levar ao colapso, para tanto é necessário um estudo
melhor sob tais condições. Com essa finalidade pode-se
usar o Método dos Elementos Finitos para discretização
dos sistemas, facilitando a análise dinâmica no cálculo
dos autovalores e autovetores, que possibilitam a
determinação das freqüências naturais e dos modos de
vibrar.
Ki

[0]
[I ] 

−1
−1
−[M ] [K ] −[M ] [C ] 
[A ] = 
a matriz [C] de amortecimento é nula, pois o
amortecimento estrutural do sistema foi niglegenciado.
Posteriormente foi feita uma rotina em MatLab para a
obtenção dos autovalores de [A], que deram as
freqüências naturais do sistema.
2.Materiais e Método
n
=
L
2
f
ρS
3.Resultados
A tabela abaixo apresenta os valores teóricos
calculados pelas equações (1) e (2), os obtidos por
elementos finitos para dois, três e quatro elementos, e
seus erros percentuais em relação aos valores relativos
às equações (1) e (2).
2π
n
2
sendo que X n é dado pela tabela 1 e o material usado
para a barra foi aço estrutural A-36, com os seguintes
3
valores ρ , S , I , E e L respectivamente, 7,85t/m ,
3
-7 4
9
0.0025m , 5.20833x10 m , 200x10 Pa e 1m.
Tabela I – Valores de
X1
2
X2
3.516
2
X3
22.03
Xn
2
61.69
Eq. (1)
MEF 2
Erro %
MEF 3
Erro %
MEF 4
Erro%
2
X4
2
120.9
Para o Método dos Elementos Finitos, dividiu-se a
barra em dois, três e quatro elementos respectivamente,
conforme a figura abaixo, a fim de estudar como a
maior divisão afeta o método.
y1
1
y2
θ1
yn-2
θ2
2
θn-2
yn-1 θn-1
n-1
yn
n
L/n
L
Figura 1– Viga de comprimento L com n elementos
Para cada elemento i são dadas uma matriz rigidez
Ki e uma matriz Mi, de massa, abaixo:
EI
Ki = 3
Li
6 Li
− 12
6 Li 
 12
 6 Li 4 Li 2 − 6 Li 2 Li 2 


− 12 − 6 Li 12
− 6 Li 


2
− 6 Li 4 Li 2 
 6 Li 2 Li
420
6 Li
6 Li 
− 12
 12
 6 Li 4 Li 2 − 6 Li 2 Li 2 


− 12 − 6 Li
12
− 6 Li 


2
− 6 Li 4 Li 2 
 6 Li 2 Li
Com estas matrizes, obtiveram-se as matrizes
globais [K] e [M], nas quais cada elemento de ordem
a33, a34, a43, a44, da primeira matriz Ki ou Mi, serão
somados respectivamente e em ordem aos elementos b11,
b12, b21, b22 da segunda matriz Ki+1 ou Mi+1, os espaços
vazios gerados na matriz global foram preenchido por
zeros. Já a matriz dinâmica [A] foi formada com as
matrizes globais [K] e [M], no seguinte arranjo:
Foram utilizados dois métodos para a obtenção das
freqüências naturais e comparação, de modo a avaliar a
o Método dos Elementos Finitos. O primeiro método
utilizado tem como base as equações abaixo,
determinadas a partir de sistemas contínuos:
2
(1) e
(2)
X n EI
= ωn
ω
ρSLi
=
fn1(kHz)
40.4
40.8
0.8796
40.8
0.8411
40.8
0.8342
fn2(kHz)
253.3
257.7
1.7068
256.3
1.1822
256
0.9685
fn3(kHz)
709.4
871.5
22.8420
724.3
2.0987
721
1.6230
fn4(kHz)
1390.3
2529.4
81.9268
1631.1
17.3195
1422
2.2963
4. Conclusão
θn
É possível notar que o aumento no número de
elementos finitos da barra levou a uma melhor
aproximação do resultado adotado como correto(sistema
contínuo). Também vale-se ressaltar que é possível pela
metodologia aplicada obter os modos de vibrar da barra,
tornando mais apurada a análise dinâmica da estrutura,
mostrando assim a aplicabilidade do Método dos
Elementos Finitos para o estudo de sistemas dinâmicos.
5. Referências
[1] M. Lalane, P. Berthier, J. der Hagopian, Mechanical
Vibration for Engineers. —Chichester- New York:
John Wilegrandsons , 1998.
Agradecimentos
À Faculdade de engenharia de Ilha Solteira e
Departamento de Engenharia Mecânica