1) Aplicar o método de elementos finitos (Galerkin) para calcular a

3a Lista de Exercícios - PMR-2420
(Solução de Equações Diferenciais Parciais pelo Método de
Elementos Finitos)
1) Aplicar o método de elementos finitos (Galerkin) para calcular a distribuição de momento
fletor M(x) ao longo da viga mostrada na figura abaixo. Esta viga tem comprimento
unitário e está sujeita à carga distribuída F(x)=sen(x). Lembrar que a equação que rege o
problema é:
d 2M
 F ( x)
dx 2
e as condições de contorno são: M(0)=0 e M(1)=0. Considerar 4 elementos iguais e
montar as equações em forma matricial.
F(x)
x=1
x=0
x
2) A equação diferencial que descreve o comportamento dinâmico de uma barra sujeita a
tração ou compressão (barra de treliça) é dada por:
 2u  
u 
A 2   EA   0
x 
x 
t
Supor E e A constantes nesse caso. Considere o elemento mostrado na figura onde os graus de
liberdade são representados por u1 e u2.
u2
u1
nó 1
nó 2
L
x
Utilizando a função aproximadora linear:
u( x)  c1  c2 x
a) determine as funções de forma N1(x) e N2(x) desse elemento
b) mostre que a matriz de massa e rigidez do elemento são iguais respectivamente à:
[ M ]e 
AL 2 1
[ K ]e 
6 1 2
AE  1  1
L  1 1 
3) A equação diferencial que descreve o comportamento de uma viga é dada por:

 2v  2

t 2 x 2
  2v 
 EI 2   q( x, t )
 x 
Supor E e I constantes nesse caso. Considere o elemento mostrado na figura onde os graus de
v
liberdade são representados por u1, u2, 1 e 2, onde   .
x
y
v2
v1
1
2
x
nó 2
Utilizando a função aproximadora representada pelo polinômio:
nó 1
L
v( x)  c0  c1 x  c 2 x 2  c3 x 3
c) determine as funções de forma N1(x),N2(x),N3(x) e N4(x) desse elemento
d) mostre que a matriz de rigidez do elemento é igual à:
22 L
 156
 22 L
4 L2
AL 
[ M ]e 
13L
420  54

2
 13L  3L
54
 13L 
13L  3L2 
156  22 L

 22 L 4 L2 
6 L  12 6 L 
 12
 6 L 4 L2  6 L 2 L2 
EI

[ K ]e  3 
L  12  6 L 12  6 L 


2
 6 L 4 L2 
 6L 2L
4) Condução de calor num cilindro oco. A condução de calor num meio contínuo
bidimensional é regida pela seguinte equação elíptica:
k2T  Q  k
 2T
 2T

k
 Q  0 , (Equação de Poisson)
x 2
y 2
sendo T = T(x,y) a temperatura, k, a condutividade térmica do material (assumida constante) e
Q, o calor gerado internamente por unidade de área do material (um valor positivo de Q indica
geração de calor, um valor negativo implica extração de calor).
O problema apresenta simetria axial e não ocorre variação de temperatura na direção
circunferencial, o que corresponde a adotar T/n=0, como indicado na figura acima. Além
T
disso: q   k
, onde q é o fluxo de calor.
n
Montar o sistema de equações algébricas para a determinação das temperaturas nos nós 1, 2, 3
e 4, utilizando o Método de Elementos Finitos.
5) Repita o problema acima para o caso onde a temperatura nas superfícies interna e externa
são fixadas em 200oC e 10oC respectivamente. Resolva o sistema e compare os resultados
com a solução analítica:
T  200 
190
ln r
ln 2
6) Problemas de torção elástica de barras prismáticas são regidos pela equação:
 2  2

 2G
x 2 y 2
sendo G o módulo elástico de cisalhamento e  o ângulo de torção de cada seção por unidade
de comprimento da barra prismática. x,y)é a função que representa a tensão mecânica, tal
que =0 nas fronteiras.
O momento de torção T é dado por:
T  2  dx dy ,

e a tensão de cisalhamento numa direção n na seção pode ser obtida de


.
n
Pede-se determinar o valor de T e a tensão máxima de cisalhamento para um dado valor de
G e para a seção retangular mostrada na figura abaixo. Por considerações de simetria, é
suficiente obter a solução apenas para um quarto da seção, como mostrado na figura.
4
2
Torção elástica de uma barra prismática. (a) barra de seção quadrada; (b) malha de elementos
finitos usada.