lim ( ) 35 P x =
Propaganda
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CAMPUS IV-CCAE
CURSO
DISCIPLINA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
José Elias Dos Santos Filho
PROFESSOR
Limite de uma Função
I) Introdução ao Limite de uma Função
Você já deve ter tido a experiência de tentar calcular o custo aproximado de um produto. Imagine
você perguntando a um amigo sobre o custo do quilo do feijão carioquinha nos mercados de sua cidade e
obtém a seguinte resposta: “O custo do feijão carioquinha nos mercados de nossa cidade, eu não sei ao
certo, mas sei que é de aproximadamente R$5,00.”
Veja que se você necessita de 7 quilos de feijão carioquinha, o que teremos é uma estimativa de
quanto você vai gastar para obter os 7 quilos de feijão, isto é, quanto mais próximo de R$5,00 estiver o
custo do feijão, o valor a ser pago pelos 7 quilos estará cada vez mais próximo do valor de R$35,00.
Observe que se “ x ” representa o custo do quilo do feijão carioquinha e “ P ” representa o valor a
ser pago pro 7 quilos de feijão, então
anteriormente, vemos que se
x 5 ), teremos P( x)
x
P( x) 7 x .
Note que, pela situação problema descrito
estiver cada vez mais próximo do valor 5 (denotaremos isso da forma
cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma
P( x) 35 ).
Podemos representar esse fato da seguinte forma:
lim P( x) 35
x5
A notação acima nos diz que se
P( x) 7 x
x
é um valor suficientemente próximo de 5, então o valor da função
estará cada vez mais próximo do valor 35.
Veja gráfico abaixo, bem como a planilha de valores, e constate o limite
lim P( x) 35 .
x5
1
II) Noção Intuitiva do Limite
O que faremos agora é estudar o que acontece com os valores de uma função
valor de
x
estiver suficientemente próximo de um ponto
dos valores de
a,
xa,
ou seja, se
f ( x)
quando o
qual o comportamento
f ( x) .
Para ficar mais claro o estudo do limite de uma função num ponto, considere a função
x2 1
x2 1
, onde Dom( f ) IR {1} , ou seja, f ( x)
f ( x)
x 1
x 1
Vamos ver o comportamento dos valores de
abaixo com valores de
x2 1
x 1
x
x 1.
tende 1, ou seja,
estarão cada vez mais próximos de 2, isto é,
Desta forma, diremos que o limites de
da forma
quando
x 1.
Para isso, observe a tabela
x 1 (tanto valores x<1 quanto x>1) e os respectivos valores de f ( x) .
Observamos pela tabela acima que se
f ( x)
f ( x) ,
não esta definida para
f ( x) 2
x2 1
f ( x)
x 1
quando
x 1
sempre que
x 1
então os valores de
x 1.
é 2 e denotaremos este fato
x2 1
lim f ( x) lim
2.
x 1
x 1 x 1
Veja graficamente a ilustração do limite da função
x2 1
f ( x)
x 1
quando
x 1.
2
Pelo gráfico da função, observe que se o valor de
valor de
f ( x)
x
estiver suficientemente próximo do valor 1, o
estará cada vez mais próximo do valor 2. Assim, diremos que o limite de
tende a 1 é 2 e denotaremos da forma
L
próximos de
L , sempre que x
quando
x
lim f ( x) 2 .
x1
De um modo geral, dizemos que o limite da função
número real
f ( x)
se, e somente se, os números reais
f ( x) , quando x
f ( x) , para
estiver suficientemente próximo de
tende ao valor
os infinitos valores de
x
a,
é igual ao
permanecerem
a.
Notação:
lim f ( x) L
x a
III) Limites Laterais
Note que quando estudamos o limite da função
considerar valores de
menores que 1 quanto valores de
x
x2 1
quando x 1 , tivemos que
f ( x)
x 1
x maiores que 1, ou seja, valores x<1 e valores
x>1. Vamos rever novamente a tabela que nos ajudou a determinar o limite
Na tabela na qual temos
Analogamente, na
tabela
lim f ( x) lim f ( x) lim
x 1
x 1
x 1
x 1 com x<1, notamos que
x 1
na
qual
x2 1
2.
x 1
temos
x1
x2 1
lim f ( x) lim f ( x) lim
2.
x 1
x 1
x 1 x 1
x 1
x 1
Desta forma, se
lim f ( x) 2 .
com
x 1,
x>1, também
verificamos
que
seja com valores x<1 ou x>1,
x2 1
2.
x 1 x 1
lim f ( x) lim
teremos
x 1
O limite
quando
f ( x)
lim f ( x) 2
x1
x 1 (x<1)
x2 1
x 1
é denominado de limite lateral pela esquerda da função
e o limite
quando
lim f ( x) 2
x1
x2 1
f ( x)
x 1
é denominado de limite lateral pela direita da função
x 1 (x>1).
3
De uma forma geral, se
simplesmente pela sua direita, e
x
se aproxima de
f ( x) L
a
através de valores maiores que
a (x a)
ou
a ( x a)
ou
escrevemos
lim f ( x) L . (Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a )
x a
Analogamente, se
se aproxima de
x
f ( x) M
simplesmente pela sua esquerda, e
a
através de valores menores que
escrevemos
lim f ( x) M (Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a )
xa
Teorema: O limite lim f ( x) L , se, e somente se, os limites laterais lim f ( x) e lim f ( x )
x a
existirem e forem iguais a
x a
x a
L.
Simplificando:
Note que, para a função
lim f ( x) L lim f ( x) lim f ( x) L
xa
f ( x)
xa
x2 1
x 1
temos que
xa
lim
x 1
x2 1
x2 1
2 lim
x 1 x 1
x 1
e assim
x2 1
lim f ( x) lim
2.
x 1
x 1 x 1
Observação Importante:
Se lim f ( x) lim f ( x) , então não existe lim f ( x) .
xa
x a
xa
Exemplos
1) Calcule o limite
lim g ( x) , caso exista, sabendo que g ( x) x 2 3x .
x 2
Resolução:
Note que, quando
com x<2) o valor de
x2
x 2 , isto é, x
estará cada vez mais próximo de 4.
Analogamente, quando
esquerda com x<2) o valor de
Assim, quando
mais próximo de
Portanto,
se aproxima de 2, (seja pela direita com x>2 ou pela esquerda
x 2 , isto é, x
3x
se aproxima de 2, (seja pela direita com x>2 ou pela
estará cada vez mais próximo de 6.
x 2 , isto é, x
se aproxima de 2, o valor de
g ( x) x 2 3x
estará cada vez
4 6 2 , ou seja, g ( x) x 2 3x 2 , quando x 2 .
lim g ( x) lim( x 2 3x) 4 6 2 .
x2
x2
Dica para Você: Baixe o arquivo, “Limite g(x).ggb” e veja o gráfico da função
g ( x) x 2 3x
e do limite
lim g ( x) 2 .
x2
4
2) Considere a função
x 2 1, se x 1
h( x) x 3, se 1 x 2
2 x 1, se x 2
Calcule, caso exista, os limites
, cujo gráfico esta representado abaixo.
lim h( x) e lim h( x) .
x1
x2
Resolução:
a) Note que quando consideramos
que quando
x 1 , devemos levar em conta o fato de que x<1 ou x>1. Assim, note
x 1 (x<1), a função é dada por h( x) x 2 1 .
Logo,
lim h( x) lim(
x 2 1) 1 1 2
x1
x1
Analogamente, note que quando
Logo,
Como
.
x 1 (x>1), a função é dada por h( x) x 3 .
lim h( x) lim(
x 3) 1 3 2 .
x1
x1
lim h( x) lim h( x) 2 , então lim h( x) 2 . Observe o gráfico da função e veja este
x1
x1
x1
limite graficamente.
b) Note que quando consideramos
que quando
x 2 , devemos levar em conta o fato de que x<2 ou x>2. Assim, note
x 2 (x<2), a função é dada por h( x) x 3 .
Logo,
lim h( x) lim ( x 3) 2 3 1
x2
x2
Analogamente, note que quando
Logo,
Como,
.
x 2 (x>2), a função é dada por h( x) 2 x 1 .
lim h( x) lim (2 x 1) 4 1 3 .
x2
x2
lim h( x) lim h( x) , então
x2
x2
o limite
lim h( x)
x 1
não existe.
Observe o gráfico da função e veja que há uma quebra no gráfico da função para valores próximo de
2.
Dica para Você: Baixo o Arquivo “Limite-h(x).ggb” e veja a animação gráfica dessa função.
5
IV) Propriedades do Limite
Suponhamos que lim f ( x) L , lim g ( x) M e k IR .
x a
xa
I) Limite de uma constante
O limite de uma constante é a própria constante, isto é,
Exemplos: a)
lim3 3
b)
x4
lim k k .
x a
2 2
x8 3
3
lim
II) Limite da soma ( ou da diferença )
O limite da soma (ou da diferença) de duas funções é igual à soma ( ou à diferença ) dos limites
dessas funções, isto é:
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) L M
xa
xa
xa
Exemplos:
a)
lim( x 2 3) lim x 2 lim3 16 3 19
b)
lim( x 5) lim x lim5 2 5 3
x4
x4
x2
x4
x2
x2
II) Limite do produto
O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é:
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) L.M
xa
Exemplo: lim 4 x
x2
2
x a
x a
lim 4 lim x 2 4 4 16
x2
x2
III) Limite do quociente
O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando o
limite do divisor for igual a zero), isto é:
lim
x a
f ( x)
f ( x) lim
L
x a
g ( x)
lim g ( x) M
, desde que
lim g ( x) M 0
xa
x a
Exemplo:
x 3) 5
x 3 lim(
x 2
x 2 x 2
lim( x 2) 4
lim
x 2
IV) Limite de uma potência
O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função,
isto é:
n
lim[ f ( x)]n lim f ( x) Ln
x a
x a
Exemplo:
2
lim 5 x lim5 x 102 100
x 2
x 2
2
6
V) Limite de uma raiz
O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função, isto é:
lim n f ( x) n lim f ( x) n L , desde que
xa
Exemplo:
n
xa
L
exista.
lim 5 2 x 4 5 lim 2 x 4 5 32 2
x2
x2
-EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Explique com suas palavras com suas palavras o significado da equação
lim f ( x) 5
x 2
É possível que a equação anterior seja verdadeira, mas que
f (2) 3 ? Explique.
2) Explique o que significa dizer que
lim f ( x) 5
x1
Nesta situação, é possível que
lim f ( x)
x1
e
lim f ( x ) 7
x1
exista? Explique.
3) Considere uma função f x cujo gráfico esta representada abaixo.
Com base no gráfico da função f x acima, obtenha:
a) lim f x
b)lim f x
c) lim f x
d ) lim f x
g ) lim f x
h) lim f x
i ) lim f x
j ) lim f x
x 6
x 4
x 2
x 10
x 0
x 10
x 2
e)lim f x
x 4
x 6
7
4) Utilize o gráfico da função
limites não existem.
g ( x) para estimar os limites e os valores da função ou explique por que os
a ) lim g ( x)
b) lim g ( x)
c) lim g ( x)
d ) g ( 2)
e) lim g ( x)
f ) lim g ( x)
g ) lim g ( x)
h) g (1)
x 2
x 2
x 2
x 1
x 1
x 1
i ) lim g ( x)
j ) g (2)
x 2
5) Calcule o limite da função no ponto indicado.
a)lim x 2 x 1
x 2
x 2
c)lim x3 3x 2 4 x 2
x5 4 x 3
e)lim
x 0 2 x 3 4 x 2
f )lim x 4 1
x 1
d ) lim x 3 . x 4
2
6) Considere as funções
x a
a)lim f ( x) g ( x)
e
g
3
f x
x 1 g x
x0
x a
e
lim g ( x ) 2 . Determine:
b)lim 2 f ( x) g ( x)
x a
c) lim
x 2
lim f ( x) 5
f
x 1
b) lim f x .g x
x 1
8) Os gráficos de
x 3
f x 2 x 2 3x 1 e g x x 3 2 . Determine :
a) lim f x g x
7) Suponha que
b) lim 3x 4
c)lim f ( x) 3g ( x)
x a
d )lim
x a
f ( x)
f ( x) g ( x)
são dados. Use-os para calcular cada limite. Caso não exista o limite, explique por
quê.
(a)lim f ( x) g ( x)
(b)lim f ( x) g ( x)
(c)lim f ( x).g ( x)
f ( x)
(d ) lim
x 1 g ( x)
(e)lim x3 . f ( x)
( f )lim 3 f ( x)
x 1
x 2
x 1
x 2
x 0
8
9) Considere a função
2 x 4 ,
f x x 2 ,
2
x 4,
a) Calcule o valor da expressão
b) Calcule
se x 2
se 2 x 0 .
se x 0
f (3) f (2) f (0) f (1) ;
lim f x 2.lim f x lim f x ;
x 2
x 0
x 1
c) Represente graficamente essa função.
10) Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
f
que satisfaça todas as condições dadas em cada
caso.
a) lim f ( x) 2,
x 1
b) lim g ( x) 1,
x 0
lim g ( x) 0,
x 2
lim f ( x) 2,
x 1
lim g ( x) 1,
x 0
f (2) 1,
f (1) 2.
lim g ( x) 0,
x 2
f (0) não está definida.
9
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CAMPUS IV-CCAE
CURSO
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
DISCIPLINA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
PROFESSOR
José Elias Dos Santos Filho
Limites Infinitos e Limites no Infinito
I-Limites Infinitos
Inicialmente, considere a função
f ( x)
1
x2
. Note que,
Vamos ver o que acontece com os valores de
f ( x)
Dom( f ) IR {0} .
1
x2
, quando
x 0.
Para isso, observe a
tabela abaixo.
Observe que se
f ( x)
1
x2
x
estiver suficientemente próximo de zero, ou seja, se
cresce indefinidamente, ou seja,
Veja o gráfico da função
f ( x)
1
x2
f ( x)
x 0 , então os valores de
1
1
. Assim, lim f ( x) lim 2 .
2
x0
x0 x
x
para visualizar o limite
1
.
x0 x 2
lim f ( x) lim
x0
1
Veja agora o gráfico da função
g ( x)
1
, onde Dom( g ) IR {0} .
x
Observe que se
x 0 , os valores de g ( x)
x0
Analogamente, observe que quando
g ( x)
1
x
cresce
lim g ( x) .
indefinidamente, ou seja,
de
1
x
decresce
x 0 ,
indefinidamente,
os valores
ou
seja,
lim g ( x) .
x0
Note que não podemos concluir que
nem que
De ponto de vista mais informal, as expressões
que
x0
lim f ( x)
xa
respectivamente. Se ambas são verdadeiras, então escrevemos
De forma análoga, as expressões
lim f ( x)
xa
decresce indefinidamente, sem cota inferior quando
Se ambas são verdadeiras, então escrevemos
x0
lim g ( x) .
xa
cresce indefinidamente, sem cota superior quando
f ( x)
lim g ( x)
xa
e
lim f ( x )
xa
significam
pela esquerda ou pela direita,
lim f ( x) .
xa
e
lim f ( x )
xa
significam que
f ( x)
pela esquerda ou pela direita, respectivamente.
lim f ( x) .
xa
-Dicas Importantes para Você
Considere
n IN
e
C IR, com C 0 . Podemos ter assim, os seguintes limites infinitos.
C C
n
x
0
x 0
C C
II ) lim n se n for PAR.
0
x 0 x
I ) lim
ou
C
C
se n
lim
n
0
x 0 x
for IMPAR.
Exercícios Resolvidos:
1) Calcule os seguintes limites, caso existam:
a) lim
x 0
2
x3
b)
lim
x 1
3
x 1
c) lim
x 2
2x 1
x2
d ) lim
x 1
3
x2 1
Resolução:
a) Temos que,
lim
x 0
2
2
3
x3 lim
x 0 x
x0
2
0
.
Valor Próximo de 0
mas positivo, pois,
x3 0.
2
b) Temos que,
3
3
0
lim
x
1
x 1
.
x 1 então
x 10
x 2 , então
2 x 15
c) Temos que,
2x 1
5
0
lim
x 2 x 2
.
x 2 então
x 2 0
d) Inicialmente note que se
x 1 , então x2 1 0
Assim, devemos calcular os seguintes limites laterais,
x 1 , então x2 1 0 .
e se
3
lim
2
x 1 x 1
e
conclusão sobre o limite
Note que,
3
, antes de tirar alguma
lim
2
x 1 x 1
3
.
lim
2
x 1 x 1
3
3
3
3
e que lim 2 .
lim
2
x
1
0
0
x 1
x 1 x 1
Portanto, como os limites laterais são diferentes, então
3
lim
2
x 1 x 1
não existe.
-Assíntotas Verticais
Observe o gráfico da função
f ( x)
8
, onde Dom( f ) IR {2, 2} .
( x 4)
2
Dica para Você: Baixe o Arquivo “Limite Assíntotas Verticais.ggb” para visualizar o gráfico desta função no
Geogebra.
3
Note que existem duas retas verticais, a saber, a reta
x2
e a reta
x 2 dividem
o gráfico da
função em três partes.
Observe que quando
mais próximo da reta
x 2
x 2
vez mais próximo da reta
x 2
ou
x 2
8
( x 4)
2
estará cada vez
é denominada assíntota vertical da função
f ( x)
o gráfico da função
x 2 . Desta forma, a reta x 2
8
( x 2 4)
f ( x) .
estará cada
também é denominada assíntota vertical da
f ( x) .
lim f ( x)
De uma forma geral, quando temos
x a
ou
xa
Assíntoa
Vertical
f ( x)
f ( x)
o gráfico da função
x 2 . Desta forma, a reta x 2
Analogamente, quando
função
ou
possui uma assíntota vertical que é a reta
lim f ( x) ,
x a
então a função
xa
Assíntoa
Vertical
x a.
-Exercícios Propostos:
1) Considere o gráfico da função
representado abaixo.
f ( x)
Com base no gráfico da função
f ( x)
ao lado
obtenha:
a) lim f ( x)
b) lim f ( x)
c) lim f ( x)
d ) lim f ( x)
e) lim f ( x)
f ) lim f ( x)
x 2
x 2
x 1
x 1
x 3
x 3
g ) as assíntotas verticais da função. Justifique
cada uma delas.
2) Calcule os seguintes limites, caso existam:
a) lim
x 0
2 3x
x3
b) lim
x 1
1 2x
x 1
c) lim
2
x 2
2x 1
x2
d ) lim
x3
4
x 9
2
3) Utilize o software Geogebra para esboçar os gráficos das funções abaixo. Que assíntotas verticais os
gráficos possuem? Por que as assíntotas verticais estão localizadas onde estão?
x2 4
( a ) f ( x)
x 1
3
(b) g ( x) x
x
3
x3 x 2 1
(c)h( x)
x2 1
(d )k ( x) 2sen( x)
1
x
4
II- Limites no Infinito
Considere a função
f ( x)
os valores de
1
,
x
f ( x)
1
, onde Dom( f ) IR {0} . Vejamos agora, o
x
quando os valores da variável
x
crescem indefinidamente, ou seja, quando
x , como também, iremos verificar o que acontece com os valores de f ( x)
da variável
x
decrescem indefinidamente, ou seja, quando
x ,
os valores da função
1
0.
x x
lim f ( x) lim
x
quando
x ,
f ( x)
1
x
f ( x)
1
x
x
cresce indefinidamente, ou
estão cada vez mais próximos de zero, isto é,
Analogamente, quando os valores de
os valores da função
1
, quando os valores
x
x . Para isso, observe a tabela abaixo:
Com base na tabela acima, observamos que quando os valores de
seja, quando
que acontece com
x
decresce indefinidamente, ou seja,
estão cada vez mais próximos de zero, isto é,
1
0.
x x
lim f ( x) lim
x
De um ponto de vista mais informal, se os valores de uma função
próximos de um número
L
à medida que
lim f ( x) L , ou seja, f ( x) L
x
x
x
quando
x .
f ( x)
ficam cada vez mais próximos de um número
L
decresce sem parar, então escrevemos:
lim f ( x) L , ou seja, f ( x) L
x
ficam cada vez mais
cresce sem parar, então escrevemos:
Analogamente, se os valores de uma função
à medida que
f ( x)
quando
x .
Abaixo veremos uma ilustração gráfica dos limites no infinito.
5
- Dicas Importantes para você
Se
I ) lim
x
C IR
C
xn
é uma constante qualquer então:
C
0
II ) lim
x
Isso significa que x
crece ou decresce
indefinidamente
C
xn
C
0
Isso significa que x
crece ou decresce
indefinidamente
-Exercícios Resolvidos
1) Calcule os seguintes limites:
a) lim
4
3
x x 1
b) lim
x x 2 x
2
c) lim x 2 2 x 1
x
Resolução:
(a) Temos que, note que se
(b) Temos que,
(c) Observe que
3
x
então
x2 2 x . Assim,
4
4
0.
lim
2
x x 2 x
3
0.
lim
x x 1
x2 2 x 1
quando
x . Assim,
x
lim
x
2
2 x 1 .
Abaixo você terá uma ilustração do gráfico de cada uma dessas funções.
6
- Dica Importante para Você:
Limites de polinômios quando x
O comportamento de um polinômio qualquer
com
P( x) an xn an1x n1
a2 x 2 a1x a0 ,
an 0 , coincide com o comportamento final de seu termo de maior grau an x n .
Resumindo, se
P( x) an xn an1x n1
lim (an x n an1x n1
x
a2 x 2 a1x a0 , com an 0 , então
a2 x 2 a1x a0 ) lim an x n
x
e
lim (an x n an1x n1
x
a2 x 2 a1x a0 ) lim an x n
x
-Exercícios Resolvidos
1)Calcule os seguintes limites, caso existam.
3x 5
x 6 x 8
4 x2 x
x 2 x3 5
(a) lim
(b) lim
5 x3 2 x 2 1
x
1 3x
(c) lim
(d ) lim
3
x
3x 5
6x 8
Resolução:
(a) Pela dica acima, temos que
Assim,
lim (3x 5) lim 3x
x
x
e que
lim (6 x 8) lim 6 x .
x
x
3x 5
3x
3 3
lim
lim .
x 6 x 8
x 6 x
x 6
6
lim
(b) Temos que,
4 x2 x
4x2
4
4
lim
lim
0.
3
3
x 2 x 5
x 2 x
x 2 x
(c) Temos que,
5 x3 2 x 2 1
5 x3
5 x 2
lim
lim
.
x
x 3 x
x 3
1 3x
3
(d) Temos que,
lim
lim
lim
x
3
3x 5 3
3x 5
lim
x 6 x 8
6x 8
3
3x
x 6 x
lim
3
3 33 31
x 6
6
2
lim
.
7
-Assíntotas Horizontais
Sabemos que função
f ( x)
8
,
( x 4)
x2
assíntotas verticais, que são as retas
Dom( f ) IR {2, 2} ,
2
onde
e a reta
x 2 . Um dos argumentos para afirmar que a reta
lim f ( x) , e
x 2é
uma assíntota vertical da função é o fato de que
x 2
é uma assíntota vertical da função é pelo fato de que
Observe o gráfico da função
função quando
de que
8
( x 4)
2
para afirmarmos que a reta
lim f ( x) .
x2
e verifique que a reta
y0
limita o gráfico da
x , ou quando x . Essa limitação é devido ao fato de que lim f ( x) 0
x
e
lim f ( x) 0 .
x
Assim, diremos que a reta
lim f ( x)
x
f ( x)
x2
apresenta duas
0
y 0
Assíntota
Horizontal
então a função
f ( x)
y0
é uma assíntota horizontal da função
. De uma forma geral, quando temos
lim f ( x)
x
possui uma assíntota horizontal que é a reta
L
yL
Assíntota
Horizontal
f ( x)
ou
8
,
( x 4)
2
lim f ( x)
x
pois
,
L
yL
Assíntota
Horizontal
y L.
8
-Exercícios Resolvidos:
f ( x)
1) Considere a função
2 x2 4 x 4
. Determinar se a função possui assíntotas horizontais.
x2 2 x
Resolução:
Para verificarmos se a função possui assíntotas horizontais é necessário calcularmos os limites
lim f ( x)
x
e
lim f ( x ) .
x
Assim,
(I)
(II)
2 x2 4 x 4
2 x2
lim f ( x) lim
lim 2 lim 2 2 .
x
x
x x
x
x2 2 x
2 x2 4 x 4
2 x2
lim
lim 2 2 .
x
x x 2
x
x2 2 x
lim f ( x) lim
x
Pelos resultados acima, verificamos que a função
assíntota horizontal que é a reta
Note que a função
x 2
e
x 0.
y 2.
f ( x)
2 x2 4 x 4
f ( x)
x2 2 x
possui apenas uma
Veja o gráfico da função abaixo e constate esse fato.
2 x2 4 x 4
x2 2 x
também possui assíntotas verticais que são as retas
x2 2 x
Observe que x=2 e x=0 são as raízes da equação
. Mostre que
Denominador
lim f ( x) ,
x2
lim f ( x) , lim f ( x)
x2
provando que as retas
x 2
x0
e
x0
e
lim f ( x )
x0
e assim você estará
são as assíntotas verticais da função.
9
- Exercícios Propostos
4) Determine o limite de cada uma das funções quando (a)
2x 3
a ) f ( x)
5x 7
3x 2 6 x
e) f ( x )
4x 8
x 1
b) f ( x ) 2
x 3
2 x5 3
f ) f ( x) 2
x x
x
e (b)
x .
1 12 x3
7 x3
c) f ( x) 2
d ) f ( x) 3
4 x 12
x 3x 2 6 x
2 x3 2 x 3
g ) f ( x) 3
3x 3x 2 5 x
5) Para cada uma das funções do exercício (4), determinar as assíntotas horizontais da função.
6) Com base no gráfico da função
g ( x) 2
sen( x)
x
abaixo, determinar as assíntotas horizontais da
função justificando cada uma delas.
7) Esboce o gráfico de uma função
y f ( x)
que satisfaça as condições dadas. Nenhuma fórmula é
necessária, simplesmente indique os eixos cartesianos e trace uma curva apropriada.
(a) f (0) 0, f (1) 2, f (1) 2, lim f ( x) 1 e lim f ( x) 1.
x
x
(b) f (0) 0, lim f ( x) 0, lim f ( x) lim f ( x) , lim f ( x) e lim f ( x) .
x
x 1
x 1
x 1
x 1
8) Utilize o software Geogebra para esboçar os gráficos das funções abaixo. Em cada caso, determine o que
se pede com base no gráfico da função.
( a ) f ( x)
sen x
;
x
Calcule, caso exista,
1
(b) g ( x) sen ;
x
lim f ( x)
x0
Calcule, caso exista,
(c )
No mesmo plano cartesiano represente
que
f ( x) h( x) g ( x)
e
lim g ( x)
x0
lim f ( x ) .
x
.
f ( x) x , g ( x) x e h( x) x .sen( 1x ) .
e com isso estime o valor do limite
(c) Represente graficamente a função
2 x2
g ( x)
.
3x 6
Verifique
lim h( x) .
x0
A reta x=-2 é uma assíntota vertical da função?
Essa função possui assíntota horizontal? Com base no gráfico, é possível afirmar que a função possui uma
reta com inclinação positiva que representa uma assíntota da função de forma inclinada?
10
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CAMPUS IV-CCAE
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
CURSO
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
DISCIPLINA
José Elias Dos Santos Filho
PROFESSOR
Limites Indeterminados
-Introdução
f ( x) x 2 4
Sabemos que para calcular o limite da função
quando
g ( x) x 2 x 2
e da função
x 2 , procedemos da seguinte forma:
lim f ( x) lim( x 2 4) 4 4 0
x2
x2
lim g ( x) lim( x 2 x 2) 4 2 2 0
x2
x2
Isto significa que os valores de
próximo de 0(zero) sempre que
Lembre-se
que
x
f ( x) ,
bem como os valores de
g ( x) ,
estarão suficientemente
estiver suficientemente próximo de 2.
f ( x) 0 e g ( x) 0 ,
pois
x2.
Na
verdade,
o
que
teremos
é
x2
f ( x) 0 e g ( x) 0
sempre que
x 2.
Vejamos agora tentar, de forma direta, calcular o limite da função
f ( x)
x2 4
2
g ( x) x x 2
quando
x 2 , vejamos:
lim
x 2
f ( x)
x2 4
44
0
lim 2
.
g ( x ) x 2 x x 2 4 2 2 0
Veja que temos uma expressão da forma
lim
x 2
f ( x) 0
,
g ( x) 0
o que significa que tanto o numerador
quanto o denominador, são valores suficientemente próximos de 0(zero) e assim não temos como saber o
comportamento da divisão
0
.
0
Esse limite
lim
x 2
f ( x) 0
g ( x) 0
é denominado de limite indeterminado.
Observe a tabela abaixo e veja o que acontece com os valores de
f ( x)
g ( x)
quando
x 2.
1
Pela tabela acima, vemos que
f ( x) x2 4 ( x 2)( x 2)
e que
Logo, podemos calcular o limite
lim
x 2
lim
x 2
f ( x)
0,5 .
g ( x)
De uma forma
mais analítica, note que,
g ( x) ( x 1)( x 2) .
lim
x 2
f ( x)
g ( x)
da seguinte forma:
( x 2) ( x 2)
f ( x)
( x 2) 4
lim
lim
0,5 .
g ( x) x2 ( x 6) ( x 2) x2 ( x 6) 8
-Limites Indeterminados 0 .
0
Estamos entrando em outra etapa sobre limites, este é conhecido por LIMITES INDETERMINADOS,
sempre que tivermos uma indeterminação do tipo:
0
,
, - , 0 , 00 , 0 , 1
0
Teremos que fazer uso dos nossos conhecimentos algébricos, onde os mais conhecidos são:
Fatoração de Polinômios, Divisão de Polinômios e Multiplicação pelo Conjugado.
Faremos aqui alguns exercícios sobre limites indeterminados. Ante de iniciarmos faremos duas
discussões, uma sobre DIVISÃO ENTRE POLINÔMIOS e outra sobre MULTIPLICAÇÃO OELO CONJUGADO.
-EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Seja
f ( x) x 2 x . O valor do lim
h0
Resolução:
Temos que,
I)
f ( a h) ( a h) 2 ( a h)
a 2 2ah h2 a h
II)
f (a) a 2 a
f ( a h) f ( a )
h
é:
Foi feito o seguinte passo aqui: Onde tinha (x) eu
troquei por (a + h), pois estou analisando f(a + h)
Foi feito o seguinte passo aqui: Onde tinha (x) eu
troquei por (a), pois estou analisando f(a)
Agora, substituímos os valores de
f ( a h)
e
f (a) , para calcular o limite, observe:
a 2 2ah h 2 a h a 2 a
f ( a h) f ( a )
lim
lim
h 0
h 0
h
h
a 2 2ah h 2 a h a 2 a
2ah h 2 h
lim
lim
h 0
h 0
h
h
2a h h 2 h
lim
lim(2a h 1) 2a 1.
h 0
h
h
h h 0
f ( a h) f ( a )
2a 1.
Portanto, lim
h0
h
2
2) Calcule o limite
Resolução:
x 2 3x 2
.
x 2
x3 8
lim
Poderemos usar para sair da indeterminação
por usar Fatoração de Polinômios.
0
, a Divisão entre Polinômios ou Fatoração. Neste caso, vamos optar
0
Sabemos pelos produtos notáveis que
I) x2 – a2 = (x – a)(x + a)
II) x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2)
Sabendo que
x3 8 x3 23 , e por (II) temos que x3 8 ( x 2)( x 2 2 x 4) .
Com relação ao numerador da fração
são
x1 2 ou x2 1.
x 2 3x 2
2
, vamos determinar as raízes da equação x 3x 2 0 , que
3
x 8
ax2 bx c a( x x1 )( x x2 )
Como,
então
x2 3x 2 ( x 2)( x 1) .
Assim,
( x 2) .( x 1)
x 2 3x 2
( x 1)
(2 1)
1
lim
lim
lim
.
x 2
x2 ( x 2) .( x 2 2 x 4)
x2 ( x 2 2 x 4)
x3 8
(22 2.2 4) 12
3) Calcule o limite indeterminado
Resolução:
Como as raízes da equação
x2 5x 4
x 4
x4
lim
.
x2 5x 4 0 , são os valores x1 4 ou x2 1, então
x2 5x 4 ( x 4).( x 1).
Desta forma teremos:
( x 4) .( x 1)
x2 5x 4
lim
¨ lim( x 1) 4 1 3.
x 4
x 4
x 4
x4
( x 4)
lim
Portanto,
x2 5x 4
lim
3.
x 4
x4
3
MULTIPLICAÇÃO PELO CONJUGADO
Suponha que queremos calcular o limite indeterminado
lim
x 0
x 1 1 x
x
.
Em muitos casos como estes, é de grande importância que nos livremos do termo que envolve a
radiciação e que neste caso é
( x 1
( x 1 1 x ) . O conjugado do termo ( x 1 1 x )
é o termo
1 x).
Sinal
oposto
ao
anterior
x 1 1 x
x
O que fazemos na prática para calcular o limite, é a multiplicar a fração
fração
pela
que representa o valor 1.
1 x
x 1 1 x
x 1
Assim teremos o seguinte cálculo:
x 1 1 x
lim
lim
x0
x0
x
x 1 1 x
x
.
,
1 x
x 1 1 x
x 1
A intenção de se fazer isso, é produzir a “Diferença de Dois Quadrado”, veja:
( a b )
lim
x 1 1 x
x0
a2
( a b )
x
.
lim
1 x
x 1 1 x
x 1
b2
2
x 1
x 0
1 x
x
2
.
Efetuando as operações devidas iremos obter o resultado do limite, veja a resolução completa
abaixo:
( a b )
lim
x 0
x 1 1 x
lim
x 0
x
a2
lim
x 0
x 1 1 x
x
( a b )
.
1 x
x 1 1 x
x 1
b2
2
x 1
x
1 x
2
( x 1) (1 x)
x 0 x.( x 1 1 x )
lim
x 1 1 x
2x
lim
x 0 x.( x 1 1 x )
x 0 x .( x 1 1 x )
2
2
2
lim
1
x 0 ( x 1 1 x )
1 1 2
lim
4
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Determine o valor numérico do limite
lim
x 1
Resolução:
x 1
.
x 1
0
.
0
( x 1)
Observe que se trata de um limite indeterminado
Usaremos a multiplicação pelo Conjugado de
Observe:
que é
( x 1) .
2
x 12
x 1
( x 1) ( x 1)
lim
lim
.
lim
x 1 x 1
x 1 ( x 1) ( x 1)
x 1 ( x 1).( x 1)
lim
x 1
( x 1)
( x 1) .( x 1)
Portanto,
lim
x 1 1
.
x 1 2
lim
y2
.
y 2
x 1
2) Calcule
y 2
1
1
1
.
x 1 ( x 1)
1 1 2
lim
Resolução:
Vamos multiplicar a fração
y2
y 2
pelo termo
y 2
, observe os cálculos feitos:
y 2
y 2 lim ( y 2) y 2
y 2 y 2
y 2
( y 2) y 2
lim
lim y 2 2 2 2
( y 2)
lim
( y 2)
y 2
y 2
Portanto,
.
y 2
y 2
lim
y 2
2
2
2.
y2
2 2.
y 2
5
-Limites Indeterminados .
Considere a função
Logo,
teremos
f ( x) x 4 x 2 .
lim f ( x) lim ( x 4 x 2 ) ,
x
x
x4
e
resultado da subtração
x2 ,
.
que é uma indeterminação, pois quando
x
ou seja, crescem indefinidamente e assim, não podemos estimar o
Para resolver esse tipo de indeterminação, usaremos o fato de que o comportamento de um
P( x) an xn an1x n1
polinômio qualquer
comportamento
seja,
final
de
lim (an x n an1x n1
seu
a2 x 2 a1x a0 ,
termo
de
maior
a2 x 2 a1x a0 ) lim an x n
x
lim f ( x) lim ( x 4 x 2 )
x
an 0 ,
coincide com o
an x n ,
grau
ou
.
x
Assim, vamos calcular o limite
com
x
da seguinte forma:
lim f ( x) lim ( x 4 x 2 ) lim x 4 .
x
x
x
- Exercícios Resolvidos
1) Calcule o seguinte limite
3
.
x 2 x 4 x 5
lim
4
Resolução:
Observe que pelo cálculo direto do limite teremos,
3
3
x 2 x 4 x 5
lim
.
4
Indeterminação
Vamos usar o fato de que quando
comportamento de
Assim,
o polinômio
2 x4 4 x 5
possui o mesmo
2x 4 .
3
3
3
lim 4
0.
x 2 x 4 x 5
x 2 x
lim
4
-Limites Indeterminados
Considere a função
2 x 3x 2
4
x
.
g ( x)
e que
2 x 4 3x 2
. Note que quando, x
x3 4 x
x 4 x
3
e assim teremos
então
2 x 4 3x 2
lim
x
x3 4 x
que também
representa um tipo de indeterminação.
6
2 x 4 3x 2
lim
x
x3 4 x
Para calcular o limite
lim (an x n an1x n1
a2 x 2 a1x a0 ) lim an x n .
x
Assim,
iremos novamente utilizar o fato de que
x
2 x 4 3x 2
2 x4
2x
lim
lim
.
3
3
x
x x
x 1
x 4x
lim
-Exercícios Resolvidos:
1) Calcule o limite
Resolução:
Temos que
2) Calcule o limite
2 x3 5 x 1
, caso exista.
x x 4 5 x 3 3
lim
2 x3 5 x 1
2 x3
2
2
lim
lim
0.
4
3
4
x x 5 x 3
x x
x x
lim
lim
x
3x 4 2
x 3x 4
8
.
Resolução:
Temos que
lim
x
3x 4 2
x8 3 x 4
lim
x
3x 4
x8
lim
3 x4
x
x4
3 ¨.
8
x2
-Exercícios Propostos:
1) Para cada uma das funções abaixo determine o limite
os respectivos valores de
lim
h0
f ( a h) f ( a )
f ( x) f (a )
e lim
x a
h
xa
para
a.
a) f ( x) 2 x, a 3;
b) f ( x) x 2 , a 3;
d ) f ( x) x 2 2 x, a 2; e) f ( x) 2 x 2 1, a 1;
g ) f ( x) x3 1, a 1 h) f ( x) 2 x3 , a 2;
c) f ( x) 2 x 2 , a 1
f ) f ( x) x 3 , a 2
i ) f ( x) x 3 x 2 , a 3
2) Calcule os seguintes limites:
4 x5 9 x 7
a) lim 6
x 1 3 x x 3 1
x2 5x 6
d ) lim
x 2
x2 4
x2 9
g ) lim 2
x 3 x 3 x
8 x3
x 2 x 2 2 x
j ) lim
m) lim
x 0
x4 2
x
3x 2 4 x
b) lim
x 2 4 x 2 14
x2 9
e) lim 2
x 3 x 5 x 6
(2 h) 2 4
h) lim
h 0
h
k ) lim
x 1
x 1
6 x 2 3 3x
c) lim
4 x2 1
x2 2
x2 5x 4
f ) lim 2
x 1 x 4 x 3
2 x
i ) lim
x 2 2 2 x
x 3
l ) lim
x 0
9 5x 4 x2 3
x
2 x 3
x 1 x 2 49
n) lim
7
3) Calcule os seguintes limites no infinito:
2 x3 5 x 1
x x 4 5 x 3 3
a) lim
x
2
x x 3 x 1
x3x
h) lim
x x 2 3
d ) lim
k ) lim
x
x4 2
x3
b) lim
x
e) lim
x
3x 4 2
x8 3 x 4
x2 1
3x 2
i ) lim x x 2 1
x
x2 2x 3
x 3 x 2 x 1
c) lim
g ) lim
x
3x 4 x 1
l ) lim
x
x4 5
j ) lim
x
x2 1
3x 2
x 1 x 3
x9 1
m) lim 9
x x x 6 x 4 1
4) Calcule os seguintes limites infinitos:
x3 3x 1
a) lim 2
x 2 x x 1
d ) lim (5 4 x x 2 x5 )
x
2x 1
x 0
x
x2 4
j ) lim 2
x 2 x 4 x 4
g ) lim
x 2 3x
b) lim 2
x 2 x 4
5 x3 6 x 1
e) lim
x 6 x 2 x 1
2x 3
h) lim 2
x 1 x 1
x 2 3x
k ) lim 2
x 3 x 6 x 9
x3 1
c) lim 2
x 1 x 2 x 1
5
f ) lim
x 3 3 x
2x 3
i ) lim 2
x 1 x 1
x 1
l ) lim
x 1
x 1
8
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CAMPUS IV-CCAE
CURSO
DISCIPLINA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
José Elias Dos Santos Filho
PROFESSOR
Funções Contínuas
- Introdução
x2 1
x 1
, se x 1
, h( x) x 1 , e a
, g ( x) x 1
f ( x)
x 1
1,
se x 1
2
Inicialmente considere as funções
função
funções
x 1, se 1
k ( x)
. Abaixo você poderá observar as semelhanças entre os gráficos das
x
2,
se
x
1
f , g, k e h .
Gráfico da função
Observações sobre o Gráfico
Note que
f (1)
não existe, já que
Dom( f ) IR {1} . Isso faz com que
tenhamos uma quebra no gráfico da função
no ponto
x 1 , na qual você pode observar.
Dizemos assim, que a função
contínua no ponto
não é
x 1.
Observe ainda que
lim f ( x) 2 f (1) .
x1
Note que agora, que temos
que
f ( x)
g (1) 1 ,
já
Dom( g ) IR , mas, no entanto, ainda
continuamos com uma quebra no gráfico da
função no ponto
x 1 , na qual você pode
observar. Dizemos assim, que a função
g ( x)
não é contínua no ponto
Observe ainda que
x 1.
lim g ( x) 2 g (1) .
x1
1
Observe que o gráfico da função
k ( x)
possui uma quebra no seu gráfico de forma
mais clara, isso é devido ao fato de que
lim k ( x) lim k ( x) , ou seja, lim k ( x)
x1
x 1
x1
não existe. Dizemos assim que a função
k ( x)
não é contínua no ponto
Note ainda que a função
no ponto
k ( x)
x 1.
esta definida
x 1 , a saber,
k ( x) 2 lim k ( x) .
x1
Obseve que a função
h( x )
não apresenta
quebra no gráfico no ponto
x 1
diremos que a função
é continua no
ponto
h( x )
x 1.
A continuidade da função
ponto
e assim
x 1
h(1) 2
h( x) x 1
no
é devido ao fato de que
e que
lim h( x) 2 , ou seja,
x1
lim h( x) 2 h(1) .
x1
- Funções Contínuas
Com base nos gráfico apresentados anteriormente podemos apresentar a definição de continuidade
de uma função num ponto.
Definição: Dizemos que uma função
(I)
f (a)
(II)
lim f ( x)
(III)
x a
f
é contínua em
xa
se as seguintes condições forem satisfeitas:
existe
existe
lim f ( x) f (a)
xa
Exemplo 1: Podemos verificar que a função
não esta definida no ponto
contínua no ponto
x2 1
f ( x)
x 1
x 1 , ou seja, f (1)
não é contínua no ponto
não existe. Portanto a função
x 1 , pois a função
f ( x)
x2 1
x 1
não é
x 1 . (Veja o gráfico na tabela anterior)
2
Exemplo 2: Considerando a função
mas
lim k ( x)
x 1
existe, ou seja,
k (1) 2 ,
x 1, se 1
lim k ( x) lim k ( x) . Portanto a função k ( x)
x1
x1
x 2, se x 1
não existe, já que
é contínua no ponto
x 1, se 1
, vemos que k (1)
k ( x)
x 2, se x 1
não
x 1 . (Veja o gráfico na tabela anterior)
Exemplo 3: Considere a função
x2 1
, se x 1
.
g ( x) x 1
1,
se x 1
Note que,
(I)
g (1) 1 existe
(II)
lim g ( x) 2
x1
existe
No entanto, note que
Portanto a função
lim g ( x) 2 g (1) .
x1
x2 1
, se x 1
g ( x) x 1
1,
se x 1
não é contínua no ponto
x 1 . (Veja o gráfico na
tabela anterior)
Exemplo 4: Considerando a função
(I)
h(1) 2
(II)
(III)
h( x) x 1 teremos:
existe
lim h( x) lim( x 1) 2
x1
x1
existe
lim h( x) h(1) 2
x1
Portanto a função
h( x) x 1 é contínua no ponto x 1 . (Veja o gráfico na tabela anterior)
Uma função é contínua em um intervalo
[a, b] se e somente se for contínua em cada ponto do
intervalo. Uma função contínua é aquela que é contínua em cada ponto de seu domínio.
Note que o gráfico da função
função
h( x) x 1 é uma reta que não possui quebra no gráfico. Assim, a
h( x) x 1 é contínua em todos os pontos do domínio da função Dom(h) IR , ou
simplesmente,
h( x) x 1 é uma função contínua.
- Continuidade dos Polinômios
Se
P( x) an xn an1x n1
lim P( x) P(c)
xc
para todo
a2 x 2 a1x a0 , com an 0
é um polinômio qualquer, então
c IR , ou seja, um polinômio qualquer é contínuo para todo ponto
x c IR .
3
-Propriedades de Funções Contínuas
Se as funções
f g
(I)
f
e
g
são contínuas em
x c;
é contínua em
(II)
f g
(III)
f .g
(IV)
f
g
é contínua em
x c;
x c;
é contínua em
é contínua em
x c , então :
x c , se g (c) 0 .
-Composta de Funções Contínuas
Se
f
é contínua
xc
e
f ( x)
cujo gráfico está representado abaixo:
g
é contínua em
f (c) , então a composta g ( f ( x))
é composta em
x c.
-Exercícios Resolvidos
1) Considere uma função
Com base no gráfico da função responda:
a)
f ( x)
é contínua no ponto
x 2 ? Justifique.
b)
f ( x)
é contínua no ponto
x 1 ? Justifique.
c) Qual é o domínio da função
f ( x)
e m quais pontos de seu domínio a função é contínua?
Resolução:
a) Com base no gráfico da função temos que:
(I)
f (2) 1 , existe
Como
(II)
lim f ( x) 1 lim f ( x) , ou seja, lim f ( x) 1
x2
x 2
x2
existe.
lim f ( x) 1 f (2) , então a função é contínua em x 2 .
x2
Graficamente vemos que o gráfico da função não possui quebra no ponto
é contínua em
x 2 , ou seja, a função
x 2.
b) Pelo gráfico da função teremos:
(I)
f (1) 2
(II)
lim f ( x) 1 lim f ( x) 3 , ou seja, lim f ( x)
x1
Portanto, a função
f ( x)
x1
x1
não é contínua no ponto
não existe.
x 1.
4
c) Vemos que a função
f ( x)
esta definida no intervalo
Já vimos que a função não é contínua no ponto
existe uma quebra no gráfico da função no ponto
[5, 4]
x 1
e assim,
Dom( f ) [5,4] .
e com base no gráfico, vemos que também
x 2 , ou seja, f ( x)
também não é contínua no ponto
x 2 .
Veja que
f (2) 0
diferente do limite
Portanto,
lim f ( x)
x2
não existe, já que
lim f ( x) 3
x2
que é
lim f ( x) 0 .
x2
é continua no conjunto
f ( x)
2) Mostre que a função
Resolução: Se
existe, mas no entanto
g ( x) 1 1 x 2
C [5,4] {2,1} .
é contínua no intervalo
[1,1] .
1 a 1, então, usando as Propriedades dos Limites, temos
x a
xa
se
lim g ( x) lim 1 1 x 2 1 lim 1 x 2 1 lim(1 x 2 ) 1 1 a 2 g (a)
xa
Assim,
xa
g ( x)
é contínua em
Vamos agora verificar se a função
x a
1 a 1.
g ( x) 1 1 x 2
é contínua nos extremos do intervalo
[1,1] , ou seja, x 1 e x 1 .
Para o ponto
x 1 temos que lim g ( x) g (1) . Veja que não faz sentido calcular
x1
lim g ( x) . (Veja o gráfico abaixo)
x1
Analogamente, para o ponto
x 1
temos que
lim g ( x) g (1) . Veja que não faz sentido calcular
x1
lim g ( x) . (veja o gráfico abaixo)
x1
Portanto,
g ( x) 1 1 x 2
é contínua no intervalo
[1,1] . Veja o Graco da função abaixo.
5
3)Determinar
Resolução:
(I) Temos que
x 2 5 x 4, se x 4
m IR de modo que f ( x)
, se x =4
3m
seja contínua em x = 4.
f (4) 3.4 12
(II) Cálculo do limite de
f ( x) :
lim f ( x) lim( x 2 5x 4) 42 5 4 6 2
x4
x4
(III) Para que a função seja contínua em x = 4, devemos ter
lim f ( x) f (4) 2 3m m
x 4
lim f ( x) f (4)
x4
2
.
3
Portanto, para que a função seja contínua em x=4 devemos ter
4) Verificar se a função
f ( x)
x2 4
x2
e assim:
m
2
.
3
é contínua no ponto em x =3 e no ponto x=2.
Resolução:
(I) Temos
(II)
32 4
f (3)
5.
3 2
( x 2) ( x 2)
x2 4
lim
lim( x 2) 5
x3 x 2
x3
x3
( x 2)
lim
Logo, f(x) é contínua em x=3.
Observe que
f ( x)
não é contínua em x=2, pois, não existe
f (2) .
6
-Exercícios Propostos:
1) Complete a afirmação:
“A função
f
é contínua em
2) Considere as funções
xc
se estiver definida
1, se x 4
f ( x)
1, se x 4
e
f ( x)
é contínua em
x 4 ? Justifique.
b) A função
g ( x)
é contínua em
x 4 ? Justifique.
c) A função
f ( x) g ( x)
d) A função
g ( f ( x))
4) Considere a função
Com base no gráfico de
x 4 ? Justifique.
x , se houver, a função f ( x)
h( x )
e ____________________.”
x 4 ? Justifique.
é contínua em
3) Para quais valores de
xc
4 x 10, se x 4
.
g ( x)
6, se x 4
a) A função
é contínua em
f (c) , existir lim f ( x)
x 2 16
x2 5x 4
é descontínua?
cujo gráfico esta representado abaixo:
h( x )
responda:
a) Qual o domínio da função?
b) A função é contínua no ponto
x 0 ? E no ponto x 1 ? Justifique.
c) Em quais pontos a função é contínua?
5) Encontre um valor para a constante
7 x 2, se x 1
a ) f ( x) 2
se x 1
kx ,
k , se possível, que faça a função ficar contínua em toda parte.
kx 2 , se x 2
b) g ( x )
2 x k , se x 2
x2 9
, se x 3
c ) h( x ) x 3
k,
se x 3
7
